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突破三、追及相遇模型
运动图像模型
运动图像模型是运动学中的一种常见模型，高考中常结合运动学图像，特别是vt 图像，对该模型进行考
查，多以选择题的形式出现。
【例题】甲乙两物体在同一直线上运动，位移-时间（x-t）图象如图所示，以甲的出发点为坐标原点，出
发时刻为计时起点，则从图象可以看出，下列说的话不正确的是（ ）
A．甲乙同时计时
B．从开始计时到相遇，甲的速度始终比乙的速度大
C．甲计时开始运动时，乙在甲前面
处
D．甲在中途停了一会儿，但最后还是追上了乙
【答案】B
【详解】试题分析：由图象可知开始运动时甲的出发点在坐标原点，而乙物体在出发时离坐标原点的距离
为x0，故甲开始运动时，乙在甲前面
处，甲乙都是从t=0 时刻开始运动的，AC 正确；图像的斜率表示速
度，在
时，两者相遇，此时甲的速度大于乙的速度，但是在
时间内甲静止，小于乙的速度，B
错误；由于甲物体在
时间内甲物体的位移未变，即甲在中途停了一会儿，在
时刻甲乙两物体的位置
相同，即甲追上了乙，故D 正确．
【总结归纳】
(1)识图像：在解决此类问题时，首先要对给出的运动图像进行识别，识别时要特别注意图像的截距、交
1
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点、拐点、面积、斜率等所表示的物理意义。
(2)画草图：根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
(3)找关系：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的三个关系：①时间关系；②位移关系；③速度
关系。
(4)列方程：根据找出的三个关系，列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
【分类训练】
类型1 xt 图像中的追及相遇问题
1．龟兔赛跑的故事告诉我们做人不能骄傲，做事要坚持不懈。设乌龟与兔子在同一直线上运动，且兔子
在比赛途中睡了一觉，作出它们的位移（x）
时间（t）图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图线甲表示的是乌龟的运动
B．兔子先跑到终点
C．两图线的交点表示乌龟与兔子相遇
D．乌龟一直在追兔子
【答案】C
【详解】A．由题意可知，图线甲表示的是兔子的运动，故A 错误；
B．由题可知，乌龟先跑道终点，故B 错误；
C．
图像的交点表示在同一位置，所以两图线的交点表示乌龟与兔子相遇，故C 正确；
D．由图可知，乌龟先追兔子，在某时刻后，兔子追乌龟，故D 错误。
故选C。
类型2 vt 图像中的追及相遇问题
2．甲、乙两汽车沿同一平直公路同向行驶的v-t 图像如图所示，t=10s 时两车恰好相遇，下列说法中正确的
是（ ）
A．甲车的加速度大小为0.5m/s2
B．t=0 时，乙在甲车前方5m 处
2
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C．t=0 时，甲在乙前方75m 处
D．甲追乙时，追上前甲、乙的最大距离为100m
【答案】C
【详解】A．甲车
的加速度大小为
甲车
的加速度大小为
故A 错误；
BC．t=10s 时甲车的位移为
t=10s 时乙车的位移为
可知t=0 时，甲在乙前方
故B 错误，C 正确；
D．甲追乙时，甲、乙速度相等时距离最大，为
时刻，追上前甲、乙的最大距离为
故D 错误。
故选C。
交通实际模型
交通实际模型是以交通运动的真实情境为背景，解决交通运动中的追及相遇及避碰问题，在高考中常以选
择题或计算题的形式出现。
【例题】有些国家的交通管理部门为了交通安全，特别制定了死亡加速度为500 g（g＝10 m/s2），以醒世
人，意思是如果行车加速度超过此值，将有生命危险，那么大的加速度，一般情况下车辆是达不到的，但
如果发生交通事故时，将会达到这一数值。试问：
（1）一辆以72km/h 的速度行驶的货车与一辆以54km/h 行驶的摩托车相向而行发生碰撞，碰撞时间为
2.1×10－3s，摩托车驾驶员是否有生命危险？
3
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（2）为了防止碰撞，两车的驾驶员同时紧急刹车，货车、摩托车急刹车后到完全静止所需时间分别为
4s、3s，货车的加速度与摩托车的加速度大小之比为多少？
（3）为避免碰撞，开始刹车时，两车距离至少为多少？
