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第40讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023 届新疆维吾尔自治区高三下学期第二次适应性检测理综物理试题）如图所示，水平向右的匀强
电场中，一根长
的不可伸长的绝缘细线，一端连着一质量
的带电小球，另一端固定于O
点。把小球拉起至A 点，此时细线水平，把小球从A 点由静止释放，小球经最低点B 后到达B 的另一侧C
点时速度为零，
与
夹角为
，g 取
。则（ ）
A．小球一定带负电
B．小球从A 点经过B 点再到C 点的过程中，机械能先增加后减小
C．细线所受的最大拉力为
D．小球到达B 点时的动能为
【答案】D
【详解】A．对全过程，重力做正功，可知电场力做负功，可知电场力方向向右，则小球带正电，A 错误；
B．小球从A 点经过B 点再到C 点的过程中，电场力一直做负功，可知小球的机械能一直减小，B 错误；
C．对全过程根据动能定理可得
解得
重力和电场力的合力
与水平方向夹角的正切值
可得
如图所示
此时合力方向与圆弧的焦点为等效最低点，此时绳子的拉力最大，根据动能定理
在等效最低点，根据牛顿第二定律
联立解得细线所
受的最大拉力
，C 错误；
1
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D．从A 到B 根据动能定理可得
，D 正确。故选D。
2．（2023 年四川成都市高考联考模拟）在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板
间距离为d，在两极板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e 的电子以速度v0（v0接近光速的
）从两极板左端中点沿水平方向连续不断地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比交变电流
的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则在任意0.2s 内（ ）
A．当
时，所有电子都能从极板的右端射出
B．当
时，将没有电子能从极板的右端射出
C．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：2
D．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
【答案】D
【详解】AB．电子进入极板后，水平方向上不受力，做匀速直线运动，竖直方向上受到电场力作用，当电
子恰好飞出极板时有
；
；
解得
当
时，所有电子都能从极板
的右端射出；当
时，在0.2s 时间内，极板间电压
的时间段内，电子能从极板的右端
射出，故AB 错误；
C．当
时，分析图乙可知，任意0.2s 内，有一半的时间内极板间电压低于临界电压
，
因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：1，故C 错误；
D．当
时，分析图乙可知，任意0.2s 内，有
0.2s 的时间内极板间电压低于临界电压
，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
，故D 正确。
故选D。
2
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3．（2023 年福建厦门高三阶段性模拟预测）如图所示，一绝缘光滑圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，
圆环半径为
，场强为
，在与环心等高处放有一带正电的小球，质量为
、电量为
，由静止开始沿轨
道运动，下述说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球经过环的最低点时速度最大
C．小球经过环的最低点时对轨道压力为
D．要使小球能到达最高点，小球初速度至少应为
【答案】BD
【详解】A．小球运动过程中电场力做功，机械能不守恒，故A 错误；
B．小球受到的重力和电场力均竖直向下，小球从最高点到最低点的过程中，合力做正功，小球动能增加；
小球从最低点到最高点的过程中，合力做负功，小球动能减少；，所以小球经过环的最低点时动能最大，
速度最大，故B 正确；
C．小球从静止释放到最低点的过程，根据动能定理可得
在最低点，根据牛顿第二定律
得
联立解得
根据牛顿第三定律可知，小球经过环的最低点时对轨道压力
为
，故C 错误；
D．小球恰能经过最高点时，根据牛顿第二定律可知
从起点到最高点，根据动能定理可得
联立解得
故D 正确。故选BD。
4．（2023 届安徽省江淮十校高三下学期5 月联考理综物理试题）如图所示，半径为R 的双层光滑管道位
