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14 交变电流
[-考点-02-] 交变电流“四值”的理解和计算
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
Em＝NBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
平均值
交变电流图像中图线与
时间轴所围的面积与时
间的比值
＝N
＝
计算通过导线横截面的电荷量
有效值
跟交变电流的热效应等
效的恒定电流的值
E＝
U＝
I＝
适用于正(余)弦
式交变电流
(1)交流电流表、交流电压表的
示数
(2)电气设备“铭牌”上所标的
值(如额定电压、额定电流等)
(3)计算与电流的热效应有关的
量(如电功、电功率、电热、保
险丝的熔断电流等)
(4)没有特别加以说明的
1．计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产
生“相同热量”，先分段计算热量，求和得出一个周期内产生的总热量，然后根据Q 总＝
I2RT 或Q 总＝T 列式求解．
2．若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至
零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流的有效值与最大值之间的关系I＝、U＝求解．
典例1 (平均值的理解和计算)(多选)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线
垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ 与时间t 的关系图象如图所示.下列说法正确的是(
)
1
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A.时刻线框平面与中性面垂直
B.线框的感应电动势有效值为
C.线框转一周外力所做的功为
D.从t＝0 到t＝过程中线框的平均感应电动势为
答案 BC
解析 中性面的特点是与磁场方向垂直，穿过线框平面的磁通量最大，磁通量变化率最
小，则时刻线框在中性面上，A 错误；电动势最大值为Em＝BSω＝Φmω＝Φm，对正弦交变
电流，E 有＝＝，B 正确；由功能关系知，线框转一周外力做的功等于线框中产生的焦耳
热，W＝·T＝，C 正确；由法拉第电磁感应定律知，E＝＝＝，D 错误.
典例2 (有效电动势的计算)(2023·江苏省常熟中学模拟)图甲是某发电机的示意图，正方形
金属框边长为L，其两端与两个半圆环相连，在磁感应强度为B 的匀强磁场中以恒定角速
度绕OO′轴转动．阻值为R 的电阻两端的电压如图乙所示，Um为已知，其他电阻不计，
则金属框转动一周( )
A．框内电流方向不变
B．电动势的有效值大于Um
C．流过电阻的电荷量为
D．电阻产生的焦耳热为
答案 D
解析 金属框每次经过中性面时框内电流方向都会改变，故A 错误；由题图乙可知，金属
框产生感应电动势的图像应为完整的正弦曲线，所以电动势的有效值等于Um，故B 错误；
金属框转动一周的过程中，流过电阻的电荷量为q＝××4＝××4＝×4＝，故C 错误；设金
属框转动的角速度为ω，则有Um＝BL2ω，金属框转动的周期为T＝，根据焦耳定律可得电
阻产生的焦耳热为Q＝2，联立上述三式解得Q＝，故D 正确．
典例3 (有效电流的计算)(2023·湖北黄冈市模拟)如图是某一线圈通过的交流电的电流－时
间关系图像(前半个周期为正弦波形的)，则一个周期内该电流的有效值为( )
A.I0 B.I0 C.I0 D.I0
答案 B
2
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解析 设该电流的有效值为I，由I2RT＝()2R·＋(2I0)2R·，解得I＝I0，故选B.
典例4 (含有二极管电路的有效值)如图所示，在电阻两端并联二极管的电路中，电阻R1与
电阻R2阻值相同，都为R，和R1并联的D 为理想二极管(正向电阻可看作零，反向电阻可
看作无穷大)，在A、B 间加一正弦交流电u＝20sin 100πt(V)，则加在R2上的电压有效值为(
)
A.10 V
B.20 V
C.15 V
D.5 V
答案 D
解析 电压值取正值时，即在前半个周期内，二极管电阻为零，R2上的电压等于输入电压
值，电压值取负值时，即在后半个周期内，二极管电阻无穷大可看作断路，R2上的电压等
于输入电压值的一半，据此可设加在R2的电压有效值为U，根据电流的热效应，在一个周
期内满足T＝·＋·，可求出U＝5 V.故选项D 正确.
1.阻值为R 的电阻上通以如图所示的交变电流，则此交变电流的有效值为( )
A．1 A
B. A
C．2 A
D．3 A
答案 B
解析 根据焦耳定律以及有效值的概念得I2RT＝(2 A)2×R×＋(1 A)2×R×，解得I＝ A，B
正确．
2.(2023·云南·月考)一电阻R 接到有效值为I0的正弦式交变电源上，一个周期内产生的热量
为Q1；若将此电阻接到电流变化如图所示的交变电源上，则一周期内产生的热量为Q2，已
知两电源的变化周期相同，则为( )
3
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A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 将电阻R 接到有效值为I0 的正弦式交变电源上，一个周期内产生的热量为Q1＝
IRT，当接到如题图所示的电源上时，则一周期内产生的热量Q2＝R·＋IR·＝IRT，则＝，故
选B.
