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2025—2026 学年度上学期 2024 级
9 月月考数学试卷
命题人：时舜
一、单选题
1. 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出 和 ，再由向量共线的坐标表示列方程求解.
【详解】由 ， ，得 ， ，
若 ，则 ，解得 .
故选：B.
2. 若复数 满足 ，则 的实部为（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】先用除法运算得出复数 ，写出它的共轭复数 即可找出 的实部.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的实部为2，
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
3. 若圆锥的底面圆半径为 ，其侧面展开图的面积为 ，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆锥的侧面积公式求圆锥的母线长，再求圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解.
【详解】设圆锥的母线长为 ，
则有 ，所以 ，
于是圆锥的高为 ，
该圆锥的体积为： .
故选：D
4. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断线性、线面的位置关系即可.
【详解】A：若 ， ，则 平行、相交或异面，故A错；
B：若 ， ，则 平行或异面，故B错；
C：若 ， ，则 或 ，故C错；
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学科网（北京）股份有限公司D：若 ， ，由面面平行的定义和线面平行的定义可知 ，故D对.
故选：D
5. 一组不全相等的数据 ，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ）
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数
【答案】C
【解析】
【分析】根据极差、中位数、平均数、众数的定义，结合题设、特例和各项描述依次分析其正误.
【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，
A错误；
B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是
2，B错误；
C，设原平均数为 ，
假设去掉最大值 后平均数不变，则 ，
所以 ，解得 ，
由原数据不全相等，可得 ，矛盾，
所以平均数一定改变，C正确；
D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误．
故选：C
6. 如图，在等腰 中， ，点 是边 上的动点，则 （
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 为定值16 B. 为定值32
C. 最大值为32 D. 与 的位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】取 的中点为 ，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可.
【详解】如图，取 的中点为 ，连接 ，
因为 为等腰三角形，所以 ，又 ，
所以 .
所以 .
所以 为定值32.
故选： .
7. 在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ，
，O为 的外心，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【
分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可.
【详解】∵ ，由正弦定理，
得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
而 ，所以 ，
∵ ，
由正弦定理，得 ，
∴ ，而 ，
∴ ，∴ ，
因为 ，所以 ，∴ ．
设 的外接圆半径为 ，则 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
故选：C
8. 如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
， ， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子
元件能正常工作的概率是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设上半部分正常工作为事件 ，下半部分正常工作为事件 ，该电子元件能正常工作为事件 ，
根据相互独立事件的概率公式求出 、 ，即可求出 、 ，再根据对立事件及独立
事件的概率公式计算可得.
【详解】设上半部分正常工作为事件 ，下半部分正常工作为事件 ，
该电子元件能正常工作为事件 ，
则 ， ，
，所以 ，
所以 ，
即该电子元件能正常工作的概率是 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出
.
二、多选题
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小；
B. 连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀；
C. 某种福利彩票的中奖概率为 ，那么买1000张这种彩票一定能中奖；
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，
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学科网（北京）股份有限公司30%认为不降水．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项．
【详解】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确；
对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均
匀，故B正确．
对于C，中奖概率为 是指买一次彩票，可能中奖的概率为 ，不是指1000张这种彩票一定能中
奖，故C错误．
对于D，“明天本市降水概率为70%”，指下雨的可能性为0.7，故D错误．
故选：AB．
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体 被抽到的概率是
B. 从装有 个红球， 个白球的袋中任意摸出 个球，事件 “至少有 个红球”，事件 “都是白球”，
则事件 与事件 是对立事件
C. 数据 的第70百分位数是23.5
D. 若样本数据 的标准差为1，则数据 的标准差为9
【答案】AC
【解析】
【分析】A，用简单随机抽样的方法求解；B，根据对立事件的概念进行判断；C，先对数据从小到大排序，
再根据百分位数定义计算即可；D，先得到 ， ， ， 的方差，再通过计算
的方差，进而得到其标准差，即可得答案．
【详解】对于A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，
则个体 被抽到的概率为 ，正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B．从装有 个红球， 个白球的袋中任意摸出 个球，有3个都是红球，1个红球2个白球，
2个红球1个白球，3个都是白球，共4种情况，
显然事件 “至少有 个红球”，事件 “都是白球”，为互斥事件而非对立事件，错误；
对于C．从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于 ，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，
即 ，所以第70百分位数是23.5，C正确；
对于D．若样本数据 ， ， ， 的标准差为1，则 ， ， ， 的方差为1，
设 ， ， ， 的平均数为 ，则 ，
，
又 ，
故 ，
则 的标准差为 ，D错误．
故选：AC．
11. 如图，棱长为2的正方体 中，E为棱 的中点，F为正方形 ，内一个动
点（包括边界），且 平面 ，则下列说法正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 动点F轨迹的长度为
B. 直线 与 不可能垂直
C. 当三棱锥 的体积最小时，直线 与 所成角的余弦值为
D. 当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A由 平面 ，联想到存在一个过 的平面与平面 平行，利用正方体特征找
到平面 平面 ,进而得到 的轨迹为线段 ，对B，举反例即可根据棱锥体积公式分析即
可，对C，由 最小时，体积最小，得到 为异面直线所成角，即可求解；对D，利用勾股定
理求出外接球半径即可.
