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第3 讲 圆周运动
一、匀速圆周运动及描述
1.匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀
速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2.运动参量
定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢
的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝＝，单位：s
(2)f＝，单位：Hz
(3)n＝，单位：r/s
向心加
速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝＝ω 2 r
(2)单位：m/s
2
【自测1】 据《物原》记载：“史佚始作辘轳”。人们借助辘轳从井中汲水的示意
图如图1。某人以恒定角速度转动辘轳汲水时，绳子不断重叠地绕在一起，绳子的
粗细不可忽略。则( )
图1
A.水桶匀速上升
B.水桶减速上升
1
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C.绳子拉水桶的力大于水桶拉绳子的力
D.绳子拉水桶的力大于水桶和水的总重力
答案 D
解析 人以恒定角速度
，
子不断重叠地
在一起，
明角速度大小一
转动辘轳
绳
绕
说
定，半径增大，由
速度公式
线
v＝ωr，可知水桶加速上升，故A、B 都
；子拉
错误绳
水桶的力和水桶拉
子的力是相互作用力，根据牛
第三定律可知二者大小相等
绳
顿
故C
；水桶做加速运
，
于超重状
，
明
子拉水桶的力大于水桶和水
错误
动
处
态
说
绳
的
重力，故
总
D 正确。
二、匀速圆周运动的向心力
1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2.大小：Fn＝m＝mω
2 r ＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
3.方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
4.来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力
的分力提供。
【自测2】 如图2 所示，一质量为2.0×103 kg 的汽车在水平公路上行驶，路面对
轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m 的弯道时，下列
判断正确的是( )
图2
A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B.汽车转弯的速度为20 m/s 时所需的向心力为1.4×104 N
C.汽车转弯的速度为20 m/s 时汽车会发生侧滑
D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
答案 D
解析 汽
弯
所受的力有重力、
力、摩擦力，但向心力是根据力的效果命
车转
时
弹
名的，不是物体
受到的力，
实际
选项A
；当汽
弯速度
错误
车转
为20 m/s
，根据
时
Fn＝m，得所需的向心力Fn＝1×104 N，没有超
最大静摩擦力，所以
也不会
过
车
侧
滑，所以选项B、C
；汽
弯达到最大静摩擦力
，向心加速度最大
错误
车转
时
为an＝
＝ m/s2＝7.0 m/s2，选项D 正确。
三、离心运动和近心运动
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供做圆周运动
2
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所需的向心力时，就做逐渐远离圆心的运动。
2.受力特点(如图3 所示)
图3
(1)当F＝0 时，物体沿切线方向飞出。
(2)当0＜F＜mω2r 时，物体逐渐远离圆心。
(3)当F＞mω2r 时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。
3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆
周运动需要的向心力。
命题点一 圆周运动的运动学分析
1.对公式v＝ωr 的理解
当r 一定时，v 与ω 成正比。
当ω 一定时，v 与r 成正比。
当v 一定时，ω 与r 成反比。
2.公式an＝＝ω2r 的理解
在v 一定时，an与r 成反比；在ω 一定时，an与r 成正比。
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图4 甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度
大小相等，即vA＝vB。
图4
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图5 甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时