3.如图所示，虚线是正弦交流电的图象，实线是另一交流电的图象，它们的周期T 和最大
值Um相同，则实线所对应的交流电的有效值U 满足( )
A.U＝
B.U＝
C.U>
D.U<
答案 D
解析 虚线是正弦交流电的图象，其有效值为U 有效值＝＝，由图可知，在任意时刻，实线
所代表的交流电的瞬时值都不大于虚线表示的正弦交流电的瞬时值，则实线所代表的交流
电的有效值小于虚线表示的正弦交流电的有效值，则U<，故选D.
4.一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q 方；若该电阻接到正弦交流电
源上，在一个周期内产生的热量为Q 正.该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图所
示.则Q 方∶Q 正等于( )
A.1∶
B.∶1
4
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C.1∶2
D.2∶1
答案 D
解析 根据焦耳定律知热量与方波中的电流方向的变化无关，故Q 方＝T；而正弦交变电流、
电压的有效值等于峰值的，故Q 正＝T＝·T，所以＝，D 正确.
5.一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q 方；若该电阻接到正弦交流电
源上，在一个周期内产生的热量为Q 正．该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图所
示．则Q 方∶Q 正等于( )
A．1∶
B.∶1
C．1∶2
D．2∶1
答案 D
解析 由有效值概念知，一个周期内产生的热量Q 方＝·＋·＝T，Q 正＝T＝T＝·T，故Q 方
∶Q 正＝2∶1，故选D.
6.某研究小组成员设计了一个如图所示的电路，已知纯电阻R 的阻值不随温度变化．与R
并联的是一个理想的交流电压表，D 是理想二极管(它的导电特点是正向电阻为零，反向电
阻为无穷大)．在A、B 间加一交流电压，其瞬时值的表达式为u＝20sin 100πt(V)，则交流
电压表的示数为( )
A．10 V B．20 V C．15 V D．14.1 V
答案 D
解析 二极管具有单向导电性，使得半个周期内R 通路，另外半个周期内R 断路，在通路
的半个周期内，交流电压的有效值为20 V，有T＝·，解得U＝10 V≈14.1 V，选项D 正确．
7.一个U 形金属线框在两匀强磁场中绕OO′轴以相同的角速度匀速转动，通过导线给同一
电阻R 供电，如图甲、乙所示．甲图中OO′轴右侧有磁场，乙图中整个空间均有磁场，
两图中磁场的磁感应强度相同．则甲、乙两图中交流电流表的示数之比为( )
A．1∶ B．1∶2 C．1∶4 D．1∶1
答案 A
5
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解析 题图甲中OO′轴的右侧有磁场，所以线框只在半个周期内有感应电流产生，感应
电流随时间变化的图像如图(a)，交流电流表测的是有效值，由2·R·＝I2RT，得I＝；题图乙
中整个空间均有磁场，线框中产生的感应电流随时间变化的图像如图(b)，所以I′＝，则
I∶I′＝1∶，故A 正确．
8.(多选)如图所示的正方形线框abcd 的边长为L，每边电阻均为r，在垂直于纸面向里、磁
感应强度大小为B 的匀强磁场中绕cd 轴以角速度ω 匀速转动，c、d 两点与一阻值为r 的电
阻相连，各表均可视为理想电表，导线电阻不计，则下列说法中正确的是( )
A．线框abcd 产生的电流为交变电流
B．当S 断开时，电压表的示数为零
C．当S 断开时，电压表的示数为BωL2
D．当S 闭合时，电流表的示数为
答案 ACD
解析 线框abcd 绕着垂直于磁场的轴匀速转动，故产生的电流为交变电流，故A 正确；产
生的交流电的电动势最大值为Em＝BL2ω，有效值为E＝，当S 断开时，电压表测量的电压
为cd 间的电压，故U＝E＝BL2ω，故B 错误，C 正确；当S 闭合时，电路总电阻为3r＋，
ab 中的电流为I＝＝BL2ω，电流表的示数IA＝＝，故D 正确．
9.如图所示，间距为L 的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直向上且磁感应强度大小为B
的匀强磁场中，一端接阻值为R 的电阻．一有效电阻为r、质量为m 的导体棒放置在导轨
上，在外力F 作用下从t＝0 时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为v＝vmsin ωt，不计
导轨电阻．求：
(1)从t＝0 到t＝时间内，电阻R 上产生的热量；
(2)从t＝0 到t＝时间内，外力F 所做的功．
答案 (1)()2 (2)
解析 (1)由导体棒切割磁感线产生感应电动势有E＝BLv，得e＝BLvmsin ωt
回路中产生正弦式交变电流，其有效值为
6
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E 有效＝
在0～时间内，电阻R 上产生的热量
Q＝()2R·＝()2.