【详解】对A，如图，令 中点为 , 中点为 ,连接 ，
又正方体 中， 为棱 的中点，可得 , ，
平面 , 平面 ,又 ，
且 平面 ， 平面 平面 ,
又 平面 ，且 平面 ， 平面 ，
又 为正方形 内一个动点（包括边界），
平面 平面 ，而 平面 平面 ，
，即 的轨迹为线段 .
由棱长为2的正方体得线段 的长度为 ，故选项A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对B，由 可知三角形 为等腰三角形，
当 为线段 中点时，由 可得 ,又 中点为 , 中点为 ,
，而 ， ,故选项B不正确；
对C，由侧棱 底面 ，所以三棱锥 体积为 ，
所以 最小时，体积最小，∵ ，可得 在 处时 最小，
由 知此时 与 所成角为 ，等腰三角形 中，
，故选项C正确；
对D，同理可得当 在 处时，三棱锥 的体积最大，
由已知得此时 ，所以 在底面 的射影为底面外心， ，
， ，
由勾股定理易知底面 为直角三角形，所以 在底面 的射影为 中点，设为 ，
如图，设外接球半径为 ，由 ， ，可得外接球半径
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学科网（北京）股份有限公司，
外接球的表面积为 ，故选项D正确．
故选：ACD
三、填空题
12. 已知 ， ， ，若 三个向量不能作为空间向量的一组基，
则实数 等于________．
【答案】4
【解析】
【分析】因为 三个向量不能作为空间向量的一组基，所以 共面，由向量共面的条件求解即可.
【详解】因为 三个向量不能作为空间向量的一组基，
所以 共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基），
则存在 ，使得 ，即 ，
所以 ,解得 .
故答案为：4
13. 已知三棱锥 ，如图所示， 为 重心，点 ， 为 ， 中点，点 ， 分别
在 ， 上， ， ，若 四点共面，则
_________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】4
【解析】
【分析】先得到 ，进一步有 ，结合四点
共面的充要条件即可求解.
【详解】如图所示：
设 中点为 ，连接 ，因为点G为 重心，
所以点 在线段 上面，
因为
，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司若M，D，E，F四点共面，则 ，解得 ，
故答案为：4.
14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，记 为事件A，B的对立事件，且
，则 =__________
【答案】0.3##
【解析】
【 分 析 】 先 求 出 ， 根 据 得 到 ， 结 合
， 求 出 ， 从 而 得 到
.
【详解】由题意得 ， 为互斥事件，
即 ，
，
又 ①， ②，
式子①②相加得 ，
故 ，
所以 ，则 .
故答案为：0.3
【点睛】若事件A，B互斥，则有 ，
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学科网（北京）股份有限公司若事件A，B不互斥，则有 .
四、解答题
15. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指
数 衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是： 为偏
瘦； 为正常； 为偏胖； 为肥胖.某社区医院为了解居民体重现
状，随机抽取了 100 名居民体检数据，将其 BMI 值分成以下五组： ， ， ，
， ，得到相应的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的 分位数；
（2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从 ， 这两组中抽取6名居民，再从这6人中随
机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率.
