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第32 讲 洛伦兹力及带电粒子在磁场中的运动
目录
考情探究...........................................................................................................................
知识梳理...........................................................................................................................
探究核心考点...................................................................................................................
考点一 仅在洛伦兹力作用下的运动............................................................................................
考点二 先电场后磁场....................................................................................................................
考点三 先磁场后电场....................................................................................................................
考点四 叠加场中的运动................................................................................................................
考点五 不共面的运动....................................................................................................................
三阶突破训练...................................................................................................................
基础过关..........................................................................................................................................
能力提升..........................................................................................................................................
真题感知..........................................................................................................................................
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年安徽卷，第7 题
2025 年北京卷，第18 题
2025 年甘肃卷，第10 题
2025 年湖北卷，第14 题
2025 年四川卷，第10 题
仅在洛伦兹力作用下的运动
动量定理
1
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2025 年重庆卷，第14 题
2025 年黑龙江、吉林、辽
宁、内蒙古卷，第15 题
2024 年河北卷，第10 题
2024 年湖北卷，第7 题
2024 年广西卷，第5 题
2023 年北京卷，第13 题
2023 年湖北卷，第15 题
2023 年全国甲卷，第7 题
2023 年全国乙卷，第5 题
2023 年浙江6 月卷，第23 题
2022 年浙江1 月卷，第22 题
2022 年北京卷，第7 题
2022 年湖北卷，第8 题
2022 年湖南卷，第13 题
2022 年辽宁卷，第8 题
2021 年北京卷，第12 题
2021 年全国乙卷，第3 题
2021 年广东卷，第13 题
2021 年湖北卷，第9 题
2021 年湖南卷，第13 题
2025 年广东卷，第6 题
2025 年湖南卷，第14 题
2025 年山东卷，第12 题
2024 年山东卷，第18 题
2024 年新课标卷，第13 题
2024 年广东卷，第15 题
2023 年海南卷，第13 题
2023 年辽宁卷，第14 题
2023 年山东卷，第17 题
2022 年河北卷，第14 题
2022 年北京卷，第18 题
2021 年全国甲卷，第12 题
2021 年河北卷，第14 题
2021 年辽宁卷，第15 题
先电场后磁场
匀变速直线运动规律
受力平衡
牛顿第二定律
运动的合成与分解
动能定理
2025 年河北卷，第10 题
先磁场后电场
匀变速直线运动规律
2
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2025 年河南卷，第15 题
2024 年浙江1 月卷，第22 题
2023 年浙江1 月卷，第20 题
2023 年天津卷，第13 题
牛顿第二定律
动能定理
2025 年北京卷，第12 题
2025 年云南卷，第14 题
2024 年江西卷，第7 题
2024 年安徽卷，第10 题
2023 年海南卷，第2 题
2023 年湖南卷，第6 题
2023 年新课标卷，第5 题
2022 年全国甲卷，第5 题
2022 年广东卷，第8 题
叠加场中的运动
受力平衡
2025 年陕晋宁青卷，第14 题
2024 年湖南卷，第14 题
2022 年广东卷，第7 题
2022 年重庆卷，第5 题
2021 年山东卷，第17 题
不共面的运动
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本讲内容是新高考卷的常考内容。本类试题主要考查洛伦兹力作用下的各种运动，可能只有
洛伦兹力作用，也可能是连续场或者叠加场问题。若考查连续场或者叠加场，一般以计算题形式出现，很
可能是压轴题。
【备考策略】1.理解、掌握洛伦兹力的大小计算、方向判断。
2.理解、掌握洛伦兹力作用下的各种运动问题
3.具备数形结合的思想意识。
【命题预测】本讲内容是新高考卷的必考内容，可选择、可计算。
一、对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的大小
(1)v∥B 时，F＝ ；
3
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(2)v⊥B 时，F＝ ；
(3)v 与B 的夹角为θ 时，F＝qvBsin θ.
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
(2)方向特点：F⊥B，F v，即F 垂直于B、v 决定的平面．(注意B 和v 不一定垂直)
3．洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力
静电力
产生条件
v≠0 且v 不与B 平行
(说明：运动电荷在磁场中不
一定受洛伦兹力作用)
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
F⊥B(且F⊥v)
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
二、洛伦兹力作用下带电体的运动
带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着
变化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)，最后若弹力减小到0，带电体离开接触
面．
三、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v 垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与
磁场垂直的平面内做 运动．
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝.
(2)轨迹半径：r＝ .
(3)周期：T＝＝ ，可知T 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有
关．
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T.
(5)动能：Ek＝mv2＝＝.
3．当带电粒子的速度v 与B 的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线．
四、带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
2．分析思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
3．常见粒子的运动及解题方法
4
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五、带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就
做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运
动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
六、带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
题型一 带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直
线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
匀速圆
周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：
qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规
律
较复杂的
曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为
零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
题型二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
5
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找衔接点
找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律
联立不同阶段的方程求解
七、动态圆
题型一 “平移圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的
