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02 匀变速直线运动的研究
[-考点-02-] 匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、匀变速直线运动的位移
匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2，当初速度为0 时，x＝at2.
二、速度与位移的关系
1．关系式：v2－v0
2＝2ax.
2．推导：由速度与时间的关系式v＝v0＋at，位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，得v2－v0
2
＝2ax.
1．速度与时间的关系式：v＝v0＋at.其中v 指t 时刻的速度，v0指0 时刻的速度．
2．适用条件：匀变速直线运动．
一、对匀变速直线运动的位移与时间的关系的推导
如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v－t 图像．试推导匀变速直线运动的位移与
时间的关系．
推导： 可将物体的运动按时间分成若干小段，将每一小段内的运动看成是匀速直线运动
其速度用这一小段起始时刻的瞬时速度表示．这样匀变速直线运动转变成了匀速直线运动
的问题．如果把整个运动过程分割得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能非常精
确地代表物体的位移了．这个梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体从开始到t 时刻
这段时间间隔的位移．
v－t 图线与坐标轴围成的梯形的面积x＝(v0＋v)t①
又v＝v0＋at②
由①②式可得x＝v0t＋at2.
注意：1．位移与时间公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式中x、v0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物
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体做匀减速直线运动时，a 取负值，计算结果中，位移x 的正负表示其方向．
3．当v0＝0 时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移与时间公式，x 与t2成正比．
二、对速度与位移的关系式v2－v0
2＝2ax 的推导
推导：由v＝v0＋at；x＝v0t＋at2联立得v2－v0
2＝2ax
注意：1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、v、a、x 都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方
向为正方向：
(1)若是加速运动，a 取正值，若是减速运动，a 取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0 位移的方向与初速度方向相反．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0 速度的方向与初速度方向相反．
典例1 (多选)一质点做匀变速直线运动，其位移表达式为x＝(10t＋t2) m，则( )
A．质点的初速度为10 m/s
B．质点的加速度大小为1 m/s2
C．质点的加速度大小为2 m/s2
D．在第4 s 末，质点距出发点24 m
答案 AC
解析 将x＝(10t＋t2) m 与公式x＝v0t＋at2对比可知，质点的初速度为10 m/s，加速度大小
为2 m/s2，故A、C 正确，B 错误；t＝4 s 时，x＝(10×4＋42) m＝56 m，故D 错误．
典例2 一辆汽车在平直公路上以72 km/h 的速度匀速行驶，遇到紧急情况需要刹车，刹车
时加速度大小为4 m/s2，则汽车从刹车开始到停止通过的距离为( )
A．20 m
B．40 m
C．50 m
D．100 m
答案 C
解析 汽车刹车时的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s；由v2－v0
2＝2ax 得x＝ m＝50 m，C 正确．
1．某辆赛车在一段平直跑道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s 内位移是
8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s 内的位移是32 m
D．赛车第4 s 内的位移是14 m
答案 D
解析 赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at2，解得a＝
4 m/s2，故A、B 错误；赛车第4 s 内的位移为前4 s 内的位移减去前3 s 内的位移，由Δx＝
at4
2－at3
2解得赛车第4 s 内的位移为14 m，故C 错误，D 正确．
2
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2．汽车以20 m/s 的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速
度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m 所需时间为( )
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
答案 A
解析 根据x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37.5 m，代入得：t1＝3 s，t2＝5
s，但汽车减速到0 所用的时间t0＝＝4 s，所以t2＝5 s 应舍去．故选项A 正确．
3．一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s 内的位移为19 m，则其加速度大小
为( )
A．1.9 m/s2
B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2
D．3.0 m/s2
答案 B
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移－时间公式，有：前10 s 内的位移
x1＝at10
2，前9 s 内的位移x2＝at9