两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
图5
3
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(3)同轴转动：如图6 甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，
由v＝ωr 知v 与r 成正比。
图6
【真题示例1】 (2021·广东卷，4)由于高度限制，车库出入口采用如图7 所示的曲
杆道闸。道闸由转动杆OP 与横杆PQ 链接而成，P、Q 为横杆的两个端点。在道闸
抬起过程中，杆PQ 始终保持水平。杆OP 绕O 点从与水平方向成30°匀速转动到
60°的过程中，下列说法正确的是( )
图7
A.P 点的线速度大小不变
B.P 点的加速度方向不变
C.Q 点在竖直方向做匀速运动
D.Q 点在水平方向做匀速运动
答案 A
解析 由于杆OP 匀速
，
转动P 点到
心的距离不
，故
圆
变
P 点的
速度大小不
，
线
变
A 正确；P 点的加速度
向心加速度，始
指向
心，方向
刻
化，
为
终
圆
时
变
B
；
错误设
OP＝l1，PQ＝l2，可知Q 点到O 点所在水平
的距离
线
y＝l1sin(30°＋ωt)，故Q 点在
直方向的运
不是匀速运
，
竖
动
动
C
；
错误
Q 点到O 点的水平距离x＝l2＋l1cos(30°
＋ωt)，故Q 点在水平方向的运
也不是匀速运
，
动
动
D
。
错误
【针对训练1】 (2021·
西咸阳
陕
检测)如图8 为车牌自动识别系统的直杆道闸，离
地面高为1 m 的细直杆可绕O 在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab 处到
达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m
的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O 到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使
汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
4
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图8
A. rad/s
B. rad/s
C. rad/s
D. rad/s
答案 D
解析 由
意可知，在
题
3.3 s－0.3 s＝3.0 s 的
内，横杆的距离
时间
O 点0.6 m 的点
至少要抬高1.6 m－1.0 m＝0.6 m，即横杆至少
，
角速度
转过
则
ω＝＝ rad/s。
5
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命题点二 圆周运动的动力学分析
圆周运动实例分析
1.向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是
几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力
2.运动模型
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水
平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平路
面转弯
水平转台
(光滑)
【真题示例2】 (2021·浙江6 月选考，7)质量为m 的小明坐在秋千上摆动到最高
点时的照片如图9 所示，对该时刻，下列说法正确的是( )
图9
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
答案 A
解析
秋千的
设
摆长为l，到最高点
与
直方向的
角
摆
时摆绳
竖
夹
为θ，秋千
小明
对
的作用力为F，沿
方向，小明受力分析，有
摆绳
对
F－mgcos θ＝m，因最高点
小
时
明的速度为0，则F＝mgcos θ<mg；沿垂直
方向，有
摆绳
mgsin θ＝ma，即a＝gsin
6
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θ，故A 正确，B、C、D
。
错误
【例3】 如图10 所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动.座舱的质
量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
图10
A.运动周期为
B.线速度的大小为ωR
C.受摩天轮作用力的大小始终为mg
D.所受合力的大小始终为2mω2R
答案 B
解析 由
意可知座
运
周期
题
舱
动
为T＝、
速度
线
为v＝ωR、受到合力为F＝
mω2R，选项B 正确，A、D
；座
的重力
错误
舱
为mg，座
做匀速
周运
受到的向
舱
圆
动
心力(即合力)大小不
，方向
刻
化，故座
受摩天
的作用力大小
刻在改
变
时
变
舱
轮
时
，
变
选项C
。
错误