(2)由功能关系得：外力F 所做的功W＝Q＝.
10.(多选)如图所示，一个半径为r 的半圆形线圈，以直径ab 为轴匀速转动，转速为n，ab
的左侧有垂直于纸面向里(与ab 垂直)的匀强磁场，磁感应强度大小为B.M 和N 是两个集流
环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，若图示位置为初始时刻，则(
)
A．感应电动势的最大值为2π2Bnr2
B．从图示位置起到转过转的时间内，负载电阻R 上产生的热量为
C．从图示位置起到转过转的时间内，通过负载电阻R 的电荷量为
D．电流表的示数为
答案 BCD
解析 感应电动势的最大值为Em＝BSω＝B··2πn＝π2Bnr2，A 错误；因线圈只在半个周期内
有电流，因此由有效值的定义得·＝T，解得感应电动势的有效值为E＝＝，则电流表的示
数为I＝＝，D 正确；从题中图示位置起到转过转的时间内，负载电阻R 上产生的热量为Q
＝·＝××＝，B 正确；根据＝，＝，q＝Δt，联立解得q＝，则从题中图示位置起到转过转
的时间内，通过负载电阻R 的电荷量为q＝，C 正确．
11.(多选)如图所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感应强度为B 的匀
强磁场中绕OO′轴以角速度ω 匀速转动，外电路电阻为R.下列判断正确的是( )
A.电压表的示数为
7
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B.当线圈由图示位置转过30°的过程中，通过电阻R 的电荷量为
C.在线圈转过一周的过程中，电阻R 上产生的焦耳热为
D.当线圈由图示位置转过30°时，通过电阻R 的电流为
答案 AD
解析 电动势的最大值Em＝NBSω，有效值E＝＝，电压表的示数为路端电压的有效值，解
得U＝E＝，A 正确；线圈由题图所示位置转过30°的过程中，通过电阻R 的电荷量q＝＝
＝，B 错误；在线圈转过一周的时间内电阻R 上产生的热量Q＝·T＝，C 错误；电流的最大
值为Im＝＝，电流的瞬时值表达式为i＝Imsin ωt，从题图所示位置转过30°时，ωt＝，此时
的电流为i＝＝，D 正确.
12.(2023·山东德州市模拟)如图所示，坐标系xOy 的第一、四象限的两块区域内分别存在垂
直纸面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度的大小均为1.0 T，两块区域曲线边界的曲线方
程为y＝0.5sin 2πx(m)(0≤x≤1.0 m)．现有一单匝矩形导线框abcd 在拉力F 的作用下，从图
示位置开始沿x 轴正方向以2 m/s 的速度做匀速直线运动，已知导线框长为1 m、宽为0.5
m、总电阻为1 Ω，开始时bc 边与y 轴重合．则导线框穿过两块区域的整个过程拉力F 做
的功为( )
A．0.25 J
B．0.375 J
C．0.5 J
D．0.75 J
答案 D
解析 导线框位移为0≤x≤0.5 m 过程，只有bc 边在磁场中切割磁感线，产生的电动势大
小为E1＝Byv＝sin 2πx (V)，此过程所用时间为t1＝ s＝0.25 s，此过程的最大电动势为E1m
＝sin(2π×0.25) V＝1.0 V，导线框位移为0.5 m<x≤1.0 m 过程，bc 边和ad 边都在磁场中切
割磁感线，产生的电动势方向相同，则导线框的电动势大小为E2＝2|sin 2πx| (V)，此过程所
用时间为t2＝ s＝0.25 s，此过程的最大电动势为E2m＝2|sin(2π×0.75)| V＝2.0 V，导线框位
移为1.0 m<x≤1.5 m 过程，只有ad 边在磁场中切割磁感线，产生的电动势大小为E3＝sin
2πx (V)，此过程所用时间为t3＝ s＝0.25 s，此过程的最大电动势为E3m＝sin(2π×1.25) V＝
1.0 V，则此过程中导线框的感应电动势随时间变化如图所示
8
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根据 Q＝t，可知此过程导线框产生的焦耳热为Q＝×0.25 J＋×0.25 J＋×0.25 J＝0.75 J，根
据能量守恒可知导线框穿过两块区域的整个过程，拉力F 做的功为0.75 J，D 正确，A、
B、C 错误．
9