【答案】（1）有生命危险；（2）1 1∶；（3）62.5 m
【详解】（1）摩托车与货车相撞瞬间，货车的速度几乎不变，摩托车的速度反向，大小与货车速度相
同，因此，摩托车速度的变化
Δv＝72 km/h－（－54 km/h）＝126 km/h＝35 m/s
所以摩托车的加速度大小
a＝
＝
m/s2＝16 667 m/s2＝1 666.7g>500g
因此摩托车驾驶员有生命危险。
（2）设货车、摩托车的加速度大小分别为a1、a2，根据加速度定义得
a1＝
a2＝
所以
a1∶a2＝
∶
＝
∶
＝1 1∶
（3）两车距离至少为
x＝x1＋x2＝
t1＋
t2＝62.5 m
【例题】雾霾天气会使路交通环境也受到一定的影响．某日雾霾天气，路上能见度(观察者与能看见的最远
目标间的距离)为60m，一汽车在平直公路上以v0＝72 km/h 的速度行驶，该司机的反应时间Δt＝0.6 s，汽
车刹车时能产生的最大加速度a＝4 m/s2.
(1)汽车在司机反应时间Δt 内行驶多长距离？
(2)请根据以上数据分析，一旦在能见度处出现障碍物，汽车能否避免与障碍物碰撞．
【答案】（1）12 m（2）汽车会与障碍物碰撞
【详解】(1)汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s；在反应时间Δt 内，汽车仍做匀速运动，故前进的距离
s＝v0·Δt＝20×0.6 m＝12 m.
(2)设从刹车到静止，汽车前进的位移为x，则
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0－v0
2＝－2ax
解得
x＝
＝50 m
由于s＋x＝62 m>60 m ，所以在能见度处出现障碍物时，汽车会与障碍物碰撞．
抛体运动模型
抛体运动模型是指多个做平抛、竖直上抛或自由落体运动的物体，在空中相遇的问题，能很好地考查学生
的理解能力和综合分析能力，在高考中多以选择题的形式出现。
【例题】在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A 和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻
力，两球在空中P 点相遇，则（ ）
A．应先抛出A 球
B．应先抛出B 球
C．相遇时A 球速率小于B 球速率
D．抛出时A 球的初速度大于B 球的初速度
【答案】D
【详解】AB．由于相遇时A、B 做平抛运动的竖直位移h 相同，由
可知两球下落时间相同，两球应同时抛出，故AB 错误；
CD．根据以上分析A、B 做平抛运动的时间相同，但
xA > xB
由于水平方向做匀速直线运动，则
vAx > vBx
相遇时
则相遇时A 球速率大于B 球速率，故C 错误、故D 正确。
故选D。
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【总结归纳】
对于抛体运动中的相遇问题，一般是从相遇点出发，抓住两物体相遇时一定同时到达相遇点这一条件，再
利用抛体运动的规律进行求解。常见解法如下：
(1)找关系：根据两物体的相遇点，寻找两物体相遇时的时间关系、位移(水平位移和竖直位移)关系、速度
关系，以及两物体在初始时刻的位置关系等。
(2)用规律：依据抛体运动的基本规律(位移规律、速度规律等)，列方程求解。
【分类训练】
类型1 平抛运动与自由落体运动以及上抛运动的相遇问题
1．如图所示，将小球A 从P 点以速度
水平抛出，同时将小球B 从水平地面上的Q 点以速度
竖直上
抛，A、B 两个小球在同一竖直平面内运动，且在Q 点正上方的某一位置相遇。已知P 点到水平地面的高
度为H，P、Q 两点的水平距离为x，A、B 两个小球可视为质点，空气阻力可忽略不计。则下列说法中正
确的是（ ）
A．A、B 两个小球相遇时，B 小球一定处于上升过程中
B．只改变小球A 的水平速度
，A、B 两个小球依旧能在Q 点正上方相遇
C．A、B 两个小球初速度必须满足
D．A、B 两个小球从抛出到相遇的过程中，两球的速度变化量不相等
【答案】C
【详解】C．小球A 做平抛运动
若与B 相遇时下落的高度为h，则
小球B 做竖直上抛运动
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联立以上式子可得
故C 正确。
A．A、B 两个小球在B 上升、下降过程中或B 到达最高点均有可能相遇，故A 错误。
B．若只改变小球A 的水平速度
，不再满足
A、B 两个小球不可能在Q 点正上方相遇，故B 错误。
