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专题04 机械能守恒定律与动量守恒定律
一、单选题
1．（2024·黑龙江·三模）如图所示，长为L 的轻质细绳一端与带孔小球P 连接，另一
端与木块Q 连接，小球P 穿在光滑的固定水平杆（足够长）上，小球P 与木块Q 的质
量均为
。t=0 时刻，给木块Q 一水平向右的瞬时冲量，使其获得
的初速度，
则从t=0 时刻至Q 再次运动到P 正下方的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳对P 先做正功后做负功
B．绳对P 的冲量大小为
C．木块Q 运动到最右侧时的速度大小为0
D．木块Q 再次运动到P 正下方时，P 的速度大小为
【答案】D
【详解】A．从
时刻至Q 再次运动到P 正下方的过程中，细绳一直处于向右倾斜
状态，故绳对P 一直做正功，A 错误BD．从
时刻至Q 再次运动到P 正下方的过程
中，由动量守恒有
由能量守恒有
联立解得
对P 由动量定理可得
由受力分析可知重力与支持
力不相等，故
B 错误；D 正确；C．木块Q 运动到最右侧时，具有和P 相同
的水平速度，由动量守恒有
解得
C 错误。故选D。
2．（2024·江西南昌·三模）蹦极是一项非常刺激的户外运动。一质量为m 的体验者
（可视为质点），绑着一根原长为L、劲度系数为k 的弹性绳从高台上坠下。已知弹性
绳的弹性势能
和形变量x 的关系为
。若不计空气阻力、体验者的初速度和
1
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绳的质量，则下列说法正确的是（ ）
A．下落过程中该体验者的机械能守恒
B．当弹性绳伸长量等于
时，弹性绳的势能达到最大值
C．体验者的最大速度为
D．体验者下落的最大距离为
【答案】C
【详解】A．下落过程中，弹性绳的弹力做功，该体验者的机械能不守恒，故A 错误；
B．当弹性绳伸长量等于
时，则
体验者的速度最大，当体验者的速度
为零时，体验者的动能、重力势能均为最小值，根据系统机械能守恒，弹性绳的势能
达到最大值，故B 错误；C．当弹性绳伸长量等于
时，体验者的速度最大，根据动
能定理
解得
故C 正确；D．体验者下落的距
离最大时，根据动能定理可得
解得此时弹性绳伸长量为
体验者下落的最大距离为
故D 错误。故选C。
3．（2024·广西桂林·三模）两物体A、B 放在光滑的水平面上，现给两物体沿水平方
向的初速度，如图所示为两物体正碰前后的位移随时间的变化规律。已知物体A 的质
量为
。则（ ）
2
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A．图线1 为碰后物体B 的图像
B．碰撞前物体A 的速度大小为
C．物体B 的质量为
D．碰撞过程A、B 组成的系统损失的机械能为
【答案】D
【详解】AB．若规定以碰撞前B 速度方向为正方向，由题图像可知碰前物体A、B 的
速度分别为
，
那么碰撞之后，不再
发生碰撞，碰后速度分别为
，
才满足这种情况，故图
线1 为碰后物体A 的图像，故AB 错误；C．设物体的B 的质量为
，碰撞过程动量
守恒，则由动量守恒定律得
解得
故C 错误；D．碰撞过
程损失的机械能为
代入数据解得
故D 正确。故
选D。
4．（2024·黑龙江佳木斯·三模）光滑水平面上放置一长为L、轻质不计质量的木片，
木片左右端放置一个质量都是m，可视为质点的小滑块A 和B，A、B 与轻质木片间动
摩擦因数分别是
和
且
现在对A 施加水平向右的推力F，使A 能与B
相遇，则（ ）
A．若F 大于μ₁mg,则可以使A 与B 相碰
3
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B．若F 大于μ₂mg,则可以使A 与B 相碰
C．A 与B 相碰前系统产生的内能为
D．只要F 足够大，AB 可能一起相对木片运动
【答案】C
【详解】AB．当力F 较小时，AB 和木片一起向前加速，随着力F 的增大，最大静摩
擦力小的先滑动，B 与轻质木片间摩擦力达到最大值时，加速度为a，则
得
把A、B 和木片看成一个整体
B 和木片发生相对滑动，
使A 能与B 相遇。故AB 错误；D．由于A、B 与木片的最大摩擦力都是
，小于
，所以A 相对木片不动。故D 错误；C．A 与B 相碰前系统产生的内能为滑动摩
擦力与相对位移的乘积，A 能与B 相遇时，B 与木片的相对位移为
，则A 与B 相碰
前系统产生的内能
故C 正确。故选C。
二、多选题