同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相
同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线
与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方
法叫“平移圆”法
题型二 “旋转圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀
强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入
射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点
P 为圆心、半径R＝的圆上
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出
临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
题型三 “放缩圆”模型
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强
磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随
速度的变化而变化
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轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动
半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨
迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨
迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
题型四 “磁聚焦”与“磁发散”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场
圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A
点发出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的正粒
子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形
磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
O1A、O2B、O3C 均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
考点一 仅在洛伦兹力作用下的运动
典例1．（2025·江苏省常州市前黄高级中学·二模）如图，水平放置的平行栅极板M 带正电，N 带负电，
7
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间距为d，电压
，P 处有一质量为m、电荷量大小为q 的带负电离子，以v0速度沿着与竖直方向
成角θ（未知）垂直磁场射向板M 上方的匀强磁场B1区，经过匀强电场区域后进入N 下方的匀强磁场B2
区，恰好没从下边界Q 射出，并刚好能直接返回到P 处。已知磁场方向均垂直纸面向里，
，下
边界Q 到极板N 的距离为3d，离子在经过栅极板时均没有与栅极板相碰，不计离子重力。求：
（1）离子进入板N 下方磁场时速度v 的大小；
（2）sinθ 的大小；
（3）极板M 上方磁场磁感应强度B1的大小。
典例2．（2025·北京市第三十五中学·三模）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现
有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a 和b，先后以不同的速率从圆边沿的A 点对准圆形
区域的圆心O 射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受
重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（ ）
A. b 粒子在磁场中做圆周运动的周期较大
B. 穿过磁场区域的过程a 粒子运动的时间较长
C. 穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a 做功较多
D. 射入圆形磁场区域时a 粒子的速率较大
典例3．（2025·甘肃省白银市第八中学·二模）如图所示，在直角坐标系
中，第三象限某区域存在垂直
坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
、
点在该磁场边界上；在第一和第四象限存在有界磁场，
边界分别为
轴与直线
，磁场方向垂直坐标平面向外，磁感应强度大小为
。在坐标原点
和点
之间存在线状粒子收集器，打到收集器的粒子将被收集器收集。
为平行于
轴且
距离
轴较远的线状粒子源，宽度为
，能连续均匀地发射速度为
、方向沿
轴正方向的相同的带正电
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粒子，
点在
轴上。已知粒子比荷为
，发射的粒子在第三象限磁场中运动后均经坐标原点
射入第
一象限（含坐标轴），部分粒子将被收集器收集。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑粒子二次
进入第一、四象限磁场的情况。求：
（1）第三象限磁场的最小面积；
（2）被收集器收集的带电粒子与粒子源发射的粒子数之比。
跟踪训练1．（2025·江苏省南通市如皋市·二模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy 第二象限内，有垂直纸
面向外半径为R 的圆形匀强磁场I，磁感应强度为B1（大小未知），磁场分别与x、y 轴相切于P，Q 点，
在y 轴右侧有一定宽度的垂直纸面向里的匀强磁场II，磁感应强度为B2，B1=2B2，现有一长为2R 的线状粒
子源，沿+y 方向均匀发射速度为v0的同种带电粒子，粒子经磁场I 偏转后均从Q 点进入磁场II，已知粒子
质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力及粒子间相互作用。
（1）求磁场I 的磁感应强度大小B1；
（2）若粒子源发射的粒子中仅有75%能穿过磁场II 的右边界，求磁场II 的宽度d；
（3）若撤去磁场II，在y 轴右侧加磁场III，磁场III 的磁感应强度B3随横坐标x 变化的关系图线如图乙所
示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向。求从Q 点沿+x 方向射入磁场III 的粒子，运动至x=3d 处时沿+x 方
向的分速度vx。
跟踪训练2．（2025·北京市十一学校·三模）“人造小太阳”托卡马克装置使用强磁场约束高温等离子体，
使其中的带电粒子被尽可能限制在装置内部，而不与装置器壁碰撞，已知等离子体中带电粒子的平均动能
与等离子体的温度T 成正比，为约束更高温度的等离子体，则需要更强的磁场，以使带电粒子在磁场中的
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运动半径不变，由此可判断所需的磁感应强度B 正比于（ ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练3．（2025·甘肃省白银市第一中学·二模）某种离子收集装置的简化模型如图所示，x 轴下方半径
为R 的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小B1=B，圆心所在位置坐标为
（0，-R）。在x 轴下方有一线性离子源，沿x 轴正方向发射出N 个（大量）速率均为v0的同种离子，这些
离子均匀分布在离x 轴距离为0.2R~1.8R 的范围内。在x 轴的上方，存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，
该磁场上边界与x 轴平行，磁感应强度大小B2=2B。在x 轴整个正半轴上放有一厚度不计的收集板，离子
打在收集板上即刻被吸收。已知离子源中指向圆心O1方向射入磁场B1的离子，恰好从O 点沿y 轴射出。
整个装置处于真空中，不计离子重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用。
（1）求该种离子的电性和比荷
；
（2）若x 轴上方的磁场宽度d 足够大，发射的离子全部能被收集板收集，求这些离子在x 轴上方磁场中运
动最长和最短时间差∆t，以及离子能打到收集板上的区域长度L；
（3）若x 轴上方的有界磁场宽度d 可改变（只改变磁场上边界位置，下边界仍沿x 轴），请写出收集板表
面收集到的离子数n 与宽度d 的关系。
考点二 先电场后磁场
典例1．（2025·广东省揭阳市·一模）如图所示，在
坐标系的第一、四象限内有垂直于坐标平面向里的
匀强磁场，第二象限矩形OACD 区域内有沿y 轴负方向的匀强电场。场强大小为E，OA 长为
，OD 长
为L，OC 为矩形对角线，F 为对角线中点。在CF 线段上各点处不断地沿x 轴正向射出质量为m、电荷量
为g 的带正电粒子，粒子均能从O 点进入磁场，所有粒子经磁场偏转后，均打在y 轴上的荧光屏上，荧光
屏上有粒子打到的区域长度为L，不计粒子的重力。求：
（1）从C 点射出的粒子速度为多大；
（2）匀强磁场的磁感应强度为多大；
（3）若将荧光屏绕O 点顺时针转过
时，荧光屏上打有粒子的区域长度又为多少（所有粒子均能打在
荧光屏上，
）。
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典例2．（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）如图所示，在
的范围内，存在与
轴成
角
斜向右下的匀强电场，电场强度的大小为
。在
的范围内，存在垂直于纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度的大小记为
（未知）。现将一电荷量为
，质量为
的粒子从原点
处由静止释放。该粒子的整个运动过程中，除电场力和洛伦兹力外，所受其它的力均可忽略不计。求：
（1）该粒子第一次进入右侧磁场时的速度大小
。
（2）磁感应强度
取何值才能使该粒子第一次进入右侧磁场时，轨迹恰好与
轴相切？
（3）在第（2）问的情形下，粒子第2 次回到
轴时的位置坐标。
典例3．（2025·天津市耀华中学·二模）（多选）如图所示，在Oxy 坐标系内，两平行极板P、Q 垂直于y
轴且关于x 轴对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y 轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁
场，方向垂直于Oxy 平面向里。一个质量为m、电量为+q 的带电粒子以一定的初速度v0沿x 轴正方向射入
电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次进入电场。则
（ ）
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A. 极板P 带正电
B. 粒子进入磁场时速度方向与y 轴夹角为60°
C. 匀强磁场磁感应强度大小为
D. 粒子最终离开电场时速度大小为v0