D．A、B 两个小球从抛出到相遇过程中，加速度均为重力加速度g，运动时间t 相等，故速度的变化量
也相同，故D 错误。
故选C。
类型2 反向平抛的两球空中相遇问题
2．如图所示，A、B 两小球从相同高度同时水平相向抛出，经过时间t 在空中相遇。若两球的抛出速度都
变为原来的3 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（ ）
A．3t
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动，则相遇时在水平方向上有
解得
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故选C。
天体运动模型
天体运动模型即天体运动中的追及相遇问题，通常是指天体分别在各自的圆轨道上围绕同一中心天体做圆
周运动时，相距最近或最远的问题，多以选择题的形式出现。
【例题】如图所示为三颗卫星a、b、c 绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中b、c 是地球同
步卫星，a 在半径为r 的轨道上，此时a、b 恰好相距最近，已知地球质量为M，地球自转的角速度为
，
引力常量为G，则（ ）
A．卫星a、c 与地心的连线单位时间扫过的面积相等
B．卫星c 加速一段时间后就可能追上卫星b
C．到卫星a 和b 下一次相距最近，还需经过时间
D．若已知近地卫星的周期为T，则可计算得出地球的平均密度
【答案】CD
【详解】A．根据开普勒第二定律，同一轨道上的行星在相同时间内，与中心天体的连线扫过的面积相
等，而卫星
、在不同轨道，根据扇形面积的计算公式有
因
，则卫星a 与地心的连线单位时间扫过的面积小，故A 错误；
B．根据万有引力充当向心力有
可得
可知在同一圆形轨道绕中心天体做圆周运动，其线速度大小相同，即卫星b、c 线速度大小相同，在同一轨
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道上将稳定运行，若卫星c 加速，则卫星c 将向高轨道变轨，不可能追上b，故B 错误；
C．根据万有引力充当向心力有
可得卫星a 的角速度为
而
，设卫星
和
下一次相距最近的时间为，则应满足
解得
故C 正确；
D．根据
可知，若要得到地球的平均密度，则必须知道地球的半径，而近地卫星的轨道半径近似等于地球的半径，
由万有引力充当有
联立可得
故D 正确。
故选CD。
【总结归纳】
天体运动中的“追及相遇”问题可以分为同向追赶和反向追赶两种情况，解决这类问题要抓住“两个天体
运动角度”之间的关系：
(1)从某次“最近(远)”到下一次“最近(远)”，若同向追赶，两个天体转动的角度差等于2π；若反向追赶，
两个天体转动的角度和等于2π。
(2)从某次“最近(远)”到下一次“最远(近)”，若同向追赶，两个天体转动的角度差等于π；若反向追赶，两
个天体转动的角度和等于π。
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【分类训练】
类型1 行星相遇问题
1．人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动，卫星乙是地球同步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂
直，乙的轨道半径是甲轨道半径的
倍，某时刻两卫星和地心在同一直线上，且乙在甲的正上方（称为
相遇），如图所示。在这以后，甲运动8 周的时间内，它们相遇了（ ）
A．4 次
B．3 次
C．2 次
D．1 次
【答案】B
【详解】由于两卫星只能在图示位置或由图示位置转过半圈的位置才能相遇，故由
知T 乙＝5T 甲，当乙运动0.5 圈、1 圈、1.5 圈时，甲刚好运动了2.5 圈、5 圈、7.5 圈，即甲运动8 圈时间内
二者相遇3 次。
故选B。
类型2 卫星与赤道上物体相遇问题
2．2020 年6 月23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空。至此，北斗三号全
球卫星导航系统星座部署已全面完成。如图是北斗卫星导航系统中的三个轨道示意图。轨道A 为地球赤道
同步卫星轨道，轨道B 为倾斜同步卫星轨道。轨道C 为一颗中地球轨道卫星，D 为赤道上某个建筑物（图
中未画出）。下列说法正确的是（ ）
A．若轨道A 上的卫星某时刻与轨道B 上的卫星正好同时到达D 的正上方，则以后每隔相同时间这两个
卫星都会相遇在该建筑物D 正上方