命题点三 实验五 探究向心力与半径、角速度和质量的关系
方法引领
装置图
实验说明
①原理：利用控制变量法探究向心力与质量、角速度、半
径的定量关系。
②探究：a.保持两小球质量m 和角速度ω 相同，使运动半
径r 不同，比较向心力Fn与运动半径r 之间的关系。
b.保持两小球质量m 和运动半径r 相同，使角速度ω 不
同，比较向心力Fn与角速度ω 之间的关系。
c.保持运动半径r 和角速度ω 相同，用质量m 不同大小
相同的钢球和铝球，比较向心力Fn与质量m 的关系。
【例4】 某实验小组利用如图11 所示的装置进行“探究向心力大小与半径、角速
度、质量的关系”实验。转动手柄，可使塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。塔轮至
上而下有三层，每层左、右半径比分别是1∶1、2∶1 和3∶1。左、右塔轮通过皮带
连接，并可通过改变皮带所处层来改变左、右塔轮的角速度之比。实验时，将两个
小球分别放在短槽C 处和长槽的A(或B)处，A、C 到左、右塔轮中心的距离相等，
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两个小球随塔轮做匀速圆周运动，向心力大小关系可由标尺露出的等分格的格数
判断。
图11
(1)该实验用到的方法是( )
A.理想实验
B.等效替代法
C.微元法
D.控制变量法
(2)在某次实验中，某同学把两个质量相等的小球分别放在A、C 位置，将皮带连接
在左、右塔轮半径之比为2∶1 的塔轮上，实验中匀速转动手柄时，得到左、右标
尺露出的等分格数之比为1∶4。
(3)若将皮带连接在左、右塔轮半径之比为3∶1 的塔轮上，左、右两边塔轮的角速
度之比为________，当左边标尺露出1 个等分格时，右边标尺露出9 个等分格，则
实验说明________。
答案 (1)D (3)1∶3 见解析
解析 (1)分析易知本
采用的是控制
量法。故
实验
变
A、B、C
，
错误
D 正确。
(3)因用皮
接的左、右塔
速度大小相等，皮
接的左、右塔
半径
带连
轮边缘线
带连
轮
之比为3∶1，根据v＝ωR 可知，左、右两
塔
的角速度之比
边
轮
为1∶3，又根据题
意知放在A、C 两
的小球
量相等，
半径相等，左
尺露
处
质
转动
边标
1 个等分格，右
尺露出
边标
9 个等分格，表明两球向心力之比为1∶9。此次
明，做匀速
实验说
圆
周运
的物体，在
量和
半径一定
，向心力与
角速度的平方成正比。
动
质
转动
时
转动
命题点四 竖直面内圆周运动的“两类模型”问题
物理情景
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道
运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中
运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
受力
除重力外，物体受到的弹力方
向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方
向：向下、等于零或向上
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特征
受力
示意图
力学
方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界
特征
FT＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F 向＝0
FN＝mg
过最高点
的条件
在最高点的速度
v≥
v≥0
【例5】 (2021·
州
研
扬
调
)如图12 所示是游乐场里的过山车，过山车运动过程中经
过A、B 两点( )
图12
A.在A 点时对轨道压力较小
B.在A 点时所受摩擦力较大
C.在B 点时所受向心力较大
D.在B 点时合外力方向竖直向下
答案 B
解析 由向心力公式FNA－mg＝m，mg＋FNB＝m，解得FNA>mg>FNB ，在A 点时对
道
力
大，
轨
压
较
A
；摩擦力
错误
为Ff＝μFN ，则FfA>μmg>FfB，在A 点
所受摩擦力
时
大，
较
B 正确；向心力为Fn＝m，vA>vB，所以FA>FB ，在A 点
所受向心力
大，
时
较
C
；在
错误
B 点人受
直向下的重力，直向下的
力，水平方向的摩擦力，合力的
竖
竖
弹
方向斜向下，D
。
错误
【针对训练2】 (2017·江苏单科，5)如图13 所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过
轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上。物块质量为M，到小环的距离为
L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v 向右匀速运动
小环碰到杆上的钉子P 后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中
没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