跟踪训练1．（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·二模）小阳同学依据高中所学知识设计一粒子加速器，
其原理如图所示。空间
区域存在垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场。
区域存在斜向右
上方的匀强电场，电场强度为
，方向与
轴正方向夹角为
。在点（0，d）处有一粒子发射源，
能发射带电荷量为
、质量为
的带正电粒子，已知出射的粒子有固定的初速度
，且方向与
轴成
，不计粒子重力，求：
（1）粒子从出发到进入磁场前所经历的时间；
（2）粒子第2025 次进入磁场的点与离开磁场的点之间的距离；
（3）若粒子经过
次加速后从
轴上的某点射出电场，求粒子此时的速度大小以及该出射点的横坐标。
跟踪训练2．（2025·辽宁省葫芦岛市·二模）在高能粒子物理实验室中，科学家正在进行一项名为“磁场制
导”的关键实验。实验目标是通过精确调控磁场，使电子经加速后从枪口射出，沿预设路径击中远端的靶
点。如图所示，电子在电子枪内经电压
从静止加速后从枪口
沿直线
方向射出，立即进入垂直纸面向
里的匀强磁场中，然后精准打击距枪口
距离为
的靶点
，
与
之间夹角为
（弧度制）。已知
电子电荷量为
，质量为
，重力可忽略不计，电子在枪内运动不受磁场影响。求：
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（1）电子离开枪口
时的速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）电子从离开枪口
第一次到靶点
所经历的时间。
跟踪训练3．（2025·河南省安阳市·三模）如图所示，平面直角坐标系
内，
为磁场、电场的分界
线，与
轴正方向的夹角为
，在
区域内（含边界）存在垂直于
平面向里的匀强磁场，在
线之上有范围足够大的电场，此电场由许多独立的匀强电场组成，电场强度方向均垂直于
向下，
沿
的宽度均为
，电场强度大小En= E0
n
(n=1,2,3,⋯)，每个电场区域包含右边界。一质量为
、电荷量为
的粒子以初速度
从
轴上的
点（图中未画出）沿
轴正方向射入匀强磁场，
并恰好垂直
进入电场，粒子恰好到达
轴，不计粒子的重力，
，
。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子在第2n(n=1,2,3,⋯)次从
离开电场前瞬间的加速度大小；
（3）粒子从第1 次经过
到第50 次到达
的过程运动的总路程。
考点三 先磁场后电场
典例1．（2025·福建省福州第一中学·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，在半径为R 的圆
形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场Ⅰ，圆与x 轴相切于P 点。在抛物线
与y 轴之间有沿
轴负方向的匀强电场。在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强
度也为B 的范围足够大的匀强磁场Ⅱ。在第一象限内y=R 处有一平行于x 轴的足够大的荧光屏。在P 点持
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续发射出大量同种带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与x 轴正方向夹角分布在0~180°范围内。
其中沿与x 轴负方向成
角方向射出的粒子在磁场Ⅰ中偏转后沿x 轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从
坐标原点O 射入磁场Ⅱ中，经磁场Ⅱ偏转后打在荧光屏上。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子的
重力及粒子间的相互作用。
（1）求粒子从P 点射出的初速度大小；
（2）求匀强电场的电场强度大小；
（3）求粒子打在荧光屏上形成亮线的长度。
典例2．（2025·安徽省江南十校·一模）如图所示，在xOy 直角坐标系内，与x 轴相切的半径为
的圆
形区域内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
，圆形区域外的第一象限内分布有沿
x 轴正方向的匀强电场，电场强度
。在坐标原点O 处有一离子源，可向 x 轴上方各个方
向发射速度大小
的负离子，离子比荷
，不计离子重力。求：
（1）沿y 轴正方向发射的离子第一次在磁场中的运动时间；
（2）沿与x 轴正方向成45°角发射的离子，第三次经过y 轴的位置坐标；
（3）若将电场区和磁场区重叠，且电场和磁场的范围均扩大到足够大，沿y 轴正方向发射的离子在运动过
程中，运动轨迹的x 坐标与其运动时间t 的关系式。
典例3．（2025·安徽省阜阳一中、阜阳三中·二模）电子工业中，离子注入成为了微电子工艺中一种重要的
掺杂技术，利用磁场、电场可以实现离子的分离和注入。某同学设想的一种离子分离与注入原理如图所示。
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空间直角坐标系O-xyz 中，x 轴正半轴上放置有足够长涂有荧光物质的细棒，有离子击中的点会发出荧光。
在Oxy 平面的上方分布有沿y 轴正向的匀强磁场，磁感应强度为B。一发射带正电离子的离子源置于坐标
原点O，只在Oxz 平面内不断射出速率均为v 的离子，速度方向分布在z 轴两侧各为
角的范围内，
且沿各个方向的离子个数均匀分布，包含有电量相同，质量分别为m 和0.5m 的两种离子。发现x 轴上出现
两条亮线，可确认击中右侧亮线最右端到O 点的距离为L。不计离子间的相互作用力和离子重力，整个装
置置于真空中。（
，
）
（1）质量0.5m 的离子在x 轴上的亮线长度∆x1；
（2）若磁感应强度在（B-kB）~（B+kB）范围内波动（k 小于0.5，波动周期远大于离子在磁场中的运动时
间），要使x 轴上的两条亮线某时刻恰好能连接成一条亮线，求k 值；
（3）若某段时间内磁感应强度恒为B，θ 角增为
，离子源只发出质量为m 的离子。在Oxy 平面的上方
再施加沿y 轴正向的匀强电场，电场强度为E，在Oxy 平面上某点（O 点除外）垂直离子速度方向放置待
注入离子的某种材料小圆板（忽略大小），可得到最大注入深度，若离子进入该材料过程中受到的阻力恒
为其速度的k 倍，求该最大深度d。
跟踪训练1．（2025·河北省保定市·二模）如图所示，平面直角坐标系中，在第二、三象限以
为
圆心、半径
的圆内分布着匀强磁场，磁场的磁感应强度大小
，方向垂直于纸面向里，在y
轴与
之间有范围足够大、方向平行于x 轴的匀强电场（图中未画出）。一质量
、
电荷量
的带负电粒子（不计重力）以某一速度从
处射入磁场，射入磁场时，粒
子的速度方向与水平方向成
并垂直于磁场方向，一段时间后粒子正好从坐标原点进入第四象限的
匀强电场中，最后从坐标
处离开电场。求：
（1）粒子射入磁场时的速度大小v 及在磁场中运动的时间t；
（2）匀强电场的电场强度大小E 及方向；
（3）粒子离开匀强电场时的速度大小。
跟踪训练2．（2025·安徽省淮北市和淮南市·二模）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。
如图所示，位于真空中的xOy 平面内，x＜0 区域有一个圆心为P、半径为r 的圆形区域，其内部存在方向
垂直纸面向里的匀强磁场。x＞0 区域存在多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为
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d，纵向尺寸足够大。电场强度大小为E，方向水平向右；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场、
磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。质量为m、电荷量为＋q 的大量同种粒子，从圆形区域的最高点
M 以相同速率v 沿不同方向垂直射入圆形磁场区域，在圆形区域磁场中做匀速圆周运动的半径等于r。不
计粒子的重力及粒子间相互作用的影响。
（1）证明所有粒子均平行于x 轴射出圆形磁场区域；
（2）求粒子在第1 层磁场中运动的速度大小
和轨迹半径
；
（3）粒子从第n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为
，求
。
跟踪训练3．（2025·山东省烟台市·三模）如图所示，在平面直角坐标系
的第一象限内存在磁感应强度
大小为
、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场的上边界是以
为圆心、半径为R 的圆
弧，下边界是以
为圆心、半径为
的圆弧；第四象限内存在沿着x 轴正方向、大小
的匀强电场，第三象限内同时存在沿着y 轴正方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，其中电场强度
大小为
，磁感应强度的大小也为
。一个质量为m、电荷量为
的粒子以大小为
的速度从y 轴上的
点正对圆心
方向射入第一象限的磁场中，离开磁场后进入
第四象限的电场之中，然后从y 轴上的Q 点离开电场进入第三象限的电磁场中，不计粒子的重力，忽略粒
子对电磁场的影响，求：
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（1）粒子进入第四象限时的速度方向与x 轴正方向的夹角；
（2）Q 点的纵坐标；
（3）粒子从P 点运动到Q 点的过程中经过的时间；
（4）粒子在第三象限内运动过程中的最大速度；
考点四 叠加场中的运动
典例1．（2025·江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学·三模）如图所示，光滑圆管竖直固定在水平
匀强磁场中，一带正电小球从管口静止开始下落，圆管对小球的冲量I 随下落时间t 和下落高度h 关系图像
中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
典例2．（2025·辽宁省丹东市·二模）如图所示，平行板电容器两极板水平放置，两板间电压为U，板长为
d，板间距离为
，极板间存在垂直纸面水平向外的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为m 的带正电物
块（可看成质点）以初速度
沿水平方向从电容器上极板左侧边缘进入电容器，做匀速圆周运动，从电容
器下板右侧边缘离开电容器，恰好由A 点沿切线进入固定的竖直光滑绝缘圆弧轨道，并从轨道最低点C 滑
上水平传送带（传送带足够长），传送带紧靠圆弧轨道末端，并与其水平相切。重力加速度大小为g，忽
略空气阻力。
（1）求两极板间磁场的磁感应强度
的大小；
（2）若仅在该圆弧轨道空间存在与平面平行的水平向左的匀强电场（图中未画出），物块所受的电场力
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，圆轨道半径
，求物块对轨道的最大压力大小；
（3）若在（2）问的基础上，轨道C 点右侧空间再加上垂直纸面水平向里的匀强磁场，磁感应强度B＝
1.0T，带电物块从电容器上极板左侧边缘进入电容器的初速度
m/s，物块质量为m＝2kg，电荷量q
＝2.0C，传送带以12m/s 的速度顺时针匀速转动，已知g 取10
，求物块滑上传送带过程中传送带对
物块做的功。
典例3．（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·一模）如图甲所示，一个倾角为θ=30°