5．（2024·安徽·三模）如图所示，水平传送带左端A 与右端B 相距2.5m，传送带以
1m/s 的速度逆时针匀速转动。质量为2kg 的小滑块以2m/s 的初速度从A 端滑上传送带，
小滑块与传送带之间的动摩擦因数为0.1，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是
（ ）
A．小滑块最终从B 端离开传送带
B．整个过程摩擦力对小滑块做功为-4J
C．小滑块在传送带上的划痕长度为4.5m
D．小滑块在传送带上匀速运动的时间为1.5s
【答案】CD
【详解】A．根据牛顿第二定律有
解得a=1m/s2小滑块向右减速到零的时间
运动的距离
小于传送带的长度，因此小滑块最终从A 端离
4
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开传送带，A 错误；D．减速到零之后反向加速直到共速，加速时间
反向加
速的距离
再向左匀速运动
到达A 端，时间
D 正确；
C．从滑上传送带到共速，滑块与传送带的相对位移
C 正确；B．根据动能定理，摩擦
力对小滑块做的功等于小滑块动能的变化量
B 错误。故选
CD。
6．（2024·黑龙江·三模）如图所示，光滑水平面上放有质量为M=2kg 的足够长的木板
P，通过水平轻弹簧与竖直墙壁相连的质量为m=1kg 的物块Q 叠放在P 上。初始时刻，
系统静止，弹簧处于原长，现用一水平向右、大小为F=9N 的拉力作用在P 上。已知
P、Q 间的动摩擦因数
，弹簧的劲度系数k=100N/m，重力加速度g 取
，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．Q 受到的摩擦力逐渐变大
B．Q 速度最大时，向右运动的距离为2cm
C．P 做加速度减小的加速运动
D．从Q 开始运动到Q 第一次回到原来位置过程，摩擦力对Q 先做正功后做负功
【答案】BD
【详解】A．当拉力刚刚作用在P 上时，假设P、Q 保持相对静止，则有
解得
假设不成立，则Q 相对P 向左运动，P、Q 之间的摩擦力
大小一直为
故A 错误；B．当弹簧弹力与摩擦力大小相等时，Q 的速度达
到最大值，由平衡条件有
解得Q 速度最大时，向右运动的距离为
5
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故B 正确；C．对P 受力分析，由牛顿第二定律有
可知P 的加速度保持
不变，故C 错误；D．P 对Q 的摩擦力方向向右，Q 向右先加速后减速，摩擦力对Q
做正功，Q 减速至0 后将向左运动，摩擦力方向还是向右，故摩擦力对Q 做负功，故
D 正确。故选BD。
7．（2024·黑龙江·三模）如图所示，质量分别为m 和
的A、B 两滑块用足够长轻绳
相连，将其分别置于等高的光滑水平台面上，质量为
的物块C 挂在轻质动滑轮下端，
手托C 使轻绳处于拉直状态。
时刻由静止释放C，经
时间C 下落h 高度。运动
过程中A、B 始终不会与定滑轮碰撞，摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度
大小为g，则（ ）
A．A、C 运动的加速度大小之比为
B．A、C 运动的加速度大小之比为
C．
时刻，C 下落的速度为
D．
时刻，C 下落的速度为
【答案】AD
【详解】AB．根据题意，由牛顿第二定律可得
解得
则路
程之比
设B 运动的路程为s，则A 运动的路程为2s，可知此时C 运动的
路程为1.5s，则有
故A、C 运动的加速度大小之比为
，A 正确，B
错误；CD．由
可知
C 下落过程ABC 组成的系统机械能守恒
6
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解得
C 错误，D 正确。故选AD。
8．（2024·广西·三模）如图甲所示，倾角为
的传送带以恒定的速率
沿逆时针方向运行。
时，将质量
的煤块（可视为质点）轻放在传送带上端，
煤块相对地面的
图像如图乙所示，
末滑离传送带，传送带上下两端长
。
设沿传送带向下为正方向。重力加速度
取
，
，
。则（
）
A．煤块与传送带之间的动摩擦因数
B．煤块在传送带上留下的痕迹长度为
C．整个过程因摩擦而产生的热量
为
D．整个过程因摩擦而产生的热量
为
【答案】BC
【详解】A．由题图得0～1s 内物体加速度
根据牛顿第二
定律得
1～2s 内加速度
根据牛顿第二定律得
解得μ=0.5 故A 错误；B．根据图像可知，
0～1s 内传送带比物块多运动位移
1～2s 内物块比传送带多运动位
移
两者有重叠部分，所以煤块在传送带上留下的痕迹长度为
，
7