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B．轨道BC 上的卫星及建筑物D 的速度大小关系为：vB<vC<vD
C．发射卫星B 比发射卫星C 更加容易
D．建筑物D 的向心加速度一定小于地面的重力加速度。
【答案】AD
【详解】A．A、B、D 的转动周期都等于地球自转周期，则隔相等时间三者仍然会回到同一直线上，故A
正确；
B．B、D 周期相等，角速度相等，轨道半径大的速度大，则vB>vD，故B 错误；
C．轨道高度越大，需要的发射速度就越大，所以发射C 更容易，故C 错误；
D．赤道表面的物体随地球自转的向心加速度一定小于地球表面的重力加速度，故D 正确。
故选AD。
一、单选题
1．如图所示，两玩具枪的枪口水平正对，A、B 两小球以相同大小的速度同时被水平射出，经过时间t 在
空中相遇。若调节两玩具枪使两球射出枪口的速度都减为原来的一半，则两球从射出到相遇经过的时间为
（ ）
A．t
B．
C．2t
D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，A、B 两小球在水平方向上始终做匀速直线运动，则有
若调节两玩具枪使两球射出枪口的速度都减为原来的一半，则时间变为
。
故选C。
2．从地面以初速度 v0竖直向上抛出一小球A，与此同时，在该小球上抛能到达的最高处有另外一个小球
B 以初速度 2v0竖直向下抛出。忽略空气阻力，则两球相遇时的速度之比 vA：vB为（ ）
A．1：2
B．5：9
C．3：5
D．5：13
【答案】D
【详解】小球A 能达到的最大高度为
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两球相遇时有
解得
两球相遇时的速度之比
故选D。
3．如图所示的三条直线a、b、c 描述了A、B、C 三个物体的运动。则以下说法正确是（ ）
A．A、B 两物体同向行驶，C 物体与A、B 两物体反向
B．图线a、b 交点表示该时刻A、B 相遇
C．A、B、C 三个物体中C 物体的加速度最大
D．A、B 两物体做匀加速运动，C 物体做匀减速运动
【答案】D
【详解】A．A、B、C 三个物体的速度均为正值，可知三个物体同向行驶，选项A 错误；
B．图线a、b 交点表示该时刻A、B 两物体速度相等，但是不一定相遇，选项B 错误；
C．图像的斜率表示速度的大小，可知A、B、C 三个物体中A 物体的加速度最大，选项C 错误；
D．由图像可知，A、B 两物体做匀加速运动，C 物体做匀减速运动，选项D 正确。
故选D。
4．神舟十四号载人飞船采用自主快速交会对接模式，经过6 次自主变轨，于北京时间2022 年6 月5 日17
时42 分，成功对接于核心舱径向端口，对接过程历时约7 小时。若某载人飞船沿圆轨道Ⅰ做匀速圆周运
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动，轨道半径为r，空间站沿圆轨道Ⅱ做匀速圆周运动，轨道半径为R，载人飞船和空间站运动方向相同。
载人飞船运动到轨道Ⅰ的位置A 时，加速变轨到椭圆轨道，此时空间站在轨道Ⅱ的位置B，
，
当载人飞船第一次运动至远地点时恰好与空间站相遇，再次加速变轨实现对接，此过程中，空间站转过的
角度小于
。则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律得
整理得
飞船从近地点第一次到达远地点所用的时间为
在这段时间，空间站运行的角度为
整理得
故选B。
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5．如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的
倍。
将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球
运动15 圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”（ ）
A．1 次
B．2 次
C．3 次
D．4 次
【答案】D
【详解】根据开普勒第三定律有
解得
从图示时刻开始，乙转动半圈，甲转动3.5 圈，“相遇”一次，此后乙每转动半圈，两个卫星就“相遇”
一次，则甲运动15 圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”4 次。
故选D。
6．甲、乙两辆摩托车（可视为质点）从同一位置开始沿平直公路同向行驶，两车在0~12s 时间内的