于竖直平面内，质量为m、带电量为＋q 的小球位于管道最低点A，B 是最高点，空间存在水平向左、场强
大小
的匀强电场，现在A 点给小球一水平初速度v0，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度
为g，下列说法正确的是（ ）
3
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A．v0的大小为
B．经过B 点时小球受到管道外壁的压力大小为
C．经过A 点时小球受到管道外壁的支持力大小为
D．若在A 点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B 点的速度也增大一倍
【答案】AC
【详解】A．如图所示
小球在等效最低点P 静止时，受重力、支持力和电场力三力平衡，根据平衡条件，有mgtanθ = qE
结合
可知θ = 45°且重力和电场力的合力
小球恰好能够做完整的圆周运动，说明小球经
过等效最高点Q 时速度刚好为零，由Q 到A 根据动能定理，有
解得
，A 正确；
C．在A 点根据向心力公式有
解得
，C 正确；
BD．由B 到A 根据动能定理，有
解得
在B 点有
解得经过R 点时小球受到管道内壁的支持力大小为
，BD 错误。故选AC。
5．（2023 年辽宁省名校新高考高三模拟）如图所示，在竖直平面内，AB 为水平放置的绝缘粗糙轨道，
CD 为竖直放置的足够长绝缘粗糙轨道，AB 与CD 通过四分之一绝缘光滑圆弧形轨道平滑连接，圆弧BC
的圆心为O，半径R。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度的大小
。现有质量为
m、电荷量为+q 的带电体（可视为质点）从A 点由静止开始运动。已知AB 间距也为R，带电体与轨道AB
间的动摩擦因数为
，与CD 间的动摩擦因数为
。假定带电体与轨道之间的最大静摩擦力和
滑动摩擦力相等。下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
4
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A．带电体第一次运动到圆弧形轨道B 点时速度大小为
B．带电体第一次运动到圆弧形轨道BC 上的最大速度
C．全过程带电体在粗糙轨道AB 与CD 上运动的总路程
D．带电体最终可能会停在水平轨道AB 上
【答案】AC
【详解】对质点从 A 到 B ，根据动能定理得
解得
，A 正确；
B.由题可知，当带电体的速度最大时，带电体的加速度为零，故带电体受力平衡，受力如图所示
设带电体在M 点速度最大，M 点与O 点的连线OM 和OB 的夹角应该满足
代入已知数据得
从 B 到 M 根据动能定理得
解得
，B 错
误；
C.最终带电体应该围绕等效最低点M 做周期性运动，到C 点的速度恰好为零，全过程的滑动摩擦力大小一
样，即
设带电体在粗糙轨道AB 与CD 上运动的总路程为s，对全过程从A 到最终恰好到
C，根据动能定理可得
解得
因为电场力大于滑动摩擦力，所以不可能停在AB
上，D 错误，C 正确。故选AC。
6．（2023 届百校试高考物理模拟）如图甲所示，两个平行金属板
、
正对且竖直放置，两金属板间加
上如图乙所示的交流电压，
时，
板的电势比
板的电势高
。在两金属板的正中央
点处有一电
子（电子所受重力可忽略）在电场力作用下由静止开始运动，已知电子在
时间内未与两金属板相碰，
则（ ）
5
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A．
时间内，电子的动能减小
B．
时刻，电子的电势能最大
C．
时间内，电子运动的方向不变
D．
时间内，电子运动的速度方向向右，且速度逐渐减小
【答案】AD
【详解】A．在
时间内，电场方向水平向右，电子所受电场力方向向左，所以电子向左做匀加速直线
运动；在
时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向左做匀减速直线运动，电
场力做负功，电子的电势能增加，动能减小，故A 正确；
BC．
时刻电子的速度为零，在
时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向
右做初速度为零的匀加速直线运动，运动方向发生改变，
时刻速度最大，动能最大，电势能并不是最大，
故BC 错误；
D．在
时间内，电场方向水平向右，电子的加速度方向向左，电子向右做匀减速直线运动，到
时刻速度为零，恰好又回到M 点，故D 正确。故选：AD。
7．（2023 届山西省太原市高三下学期第二次模拟考试理综物理试题）图甲中的水平平行金属板M、N 间
加有图乙所示的变化电压，
后电压消失。当电压稳定时，板间为匀强电场。O 位于M、N 板间中