2，故第10 s 内的位移x＝x1－x2＝19 m，代入数据解得a＝
2.0 m/s2，故选项B 正确．
4．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s 内的位移为2 m，则下列说法正确的是(
)
A．物体运动的加速度为2 m/s2
B．物体在前2 s 内的位移为8 m
C．物体在第2 s 内的位移为4 m
D．物体在第2 s 内的平均速度为8 m/s
答案 B
解析 根据x1＝at1
2得，物体运动的加速度a＝＝4 m/s2，故A 错误；物体在前2 s 内的位移
为x2＝at2
2＝×4×22 m＝8 m，故B 正确；物体在第2 s 内的位移xⅡ＝x2－x1＝6 m，则第2 s
内的平均速度为6 m/s，故C、D 错误．
5．(2022·哈尔滨高一期中)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10 m/s 增加到
30 m/s 时的位移为x，则当速度由30 m/s 增加到50 m/s 时，它的位移是( )
A．x B．1.5x C．2x D．2.5x
答案 C
解析 根据v2－v＝2ax，速度由10 m/s 增加到30 m/s 时，(30 m/s)2－(10 m/s)2＝2ax；速度
由30 m/s 增加到50 m/s 时，(50 m/s)2－(30 m/s)2＝2ax′.联立解得x′＝2x，选项C 正确．
6.如图所示，一小车从A 点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B 点时速度为v，到达C
点时速度为2v，则xAB∶xBC等于( )
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A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
答案 C
解析 设小车的加速度为a，由v2－v0
2＝2ax 得xAB＝，xBC＝xAC－xAB＝－＝，故xAB∶xBC＝
1∶3，选项C 正确．
7．一个小球从斜面的顶端由静止开始沿斜面匀加速滑下，经过斜面中点时速度大小为3
m/s，则小球到达斜面底端时的速度大小为( )
A．4 m/s
B．5 m/s
C．6 m/s
D．3 m/s
答案 D
解析 设斜面长为x，根据速度－位移的关系式，小球经过斜面中点时，2a·＝
－v0
2
小球到达底端时，2a·＝v2－
代入数据得v＝3 m/s，D 正确．
8．(2021·玉溪市高一期末)文明是现代城市的象征，道路交通文明有序，其中“礼让行人，
文明驾车”已深入人心．某司机发现前方有行人正通过人行横道时，立即刹车做匀减速直
线运动，恰好在停车线处停止运动．汽车经4 s 停止，若在最后1 s 内的位移为2 m，则汽
车的初速度是( )
A．8 m/s
B．16 m/s
C．20 m/s
D．32 m/s
答案 B
解析 汽车经4 s 停止，在最后1 s 内的位移为2 m，由逆向思维法可将该运动看成初速度
为0 的匀加速直线运动，则第1 s 内的位移x＝at2＝2 m，得到加速度a＝4 m/s2，由v＝at′
得，汽车的初速度为16 m/s，故选B.
9．汽车以20 m/s 的速度在平直的公路上做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，
那么开始刹车后2 s 内的位移与开始刹车后6 s 内的位移之比为( )
A．1∶1 B．3∶5 C．5∶9 D．3∶4
答案 D
解析 汽车从开始刹车到停止的时间t0＝＝4 s，则汽车刹车后2 s 内的位移为x1＝v0t1－at1
2
＝30 m，汽车刹车后6 s 内的位移等于4 s 内位移，x2＝＝40 m，得＝，故D 正确，A、B、
C 错误．
10.如图所示，物体A 在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又在水平面上匀减速滑过x2后停下，
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测得x2＝2x1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1
与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
A．a1＝a2
B．a1＝2a2
C．a1＝a2
D．a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，对于匀减速运
动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2，联立两式解得＝
＝2，即a1＝2a2.故选B.
11.某物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s 内的位移大小；
(2)物体在第2 s 内的位移大小；
(3)物体在第二个2 s 内的位移大小．
答案 (1)2 m (2)1.5 m (3)6 m
解析 (1)由v0＝0，t1＝2 s 得
x1＝at＝2 m.
(2)第1 s 末的速度(第2 s 初的速度)
v1＝v0＋at2＝1 m/s
故第2 s 内的位移大小
x2＝v1t3＋at＝1.5 m.
(3)第2 s 末的速度v2＝v0＋at′＝2 m/s，这也是物体在第二个2 s 内的初速度．
故物体在第二个2 s 内的位移大小
x3＝v2t″＋at″2＝6 m.
12.一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s 内的位移大小；
(2)物体在第3 s 内的位移大小．
答案 (1)12.75 m (2)3.75 m
解析 (1)取初速度方向为正方向
v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
前3 s 内物体的位移x3＝v0t3＋at3
2＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m.
(2)同理，前2 s 内物体的位移
x2＝v0t2＋at2
2＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m
因此第3 s 内物体的位移
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x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m.