图
像如图所示，关于这段时间内两车的运动状况，下列说法正确的是（ ）
A．t=3s 时，甲、乙两车相距最远
B．t=6s 时两车间距离小于t=12s 时两车间距离
C．甲、乙两车的最大距离为18m
D．甲、乙两车在
时相遇
【答案】D
【详解】ABC．由题图可知两车运动方向一直相同，前6s 内甲的速度大于乙的速度，6s～12s 内乙的速度
大于甲的速度，根据
t 图像与坐标轴所围的面积表示位移，可知
时甲车在前，两车间最大距离为
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9m；
时乙车在前，两车间最大距离也是9m，故ABC 错误；
D．由两图线与坐标轴所围面积相等，可解得
故D 正确。
故选D。
7．某平直公路上甲、乙两汽车同向行驶，某时刻开始计时，乙车在前，甲车在后，t=2s 时，甲车还在乙
车后方5 米。根据图像提供的信息可知（ ）
A．在t=0 时刻，甲车距离乙车2.5 米
B．在t=3s 时刻，甲车已经追上乙车
C．在4～6s 内，甲车和乙车相遇
D．在0～8s 内，甲车和乙车平均速度相同
【答案】D
【详解】A．由图可知甲车的初速度
甲车
的位移大小为
乙车
的位移大小为
在t=0 时刻，甲车距离乙车的距离为
故A 错误；
B．在
内甲车的位移大小为
在
内乙车的位移大小为
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在t=3s 时刻，两车间的距离
所以在t=3s 时刻，甲车在乙车后面1.875m 处，故B 错误；
C．在
图像与坐标轴围成的面积表示位移，
内甲车的位移比乙车大
说明在4s 时甲车超过乙车；在
内甲车的位移大小为
在
内乙车的位移大小为
则
说明甲车在4s 后尽管做减速运动但到6s 时依然在乙车的前面，故在4～6s 内，甲车和乙车没有相遇，故C
错误；
D．在0～8s 内，甲车的平均速度大小
在0～8s 内，乙车做匀速直线运动，平均速度大小
在0～8s 内，甲、乙两汽车同向行驶，平均速度大小相等、方向相同，所以甲车和乙车平均速度相同，故
D 正确。
故选D。
8．甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，其x-t 图像如图所示，已知甲车做匀变速直线运动，其余数据已
在图中标出。根据图中数据可知（ ）
A．t=2s 时刻，甲乙两车速度大小相等
B．t=2s 时刻，甲乙两车相遇
C．0~2s 内，甲车位移等于乙车位移
D．相遇之前，t=ls 时两车相距最远
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【答案】B
【详解】A．
图象的斜率表示速度，可知t=2s 时刻，甲车的速度比乙车大，故A 错误；
B．t=2s 时刻，甲乙两车相遇，故B 正确；
C．0~2s 内，甲车位移的位移为
0~2s 内，乙车位移的位移为
故0~2s 内，甲车位移大于乙车位移，故C 错误；
D．设甲的位移表达式为
将（0，
）（1,0）（2,6）代入
可得
，
，
乙的速度为
两车速度相同时，两车相距最远，运动至两车相距最远的时间为
故D 错误。
故选B。
9．A、B 两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示，A 物体做匀速直线运
动，速度大小为
，B 物体的速度与位移关系图像为过原点开口向右的抛物线。两图像交点坐标为（
），下列说法正确的是（ ）
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A．B 物体做加速度减小的加速运动
B．A、B 两物体在距坐标原点
处相遇
C．B 物体在
处的加速度
D．A、B 两物体再次相遇时B 物体的速度大小为
【答案】D
【详解】AC．根据公式
可得
由于B 物体的速度与位移关系图像为过原点开口向右的抛物线，可知，
不变，则B 物体做匀加速直线运
动，B 物体在
处的加速度为
故AC 错误；
BD．A、B 两物体相遇时，有
解得
则A、B 两物体相遇处距坐标原点的距离为
A、B 两物体再次相遇时B 物体的速度大小为
故B 错误，D 正确。
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故选D。
10．甲、乙两同学完成一娱乐性比赛，比赛时由同一点
分别斜抛出一小球，要求小球刚好不与天花板发
生碰撞，且落地点距离抛出点远者获胜，如图所示，乙最终胜出。忽略空气阻力，则下列说法正确的是（
）
A．甲抛出的球在空中运动的时间较长