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故B 正确；CD．整个过程因摩擦而产生的热量
故C 正确
D 错误。故选BC。
9．（2024·吉林·三模）如图甲所示，足够长的木板静置于水平地面上，木板左端放置
一可看成质点的物块。t=0 时对物块施加一水平向右的恒定拉力F，在F 的作用下物块
和木板发生相对滑动，t=2s 时撤去F，物块恰好能到达木板右端，整个过程物块运动
的v-t 图像如图乙所示。已知木板的质量为0.5kg，物块与木板间、木板与地面间均有
摩擦，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的
是（ ）
A．木板的长度为3m
B．物块的质量为0.8kg
C．拉力F 对物块做的功为9.9J
D．木板与地面间因摩擦产生的热量为3.3J
【答案】CD
【详解】A．根据题意可知，木板在0~2.5s 内向右做匀加速直线运动，作出图像，如
图所示
由图像可知2.5s 时两者共速，则木板在0~2.5s
内的加速度大小为
物块在0~2.0s 内的加速度大小为
物块在2.0s~2.5s 内的加速度大小为
2.5s~3.0s 内二者一起做匀减速直线运动，加速度大小为
8
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可得木板与地面间的动摩擦因数为
物块与木板
间的动摩擦因数为
木板的长度为
故A 错误；B．前
2s 内，对木板，有
对物块，有
解得
，
故B 错误；C．前2s 内，拉力F 对物块做的功为
结合图
像可知，0~2s 内物块的位移为
所以
故C 正确；D．木板
与地面间因摩擦产生的热量
结合图像可知，木板的位移为
所以
故D 正确。故选CD。
三、解答题
10．（2024·黑龙江大庆·三模）中国最新的SH—16 型轮式炮车，应用了大量现代自动
化科技，如火控系统接收打击目标、立即调炮、引信装订、弹丸装填、发射药装填等
自动射击动作。现一炮车以速度
匀速行驶，炮筒保持水平状态。炮车质量为M，携
带一枚质量为m 的炮弹，用于发射炮弹的炸药在极短时间内爆炸，将炮弹沿行进方向
水平发射出去，由于反冲力作用炮弹飞离炮口时炮车停止运动。炸药质量可忽略不计，
求：
（1）炮弹飞离炮口时的速度v；
（2）炸药爆炸释放的能量Q；
（3）设炮弹在炮筒中所受的作用力恒定，已知炮筒长为d，求从发射炮弹到炮弹飞离
炮口时，炮车前进的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据动量守恒定律可知
9
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变形得
（2）根据能量守恒定律可知
代入得
（3）设发射炮弹过程中，炮弹、炮车的位移大小分别为
、
，有
，由动
能定理，对炮弹有
对炮车有
代入得
11．（2024·黑龙江·三模）如图所示，质量M 为5.0 kg 的小车以2.0 m/s 的速度在光滑
的水平面上向左运动，小车上AD 部分是表面粗糙的水平轨道，DC 部分是
光滑圆弧
轨道，整个轨道都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上的匀强电场和垂
直于纸面向里的匀强磁场，电场强度E 大小为50 N/C，磁感应强度B 大小为2.0 T．现
有一质量m 为2.0 kg、带负电且电荷量为0.1 C 的滑块以10 m/s 的水平速度向右冲上
小车，当它运动到D 点时速度为5 m/s．滑块可视为质点，g 取10 m/s2．求：
（1）求滑块从A 到D 的过程中，小车与滑块组成的系统损失的机械能；
10
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（2）如果滑块刚过D 点时对轨道的压力为76 N，求圆弧轨道的半径r；
（3）当滑块通过D 点时，立即撤去磁场，要使滑块不冲出圆弧轨道，求此圆弧轨道的
最大半径．
【答案】（1）85 J；（2）1 m；（3）0.71 m
【详解】（1）设滑块运动到D 点时的速度大小为v1，小车在此时的速度大小为v2，滑
块从A 运动到D 的过程中系统动量守恒，以向右为正方向，有
代入数据解得
v2=0
则小车跟滑块组成的系统的初机械能
小车跟滑块组成的系统的末机械能
代入数据解得
=110J，
=25J
小车与滑块组成的系统损失的机械能
代入数据解得
=85J
（2）设滑块刚过D 点时，受到轨道的支持力为N，则由牛顿第三定律可得N=76N，由
牛顿第二定律可得
代入数据解得
r=1m
（3）设滑块沿圆弧轨道上升到最大高度时，滑块与小车具有共同的速度v3，则由动量