斜面体固定于水平
面上，该斜面体的上表面abcd 采用了一种全新的复合型材料，使其呈现出平行于ab 方向光滑、平行于ad
方向粗糙且动摩擦因数恒定的物理特性。沿ad 方向存在着变化的磁场，B-t 图像如图乙所示。t=0 时有一带
电小物块从a 点以v0沿ab 方向冲上斜面，若t=8s 时物块通过
点且速度恰好仍为v0。已知物块质量
m=0.3kg，电荷量q=+1C，速度
，t=8s 时的磁感应强度Bm=0.5T，重力加速度g=10m/s2，小物
块可当做质点，则（ ）
A. 小物块做类平抛运动
B. 斜面平行于ad 方向的动摩擦因数
C. t=8s 时的加速度大小为5m/s2
D. 整个过程中小物块的速度最大值为
跟踪训练1．（2025·四川省成都市新津中学·一模）（多选）如图所示为一种质谱仪的示意图，该质谱仪由
速度选择器、静电分析器和磁分析器组成。若速度选择器中电场强度大小为E1，磁感应强度大小为B1、方
向垂直纸面向里。静电分析器通道中心线为
圆弧，圆弧的半径（OP）为R，通道内有均匀辐射的电场，
在中心线处的电场强度大小为E．磁分析器中有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面向外。一带电粒子以速度v 沿直线经过速度选择器后沿中心线通过静电分析器，由P 点垂直边
界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q 点。不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
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A. 粒子一定带负电
B. 极板P1的电势比极板P2的电势高
C. 粒子的速度
D. 粒子的比荷为
跟踪训练2．（2025·云南省丽江市第一高级中学·二模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，y 轴沿
竖直方向。在
到
之间存在竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，一个带电微
粒从坐标原点以一定的初速度沿x 轴正方向抛出，进入电场和磁场后恰好在竖直平面内做匀速圆周运动，
离开电场和磁场后，带电微粒恰好沿x 轴正方向通过x 轴上
的位置。已知匀强电场的电场强度为E，
匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g。求：
（1）带电微粒比荷k 的大小；
（2）带电微粒离开电场和磁场后，通过x 轴上
的位置时的速度
的大小。
跟踪训练3．（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·一模）如图所示，在
平面直角坐标系的
区域
内，
轴两侧存在两边长为
的正方形匀强磁场区域，其直线边界与
轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。
在第一、二象限存在沿
方向的匀强电场，电场强度大小为
。一带负电粒子质量为
，电荷量为
，
从
点以速度
沿
方向射入电磁场区域，已知粒子正好能沿直线匀速穿过矩形区域，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度
的大小；
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（2）若撤去电场并改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达
轴上与
点距离为
的
点，求粒子的
入射速度大小；
（3）保持电磁场不变，仅使粒子的入射速度大小改为
，粒子恰以与
轴成
角方向离开磁场。
若
，求粒子在电磁场中运动的整个过程中粒子到
轴的最远距离，以及粒子在磁场中运
动的总时间。
考点五 不共面的运动
典例1．（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）如图，M、Q、N 为相互平行的竖直平面，间距均为
L，在N 上建立xOy 直角坐标系，x 轴水平。
处有一粒子源，
连线垂直于竖直平面。MQ 间区域有
沿x 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，QN 间区域有沿x 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为
E。粒子源发出速率为v 的正电粒子，粒子沿
方向运动，经磁场偏转通过Q 平面时，其速度方向与
夹角为
，再经电场偏转通过N 平面上的P 点（图中未标出）。忽略粒子间相互作用及粒子重力，
求：
（1）粒子
电荷量与质量之比；
（2）粒子从Q 运动到N 的时间；
（3）P 点的坐标（x，y）。
典例2．（2025·黑龙江省齐齐哈尔市·三模）如图所示，三维坐标系Oxyz 内存在着正四棱柱空间区域，正
四棱柱的截面OPMN 水平且与
的两个底面平行，其中A 点的坐标为
，C 点的
坐标为
，正四棱柱
空间处于沿y 轴方向的匀强电场中，
空
间处于沿y 轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为
的粒子以速度
从A 点沿AD 方向射出，经电
场偏转后恰好从截面OPMN 的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。
（1）求匀强电场的电场强度；
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（2）若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子最终从JH 连线上的一点射出磁场区域，此点到J 点的距离为
，求I 点的y 轴坐标。
跟踪训练1．（2025·广西南宁市·三模）如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y 轴垂直
且交于C 点）左侧区域Ⅰ存在沿x 轴正方向的匀强磁场，
，右侧区域Ⅱ存在沿z 轴正方向的匀强磁
场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为
的A 点沿yOz 平面发射一质量为m，电
荷量为
的粒子，粒子的初速度大小为
、方向与y 轴负方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直
于平面MNPQ 进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）粒子从A 点出发至第2 次到达平面MNPQ 的时间；
（3）若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z 轴负方向的匀强电场，求粒子从A 点出发后第n 次经过平面
MNPQ 时的速度大小。
跟踪训练2．（2025·吉林省长春市·三模）如图，在空间直角坐标系
中存在磁感应强度大小为
的
匀强磁场，磁场沿
轴正方向，在
处有一垂直
轴足够大的接收屏。原点
处有一粒子源，仅在
平面内向各个方向发射速度大小为
、质量为
、电荷量为
的正电粒子。不计粒子重力、粒子间的
相互作用和接收屏累积电荷产生的影响。
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（1）求粒子运动的半径
和周期
。
（2）若在磁场区再加一个沿
轴正方向电场强度大小为
的匀强电场（未画出），求粒子打到接收
屏上
坐标最大值和最小值两点的空间坐标。
（3）若粒子源只向
轴负方向发射该种粒子，粒子在磁场中运动时始终受到与速度大小成正比、方向相反
的阻力，比例系数为
。粒子速度第一次沿
轴正方向时的位置设为
点（未画出），已知
点的
坐标
为
，求
点的空间坐标和粒子在
点的速度大小
。
1．（2025·四川省成都市·二诊）（多选）如图所示，等腰直角三角形
内有一垂直纸面向里的匀强磁场
（
边界无磁场），
边长为
，磁场磁感应强度大小为B。ab 边中点的粒子源
垂直
以不同速率向
磁场内发射带负电的粒子，粒子质量为
，电荷量为
，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确
的是（ ）
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A. 粒子可能从
点飞出磁场
B. 粒子可能从
点飞出磁场
C. 能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
2．（2025·陕西省西安市长安区·三模）（多选）如图所示为某一科研设备中对电子运动范围进行约束的装
置简化图。现有一足够高的圆柱形空间，其底面半径为R，现以底面圆心为坐标原点，建立空间直角坐标
系
。在圆柱形区域内存在着沿z 轴负向的匀强磁场和匀强电场，在
的区域内存在着沿x 轴正
向的匀强电场。坐标为
的P 点有一电子源，在xOy 平面内同时沿不同方向向圆柱形区域内发射
了一群质量为m，电荷量为
的电子，速度大小均为
。已知磁感应强度的大小为
，不计粒子的重
力，则从电子发射到完全离开圆柱形区域的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子完全离开圆柱形区域时速度方向均不相同
B. 粒子完全离开圆柱形区域时的速度方向均平行于xOy 平面
C. 所有粒子在磁场中运动的总时间均相同
D. 最晚和最早完全离开圆柱形区域的粒子的时间差为
3．（2025·四川省成都市石室中学·一模）图甲是中华太极图，生动地表示了宇宙万物的结构及运动规律，
她人类文明的无价之宝。图乙是大圆O 内及圆周上有磁感应强度大小为B，方向相反的匀强磁场太极图。
两个半圆的圆心O’，O
在圆O 的同一直径MN 上，半圆直径均为圆O 的半径R。曲线MON 左侧的磁场方
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向垂直直面向外。质量为m，电荷量为q 的质子（不计重力），以某初速度从N 点沿纸面与NM 夹角
θ=30°射入右侧磁场，恰好通过O 点进入左侧磁场，并从M 点射出。
（1）求质子的初速度大小v1；
（2）求质子从N 点运动到M 点所用的时间t0；
（3）若θ＝90°，曲线MON 上的磁场方向垂直纸面向里，要使质子不进入曲线MON 左侧磁场中，求质子
速度的大小范围。
4．（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒
子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为
，方向沿纸面向下，匀强磁场
的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向
垂直纸面向里。从S 点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再
由O 点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
（1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
（2）求O 点到P 点的距离。
（3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场
电场强度大小变为
（
略大于
），方向不变，粒子恰好垂直打
在速度选择器右挡板的
点上。求粒子打在
点的速度大小。