13.某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速
时可产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s 时才能离开航空母舰起飞．设
航空母舰处于静止状态．问：
(1)若要求该飞机滑行160 m 后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，该舰身长至少为多长？
答案 (1)30 m/s (2)250 m
解析 (1)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由速度与位移的关系式v2－v0
2＝2ax
可得v0＝＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动．由公式v2＝2ax 可知该舰身长至
少为x＝＝250 m.
14.(2021·武汉市高一阶段练习)汽车以36 km/h 的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后以2
m/s2的加速度做匀减速直线运动，求：
(1)刹车后3 s 末的速度大小；
(2)刹车后汽车发生位移16 m 所经历的时间；
(3)刹车后8 s 内汽车通过的位移大小．
答案 (1)4 m/s (2)2 s (3)25 m
解析 (1)汽车的初速度大小为v0＝36 km/h＝10 m/s,刹车时间t＝＝5 s,
所以刹车后3 s 末的速度大小为v1＝v0－at1＝4 m/s
(2)设汽车发生位移x 所经历的时间为t2，则汽车的位移x＝v0t2－at2
2＝16 m
解得t2＝2 s 或t2＝8 s(舍去)
(3)由于8 s 大于汽车的刹车时间，所以8 s 内汽车通过的位移大小为刹车距离，即x1＝＝25
m.
15.一辆汽车从O 点由静止开始做匀加速直线运动，已知在2 s 内经过相距24 m 的A 和B 两
点，汽车经过A 点时的速度为10 m/s，如图所示，求：
(1)汽车的加速度大小；
(2)A 点与出发点O 之间的距离．
答案 (1)2 m/s2 (2)25 m
解析 (1)汽车从A 到B，根据位移与时间公式有：xAB＝vAt＋at2
代入数据解得：a＝2 m/s2
(2)汽车从O 点到A 点，根据速度与位移公式有：vA
2＝2axOA，代入数据解得：xOA＝ m＝25
m.
16.飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止．其着陆速度为60 m/s，求：
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(1)飞机着陆过程中滑行的距离；
(2)飞机着陆过程中最后4 s 内滑行的位移大小．
答案 (1)300 m (2)48 m
解析 (1)取初速度方向为正方向，v0＝60 m/s，
a＝－6 m/s2，v＝0,
由v2－v0
2＝2ax 得
x＝＝ m＝300 m.
(2)匀减速直线运动速度减到零，其逆过程为初速度为零的匀加速直线运动，a′＝6 m/s2
飞机最后4 s 内滑行的位移x′＝a′t2＝×6×42 m＝48 m.
17．在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段平直
高速公路的最高车速为108 km/h.设某人驾车正以最高限速沿该高速公路匀速行驶，该车刹
车时的加速度大小为5 m/s2，该司机的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为
0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
答案 105 m
解析 汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，运动过程如图所示
在反应时间t＝0.5 s 内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，汽车刹车后滑行的位移为x2＝＝ m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少为
x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.
18．如图甲，滑板运动深受部分年轻人的喜爱，他们在斜坡上冲上、滑下，享受着运动的
乐趣．为研究此运动过程，可以建立如图乙所示物理模型．物体由底端D 点以v0＝4 m/s 的
初速度滑上固定的光滑斜面，途经A、B 两点，已知AB＝BC，由B 点再经过0.5 s 物体滑
到斜面最高点C 时速度恰好为零．设斜面长度为4 m，求：(物体在光滑斜面上上滑与下滑
的加速度大小相等)
(1)物体运动的加速度；
(2)物体经过B 点时的速度大小；
(3)物体两次经过A 点的时间间隔．
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答案 (1)2 m/s2，方向沿斜面向下 (2)1 m/s (3) s
解析 (1)设物体运动的加速度大小为a，斜面长度为L，根据运动学公式可得2aL＝v0
2
解得a＝2 m/s2，方向沿斜面向下．
(2)将物体的匀减速上滑过程逆向看作反向的初速度为零的匀加速下滑过程，则物体经过B
点时的速度大小为
vB＝at1＝1 m/s
(3)AB 和BC 的长度为AB＝BC＝＝0.25 m
物体从C 到A 的时间为
t2＝＝ s
根据运动的对称性可知物体两次经过A 点的时间间隔为Δt＝2t2＝ s.
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