守恒定律可得
代入数据解得
11
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v3=
m/s
设圆弧轨道的最大半径为R，则由能量守恒关系，有
代入数据解得
R=0.71m
12．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，倾角为
、足够长的粗糙斜面固定在水
平地面上，轻绳一端连接质量为
的物体A，另一端跨过光滑的定滑轮连接质量为
的物体B，斜面上方轻绳始终与斜面平行且处于伸直状态，已知物体A 与斜面间的
动摩擦因数
，物体B 距地面高度
。现将物体A、B 由静止释放，B 落地
后不再弹起，A 不会与滑轮相撞，物体A、B 可视为质点，重力加速度g 取
，已
知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，求：
（1）物体B 刚要接触地面时的速度大小；
（2）物体A 向上滑动的整个过程中与斜面间因摩擦产生的热量。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）从物体A、B 由静止释放到物体B 刚要接触地面时速度大小为v 的过程。
设绳子拉力做功为W，对于B，根据动能定理
对于A，根据动能定理
解得
12
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（2）从物体A 速度大小为v 到0 的过程
解得
物体A 向上滑动的整个过程中与斜面间产生的热量Q
解得
13．（2024·安徽合肥·三模）如图所示，AB 是半径
的四分之一光滑圆弧轨道，
其最低点A 与水平地面相切，质量分别为3m、m 的物块a、b 静止在水平面的P、A 之
间，a、b 间夹有一小块炸药，水平面PA 段光滑，P 点左侧平面粗糙，两物块与粗糙平
面间的动摩擦因数均为0.5，炸药瞬间爆炸，将两物块推开，a 在粗糙平面上滑行了
0.4m 后静止，不计物块的大小，炸药质量不计，重力加速度g 取
，求：
（1）炸药爆炸后物块a 获得的速度大小；
（2）若
，求物块b 滑到A 点时对圆弧轨道的压力大小；
（3）若a、b 相遇时发生弹性碰撞，求物块b 在粗糙平面上滑行的总路程。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设爆炸后物块a 获得的速度大小为
，据动能定理有
解得
（2）设爆炸后物块b 的速度大小为
，据动量守恒有
13
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解得
物块b 滑到圆弧轨道的最低点A 时，据牛顿第二定律有
解得
据牛顿第三定律，b 对圆弧轨道最低点压力大小为
（3）设b 与a 第一次碰撞前的速度大小为
，据动能定理有
解得
设a、b 第一次碰撞后瞬间的速度大小分别为
、
，据动量守恒有
据能量守恒有
解得
由于a、b 在水平面上做减速运动的加速度大小相等，因此a、b 不可能再发生第二次
碰撞，设第一次碰撞后b 在水平面粗糙部分运动的路程为
，据动能定理有
解得
故物块b 在水平面粗糙部分运动的总路程为
14
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14．（2024·黑龙江·三模）如图所示，一半径为r=0.45m 的
光滑圆弧的底端B 与水
平传送带相接，传送带的运行速度为
，长为
，DEF 为固定于竖直
平面内的一段内壁光滑的中空细管，EF 段被弯成以O 为圆心、半径。
的一小
段圆弧，管的D 端弯成与水平传送带C 端平滑相接，O 点位于地面，OF 连线竖直。一
质量为
的滑块（可视为质点）从圆弧顶端A 点无初速滑下，滑到传送带上后
被送入细管DEF。已知滑块与传送带间的动摩擦因数
，重力加速度g 取
，
不计空气阻力，滑块横截面略小于细管中空部分的横截面。求：
（1）滑块到达光滑圆弧底端B 时对轨道的压力大小；
（2）滑块与传送带间因摩擦产生的热量；
（3）滑块滑到F 点后水平飞出，滑块的落地点到O 点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设滑块到达B 点的速度大小为
由机械能守恒定律有
解得
滑块在B 点，由向心力公式有
解得
15
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根据牛顿第三定律可知，滑块到达光滑圆弧底端B 时对轨道的压力大小为
；
（2）滑块在传送带上做匀加速运动，由牛顿第二定律有