B．两球在天花板处的速度可能相等
C．乙抛出的球的初速度一定较大
D．若两球同时抛出，则它们一定在空中相遇
【答案】C
【详解】A．两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，两球上升
和下落的时间相等，令高度为h，则有
解得
可知两球运动的时间相等，故A 错误；
BC．两球在水平方向做匀速直线运动，根据
可知乙球的水平位移大，所以乙抛出的球的初速度一定较大，在最高点竖直速度为零，只剩水平方向速
度，所以乙球在天花板处的速度大，故B 错误，C 正确；
D．在相同时间两球所在的高度相同，而水平位移不同，所以若两球同时抛出，则它们不能在空中相遇，
故D 错误。
故选C。
二、多选题
11．如图所示，两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2 分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半
径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B 两点。某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法中正确
的是（ ）
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A．两卫星在图示位置的速度
B．两卫星不可能相遇
C．两卫星在A 处的加速度大小不相等
D．卫星2 的周期小于卫星1 的周期
【答案】AB
【详解】A．由万有引力定律可知，卫星1
卫星2
由此可知
A 正确；
C．两卫星在A 处的加速度相等
C 错误；
BD．根据开普勒第三定律可知卫星2 的周期等于卫星1 的周期，两卫星不可能相遇，B 正确，D 错误。
故选AB。
12．如图所示是A、B 两物体的速度时间图像，则下列说法错误的是（ ）
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A．若A、B 两物体0 时刻从同一位置开始运动，则以后它们一定能相遇
B．若0 时刻A 在B 的前方某一位置，则以后它们一定不能相遇
C．若0 时刻B 在A 的前面且两者相距60m，则以后它们一定能相遇两次
D．若0 时刻B 在A 的前面且两者相距30m，则以后它们一定能相遇三次
【答案】AC
【详解】A．由于A 的速度较大，故应该是B 追A，面积表示位移，t=10s 时A 的位移为
B 的位移为
若A、B 两物体0 时刻从同一位置开始运动，由于10s 时A 的位移大于B 的位移，所以A、B 一定不能相
遇，故A 错误，符合题意；
B．若0 时刻A 在B 的前方某一位置，A 的位移一直大于B 的位移，所以A、B 一定不能相遇，故B 正
确，不符合题意；
C．若0 时刻B 在A 的前面且两者相距60m，由A 分析知，10s 时A 比B 多走25m，没有追上B，之后B
的速度小于A，故一定能够追及B，并且相遇一次，故C 错误，符合题意；
D．若0 时刻B 在A 的前面且两者相距30m，在前5s 内A 的位移为
而B 的位移为
故A 会超过B 一次，超出的位移为
从5s 到10s 内，B 的位移比A 的位移多
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故此时间内B 会在超过A 前面5m，此后B 速度减小，A 速度大，故A 会再次超过B，故它们一定能相遇
三次，故D 正确，不符合题意。
故选AC。
13．我国首次火星探测任务“天问一号”探测器，是应用长征五号运载火箭送入地火转移轨道。火星距离
地球最远时有4 亿公里，最近时大约0.55 亿公里。由于距离遥远，地球与火星之间的信号传输会有长时间
的时延。当火星离我们最远时，从地球发出一个指令，约22 分钟才能到达火星。为了节省燃料，我们要等
火星与地球之间相对位置合适的时候发射探测器。受天体运行规律的影响，这样的发射机会很少。为简化
计算，已知火星的公转周期约是地球公转周期的1.9 倍，认为地球和火星在同一平面内、沿同一方向绕太
阳做匀速圆周运动，如图所示。根据上述材料，结合所学知识，判断下列说法正确的是（ ）
A．地球的公转线速度大于火星的公转线速度
B．当火星离地球最近时，地球上发出的指令需要约13 分钟到达火星
C．若火星运动到B 点、地球恰好在A 点时发射探测器，则探测器沿椭圆轨道运动到C 点时，恰好与
火星相遇
D．下一个发射时机需要再等约2.1 年
【答案】AD
【详解】A．设太阳质量为