5．（2025·云南省怒江傈僳族自治州民族中学·一模）托卡马克是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形
容器，如图甲所示，它的中央是一个环形的真空室，外面缠绕着线圈，在通电的时候托卡马克的内部产生
的磁场可以把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内。如图乙为该磁约束装置的简化模型，两个圆心
均在O 点，半径分别为R1=R 和
（R 为已知量）的圆将空间分成圆形区域I 和环形区域II，
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区域I 内无磁场，区域II 内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一束不同速率、电
荷量为+q、质量为m 的带电粒子从O 点沿着区域I 的半径方向射入环形的匀强磁场，不计一切阻力与粒子
重力。
（1）若某粒子从O 点沿x 轴正方向射出，沿y 轴负方向第一次返回区域I，求该粒子的速度大小；
（2）求能约束在此装置内的粒子的最大初动能Ekm；
（3）求粒子从射入环形磁场到第一次返回圆形区域I，在区域II 中运动的最长时间。
6．（2025·北京市北京大学附属中学·三模）某一具有速度选择器的质谱仪原理如图所示，
为粒子加速器，
加速电压未知；
为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度大小为
，方向未知；两板间电场强度大
小为
，方向如图所示：
为偏转分离器，磁感应强度为
方向垂直纸面向里。今有一带电的粒子（不
计重力），经加速后，该粒子恰能通过速度选择器，且从
点进入分离器后做匀速圆周运动打在
点，
已知
之间的距离为
。求：
（1）在速度选择器中的磁场方向和粒子的电性；
（2）粒子进入
点的速度大小
；
（3）粒子的比荷
。
7．（2025·北京市大兴精华学校·三模）电磁流量计广泛应用于测量可导电液体（如污水）在管中的流量
（单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一
段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的
、
、
，流量计的两端与输送流体的管道相连接（图
中虚线）。图中流量计的上、下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感应强度
为
的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两
表面分别与一串联了电阻
的电流表的电路连接，
表示测得的电流值，已知流体的电阻率为
，不计电
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流表的内阻，则（ ）
A. 流量为
B. 流量为
C. 若污水浓度变大，则流体的电阻率变大
D. 若流体的电阻率变小，则上下两板间电势差将变大
8．（2025·广东省清远市·二模）左装置为回旋加速器的示意图，两个靠得很近的D 形金属盒处在磁感应强
度大小为B 且垂直盒面的匀强磁场中。右装置为质谱仪的示意图，离子源S 产生质量不同带电量相同的离
子（速度可看作零），经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P 点。不计粒子
的重力，以下说法正确的是（ ）
A. 右装置中，加速电场方向竖直向上
B. 左装置中，带电粒子通过磁场后动能增大
C. 左装置中，电压U 越大，带电粒子获得的最大动能也越大
D. 右装置中，打在P 点的粒子质量大，在磁场中运动的速率大
9．（2025·北京市第三十五中学·三模）某质谱仪原理如图所示，A 为粒子加速器，加速电压为
：B 为速
度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为
，两板间距离为d；C 为偏转分离器，磁感应强度为
。现
有一质量为m，电荷是为
的粒子（不计重力），初速度为0，经A 加速后，该粒子进入B 恰好做匀速
运动，粒子从M 点进入C 后做匀速圆周运动，打在底片上的N 点。求：
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（1）粒子进入速度选择器的速度大小v；
（2）速度选择器两板间的电压
；
（3）MN
距离L。
10．（2025·北京市第一零一中学·三模）如图所示，某带电粒子（重力不计）由M 点以垂直于磁场边界的
速度v 射入宽度为d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为
，磁场的磁感
应强度大小为B。由此推断该带电粒子（ ）
A. 带负电且动能不变
B. 运动轨迹为抛物线
C. 电荷量与质量的比值为
D. 穿越磁场的时间为
11. （2025·北京市第一零一中学·三模）如图所示的MNPQ 区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的
匀强磁场，现有两个带电微粒
、
均从边界
的
点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀
速圆周运动，则下列说法错误的是（ ）
A. a、b 两微粒均带正电
B. a、b 两微粒在该区域运动周期一定相等
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C. a、b 两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等
D. 仅增加磁场强度a、b 一定都能做匀速圆周运动
12. （2025·湖南省长沙市南雅中学·三模）（多选）如图所示，竖直平面内半径为R 的圆形区域内有一垂直
纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q 为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N 为圆形区域水
平直径的两个端点。大量质量均为m、电荷量为q 的带正电粒子，以相同的速率从P 点向纸面内的各个方
向射入磁场区域。粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（ ）
A. 若粒子射入磁场的速率为
，则粒子均沿竖直方向射出磁场
B. 若粒子射入磁场的速率为
，则粒子最远可以从M 点射出磁场
C. 若粒子射入磁场的速率为
，则粒子在磁场中运动的时间可能为
D. 若粒子射入磁场的速率为
，则可能有粒子从N 点射出磁场
13. （2024·北京市北京师范大学第二附属中学·第二次统练）回旋加速器由两个铝制的D 形盒组成，两个
D 形盒中间开有一条狭缝。D 形盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压。下图为俯视图，在D 形盒上半面
中心S 处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D 形盒中。在磁场力的作用下运动半
周，再经狭缝电压加速。如此周而复始，最后到达D 形盒的边缘，获得最大速度，由导出装置导出。现欲
使该离子加速后获得的最大动能变成原来的2 倍，理论上可采用的办法有（不考虑相对论效应）（ ）
A. 只将交变电源的最大电压变为原来的2 倍
B. 只将交变电源的频率变为原来的2 倍
C. 只将磁感应强度变为原来的
倍
D. 只将D 形盒的半径变为原来的
倍
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1．（2025·湖北省黄石市第二中学·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy 内，过原点的直线l 与+x 轴的夹
角为φ=37°，将y 轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y 轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强
度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q 的带电粒子P
从O 点沿+y 方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。（sin37º=0.6，cos37º=0.8）
（1）若Ⅱ区磁场方向垂直纸面向里，欲使粒子P 不能到达x 轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度B′应满足的条件；
（2）将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P 仍从O 点沿+y 方向以初速度v0射出，
运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P 速度第
一次沿－y 方向的位置在直线l 上。求比例系数k 的大小及粒子最终停止的位置坐标。
2．（2025·湖北省武汉二中·一模）如图所示，水平虚线MN 的下方存在竖直向上、电场强度为
（大小未
知）的匀强电场，上方有一圆心为O、半径为R 的半圆形区域，该区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度
大小为B 的匀强磁场和水平方向、电场强度为
（大小未知）的匀强电场，O 点正下方的S 处有一粒子源，
能向外释放初速度为零的带正电粒子，粒子经过O 点进入半圆形区域，并沿竖直半径方向做直线运动。已
知粒子在半圆形区域内运动的时间为
，粒子的重力忽略不计。
（1）求电场强度
的大小和方向；
（2）若仅将半圆形区域内的磁场撤去，粒子仍从S 处静止释放，结果粒子在半圆形区域内运动的时间变为
，求粒子的比荷以及S、O 之间的电势差；
（3）若将半圆形区域内的匀强电场撤去，且将虚线下方的电场强度
增大到原来的16 倍，粒子仍从S 处
静止释放，求粒子在半圆形区域内运动的时间．
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3．（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）如图所示，平面直角坐标系内有过原点
和
轴
上
点的圆形虚线边界，其直径为
，边界内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
．第四
象限存在沿
轴负方向的匀强电场，虚线半圆弧的半径为
，直径
与圆心
在
轴上，
两点之
间的距离也为
，一质量为
的带正电粒子（不计重力），从
点以沿着
轴负方向的速度
射入磁场，
其圆弧轨迹的圆心在
点，粒子从
点射出磁场后立即进入电场，最后运动到半圆弧上的
点，已知
，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中圆周运动的轨迹半径为
B. 粒子的带电荷量为
C. 匀强电场的电场强度为
D. 若粒子离开
点运动到虚线半圆弧的顶点
，则粒子从
到
的运动时间为
4．（2025·江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学·三模）如图所示，坐标系xOy 平面在纸面内，在
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的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，
的区域Ⅰ和
的区域Ⅱ的磁感应强度大小分别为
和