【答案】（1） ， 分位数为26.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出 ，利用百分位数的求解方法得到 分位数；
（2）求出两组人数比值为 ，则在 ， 中分别抽取2人，4人，利用列举法求解古典概型
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学科网（北京）股份有限公司的概率.
【小问1详解】
由频率分布直方图得 ，解得 .
因为前三组的频率之和为 ，
前四组的频率之和为 ，
所以样本数据的 分位数在 内，设为x，
则 ，解得 ，
故估计该社区居民身体质量指数BMI值的样本数据的 分位数为26.5.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知BMI值在 内的频数为 ，
在 内的频数为 ，所以两组人数比值为 ，
按照分层随机抽样的方法抽取6人，则在 ， 中分别抽取2人，4人，
记 这组2人的编号分别为 ， ， 这组4人的编号分别为 ， ， ， ，
从这6人中随机抽取2人，
故 样 本 空 间
，
共15个样本点，
设事件 “抽取到的2人的BMI值不在同一组”，
则 ，共8个样本点，
故 ，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率为 .
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知在锐角 中， ， 为 边上一点，且 平分 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形内角性质及和差角正弦公式化简得 ，结合已知锐角三
角形、正弦边角关系有 ，最后根据角平分线的性质即可得；
（2）由已知及余弦定理得 ，再由 及数量积的运算律求 的模长，即可得.
【小问1详解】
由 ，
所以 ，
则 ，在锐角三角形中 ，则 ，
由正弦定理知 ，又 平分 ，
根据角平分线的性质知 ；
【小问2详解】
由 ，且 ，则 ，可得 ，
由 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
所以 ，而 ，故 .
17. 如图，在正三棱柱 中， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 .
的
（2）求点 到平面 距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将证明线面平行问题转换为证明线线平行问题，即在平面内寻找一条直线与要求直线平行；
（2）通过等体积法求距离
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：连接 并与 交于点 ，连接 .
在正三棱柱 中，四边形 为矩形，
则 是 的中点.
因为 是 的中点，所以 .
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
由（1）可知 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.
因为三棱柱 为正三棱柱，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
因为 是 的中点，所以 .
因为 ，所以 平面 .
由 ，可得 .
连接 ，则 .
设点 到平面 的距离为 ，
则 .
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，即点 到平面 的距离为 .
18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公
司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都
答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为 ，小华答对每道题目的概
率依次为 ，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为
事件 ，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件 ．
（1）求事件 发生的概率 ；
（2）求事件 和事件 同时发生的概率 ；
（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若事件 发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求
得 的值；
（2）若事件 发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出 的值，分析可知，事件
、 相互独立，由独立事件的概率公式可求得 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）记小明没有通过面试为事件 ，小华通过面试的事件记为 ，求出这两个事件的概率，记小明、小
华两人恰有一人通过面试的事件记为 ，则 ，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得
的值.
【小问1详解】
若事件 发生，则小明前两题都答对或都答错，
所以 ．
【小问2详解】
若事件 发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，
根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为 ，
由题意可知，事件 相互独立，
则 ．
【小问3详解】
记小明没有通过面试为事件 ，
即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，
则小明没有通过面试的概率为 ，
可得小明通过面试的概率为 ．
记小华通过面试的事件为 ，由（2）得 ，
由题意可知，事件 相互独立，
记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．
19. 如图， 是矩形 的对角线，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置.
（1）若 ，证明：平面 平面 .
（2）若 ，二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可证 平面 ，进而证明 平面 即可.
的
（2）过点 作 ， ，作 ，证明 点 到平面 距离，是并由二面
角 求出 ，建立空间直角坐标系 ，则点 坐标确定，利用线面角公式计算即可.
【小问1详解】
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
所以 就是二面角 的平面角.
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
作 ，垂足为 ，则 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面ABCD，
所以 .
过 作 垂足为 ，
为
因 ，所以 ，
所以 ，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 是平面 的一个法向量.
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
即直线 与平面 所成角的正弦值是 .
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学科网（北京）股份有限公司