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图13
A.物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B.小环碰到钉子P 时，绳中的张力大于2F
C.物块上升的最大高度为
D.速度v 不能超过
答案 D
解析 物
向右匀速运
，物
与
子
的静摩擦力
块
动时设
块
夹
间
为Ff，则Ff＜F。物
对
块，
根据平衡条件可得，2Ff＝Mg，
中的
力
则绳
张
FT＝2Ff＜2F，故A
；小
碰到
错误
环
子后，物
向上
的
程中，物
在
子中没有滑
，可知
子的两
面与
钉
块
摆动
过
块
夹
动
夹
侧
物
的摩擦力
块间
Ff≤F，所以
中的
力
绳
张
FT＝2Ff≤2F，故B
；物
向上
错误
块
摆动
的
程，由机械能守恒定律得，
过
Mgh＝Mv2，解得h＝，即物
上升的最大高度
，
块
为
故选项C
；假
物
在开始
，两
面与
子
好达到最大静摩擦力
错误
设
块
摆动时
侧
夹
间刚
F，由牛
第二定律得，
顿
2F－Mg＝M，解得v＝，所以速度v 不能超
，
过选项D 正确。
命题点五 圆周运动中的两类临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向
圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物
体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静
摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受
力。
【例6】 如图14 所示，竖直杆AB 在A、B 两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC
和BC，AC 和BC 与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C 处固定一质量为
m 的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB 转动的角速度ω 从0 开始逐渐增
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大过程中，下列说法正确的是( )
图14
A.当ω＝0 时，AC 杆和BC 杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC 杆对球的作用力先增大后减小
C.一定时间后，AC 杆与BC 杆上的力的大小之差恒定
D.当ω＝时，BC 杆对球的作用力不为0
答案 C
解析 当ω＝0
，由于小球在水平方向受力平衡，因此
时
AC 杆
小球的作用力表
对
拉力，
现为
BC 杆
小球的作用力表
支持力，且大小相等，
对
现为
选项A
；当
错误
ω
逐
增大
，
渐
时
AC 杆
小球的拉力逐
增大，
对
渐
BC 杆
小球的支持力逐
减小，当
对
渐
BC 杆的作用力为0
，有
时
mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝，当ω
增大
继续
，
时
AC
杆
小球的拉力
增大，
对
继续
BC 杆
小球的作用力
拉力，且逐
增大，
对
变为
渐
选项
B、D
；一定
后，
错误
时间
AC 杆和BC 杆的作用力都
拉力，拉力的
直分力之
变为
竖
差等于小球的重力，即F1cos θ－F2cos θ＝mg，则F1－F2＝，因此AC 杆与BC 杆上
的力的大小之差恒定，选项C 正确。
【针对训练3】 (2019·海南卷，6)如图15，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬
币与竖直转轴OO′的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩
擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO′轴匀速转
动，则圆盘转动的最大角速度为( )
图15
A.
B.
C.
D.2
答案 B
解析 硬
做
周运
的向心力由静摩擦力提供，
币
圆
动
则μmg＝mω2r，解得ω＝，即
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的最大角速度
，故
圆盘转动
为
选B。
对点练1 圆周运动的运动学分析
1.某学员驾驶汽车在水平面上绕O 点做匀速圆周运动的俯视图如图1 所示。已知
质量为60 kg 的学员在A 点位置，质量为80 kg 的教练在B 点位置，A 点的转弯半
径为4.0 m，B 点的转弯半径为3.0 m，学员和教练均可视为质点，则( )
图1
A.学员和教练的角速度之比为4∶3
B.学员和教练的线速度大小之比为1∶1
C.学员和教练的向心加速度大小之比为4∶3
D.学员和教练受到的合力大小之比为3∶4
答案 C
解析 学
和教
具有相同的角速度，学
和教
的角速度之比
员
练员
则
员
练
为1∶1，故
A
；学
和教
具有相同的角速度，根据
错误
员
练员
v＝ωr 可得，学