。大量质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从原点O 在坐标平面内向与x 正方向成
角射入，粒子的速度大小相等，方向随角度均匀分布。沿y 轴正方向射入的粒子在
点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
（1）求粒子从原点O 射入磁场时的速度大小v；
（2）若在两磁场分界处有一垂直于xOy 平面的足够大竖直挡板，求打到挡板上的粒子数占总粒子数的百
分比
；
（3）若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k，观察发现沿y 轴正方向
射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并与两磁场的边界相切于Q 点（未画出），求该粒子由P 点
运动到Q 点的时间t 及该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度l。
5．（2025·四川省成都市新津中学·一模）如图所示，一倾角为37°的固定斜面中间区域存在方向垂直纸面
向里的匀强磁场，磁场的边界（图中虚线）与斜面垂直，磁感应强度
。斜面上静止放置一质量为
的绝缘长木板B，其最右端P 带负电（可视为将一点电荷固定于P 点），电荷量
，P 距
磁场左边界的距离为L，一质量为
可视为质点的物块A 从长木板最左端以沿斜面向下的初速度
滑上长木板，物块与长木板之间的摩擦因数为
。长木板最右端P 进入磁场后立即开始匀速运动，当
其最右端P 离开磁场时，物块正好进入磁场，一段时间后物块离开磁场时恰好与长木板第一次共速，此后
两物体一起以3m/s 的速度匀速运动。重力加速度g 取
。求：
（1）长木板与斜面间的摩擦因数
；
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（2）长木板最右端P 刚进入磁场时的速度
以及初始时长木板最右端离磁场左边界的距离L；
（3）物块A 的初速度
。
6．（2025·云南省怒江州民族中学·二模）如图所示，水平面内存在一坐标系，在y 轴左侧存在一水平向左
的匀强电场，电场强度大小为E，在y 轴右侧、x 轴上方和下方分别存在方向垂直于纸面向里和向外的匀强
磁场。磁感应强度大小分别为
和
。在坐标（
处有一粒子源S 能释放初速度为零。质量为
m、电荷量大小为q 带负电的粒子，经过电场和磁场作用后第一次从x 轴上
点进入x 轴下方的磁
场，在x 轴下方运动过程中轨迹恰好与y 轴的负半轴相切。（不计粒子所受重力）求：
（1）粒子在电场中的运动时间；
（2）
。
7．（2025·北京市第一零一中学·三模）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水，含有大量的正负
离子）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示
的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流
体的管道相连接（图中虚线）。图中流量计的前、后两面是金属材料，上、下两面是绝缘材料。现于流量
计所在处加磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向竖直向上。当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将
流量计前、后表面分别与一串接了电阻R 的电流表的两端连接，I 表示测得的电流值。已知流体的电阻率
为ρ，不计电流表的内阻，则（ ）
A. 若流体速度向右，则前表面电势低于后表面电势
B. 若将电流表改为电磁流量计，其刻度是不均匀的
C. 此时导电流体的流量为
D. 此时导电流体的流量为
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8．（2025·北京市第一零一中学·三模）在霍尔效应中，霍尔电压与通过导体的电流之比被定义为霍尔电阻，
可用符号
表示，通常情况下，霍尔电阻与外加磁场的磁感应强度成正比。但在超低温、强磁场的极端条
件下，某些材料的霍尔电阻却随着强磁场的增加出现量子化现象：
h 是普朗克常数，e 是电子
的电量， v 既可以取1、2、3…等整数，也可以取某些小于1 的分数，这就是量子霍尔效应现象。实验发
现，当霍尔电阻处于量子态时，材料中的电子将沿边缘带做定向运动，几乎不受阻力作用。2013 年，清华
大学薛其坤团队发现，在超低温（0.03K）环境条件下，具备特殊结构的拓补绝缘体材料可以自发地发生
磁化，此时不需要外加磁场也会发生量子霍尔效应，这种现象被称为量子反常霍尔效应。结合以上资料，
可以判断下列说法正确的是（ ）
A. 同欧姆电阻类似，霍尔电阻越大，表明材料对通过它的电流的阻碍越强
B. 要发生量子霍尔效应现象，外部环境条件有两个，一是要具备超低温环境，二是要具备超强的磁场
C. 具备量子反常霍尔效应的磁性拓补绝缘材料已成为新一代低能耗芯片的制造材料
D. 霍尔电阻的量子态表达式中的常数组合
与欧姆电阻具有相同的单位
9．（2025·甘肃省白银市第八中学·三模）如图所示，在一半径为
的圆形区域内存在以该圆圆心
为中心、
辐射向外的电场，该电场的场强满足
（其中
为已知常量、
为圆形区域内某点到圆心
的距
离）。在
的环形区域内有一垂直于纸面的磁场，磁感应强度满足
（其中
为未知常量、
为环形区域内某点到圆心
的距离）。圆心
处有一粒子源不断地射出质量为
、电荷量为
（
）的带电粒子，粒子的初速度可视为零。不计粒子间的相互作用及粒子的重力。
（1）求圆心
与电场与磁场的交界处的电势差；
（2）求粒子运动到电场与磁场的交界处的速度大小；
（3）为使所有粒子在第一次经过磁场的过程中均不能从环形区域的外边界射出，求
至少为多大。
10．（2025·广东省深圳市龙岗区华中师范大学附属中学·三模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy
中，第二象限内有沿x 轴负方向的匀强电场
（大小未知）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未
画出），第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（图中未画出）。一质量
为m、电荷量为q 的带正电小球（视为质点）从P 点以大小
的速度沿PO 方向做直线运动，通过
O 点第一次通过x 轴后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过Q 点（第二次通过x 轴）。已知P、Q 的
坐标分别为
和
，重力加速度大小为g，求：
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（1）第二象限内，匀强电场的电场强度大小
；
（2）小球从P 点运动到Q 点的时间t；
（3）小球第五次通过x 轴时的横坐标。
11. （2025·河南省洛阳市·三模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在垂直于xOy 平面的磁
场（图中未画出），规定垂直于xOy 平面向外为磁感应强度正方向，该区域内磁感应强度随时间变化的规
律如图乙所示；第二象限内（含x 轴负半轴）存在沿y 轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的
带正电的粒子由A 点（−L，0）沿x 轴正方向以大小为v0的速度射入电场，在t=0 时刻，粒子经y 轴上的P
点与y 轴正方向成θ=30°角射入第一象限，忽略粒子重力。求：
（1）电场强度的大小；
（2）在
至
时间内，粒子运动轨迹的半径；
（3）在
时刻，粒子
位置坐标。
12. （2025·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学·三模）如图甲所示，长为a 的平行板M、N 分别位于第一、
第二象限内，与坐标平面垂直并与y 轴平行，两板到y 轴的距离相等，两板的下端均在x 轴上，两板上所
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加的电压随时间变化的规律如图乙所示（图乙中
均已知），在第三、四象限内有垂直于坐标平面
向里的匀强磁场。在y 轴上
的P 点沿y 轴负方向均匀地射出质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，每
个粒子均能进入磁场且从P 点射出到进入磁场所用的时间均为
，从
时刻射出的粒子刚好从N 板下
边缘进入磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，磁场的磁感应强度大小为
，求：
（1）M、N 板间的距离为多少；
（2）能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为多少；
（3）若将M、N 极板上段截去一部分，使所有粒子从P 点射出后经电场、磁场偏转后均不能再进入电场，
则截去部分的长度至少为多少。
13. （2025·云南省怒江州民族中学·三模）如图所示，空间存在三个完全相同的长方体通道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，三个
通道的正视图为边长为a 的正方形，通道的长度足够长，通道Ⅰ存在竖直向上的磁感应强度大小为B 的匀强
磁场，通道Ⅱ为无场区，通道Ⅲ中存在竖直向下的匀强磁场.第一次，比荷为k 的正粒子由左侧面1 上的О
点以与侧面1 成α=60°的夹角沿水平方向以速度
（
未知）射入区域I，该粒子刚好没有通过竖直面2；
第二次，仅改变粒子的速度大小，粒子在通道Ⅰ中的运动时间为第一次的
，最终粒子刚好不从竖直面4 射
出，忽略粒子的重力.求：
（1）第一次，粒子的速度
；
（2）第二次，粒子射入通道的速度；
（3）通道Ⅲ中磁感应强度的大小B′以及第二次粒子在通道中运动的总时间。
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1．（2025 年安徽卷第7 题）如图，在竖直平面内的
直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴放置足够长的探测薄板MN，MN 到
x 轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O 的粒子源，沿
平面向x 轴上方各个方向均匀
发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为
。不计粒子的重力、空
气阻力及粒子间的相互作用，则（ ）
A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B. 薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C. 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D. 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
2．（2025 年北京卷第12 题）电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液
体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应
强度为B。液体充满管道并以速度v 沿轴线方向流动，圆管壁上的
两点连线为直径，且垂直于磁场
方向，
两点的电势差为
。下列说法错误的是（ ）
A. N 点电势比M 点高
B.