由速度位移公式得
解得
滑块在传送带上运行的时间为
传送带运行的距离为
故滑块与传送带间因摩擦产生的热量为
（3）滑块从C 至F，由机械能守恒有
滑块离开F 点后做平抛运动，竖直方向有
联立解得滑块的落地点到O 点的距离
15．（2024·安徽马鞍山·三模）如图所示，在竖直面内，倾角为
的光滑斜面和光滑
半圆形轨道分别在B 点、C 点与粗糙水平面平滑连接，
左侧有竖直向下的匀强电场。
质量为
、电荷量
的带正电小物块从斜面上A 点由静止开始下滑，
恰能通过半圆形轨道的最高点D，离开D 后又垂直打在斜面上与圆心等高的M 点。已
知斜面高度
，半圆轨道半径
，重力加速度g 取
，小物块通过轨
道连接处时无机械能损失，忽略空气阻力，所有接触面均绝缘。求：
（1）小物块第一次到达B 点时的速度大小；
16
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（2）电场强度的大小；
（3）小物块与水平轨道间动摩擦因数。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小物块从
过程，由动能定理得
得
（2）平抛过程
物块在D 时，由牛顿第二定律得
联立解得
（3）平抛过程
由几何关系得
从
过程由动能定理得
17
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联立解得
16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图甲，一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m
的小滑块A 和B，其电荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质绝缘弹簧，弹簧
处于原长。整个空间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大
静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为2qE。
时，A 以初速度
向右运动，B 处
于静止状态。滑块A 运动的v-t 图像如图乙所示，在
时刻，速度为
，并且为
图线中速度的最小值，此时弹簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度
；在
时刻，
A 的速度达到最大，此时
，弹簧的弹力大小为3qE，
均为未知量。运动
过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变且可看作点电荷，静电
力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内，求：
（1）0～
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）
时刻A 与B 之间的距离；
（3）
时刻B 的速度；
（4）
时间内，库仑力和弹簧弹力对A 和B 做的总功。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内，根据动能定理可得合外力对A 所做的功
18
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解得
（2）速度—时间图像的斜率表示加速度，则由图乙可知，
时刻A 的加速度为0，说
明此时A 所受合外力为0，设此时A、B 相距
，则根据平衡条件有
其中
联立解得
（3）
时刻B 受到电场力与库仑力的合力与摩擦力大小相等，B 开始运动，
时
间内，A 受到向右大小为Eq 的电场力、向右的库仑力以及向左大小为2Eq 的摩擦力，
B 受到向左大小为Eq 的电场力、向左的库仑力以及向右大小为2Eq 的摩擦力，可知
A、B 组成的系统合外力为0，则由动量守恒定律有
解得
（4）根据题意，在
时刻A 的速度达到最大，此时A 的加速度为0，合外力为0，设
此时A、B 间的距离为
，则此时对A 有
其中
，
联立解得
19
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时间内，对A、B 组成的系统由动量守恒定律有
解得
由动能定理有
解得
17．（2024·黑龙江·三模）如图所示为某游乐场中一滑道游乐设施的模型简化图，倾斜
轨道AB 与半径R=0.5m 的圆形轨道相切于B 点，圆形轨道在最低点C 处略有错开。一
质量为m=1kg 的物块（可视为质点）从倾斜轨道AB 的顶端A 点由静止开始滑下，从B