和教
的
员
练员
线
速度大小之比为＝，故B
；向心加速度
错误
a＝ω2r，所以他
的向心加速度之比
们
＝，故
为
C 正确；受到的合力F＝mω2r，所以他
受到的合力大小之比
＝
们
为
×＝
1，故D
。
错误
2.(2021·全国甲卷，15)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图2，先将纽扣绕几圈，
使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会
交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1
cm 处的点的向心加速度大小约为( )
图2
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A.10 m/s2
B.100 m/s2
C.1 000 m/s2
D.10 000 m/s2
答案 C
解析 向心加速度的公式an＝rω2，
合角速度与
速的关系
结
转
ω＝2πn，代入数据
可得an≈1 000 m/s2，C 正确。
3.如图3 所示，圆桌桌面中间嵌着一可绕中心轴O 转动的圆盘，A 是圆盘边缘的
一点，B 是圆盘内的一点。分别把A、B 的角速度记为ωA、ωB，线速度vA、vB，向心
加速度记为aA、aB，周期记为TA、TB，则( )
图3
A.ωA＞ωB
B.vA＞vB
C.aA＜aB
D.TA＜TB
答案 B
解析 因A、B 两点同
，角速度相同，
轴转动则
则ωA＝ωB，选项A
；因
错误
为rA＞
rB，根据v＝ωr 可知，vA＞vB，选项B 正确；因为rA＞rB，根据a＝ω2r 可知，aA＞aB，
选项C
；因
错误
ωA＝ωB，根据T＝可知，TA＝TB，选项D
。
错误
对点练2 圆周运动的动力学分析
4.(2021·重
适
性
庆
应
测试)如图4 所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴
物体M，下端拴物体N。若物体M 在桌面上做半径为r 的匀速圆周运动时，角速
度为ω，线速度大小为v，物体N 处于静止状态，则(不计摩擦)( )
图4
A.M 所需向心力大小大于N 所受重力的大小
B.M 所需向心力大小小于N 所受重力的大小
C.v2与r 成正比
D.ω2与r 成正比
答案 C
解析 N 物体静止不
，
子拉力与
动
绳
N 物体重力相等，M 物体做匀速
周运
，
圆
动
13
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子拉力完全提供向心力，即
绳
FT＝mNg＝F 向，所以M 所需向心力大小等于N 所
受重力的大小，A、B
；根据向心加速度公式和牛
第二定律得
错误
顿
F 向＝mNg＝
m，则v2与r 成正比，C 正确；F 向＝mNg＝mω2r，则ω2与r 成反比，D
。
错误
5.(2021·广
佛山摸底
东
)如图5 所示，一根长为1.0 m 的轻绳一端系在固定横轴的
O 点上，另一端系着一个质量为1 kg 的小球(小球半径忽略不计)。O 点距离光滑
水平桌面的距离为0.8 m，水平桌面足够大。若想让小球对水平桌面压力为零，可
以让小球在某一水平面上做匀速圆周运动，重力加速度取10 m/s2，则匀速圆周运
动的角速度ω 应满足( )
图5
A.ω≥ rad/s
B.ω≥ rad/s
C.ω≥ rad/s
D.ω≥ rad/s
答案 B
解析 当小球
水平桌面
力恰好
零
，以小球
研究
对
压
为
时
为
对
象，受力分析如
。
图
由几何关系cos θ＝＝＝0.8，得θ＝37°，小球
周运
圆
的半径
动
r＝Lsin 37°＝1.0 m×0.6＝0.6 m，由牛
第二定律
顿
mgtan θ＝
mω2r，解得ω＝ rad/s，所以要
小球
水平桌面
力
零，匀
让
对
压
为
速
周运
的角速度
圆
动
ω
足
应满
ω≥ rad/s，故B 正确，A、C、D
。
错误
6.(2021·湖南
化月考
怀
)如图6 所示，双手端着半球形的玻璃碗，碗内放有三个相
同的小玻璃球。双手晃动玻璃碗，当碗静止后碗口在一水平面内，三小球沿碗的
内壁在不同的水平面内做匀速圆周运动。不考虑摩擦作用，下列说法中正确的是(
)
图6
A.三个小球受到的合力值相等
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B.距碗口最近的小球线速度的值最大
C.距碗底最近的小球向心加速度的值最大
D.处于中间位置的小球的周期最小
答案 B
解析
于任意
对
一球，
其
道
半球形碗的半径与
直方向的
角
设
轨
处
竖
夹
为β，半球
形碗的半径为R。根据重力和支持力的合力提供小球
周运
的向心力，得
圆
动
F 合＝
mgtan β，故A
；因
错误
r＝Rsin β，F 合＝mgtan β＝m＝ma＝mr，立得
联
v＝，T＝，a
＝gtan β，R 一定，可知β 越大(越接近碗口)，速度
线
v 越大、周期越小、加速度a 越
大，B 正确，C、D
。
错误
7.(2021·广
惠州
研
东
调
)如图7 所示，为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一长一短
