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08 机械能守恒定律
[-考点-02-] 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法
举例
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x
图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，W＝Δx，可得
出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2
应用动
能定理
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：
WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
典例1 (微元法计算变力做功)(2023·安徽滁州市定远县联考)如图所示，在水平桌面上，长
R＝5 m 的轻绳一端固定于O 点(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg 的小球，现对小球施加
一个大小不变的力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F 拉着物体从M 点运
动到N 点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g 取10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F 做的功与克服摩擦力做的功之比为( )
A. B．2 C. D．4
答案 B
1
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解析 将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F 在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，
因拉力F 大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝
Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos
37°·R＝π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F 做的功与克服摩擦力做的功
之比为2，故选B.
典例2 (图像法计算变力做功)一物体所受的力F 随位移x 变化的图象如图所示，求在这一
过程中，力F 对物体做的功为( )
A.3 J
B.6 J
C.7 J
D.8 J
答案 B
解析 力F 对物体做的功等于图线与横轴x 所包围面积的代数和，0～4 s 这段时间内力F
对物体做的功为W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J，4～5 s 这段时间内力F 对物体做的功为W2＝－×(5
－4)×2 J＝－1 J，全过程中，力F 对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，故选B.
典例3 (平均值法计算变力做功)(2023·黑龙江佳木斯市高三模拟)用铁锤把小铁钉钉入木
板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果
铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(
)
A．(－1)d
B．(－1)d
C.
D.d
答案 B
解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正
比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝d＝d，W＝d′＝d′，联立解得d′＝(－
1)d，故A、C、D 错误，B 正确．
典例4 (等效转换法计算变力做功)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳
系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若
从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W1和W2，图中AB＝
BC，则( )
2
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A．W1>W2
B．W1<W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
答案 A
解析 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做
功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F 对轻绳做的功，而拉力F 为恒力，W＝F·Δl，Δl 为轻
绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及
几何知识可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A 正确．
典例5 (应用动能定理计算变力做功)如图所示为一水平的转台，半径为R，一质量为m 的
滑块放在转台的边缘，已知滑块与转台间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度为g.若转台的转速由零逐渐增大，当滑块在转台上刚好发生相对滑动
时，转台对滑块所做的功为( )
A.μmgR
B.2πmgR C.2μmgR D.0
答案 A
解析 滑块即将开始滑动时，最大静摩擦力(等于滑动摩擦力)提供向心力，有μmg＝，根
据动能定理有Wf＝mv2，解得Wf＝μmgR，A 正确.
1.如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 的作用下，沿x
轴正方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小
物块运动到x0处时拉力F 做的功为( )
A．0 B.Fmx0 C.Fmx0 D.x0
2
答案 C
3
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解析 由于水平面光滑，所以拉力F 即为合外力，F 随物块所在位置坐标x 的变化图像中
图线与横轴包围的面积即为F 做的功，即W＝Fm
2＝x0
2＝Fmx0，C 正确．
2.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L 的轻质细杆，一端
可绕竖直光滑轴O 转动，另一端与质量为m 的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰
好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理
－Ff·2πL＝0－mv0
2,可得摩擦力的大小Ff＝，故选B.
3.(多选)如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为
l，总质量为M，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面.小方
块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对
所有小方块所做功的大小为( )
A.Mv2
B.Mv2
C.μMgl
D.μMgl
答案 AC
解析 总质量为M 的小方块在进入粗糙水平面的过程中滑动摩擦力由0 均匀增大，当全部
进入时摩擦力达最大值μMg，总位移为l，平均摩擦力为Ff＝μMg，由功的公式可得Wf＝－
Ff·l＝－μMgl，其大小为μMgl，C 正确，D 错误；用动能定理计算，则为Wf＝0－Mv2＝－
Mv2，其大小为Mv2，A 正确，B 错误.
4. (2021·浙江舟山期中)在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R 的两
个半圆构成(如图所示)，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿滑槽道拉至B 点，
若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
4
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A.0
B.FR
C.πFR
D.2πFR
答案 C
解析 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移
内可以看成恒力，小球的路程为，则拉力做的功为πFR，故C 正确.
5.水平桌面上，长R＝5 m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m
＝2.0 kg 的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，F 拉着物体从M 点运动到N
点，方向始终与小球的运动方向成37°角.已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空
气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F 做的功与克服摩擦力做的功
之比为( )
A.∶1
B.∶1
C.2∶1
D.3∶1
答案 C
解析 将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F 在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，
因拉力F 大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝
Fl2cos 37°…，Wn＝Flncos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(cos 37°)(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·R
＝π J，同理可得小球克服摩擦力做的功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F 做的功与小球克服摩擦力
做的功之比为2 1∶，故选C.
6.(2021·绍兴市高一月考)静置于水平地面上质量为1 kg 的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中
F 为力的大小、x 为位移的大小，力F、位移x 的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移
动了5 m．已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移
动5 m 的过程中拉力所做的功为( )
A．35 J B．45 J C．55 J D．65 J
答案 B
5
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解析 水平拉力F＝4＋2x，则当物体移动5 m 时拉力的平均值为＝ N＝9 N
则拉力的功W＝x＝9×5 J＝45 J，故选B.