，行星质量为
，轨道半径为，根据
解得行星的公转速度
由于地球的轨道半径小于火星的轨道半径，可知地球的公转线速度大于火星的公转线速度，A 正确；
B．当火星离地球最近时，地球上发出的指令到达火星的时间
分钟
B 错误；
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C．根据开普勒第三定律有
由于探测器轨道的半长轴小于火星轨道的半径，可知
则如果火星运动到B 点、地球恰好在A 点时发射探测器，那么探测器将沿轨迹AC 先运动到C 点，此时火
星还没有达到C 点，两者并不能恰好在C 点相遇，C 错误；
D．根据题意，两者相距最近时，恰好是一次发射机会，设到达下一次机会的时间为
，则有
结合题中数值，解得
年
D 正确。
故选AD。
14．两位同学为了对比两辆玩具小炏车的性能，选取了一条水平直赛道。将甲、乙两辆玩具小汽车（可视
为质点）前后放䈯，甲在乙后方
处，让两辆玩具小汽车同时沿同一方向做直线运动，两辆汽车达到各
自的最大速度后做分速运动，两辆小汽车的
图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．在加速过程中，甲车的加速度比乙车的加速度小
B．在
时，甲、乙两车速度相等
C．在
时，甲、乙两车相遇
D．在甲车追上乙车之前，甲、乙之间的最大距离为
【答案】BCD
【详解】A．在加速过程中，根据速度
位移公式，由图可得
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A 错误；
B．根据
图像，画出甲乙辆车的
图像，如图所示
B 正确；
D．
时，甲、乙两车速度相等，在此之前甲车速度小于乙车速度，所以此时辆车相距最远，最远距离
D 正确；
C．由
图像可知，
时两车相距为
，此时甲车未追上乙车，根据两车的速度关系，甲车追上乙车应
该是在
时，C 正确。
故选BCD。
三、解答题
15．一个小球a 从离地面高
处由静止下落，忽略空气阻力，取重力加速度
。求：
（1）小球在空中运动的时间和落地前
内的位移大小；
（2）在小球a 下落的同时，其正下方有另一个小球b 以初速度v 竖直上抛，若两个小球能在空中相遇，则
v 需要满足的条件。
【答案】（1）15m；（2）
【详解】（1）设小球在空中运动的时间为t，则
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解得
第
内的位移
解得
最后
内的位移
（2）两个小球相遇的时间为t，a 球的位移为
b 球的位移
空间关系满足
时间关系满足
解得
16．星际探测是现代航天科技发展的重要课题，我国将发射探测器进行星际探测，如图，某探测器从空间
的O 点沿直线ON 从静止开始以加速度a 做匀加速直线运动，两个月后与地球相遇于P 点，再经两个月与
地球相遇于Q 点，已知引力常量G，地球公转周期为T（12 个月），忽略所有天体对探测器的影响，把地
球绕太阳的运动看做匀速圆周运动，根据上述信息，估算出：
（1）OP 之间的距离L；
（2）太阳的质量M（答案用题中给出的已知量代号和数据表示）
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）探测器在OP 之间运动时间等于
，OP 之间的距离
（2）根据题意，圆弧PQ 所对的圆心角为
，PQ 两点之间的距离等于地球和太阳之间的距离r，探测器
在PQ 之间运动时间等于
，探测器运动到P 点时的速度为
由匀变速直线运动规律可得
联立解得
地球绕太阳运动，万有引力提供向心力
联立解得太阳的质量
17．如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图中A 车车长 LA=4m，B 车车长 LB=6m，两车车
头相距L=26m 时，B 车正以vB=10m/s 的速度匀速行驶，A 车正以vA=15m/s 的速度借道超车，此时A 车司
机发现前方不远处有一辆汽车C 正好迎面驶来，其速度为
，C 车和B 车车头之间相距d=94m，现
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在A 车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B 相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B 与C
相遇之前超过B 车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。