点，可以向外释放初速度为零的带电液滴。在
时，均带负电的液滴甲、乙从O 由静止进入板间，甲、
乙两液滴的比荷分别为k 和
，忽略两个带电液滴间的相互作用及其电荷量的变化。已知
时间里甲
处于静止状态，
时刻甲恰好到达下极板附近。重力加速度大小为g，则在图中所示的时间段内，下列说
法正确的是（ ）
A．两板间距为
6
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B．甲在该阶段的最大速度为
C．甲在
时刻恰好到达上极板附近
D．乙粒子在
时刻打到上极板
【答案】BD
【详解】ABC．根据题意可知甲液滴在
时间里
在
时间内甲液滴做自由落体运动，在
时间内做匀减速直线运动，在
时刻，甲液滴的速度为
两板间距满足
解得
甲液滴在
加速的时间和
减速时间相等，可知甲液滴做减速运动的加速度大小为
甲在该阶段的最大速度
甲从
向上运动的位移
可知甲回到
点，B 正确，AC 错误；
D．乙液滴在
时间内，根据牛顿第二定律
可得
向上运动的距离
，
时间内运动的位移
此时的速度
此时距离上极板的距离
在
后，根据牛顿第二定律
解得
根据
解得
（另一解为负舍去）乙粒子在打到上极板的时刻
，D 正确。故选BD。
8．（2023 届甘肃省高三下学期第二次高考诊断考试理综物理试题）如图甲所示，在空间中建立xOy 坐标
系，
射线管由平行金属板A、B 和平行于金属板的细管C 组成，放置在第Ⅱ象限，细管C 到两金属板的
距离相等，细管C 开口在y 轴上。放射源P 在A 板左端，可以沿特定方向发射某一初速度的
粒子。若金
属板长为L、间距为d，当A、B 板间加上某一电压时，
粒子刚好能以速度
从细管C 水平射出，进入位
于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在着辐向电场，
粒子在该电场中恰好做匀速圆周运动，该
电场的电场线沿半径方向指向圆心O，
粒子运动轨迹处的场强大小为
。在
时刻
粒子垂直于x 轴
进入第Ⅳ象限的交变电场中，交变电场随时间的变化关系如图乙所示，规定沿x 轴正方向为电场的正方向。
已知
粒子的电荷量为2e（e 为元电荷）、质量为m，重力不计。以下说法中正确的是（ ）
7
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A．
粒子从放射源P 运动到C 的过程中动能的变化量为
B．
粒子从放射源P 发射时的速度大小为
C．
粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为
D．当
时，
粒子的坐标为
【答案】AC
【详解】AB．设
粒子运动到C 处时速度为
，
粒子反方向的运动为类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
由牛顿第二定律
联立解得
，
粒子从放射源发射出到C 的过程，
由动能定理
解得
设
粒子发射时速度的大小为v，
粒子从放射源发射
至运动到C 的过程，由动能定理
解得
故A 正确，B 错误；
C．由牛顿第二定律
得
故C 正确；
D．
时，
粒子在x 方向的速度为
所以一个周期内，离子在x 方向的平均速度
每个周期
粒子在x 正方向前进
因为开始计时时
粒子横坐标为
所以nT 时，
粒
子的横坐标为
，
粒子的纵坐标为
在nT 时
粒子的坐标为
故D 错误。故选AC。
9．（2023 年山东省高考百校联考模拟）如图，倾角θ＝30°的足够长光滑绝缘斜面固定在水平向右的匀强
电场中，一质量为m、电荷量为+q 的小滑块A 放在斜面上，恰好处于静止状态。质量也为m 的不带电小滑
块B 从斜面上与A 相距为s 的位置由静止释放，下滑后与A 多次发生弹性正碰，每次碰撞时间都极短，且
8
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没有电荷转移，已知重力加速度大小为g。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）两滑块发生第1 次碰撞到发生第2 次碰撞的时间间隔；
（3）在两滑块发生第1 次碰撞到发生第5 次碰撞的过程中，A 的电势能增加量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）滑块A 受力，受力如图，A 处于静止状态，则
滑块A 受到的电场力大小为
可得
（2）B 下滑过程中，加速度大小为a，第1 次与A 碰撞时的速度为v，有
由运动学公式
第1 次碰撞后A 的速度为
，B 的速度为
，由动量守恒和机械能守恒得
；
解得
；
第1 次碰撞后，A 匀速下滑，B 匀加速下滑，发生第1 次碰
撞到发生第2 次碰撞的过程中两滑块下滑的位移相等，所用时间为
，有
解得
（3）由（2）可知，第2 次碰撞前瞬间B 的速度为
即第2 次碰撞前瞬间，两滑块速度分别为