点进入圆形轨道，并恰好通过轨道的最高点，接着进入水平轨道CD，然后滑上与D
点等高的质量为M=2kg 的滑槽，物块最终未离开滑槽。滑槽开始时静止在光滑水平地
面上，EF 部分长为
，FG 部分为半径r=0.1m 的四分之一圆弧轨道。已知物
块与斜面轨道AB 和水平轨道CD 间的动摩擦因数均为
，物块与滑槽EF 之间的
动摩擦因数
，其他接触面均光滑，水平轨道CD 长为
，OB 与OC
的夹角
，
，
，重力加速度g 取10
，不计空气阻力
以及轨道连接处的机械能损失。求：
（1）物块通过圆形轨道最低点C 处时，对轨道的压力大小；
（2）倾斜轨道AB 的长度
；
（3）若物块始终不脱离滑槽，则物块与滑槽EF 段的动摩擦因数
的范围。
20
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【答案】（1）60N；（2）
；（3）
【详解】（1）物体恰好通过轨道的最高点可得
从圆形轨道最高点到C 点，由动能定理可得
求得
在C 点由牛顿第二定律可得
得
根据牛顿第三定律，物块通过圆形轨道最低点C 处时，对轨道的压力
（2）从A 到C 应用动能定理可得
求得
（3）物体从C 到D，应用动能定理
求得
对物块与滑槽，滑块始终不脱离滑槽，最终二者共速，由水平方向动量守恒
21
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得
如果滑到最高点G，由能量守恒得
求得
如果滑到最高点G 又滑到E 处，由能量守恒得
求得
因此，若滑块始终不脱离滑槽，则对动摩擦因数的要求是
18．（2024·安徽·三模）如图所示，足够长粗糙斜面的倾角为37°，斜面顶端B 与一段
光滑的圆弧轨道AB 相切于B 点，圆弧AB 的轨道半径为
，对应的圆心角为
53°，在B 点放置一质量为3kg 的小物块乙，乙刚好不沿斜面下滑。某时刻把质量为
1kg 的小物块甲从A 点由静止释放，甲、乙在B 点发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰
后经过
的时间甲、乙又发生第二次碰撞。已知甲与斜面之间的动摩擦因数为0.5，
重力加速度g 取10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，
求：
（1）滑块甲与乙发生第一次碰撞前瞬间的速度大小；
（2）滑块甲、乙第一次碰撞过程乙对甲的冲量；
（3）滑块甲与乙发生第二次碰撞前甲、乙之间的最大距离。
22
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【答案】（1）
；（2）
，方向沿斜面向上；（3）
【详解】（1）设物块甲与乙第一次碰撞前瞬间的速度大小为
，根据几何关系，甲从
A 到B 竖直方向下落的距离
根据动能定理有
解得
（2）设第一次碰撞后瞬间物块甲、乙的速度分别为v1、v2，根据动量守恒定律与机械
能守恒定律有
解得
，
乙对甲的冲量等于甲动量的变化
方向沿斜面向上（无此描述亦不扣分）
（3）碰后甲以-3m/s 的速度反弹，设甲从B 点滑上圆弧再回到B 点的时间为t1，此时
甲、乙之间的距离最大在t1时间内乙以v2=3m/s 速度匀速运动的距离
23
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甲返回B 点后甲的加速度
设甲从返回B 点到追上乙的时间为t2，对于甲追乙的过程
根据题意
解得
，
第二次碰撞前甲、乙之间的最大距离
19．（2024·广西·三模）某激光制冷技术与下述力学缓冲模型类似。图甲中轻弹簧下端
固定在倾角为
的是够长光滑斜面底端，上端与质量为
的物块B 相连，B 处
于静止状态，此时弹簧压缩量为d；现将质量为m 下表面光滑的足够长的木板A 置于
B 的上方，A 的下端与B 相距25d；质量为2m 物块C 置于A 的上端，C 与A 之间动摩
擦因数为
，B、C 均视为质点。B 与斜面之间有智能涂层材料，仅可对B 施加大小
可调的阻力，当B 的速度为零时涂层对其不施加作用力。现将A 和C 由静止释放，之
后A 与B 发生正碰，碰撞时间极短，碰后B 向下运动2d 时速度减为零，此过程中B
受到涂层的阻力大小f 与下移距离x 之间的关系如图乙所示。已知重力加速度大小为
g，弹簧始终处于弹性限度内。
（1）求A、B 第一碰前瞬间A 的速度大小
；
（2）求A、B 在第一次碰撞过程中损失的机械能
；
（3）在B 第一次向下运动过程中，求B 与A 下端相距最远的距离
；
（4）若撤除弹簧，将B 锁定在原位置，更换B 与斜面间的智能涂层，仅B 受到涂层