（1）若A 车选择放弃超车，回到B 车所在车道，则A 车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免
与B 车相撞；
（2）若A 车选择加速超车，求A 车能够安全超车的加速度至少多大；
（3）若A 车选择超车，但因某种原因并未加速，C 车司机在图示位置做出反应（不计反应时间），则C
车减速的加速度至少多大才能保证A 车安全超车。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）若A 车选择放弃超车， 回到B 车所在车道，根据动力学公式有
解得A 车的最小加速度为
（2）A 车加速超车最长时间为
A 车安全超车，根据动力学公式有
解得A 车能够安全超车的加速度至少为
（3）C 车做减速运动最长时间为
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A 车安全超车，根据动力学公式有
解得C 车减速的最小加速度为
18．蓝牙（Bluetooth）是一种无线技术标准，可实现固定设备、移动设备和楼宇个人域网之间的短距离数
据交换（使用2.4～2.485GHz 的ISM 波段的UHF 无线电波）。现有两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车
甲、乙进行实验：甲、乙两车开始时处于同一直线上相距d=7m 的
、
两点，甲车从
点以初速度
m/s、加速度
向右做匀加速运动，乙车从
点由静开始以加速度
向右做匀加速
运动，已知当两车间距超过
m 时，两车无法实现通信，忽略信号传递的时间。
（1）求甲、乙两车在相遇前的最大距离；
（2）求甲、乙两车在相遇前能保持通信的时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设经过时间
两车速度相等，则有
当两车速度相等时相距最大，最大距离为
由运动学公式有
，
联立以上各式解得
（2）设经过时间
乙车追上甲车，则有
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即
解得
设经过时间t 两车间距等于
，则有
即
解得
，
即中间无法通信的时间为
所以能保持通信的时间为
19．甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动。两车速度的平方
随位移x 的变化图像如图所
示，求：
（1）甲、乙两车的加速度大小分别是多少？
（2）甲、乙两车经过多长时间再次相遇？
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）根据题意，由匀变速直线运动的位移与速度关系可得
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结合图像可得
即甲的加速度大小为
，乙的加速度大小为
。
（2）分析可知，甲车做初速度为
，加速度大小为
的匀减速直线运动；乙车做初速度为零的匀加
速直线运动。由公式
可得，甲车做匀减速运动的时间
则在
内，甲车的位移
乙车的位移为
即甲车停下时乙车还没有追上，则甲乙相遇时满足
解得
20．甲乙两质点在同一直线上同向运动，t=0 时刻，质点甲在质点乙前方。两质点各自运动的
（v 为
各自的速度，x 为各自的位移）图像如图所示，求：
（1）质点乙的速度随时间变化的关系式；
（2）若两质点运动过程中不相遇，则t=0 时刻二者的距离至少是多少；
（3）若两质点在t=0 时相距4.5m，则以后二者在哪些时刻可以相遇。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
和
【详解】（1）对乙，由匀变速直线运动速度与位移关系可得
得
将（0，64）及（10，44）代入可得
所以质点乙的速度随时间变化的关系式为
（2）由（1）中原理可得，甲质点的速度随时间变化的关系为
二者共速时相距最近，令
解得
此时二者的速度为
从初始到共速的过程中质点甲的位移为
过程中质点乙的位移为
若距离最近时刚好不相碰，则t=0 时刻二者的距离至少是
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（3）相遇时二者的位移关系为
即
解得
或
质点乙的速度减为零所需要的时间为
所以，后面二者可以相遇的时刻为
和
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