；
碰撞后速度交换，可得
；
发生第2 次碰撞到发生第3 次碰撞的
过程中两滑块下滑的位移相等，所用时间为
，有
；
解得
即第3 次碰撞前瞬间，两滑块速度分别为
；
碰撞后速度交换
；
9
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以此类推，每次碰撞后A 的速度分别为
；
；
相邻两次碰撞的时间间隔T 均
相等，且
所以，在两滑块发生第1 次碰撞到发生第5 次碰撞的过程中，A 的位移为
的电势能增加量为
解得
10．（2022 届河南省许昌市普通高中高三二模）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大
小为E=1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R=2m 的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切
于C 点，A 点所在的半径与竖直直径BC 成37°角。质量为m=0.04 kg、电荷量为q= +6×10-5 C 的带电小球2
（可视为质点）静止于C 点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P 点。质量也为m
=0.04 kg 的不带电小球1 挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P 点左侧某点后释放。小球1 沿
光滑水平面运动到C 点与小球2 发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A 点。
P、C 两点间距离较远，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
（1）黏合体在A 点的速度大小；
（2）弹簧的弹性势能；
（3）小球黏合体由A 点到达水平面运动的时间。
【答案】（1）5m/s；（2）9.2J；（3）0.6s
【详解】(1)小球2 所受电场力
小球1 和小球2 的重力和为
如图所示
小球12 所受重力与电场力的合力与竖直方向的夹角为
所以
所以A 点是小球12 在重力
场和电场中做圆周运动的等效最高点，由于小球12 恰能沿圆弧到达A 点，所以
解得
10
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(2)小球从C 点到A 点，由动能定理得
解得
小球12 的碰撞由动量守恒定律得
解得小球1 碰撞前的速度
由机械能守恒可得弹簧的弹性势能
(3)如图小球12 在A 点竖直方向上做匀加速运动
竖直方向上的初速度为
由竖直方向匀加速运动可得
解
11．（2022 年福建省名校联考模拟）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N 四点距O 点的距离均为
，O 为水平连线
的中点，M、N 在
连线的中垂线上。A、B 两点分别固定有一点电荷，电荷量
均为Q（
）。以O 为原点，竖直向下为正方向建立x 轴。若取无穷远处为电势零点，则
上的电势
随位置x 的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（
）的小球
以一定初动能从M 点竖直下落，
一段时间后经过N 点，其在
段运动的加速度大小a 随位置x 的变化关系如图（c）所示。图中g 为重力
加速度大小，k 为静电力常量。
（1）求小球
在M 点所受电场力大小。
（2）当小球
运动到N 点时，恰与一沿x 轴负方向运动的不带电绝缘小球
发生弹性碰撞。已知
与
的质量相等，碰撞前、后
的动能均为
，碰撞时间极短。求碰撞前
的动量大小。
（3）现将
固定在N 点，为保证
能运动到N 点与之相碰，
从M 点下落时的初动能须满足什么条件？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
11
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【详解】（1）设A 到M 点的距离为
，A 点的电荷对小球
的库仑力大小为
，由库仑定律有
①
设小球
在
点所受电场力大小为
，由力的合成有
②
联立①②式，由几何关系并代入数据得
③
（2）设O 点下方
处为
点，
与
的距离为
，小球
在
处所受的库仑力大小为
，由库仑定律和
力的合成有
④式中
设小球
的质量为
，小球
在
点的加速度大小为
，由
牛顿第二定律有
⑤由图（c）可知，式中
联立④⑤式并代入数据得
⑥
设
的质量为
，碰撞前、后
的速度分别为
，
，
碰撞前、后的速度分别为
，
，取竖直向
下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有
⑦；
⑧设小球S2碰撞前的动量为