的阻力，其大小
与下移距离x 之间的关系为
。在A 下端侧面粘有
一质量不计的橡皮泥，A、C 仍从原位置静止释放，A、B 碰撞前瞬间B 自动解除锁定，
24
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A、B 碰后一起运动，经时间
（已知）A、B 速度减为零立即被锁定，且C 与A、B
始终未达共速。求从A、B 碰后开始计时，在
时间内A、C 之间因摩摩擦产生的
热量是多少。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）木板A 下表面光滑，A 与B 第一次碰撞前，若A、C 一起向下加速，则
则此时C 与A 之间的摩擦力大小为
假设合理。对A 和C，由位移速度关系
解得A、B 第一碰撞前瞬间A 的速度大小为
（2）A、B 发生碰撞时，动量守恒
能量守恒
开始时，B 处于静止状态
B 与A 碰撞后，到速度减为零，由动能定理
解得
25
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解得A、B 第一次碰撞过程中损失的机械能
（3）由（2），A、B 第一次碰撞后，A 沿斜面向上运动，B 沿斜面向下运动，对A
A 减速到速度为零的时间
对B
由图可知
解得B 的加速度
沿斜面向上。B 减速到速度为零的时间
所以A 沿斜面向上减速到速度为零后再沿斜面向下加速，直到A、B 速度相等时，B
与A 下端相距最远，此时
解得
（4）A、B 碰撞后一起运动
26
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对AB 整体
解得A、B 碰撞后到速度减为零的位移
对AB 受力分析可得
则A、B 从碰撞开始到速度减为零的过程是以碰撞时的位置作为平衡位置作简谐运动，
类比弹簧振子
由题意可知，周期
在
时刻，A、B 的位移
此时对A、B
解得
对C
在
时刻，C 的速度大小
A、C 之间因摩擦产生的热量是
27
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20．（2024·安徽·三模）如图1 所示，小铁块位于长木板的最左端，小铁块的质量是
6kg，长木板的质量是12kg。
时二者以
的初速度一起向右运动，
时长木板与右侧的挡板（未画出）相碰（碰撞时间极短），碰撞之前的运动过程中小
铁块与长木板通过锁定装置锁定，碰撞前瞬间解除锁定，碰撞过程中没有能量损失，
长木板运动的部分
图像如图2 所示，在运动过程中小铁块恰好没有从长木板上滑
下。小铁块可视为质点，重力加速度g 取
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）长木板与水平地面之间以及小铁块与长木板之间的动摩擦因数；
（2）长木板的长度；
（3）长木板与挡板碰撞后系统产生的内能。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）设长木板与小铁块的质量分别为M、m，长木板与水平地面之间的动摩
擦因数为
，小铁块与长木板之间的动摩擦因数为
，由
图像可得，0~0.5s 时间
内长木板与小铁块整体的加速度大小为
对此过程由牛顿第二定律得
解得
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0.5s 时刻之后，长木板向左做匀减速直线运动，小铁块向右做匀减速直线运动。由v-t
图像可得，0.5s 之后长木板的加速度大小为
对长木板由牛顿第二定律得
解得
（2）由牛顿第二定律可得，0.5s 时刻之后小铁块的加速度大小为
0.5s 时刻之后，长木板与小铁块均以
的速度大小分别向左、向右做匀减速直
线运动，因
，故长木板先于小铁块速度减小到零，设此过程长木板的位移大小
为
，则有
代入数据解得
长木板速度减小到零后，因小铁块与长木板之间的滑动摩擦力小于长木板与水平地面
之间的最大静摩擦力，故长木板处于静止状态，小铁块仍向右做匀减速直线运动直到
速度为零，设0.5s 时刻之后，小铁块向右做匀减速直线运动直到速度为零的位移大小
为
，则有
代入数据解得
设长木板的长度为L，长木板的长度等于0.5s 时刻之后小铁块与长木板的相对位移大
小，则有
29
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（3）设碰撞后小铁块与长木板相对滑动产生的内能为
，长木板与地面间相对滑动产
生的内能为
，则有
故长木板与挡板碰撞后系统产生的内能
21．（2024·广西桂林·三模）如图所示水平导轨