的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加
速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
图7
A.角速度慢慢增大，一定是线短的那个球先离开圆锥筒
B.角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒
C.两个球都离开圆锥筒后，它们一定高度相同
D.两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力一定相同
答案 C
解析
子与
直方向的
角
设绳
竖
夹
为θ，小球
好离开
筒
，
筒的支持力
刚
圆锥
时
圆锥
为0，有
则
mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝，
子越
的其角速度的
界
越小，
则绳
长
临
值
越容易离开
筒，所以
圆锥
A、B
；两个球都离开
筒后，小球都只受重力
错误
圆锥
与
子的拉力，两小球都随
筒一起
，有相同的角速度
有小球的高度
绳
圆锥
转动
则
为h
＝lcos θ，代入数据解得h＝，所以C 正确；小球都离开
筒
子的拉力
圆锥
时绳
为FT
＝，由于
子
度不同，小球离开平台
的
角也不同，所以拉力也不相同，
绳
长
则
时
夹
则
D
。
错误
对点练3 竖直面内圆周运动的两类模型问题
8.如图8 所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B，光滑水平转
轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内
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转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度
为g。则球B 在最高点时( )
图8
A.球B 的速度为零
B.球A 的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
答案 C
解析 球B 运
到最高点
，杆
球
动
时
对
B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，
有mg＝m，解得vB＝，故A
，由于
错误
A、B 两球的角速度相等，球
则
A 的速度大
小vA＝，故B
；
错误B 球在最高点
，杆无
力，此
时对
弹
时A 球所受重力和拉力的合
力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，根据牛
第三定律和平衡条件可
顿
知C 正确，D
。
错误
9.(2020·全国卷Ⅰ)如图9，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，
该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千
支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
图9
A.200 N
B.400 N
C.600 N
D.800 N
答案 B
解析
同学身高相
于秋千的
可忽略不
，可以把
同学看成
点。当
该
对
绳长
计
该
质
该
同学
到秋千支架的正下方
，由牛
第二定律有
荡
时
顿
2F－mg＝，代入数据解得F＝
410 N，选项B 正确。
对点练4 圆周运动中的临界问题
10.(2021·天津河西区期末)如图10 所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，
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质量为m 的带孔小球穿于环上，同时有一长为r 的细绳一端系于圆环最高点，当
圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时，下列说法正确的是( )
图10
A.细绳对小球的拉力可能为零
B.细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C.细绳对小球拉力与小球的重力大小可能相等
D.若ω＝则金属圆环对小球的作用力为零
答案 D
解析 如果
小球的拉力
零，小球受到的重力与支持力的合力不可能提
细绳对
为
则
供向心力，故A
；
和金属
小球的作用力大小如果相等。二者在水
错误
细绳
圆环对
平方向的合力
零，
向心力
零，故
为
则
为
B
；此
与
直方向的
角
错误
时细绳
竖
夹
为
60°，当
旋
，小球
直
做
周运
，有
圆环
转时
绕竖
轴
圆
动则
FTcos 60°＋FNcos 60°＝mg，
FTsin 60°－FNsin 60°＝mω2rsin 60°，解得FT＝mg＋mω2r，FN＝mg－mω2r，所以细
小球拉力与小球的重力大小不可能相等，当
绳对
ω＝
，金属
小球的作用
时
圆环对
力FN＝0；故C
，
错误
D 正确。
11.探究向心力大小F 与小球质量m、角速度ω 和半径r 之间关系的实验装置如