，由动量的定义有
⑨
依题意有
；
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得
⑩
即碰撞前
的动量大小为
。
（3）设O 点上方
处为D 点。根据图（c）和对称性可知，
在D 点所受的电场力大小等于小球的重力
大小，方向竖直向上，
在此处加速度为0；
在D 点上方做减速运动，在D 点下方做加速运动，为保证
能运动到N 点与
相碰，
运动到D 点时的速度必须大于零。设M 点与D 点电势差为
，由电势差
定义有
⑪设小球
初动能为
，运动到D 点的动能为
，由动能定理有
⑫
⑬由对称性，D 点与C 点电势相等，M 点与N 点电势相等，
依据图（b）所给数据，并联立⑥⑪⑫⑬式可得
⑭
12．（2022 届广东省潮州市高三（下）第二次模拟考试物理试题）图中AB 是绝缘水平面上相距
的
两点，AB 间存在一个水平向右的匀强电场，场强大小
。一带电量
，质量
的绝缘滑块Q 静置在A 点，滑块Q 与水平面的动摩擦因数
。用长
的轻绳将不带电
小球P 悬挂在A 点正上方的O 点，保持绳子绷紧，将P 球拉至与点O 等高的水平位置，如图所示。现给P
球竖直向下的初速度
，此后P 球下摆与Q 发生弹性正碰。已知P 球质量也为m，整个过程没有电
12
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荷转移，P、Q 体积大小均可忽略不计，轻绳不被拉断。（
）求：
（1）P 与Q 第一次碰撞后瞬间，P 与Q 的速度大小；
（2）P 与Q 第一次碰撞后，滑块Q 离A 点的最远距离；
（3）若场强E 可变，试讨论在轻绳不松弛的前提下，滑块Q 在AB 段滑行的路程与电场强度E 的关系。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）小球P 运动至与Q 碰撞前，有
解得
P 与Q 发生弹性碰撞，有
；
解得
，
（2）设碰撞后，Q 没有滑离AB 段，当Q 减速至0，有
解得
假设成立，即P 与Q 第一次碰撞后，滑块Q 离A 点的最远距离为1.5m。
（3）当P 与Q 第一次碰撞后，Q 恰好能滑到B 点，则
解得
当
时，Q 从B 点离开电场，则Q 在AB 段滑行的路程为
当
时，Q 没有从B 离开，因为
则Q 返回再次与P 相碰。设Q 第一次在AB 段减速
至0 的位移为
时，返回与P 碰撞后，P 恰好能回到O 点等高位置，则
设Q 回到A 点时速度为
，Q 从A 开始运动到又回到A 点时，有
P 与Q 再次碰撞，质量相等弹性碰撞，交换速度，则碰后P 的速度也为v2，此后P 运动至圆心等高，有
解得
当
时，P 超过O 点等高位置，因为
，P
无法到达最高点，绳子松懈，不满足条件。
当
时，因为
，Q 无法停在AB 段，最终停在A 点，全过程，对系
统，由能量守恒，有
解得
则Q 在AB 段滑行的路程为
综上：为保
证绳子不松懈需满足为：
；当
时，Q 在AB 段滑行的路程为
；当
时，Q 在AB 段滑行的路程为
。
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13．（2022 年新高考辽宁物理高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨在B 点
平滑连接，导轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过
B 点时的速度大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有
方向与x 轴夹角为
的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电
荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球从A 到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B 到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O 点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x 轴和y 轴，则x 轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O 点开始以后的运动为x
轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y 轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O 点后运动的轨迹方程
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