正比于流量Q
C. 在流量Q 一定时，管道半径越小，
越小
D. 若直径
与磁场方向不垂直，测得的流量Q 偏
小
3．（2025 年北京卷第18 题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的
运动测量粒子的质量、动量等物理量。
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考虑带电粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。
（1）一个电荷量为
的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T 与质量m 的关系。
（2）两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1 的速度方向与磁场方向垂直，粒子2 的速度方向与磁场方
向平行。在相同的时间内，粒子1 在半径为R 的圆周上转过的圆心角为
，粒子2 运动的距离为d。求：
a．粒子1 与粒子2 的速度大小之比
；
b．粒子2 的动量大小
。
4．（2025 年甘肃卷第10 题）（多选）2025 年5 月1 日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超
导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化
示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为
。
在内圆上A 点有a、b、c 三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c 带正
电且比荷均为
，a 粒子的速度大小为
，方向沿同心圆的径向；b 和c 粒子速度方向相反且与a
粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ）
A. 外圆半径等于
B. a 粒子返回A 点所用的最短时间为
C. b、c 粒子返回A 点所用的最短时间之比为
D. c 粒子的速度大小为
5．（2025 年广东卷第6 题）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ 内有加速电场，三段圆弧
内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为
、质量为m 的离子以初速度
从P 处进入加速电场后，沿
顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力
和相对论效应，下列说法正确的是（ ）
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A. 偏转磁场的方向垂直纸面向里
B. 第1 次加速后，离子的动能增加了
C. 第k 次加速后．离子的速度大小变为
D. 第k 次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为
6． （2025 年河北卷第10 题）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板
水平固定，间距为
板接地。M 板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M 板O 点处正上方P 点有一粒子源，
可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与
的夹角
时，
粒子恰好垂直穿过M 板Q 点处的小孔。已知
，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被
吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相
互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子一定带正电
B. 若间距d 增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C. 粒子打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为
D. 粒子打到M 板下表面的位置与Q 点的最小距离为
7．（2025 年河南卷第15 题） 如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直
向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（
）的粒子从磁场中的a 点以速度
向右水平发射，当粒子
进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为
，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧
b 点，通过b 点时其速度方向水平向右。a、b 距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为
。不
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计重力。
（1）求磁感应强度的大小；
（2）求电场强度的大小；
（3）若粒子从a 点以
竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周
期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）
8．（2025 年湖北卷第14 题）如图所示，两平行虚线MN、PQ 间无磁场。MN 左侧区域和PQ 右侧区域内
均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子
从MN 左侧O 点以大小为
的初速度射出，方向平行于MN 向上。已知O 点到MN 的距离为
，粒子
能回到O 点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求
（1）粒子在MN 左侧区域中运动轨迹的半径；
（2）粒子第一次和第二次经过PQ 时位置的间距；
（3）粒子的运动周期
9．（2025 年湖南卷第14 题）如图。直流电源的电动势为
，内阻为
，滑动变阻器R 的最大阻值为
，
平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为
，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里
的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m 的带正电粒子以初速度
水平向右从
电容器左侧中点a 进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b 点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧
边缘c 点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。
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（1）求粒子所带电荷量q；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子离开b 点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为
，
求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离
。
10．（2025 年山东卷第12 题）（多选）如图甲所示的
平面内，y 轴右侧被直线
分为两个相邻的
区域I、Ⅱ。区域I 内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直
平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均
未知。
时刻，质量为m、电荷量为
的粒子从O 点沿x 轴正向出发，在
平面内运动，在区域I
中的运动轨迹是以y 轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。
时刻粒子第一次到达两区域分界面，
在区域Ⅱ中运动的
图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是
（ ）
A. 区域I 内电场强度大小
，方向沿y 轴正方向
B. 粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径
C. 区域Ⅱ内磁感应强度大小
，方向垂直
平面向外
D. 粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标
11．（2025 年陕晋宁青卷第14 题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁
控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆
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筒足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节
且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
（1）电子的比荷
;
（2）当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
12．（2025 年四川卷第10 题）（多选）如图所示，I 区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；
Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I 区边界重合；正方形与圆形中心同为O
点。I 区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a 点沿正方形某一条边的中
垂线方向进入磁场，一段时间后从a 点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（ ）
A. 在I 区的轨迹圆心不在O 点
B. 在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为1∶2
C. 在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D. 在I 区和Ⅱ区的运动时间之上比为127∶148
13．（2025 年云南卷第14 题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，
区域存
在垂直
平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为
（未知）。第一象限内存在边长为
的正方形
磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直
平面向里，其磁感应强度大小为
（未知），但满足
。某质量为m、电荷量为
的带电粒子通过速度选择器后，在
平面内垂直y 轴射入
区域，经磁场偏转后刚好从ON 中点垂直ON 射入磁屏蔽区域。速度选择器两极
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板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小
已知，不考虑该粒子的重力。
（1）求该粒子通过速度选择器的速率；
（2）求
以及y 轴上可能检测到该粒子的范围；
（3）定义磁屏蔽效率
，若在Q 处检测到该粒子，则
是多少？
14．（2025 年重庆卷第14 题） 研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子
速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外
的匀强磁场。O、N、M 均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O 点
正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒
子速度大小相同，方向相反，比荷均为
。已知
，
，不计粒子所受重力及粒子间相
互作用。
（1）若K 水平发射的粒子在O 点产生光点，求粒子的速度大小。
（2）若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，求粒子的速
度大小。
（3）要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M 点产生光点，可在粒子发射t 时间后关闭磁场，忽略磁场
变化的影响，求t。
15. （2025 年黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古卷第15 题）如图，在
平面第一、四象限内存在垂直平面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从
点射入磁场，速度方向与y 轴正方向
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夹角
，从
点射出磁场。已知粒子的电荷量为
，质量为m，忽略粒子重力及磁场
边缘效应。
（1）求粒子射入磁场的速度大小
和在磁场中运动的时间
。
（2）若在
平面内某点固定一负点电荷，电荷量为
，粒子质量取
（k 为静电力常量），
粒子仍沿（1）中的轨迹从M 点运动到N 点，求射入磁场的速度大小
。
（3）在（2）问条件下，粒子从N 点射出磁场开始，经时间
速度方向首次与N 点速度方向相反，求
（电荷量为Q 的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0 时，与该点电荷距离为r 处的电势
）。
16. （2024 年河北卷第10 题）（多选）如图，真空区域有同心正方形ABCD 和abcd，其各对应边平行，
ABCD 的边长一定，abcd 的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A
处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD 方向进入磁场。调整abcd 的边长，
可使速度大小合适的粒子经ad 边穿过无磁场区后由BC 边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的
是（ ）
A. 若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为45°，则粒子必垂直BC 射出
B. 若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°，则粒子必垂直BC 射出
C. 若粒子经cd 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边的速度方向与ad 边夹角必为45°
D. 若粒子经bc 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角必为60°
17. （2024 年湖北卷第7 题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为
m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（
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）
A. 粒子的运动轨迹可能经过O 点
B. 粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C. 粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D. 若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
18. （2024 年广西卷第5 题）
坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向
垂直纸面向里。质量为m，电荷量为
的粒子，以初速度v 从O 点沿x 轴正向开始运动，粒子过y 轴时速
度与y 轴正向夹角为
，交点为P。不计粒子重力，则P 点至O 点的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
19. （2024 年山东卷第18 题）如图所示，在Oxy 坐标系x>0，y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度
大小为B 的匀强磁场。磁场中放置一长度为L 的挡板，其两端分别位于x、y 轴上M、N 两点，
∠OMN=60°，挡板上有一小孔K 位于MN 中点。△OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y 轴
左侧的粒子发生器在0＜y＜
的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q 的无初速度的粒子。粒子发生
器与y 轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚
度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度
的大小和方向；
（3）当加速电压为
时，求粒子从小孔K 射出后，运动过程中距离y 轴最近位置的坐标。
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20. （2024 年新课标卷第13 题）一质量为m、电荷量为
的带电粒子始终在同一水平面内运动，
其速度可用图示的直角坐标系内，一个点
表示，