图11 所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在
塔轮的圆盘上，可使两个槽内的小球分别以不同角速度做匀速圆周运动。小球做
圆周运动的向心力由横臂的挡板提供，同时，小球对挡板的弹力使弹簧测力筒下
降，从而露出测力筒内的标尺，标尺上露出的红白相间的等分格数之比即为两个
小球所受向心力的比值。已知小球在挡板A、B、C 处做圆周运动的轨迹半径之比
为1∶2∶1。
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图11
(1)在这个实验中，利用了________(选填“理想实验法”“等效替代法”或“控
制变量法”)来探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω 和半径r 之间的关系。
(2)探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量________(选填
“相同”或“不同”)的小球，分别放在挡板C 与________(选填“挡板A”或
“挡板B”)处，同时选择半径________(选填“相同”或“不同”)的两个塔轮。
(3)当用两个质量相等的小球做实验，调整长槽中小球的轨道半径是短槽中小球
半径的2 倍，转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为1∶2，
则左、右两边塔轮的半径之比为________。
答案 (1)控制变量法 (2)相同 挡板B 相同 (3)2∶1
解析 (1)本
中要分
探究向心力大小与
量
实验
别
质
m、角速度ω、半径r 之
的关
间
系，所以需要用到控制
量法。
变
(2)探究向心力大小与
周运
半径的关系
，需要控制小球的
量和运
角速
圆
动
时
质
动
度相同，所以
两个
量相同的小球。半径不同，分
放在
板
应选择
质
别
挡
C 和
板
挡
B
。同
处
时选择半径相同的两个塔
。
轮
(3)据F＝mω2R，由
意可知
题
F 右＝2F 左，R 左＝2R 右
可得ω 左∶ω 右＝1∶2
由v＝ωr 可得r 左轮∶r 右轮＝2∶1
左、右两
塔
的半径之比是
边
轮
2∶1。
12.某研究性学习小组在学习了圆周运动知识以后，设计了一个研究玩具小车通
过凹形桥最低点和凸形桥最高点时对轨道压力大小的实验。所用器材有玩具小车
压力式托盘秤、凹形桥和凸形桥模拟器(圆弧部分的半径均为R，重力加速度为
g)。
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图12
(1)如图12 所示，将模拟器静置于托盘秤上，托盘秤的示数为m0。
(2)将玩具小车静置于模拟器最低点时，托盘秤的示数为M，则玩具小车的质量为
m________。
(3)将玩具小车从模拟器右侧某一位置由静止释放，小车经过A、B、C、D、E 点后
滑向左侧的过程中，在这五个点观察到托盘秤的示数变化情况依次是增大，减小
增大，减小，增大，从而说明玩具小车通过凹形桥最低点时对桥的压力
________(填“大于”或“小于”)玩具小车通过凸形桥最高点时对桥的压力。
(4)若玩具小车通过A 的速度是vA，则托盘秤的示数为________；若玩具小车通过
B 的速度是vB，则托盘秤的示数为________。
答案 (2)M－m0 (3)大于 (4)M＋(M－m0) M－(M－m0)
解析 (2)依
意有
题
M＝m0＋m，所以
m＝M－m0。
(3)玩具小
向凹形
底端运
，
的
力大于重力，向凸形
部运
，
车
桥
动时
对桥
压
桥顶
动时
的
力小于重力，所以玩具小
通
凹形
最低点
的
力大于玩具小
对桥
压
车
过
桥
时对桥
压
通
凸形
最高点
的
力。
车
过
桥
时对桥
压
(4)若玩具小
通
车
过A 的速度是vA，有FNA－mg＝m
托
秤的示数
盘
为M＋(M－m0)
若玩具小
通
车
过B 的速度是vB，有
mg－FNB＝m
托
秤的示数
盘
为M－(M－m0)。
13.(2021·河北廊坊期末)如图13 所示，暗室中一水平转台上，距离转轴OO′长为L
的位置嵌入一物块(可视为质点)。在常亮光源照射下从上往下看，转台逆时针匀
速转动，如果用频闪光源照射转台，发现物块做顺时针匀速转动。已知物块质量
为m，频闪光源闪光频率为f，观察到物块做顺时针圆周运动的周期为T，当地重
力加速度的大小为g。求：
图13
(1)水平转台的最小转速n；
(2)转台以最小转速转动时给物块的作用力大小。
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答案 (1)f－
(2)F＝m
解析 (1)水平
台的角速度
转
ω＝2πn
光源
光一次的
隔里
台逆
的角度
频闪
闪
时间间
转
时针转过
θ＝·ω
察到物
的角度
观
块顺时针转过
θ′＝2kπ－θ(k＝1，2，3……)
由角速度的定
有
义
θ′·f＝
解得n＝kf－(k＝1，2，3……)
k＝1
，
速最小，
时
转
n1＝f－。
(2)物
做
周运
所需向心力
块
圆
动
为Fn，
Fn＝mL(2πn)2
台
物
的作用力
转
给
块
为F，
F＝
解得F＝m。
20
