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08 机械能守恒定律
[-考点-02-] 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法
举例
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x
图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得
出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2
应用动
能定理
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：
WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
典例1 (微元法计算变力做功)(2023·安徽滁州市定远县联考)如图所示，在水平桌面上，长
R＝5 m 的轻绳一端固定于O 点(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg 的小球，现对小球施加
一个大小不变的力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F 拉着物体从M 点运
动到N 点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g 取10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F 做的功与克服摩擦力做的功之比为( )
A. B．2 C. D．4
典例2 (图像法计算变力做功)一物体所受的力F 随位移x 变化的图象如图所示，求在这一
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过程中，力F 对物体做的功为( )
A.3 J
B.6 J
C.7 J
D.8 J
典例3 (平均值法计算变力做功)(2023·黑龙江佳木斯市高三模拟)用铁锤把小铁钉钉入木
板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果
铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(
)
A．(－1)d
B．(－1)d
C.
D.d
典例4 (等效转换法计算变力做功)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳
系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若
从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W1和W2，图中AB＝
BC，则( )
A．W1>W2
B．W1<W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
典例5 (应用动能定理计算变力做功)如图所示为一水平的转台，半径为R，一质量为m 的
滑块放在转台的边缘，已知滑块与转台间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度为g.若转台的转速由零逐渐增大，当滑块在转台上刚好发生相对滑动
时，转台对滑块所做的功为( )
A.μmgR
B.2πmgR C.2μmgR D.0
2
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1.如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 的作用下，沿x
轴正方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小
物块运动到x0处时拉力F 做的功为( )
A．0 B.Fmx0 C.Fmx0 D.x0
2
2.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L 的轻质细杆，一端
可绕竖直光滑轴O 转动，另一端与质量为m 的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰
好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A. B. C. D.
3.(多选)如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为
l，总质量为M，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面.小方
块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对
所有小方块所做功的大小为( )
A.Mv2
B.Mv2
C.μMgl
D.μMgl
4. (2021·浙江舟山期中)在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R 的两
个半圆构成(如图所示)，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿滑槽道拉至B 点，
若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A.0
B.FR
C.πFR
D.2πFR
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5.水平桌面上，长R＝5 m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m
＝2.0 kg 的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，F 拉着物体从M 点运动到N
点，方向始终与小球的运动方向成37°角.已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空
气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F 做的功与克服摩擦力做的功
之比为( )
A.∶1
B.∶1
C.2∶1
D.3∶1
6.(2021·绍兴市高一月考)静置于水平地面上质量为1 kg 的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中
F 为力的大小、x 为位移的大小，力F、位移x 的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移
动了5 m．已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移
动5 m 的过程中拉力所做的功为( )
A．35 J B．45 J C．55 J D．65 J
7.(多选)如图所示，人以大小恒为10 N 的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1
m/s，将船从A 位置拉到B 位置，A、B 位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B
间的水平距离为4 m，则( )
A．A 位置船速大小为 m/s
B．B 位置船速大小为2 m/s
C．船从A 运动到B 的过程中，人的拉力做的功为20 J
D．船从A 运动到B 的过程中，人的拉力做的功为40(－1) J
8.(2023·鹤壁市·期末)如图所示，AB 为四分之一圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径
为R，BC 的长度也是R.一质量为m 的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道
顶端A 从静止开始下滑，恰好运动到C 处停止，不计空气阻力，重力加速度为g，那么物
体在AB 段克服摩擦力所做的功为( )
A.μmgR
B.mgR
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C.mgR D.(1－μ)mgR
9.质量为m 的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s，
如图所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量
为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内)，物体
克服弹簧弹力所做的功为( )
A.mv0
2－μmg(s＋x)
B.mv0
2－μmgx C.μmgs
D.μmg(s＋x)
10.一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位
置P 点缓慢地移动到Q 点，如图所示，重力加速度为g，则拉力F 所做的功为( )
A.mglcos θ
B.mgl(1－cos θ) C.Flcos θ
D.Flsin θ
11.(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑
轮O.现以大小不变的拉力F 拉绳，使滑块从A 点由静止开始上升，滑块运动到C 点时速度
最大.已知滑块质量为m，滑轮O 到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力
加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).则( )
A.拉力F 大小为mg
B.拉力F 大小为mg
C.滑块由A 到C 过程轻绳对滑块做功mgd
D.滑块由A 到C 过程轻绳对滑块做功mgd
12.如图所示，一质量为m＝1.0 kg 的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A 端，在拉力作用下
沿圆弧缓慢运动到B 端(圆弧AB 在竖直平面内)．拉力F 大小不变，始终为15 N，方向始终
与圆弧在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边在竖直方向上．求这一
过程中拉力F 做的功．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π＝3.14)
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13.(2022·江苏滨海县八滩中学高一月考)力F 对物体所做的功可由公式W＝Flcos α 求得．
但用这个公式求功是有条件的，即力F 必须是恒力．而实际问题中，有很多情况是变力在
对物体做功．那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来
求解变力所做的功．如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说
法正确的是( )
A．甲图中若F 大小不变，物块从A 到C 过程中力F 做的功为W＝F(OA－OC)
B．乙图中，全过程F 做的总功为108 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，小球从A 运动到B 过程中空气阻力做的功
W＝πRf
D．丁图中，F 始终保持水平，无论是F 缓慢将小球从P 拉到Q，还是F 为恒力将小球从P
拉到Q，F 做的功都是W＝Flsin θ
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