7.(多选)如图所示，人以大小恒为10 N 的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1
m/s，将船从A 位置拉到B 位置，A、B 位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B
间的水平距离为4 m，则( )
A．A 位置船速大小为 m/s
B．B 位置船速大小为2 m/s
C．船从A 运动到B 的过程中，人的拉力做的功为20 J
D．船从A 运动到B 的过程中，人的拉力做的功为40(－1) J
答案 BD
解析 根据速度的合成与分解，可得A 位置船速大小为vA＝＝ m/s，故A 错误；同理可得
B 位置船速大小为vB＝＝2 m/s，故B 正确；船从A 运动到B 的过程中，人的拉力做的功W
＝F(2sin 60°－)＝10×(2×4×－4) J＝40(－1) J，故C 错误，D 正确．
8.(2023·鹤壁市·期末)如图所示，AB 为四分之一圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径
为R，BC 的长度也是R.一质量为m 的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道
顶端A 从静止开始下滑，恰好运动到C 处停止，不计空气阻力，重力加速度为g，那么物
体在AB 段克服摩擦力所做的功为( )
A.μmgR
B.mgR
C.mgR D.(1－μ)mgR
答案 D
解析 设物体在AB 段克服摩擦力所做的功为WAB，对物体从A 到C 的全过程，由动能定理
得mgR－WAB－μmgR＝0，故WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.
9.质量为m 的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s，
如图所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量
为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内)，物体
克服弹簧弹力所做的功为( )
6
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A.mv0
2－μmg(s＋x)
B.mv0
2－μmgx C.μmgs
D.μmg(s＋x)
答案 A
解析 由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－mv0
2，W＝mv0
2－μmg(s＋x)，A 正确，B、C、D
错误.
10.一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位
置P 点缓慢地移动到Q 点，如图所示，重力加速度为g，则拉力F 所做的功为( )
A.mglcos θ
B.mgl(1－cos θ) C.Flcos θ
D.Flsin θ
答案 B
解析 小球缓慢移动，时时处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ 的增大，
F 也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以这道题要考虑用
动能定理求解.由于小球缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl(1－cos θ)＋W＝
0，所以W＝mgl(1－cos θ)，B 正确，A、C、D 错误.
11.(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑
轮O.现以大小不变的拉力F 拉绳，使滑块从A 点由静止开始上升，滑块运动到C 点时速度
最大.已知滑块质量为m，滑轮O 到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力
加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).则( )
A.拉力F 大小为mg
B.拉力F 大小为mg
C.滑块由A 到C 过程轻绳对滑块做功mgd
D.滑块由A 到C 过程轻绳对滑块做功mgd
答案 AC
解析 滑块到C 点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝mg，
故A 正确，B 错误；由能量守恒定律可知，拉力F 做的功等于轻绳拉力F 对滑块做的功，
7
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滑轮与A 间绳长L1＝，滑轮与C 间绳长L2＝，滑轮右侧绳子增大的长度ΔL＝L1－L2＝－
＝，拉力做功W＝FΔL＝mgd，故C 正确，D 错误.
12.如图所示，一质量为m＝1.0 kg 的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A 端，在拉力作用下
沿圆弧缓慢运动到B 端(圆弧AB 在竖直平面内)．拉力F 大小不变，始终为15 N，方向始终
与圆弧在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边在竖直方向上．求这一
过程中拉力F 做的功．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π＝3.14)
答案 62.8 J
解析 将圆弧AB 分成很多小段s1、s2、…、sn，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、
Wn，因拉力F 大小不变，方向始终与圆弧在该点的切线成37°角，所以
W1＝Fs1 cos 37°
W2＝Fs2 cos 37°
…
Wn＝Fsn cos 37°
故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(s1＋s2＋…＋sn)＝F cos 37°·R＝62.8 J.
13.(2022·江苏滨海县八滩中学高一月考)力F 对物体所做的功可由公式W＝Flcos α 求得．
但用这个公式求功是有条件的，即力F 必须是恒力．而实际问题中，有很多情况是变力在
对物体做功．那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来
求解变力所做的功．如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说
法正确的是( )
A．甲图中若F 大小不变，物块从A 到C 过程中力F 做的功为W＝F(OA－OC)
B．乙图中，全过程F 做的总功为108 J
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C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，小球从A 运动到B 过程中空气阻力做的功
W＝πRf
D．丁图中，F 始终保持水平，无论是F 缓慢将小球从P 拉到Q，还是F 为恒力将小球从P
拉到Q，F 做的功都是W＝Flsin θ
答案 A
解析 题图甲中，因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功
则物块从A 到C 过程中力F 做的功为W＝F(OA－OC)，故A 正确；
题图乙F－x 图像与坐标轴围成图形的面积代表功，则全过程F 做的总功为W＝15×6 J＋
(－3)×6 J＝72 J，故B 错误；
题图丙中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，可用微元法得出小球从A 运动到B 过程中空
气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C 错误；
题图丁中，F 始终保持水平，当F 为恒力时将小球从P 拉到Q，F 做的功是W＝Flsin θ
而F 缓慢将小球从P 拉到Q，F 为水平方向的变力，F 做的功不等于Flsin θ，故D 错误．
9