和
分别与水平传送带左侧和右
侧理想连接，竖直
圆形轨道与
相切于
。已知传送带长
，且沿顺时针方
向以恒定速率
匀速转动，滑块C 以速度
滑上传送带时，恰好停在
点。
滑块C 与传送带及
之间的动摩擦因数均为
，装置其余部分均可视为光滑，
滑块大小不计，重力加速度
取
。（结果可带根号）
（1）求C 以速度2.0m/s 刚滑上传送带时的加速度大小；
（2）求
、
的距离；
（3）
圆轨道半径
，若要使C 滑过
点但不脱离
圆轨道，求C 滑上传送
带时速度的范围。
【答案】(1)
；(2)2.25m；(3)
【详解】(1)由牛顿第二定律可知
得
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(2)设
滑上传送带后一直加速，则根据运动学公式可知
解得
所以
在传送带上一定先加速后匀速，滑上
的速度
又因为恰好停在
点，则有
解得
(3)要使
不脱离轨道，最多恰能到达圆心等高处，则得
段为
解得
滑块
到
点速度超过
时最终可滑过
后，此时滑块在传送带上一直减速，则
的初速度范围是
22．（2024·江西南昌·三模）如图，左侧光滑曲面轨道与右侧倾角
的斜面在底
部平滑连接且均固定在光滑水平地面上，质量为m 的小滑块A 从斜面上离斜面底边高
为
处由静止释放，经过斜面与水平面交接处时无机械能损失，在水平面与一质量为
m 的静止小滑块B 发生正碰结合为一个整体（A、B 完全相同），一起滑上左侧曲面轨
道，再从曲面轨道滑上斜面，滑块第一次沿斜面上滑的最大高度为
，多次往复运
动。不计空气阻力，重力加速度为g，
，
。求：
（1）滑块与斜面间的动摩擦因数
；
31
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（2）滑块第1 次滑下斜面的时间
与第1 次滑上斜面的时间
之比；
（3）滑块最终静止，整个系统由于摩擦产生的热量Q。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当滑块由斜面滑到水平面时，由机械能守恒得
两物体碰撞后，由动量守恒定律得
当再次滑上斜面时，由机械能守恒定律得
联立解得
，
，
（2）当滑块A 从斜面上滑下时，由牛顿第二定律得
又
当两滑块滑上斜面时，由牛顿第二定律得
又
联立可得
（3）由能量守恒可得
32
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联立解得滑块最终静止，整个系统由于摩擦产生的热量为
23．（2024·安徽·三模）如图所示，竖直平面内半径为R＝4.9m 的光滑圆弧轨道AB 的
圆心为O，圆心角
，最低点B 与长L＝4m 的水平传送带平滑连接，传送带
以v＝4m/s 的速率顺时针匀速转动。传送带的右端与光滑水平地面平滑连接，水平地
面上等间距静置着2024 个质量为
的小球。一质量
的物块M 从A 点由
静止释放，物块M 与传送带间的动摩擦因数
，重力加速度
，物块M
与小球、小球与小球之间均发生弹性正碰，求：
（1）物块M 到B 点时对轨道的压力大小；
（2）物块M 与小球①第一次碰后瞬间两者的速度大小；
（3）从物块M 开始运动，到最终所有物体都达到稳定状态时物块与皮带间因摩擦产
生的热量。
【答案】（1）20N；（2）-2m/s，2m/s；（3）36.5J
【详解】（1）物块M 从A 到B，由动能定理得
解得
由牛顿第三定律得物块M 在B 点时对轨道压力
，大小为20N。
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（2）设物块M 与小球①碰前速度为
，碰后两者速度分别为
，
，对物块M 从B
到与传递带共速时
得
故物块M 与传递带共速，到C 点时物块速度
，由动量守恒与能量守恒得
解得
（3）小球①以速度
与小球②相碰，碰后两者速度交换，依此类推最终第2024 个小
球以
向右匀速直线运动，物块M 与小球①碰后以
冲上传送带，在传送带上减速位
移x1，故物块M 再次回到C 点时速度大小为
，之后与小球①再次弹性碰撞
联立解得
依此类推，小物块M 每次与小球①碰后速度大小碱为碰前的一半，经过n 次碰撞后，
物块M 的速度为
物块每次以
冲上传送带再回到C 点，与传送带相对路程
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此过程摩擦生热
物块M 第一次在传送带上运动过程中与传送带相对路程
全程摩擦生热
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