、
分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴
上的分量。粒子出发时P 位于图中
点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P 点沿线段ab 移
动到
点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，P 点沿以O 为圆
心的圆弧移动至
点；然后粒子离开磁场返回电场，P 点沿线段ca 回到a 点。已知任何相等的时
间内P 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3）P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时，粒子位移的大小。
21. （2024 年广东卷第15 题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为
、周期为
的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀
强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在
时刻从左侧电场某处由静止释放，在
时刻从下板
左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在
时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入
磁场，并在
时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离
的
倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
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（2）求金属板的板间距离D 和带电粒子在
时刻的速度大小v；
（3）求从
时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
22. （2024 年1 月浙江卷第22 题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的
“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度
大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为
和
，
其电势差
。一束质量为m、电荷量为e 的质子从O 点以入射角
射向Ⅰ区，在P 点以出射角
射出，实现“反射”；质子束从P 点以入射角
射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹
角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为
，不计质子重力，
不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d 的最小值；
（2）若
，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P 点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）
（4）在P 点下方距离
处水平放置一长为
的探测板
（Q 在P 的正下方），
长为
，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从
O 点射入Ⅰ区，且
，求探测板受到竖直方向力F 的大小与U 之间的关系。
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23. （2024 年江西卷第7 题）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的
电学性能．现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度。如图（a）所示，在长为a，宽为
b 的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3 间通以恒定电流I，电极2、4 间将
产生电压U。当
时，测得
关系图线如图（b）所示，元电荷
，则
此样品每平方米载流子数最接近（ ）
A.
B.
C.
D.
24. （2024 年安徽卷第10 题）（多选）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电
场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m 的带电油滴a，在纸面内做半径为R 的圆周运动，轨
迹如图所示。当a 运动到最低点P 时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P 点
时与a 的速度方向相同，并做半径为
的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。己知重力加速度
大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（ ）
A. 油滴a 带负电，所带电量的大小为
B. 油滴a 做圆周运动的速度大小为
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C. 小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为
，周期为
D. 小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
25. （2024 年湖南卷第14 题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一
小孔。以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感
应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。
一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度
大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电
子的重力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
26. （2023 年北京卷第13 题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定
一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（
）。带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管
壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为
，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B. 粒子质量为
C. 管道内的等效电流为
D. 粒子束对管道的平均作用力大小为
27. （2023 年湖北卷第15 题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。
t = 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正
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电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒
子乙刚好运动了两个圆周。已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正
碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子乙运动的路程。
（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
28. （2023 年全国甲卷第7 题）（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有
一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生
碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分
量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B. 最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
29. （2023 年全国乙卷第5 题）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）
向里，磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒
子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距
离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x
轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
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A.
B.
C.
D.
30. （2023 年浙江6 月卷第23 题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy
平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感
应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下
边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正
离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象
限的离子数与总离子数之比η。
31. （2023 年海南卷第13 题）如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点以初速度
射入第一
象限内的电磁场区域，在
（
为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场
后偏转打到接收器
上，则（ ）
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A. 粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
B. 粒子从
中点射入磁场时速度为
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D. 粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
32. （2023 年辽宁卷第14 题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。
质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，
并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
33. （2023 年山东卷第17 题）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y 轴正方向、场
强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q 的带
正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
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感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
34、（2023 年1 月浙江卷第20 题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x 轴上方存在垂
直xOy 平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。x 轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金
属薄板M 和N 组成，其中位于x 轴的M 板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N 板连接电流表后接地。位
于坐标原点O 的离子源能发射质量为m、电荷量为q 的正离子，其速度方向与y 轴夹角最大值为60°；且各
个方向均有速度大小连续分布在
和
之间的离子射出。已知速度大小为
、沿y 轴正方向射出的
离子经磁场偏转后恰好垂直x 轴射入孔C。未能射入孔C 的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有
画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C 所处位置的坐标
；
（2）求离子打在N 板上区域的长度L；
（3）若在N 与M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0 时的电压
；
（4）若将分析器沿着x 轴平移，调节加载在N 与M 板之间的电压，求电流表示数刚为0 时的电压
与孔
C 位置坐标x 之间关系式。
35. （2023 年天津卷第13 题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，
其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电
势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收
集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x 轴放置在xOz 平面内,磁场平行于z 轴，磁感应强度的大小为
B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。
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（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1 上O 点激发出多个电子，它们的初速度方向与y 轴的正方向夹
角均为
，其中电子a、b 的初速度分别处于xOy 、yOz 平面的第一象限内，并都能运动到电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a 和b 到达电极2 所用的时间
和
；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设
每个射入中间电极的电子在该电极上激发出
个电子,
，U 为相邻电极间电势差。试定性画出阳极
收集电子而形成的电流I 和U 关系的图像,并说明理由
36. （2023 年海南卷第2 题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球
运动和受力说法正确的是（ ）
A. 小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B. 小球运动过程中的速度不变
C. 小球运动过程的加速度保持不变
D. 小球受到的洛伦兹力对小球做正功
37. （2023 年湖南卷第6 题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直
向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁
场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A
点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区域Ⅱ。
若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF 的中点
射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的
时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
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A. 若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B. 若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
38. （2023 年新课标卷第5 题）一电子和一α 粒子从铅盒上的小孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平
放置的屏幕P 上的a 和b 两点，a 点在小孔O 的正上方，b 点在a 点的右侧，如图所示。已知α 粒子的速度
约为电子速度的
，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为（ ）
A. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
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