北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§6.3 数列的综合问题
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京平谷一模,9)已知数列{a}满足a=2,且对任意n∈N*,都有 a = 4a +2 ,那么a 为(
n 1 n n 4
5 a a +2
n+1 n+1
)
1 1
A. B.7 C. D.10
7 10
答案 A 由 a n = 4a n +2 ,得4a n+1 a n +2a n+1 =a n a n+1 +2a n ,∴a n+1 = 2a n ,故 1 = 3a n +2 =3+ 1 ,
a a +2 3a +2 a 2a 2 a
n+1 n+1 n n+1 n n
所以 1 - 1 =3.故{1 }是以 1 为首项,3为公差的等差数列. 1 = 1 +(n-1)×3=5+3n-3=3
a a 2 a a 2 a a 2 2 2 2 2
n+1 n n 1 n 1
3n+2 2 2 1
n+1= .所以a= ,所以a= = .故选A.
2 n 3n+2 4 3×4+2 7
1
2.(2020北京怀柔二模,12)已知数列{a}对任意的n∈N*有a =a- +1成立,若a=1,则a
n n+1 n n(n+1) 1 10
等于( )
101 91 111 122
A. B. C. D.
10 10 11 11
答案 B 已知a
n+1
=a
n
- 1 +1,则a
n+1
-a
n
=- 1 +1=-(1
-
1 )+1=1-(1
-
1 ),所
n(n+1) n(n+1) n n+1 n n+1
以有a
2
-a
1
=1-(1
-
1),a
3
-a
2
=1-(1
-
1),a
4
-a
3
=1-(1
-
1),……,a
10
-a
9
=1-(1
-
1 ),累加得a
10
-a
1
=9-
1 2 2 3 3 4 9 10
( 1- 1 ),又因为a 1 =1,所以a 10 =1+9-( 1- 1 )=91,故选B.
10 10 10
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1
解后反思 本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如 时就可以
n(n+1)
采用裂项法进行求和.
3.(2021北京高三专题练习,6)已知等差数列{a}的公差为2,前n项和为S,且S,S,S 成等比数列.令
n n 1 2 4
1
b= ,则数列{b}的前50项和T =( )
n a a n 50
n n+1
50 49 100 50
A. B. C. D.
51 50 101 101
2×1 4×3
答案 D 因为S=a,S=2a+ ×2=2a+2,S=4a+ ×2=4a+12,所以由题意得
1 1 2 1 1 4 1 1
2 2
(2a+2)2=a(4a+12),解得a=1,所以a=2n-1.则b= 1 =1 1 - 1 ,则
1 1 1 1 n n
(2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
T =1 1-1+1-1+1-1+…+ 1 - 1 = 50 .故选D.
50
2 3 3 5 5 7 99 101 101
4.(2021浙江宁波二模,10)已知数列{x}满足x=0且|x+1|=|x +2|,k∈N*,则|x+x+…+x |的最小值
n 0 k k-1 1 2 2 021
是 ( )
A.17 B.19 C.69 D.87
答案 C 由题得 +2x=( +2x )+2x +3,累加得
x2 k x2 k-1 k-1
k k-1
+2x =2(x+x+…+x )+3×2 022,
x2 2 022 1 2 2 021
2 022
1
故|x+x+…+x |= |(x +1)2-6 067|,
1 2 2 021 2 2 022
易知x 为偶数,
2 022
当|x +1|=77时,|x+x+…+x |最小为69.
2 022 1 2 2 021
x=k(k≤75),x=76(k≥76,k为偶数),x=-79(k≥76,k为奇数)符合要求.故选C.
k k k
1
5.(2021浙江杭州二中高三下开学考,8)设数列{a}满足0<a< ,a =a+ln(2-a)对任意的n∈N*恒成
n 1 n+1 n n
2
立,则下列说法不正确的是 ( )
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1
A. <a<1 B.{a}是递增数列
2 n
2
3 3
C.1<a < D. <a <1
2 020
2 4
2 020
1 1-x
答案 C 设y=x+ln(2-x),则y'=1- = .
2-x 2-x
当x<1时,y'>0,y=x+ln(2-x)在(-∞,1)上单调递增;
当1<x<2时,y'<0,y=x+ln(2-x)在(1,2)上单调递减.
当x→-∞时,y→-∞,当x→2-时,y→-∞,故y=x+ln(2-x)的大致图象如图.
由蛛网图知,ABD中说法正确,C中说法错误.故选C.
6.(2021江西上饶二模,9)函数f(x)=2sin x-x(x>0)的所有极大值点从小到大排成数列{a},设S 是数列
n n
{a}的前n项和,则cos S = ( )
n 2 021
1 1
A.1 B. C.- D.0
2 2
答案 B f '(x)=2cos x-1(x>0),且f '(x)是周期为2π的周期函数.
π 5π
当x∈(0,2π]时, f '(x)=0的根为x= 和x= . f '(x)的图象如图,
3 3
π
易知, f(x)在(0,2π]上的极大值点为 .
3
π
即{a}是以 为首项,以2π为公差的等差数列,
n
3
π 2 021×2 020 5π 5π 1
故S =2 021× + ×2π=672π+ +2 021×2 020π,则cos S =cos = ,故
2 021 2 021
3 2 3 3 2
选B.
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7.(2021河南顶级名校月考,9)对于数列{a},定义Y=a +2a +…+2n-1a 为数列{a}的“美值”,
n n 1 2 n n
n
现在已知某数列{a}的“美值”Y=2n+1,记数列{a-tn}的前n项和为S,若S≤S 对任意的n∈N*恒成
n n n n n 6
立,则实数t的取值范围是 ( )
A.[7 12] B.(7 12) C.[16 7] D.(16 7)
, , , ,
3 5 3 5 7 3 7 3
答案 C 由题意得a +2a +…+2n-1a =2n+1,
1 2 n
n
则a+2a+…+2n-1a=n·2n+1,
1 2 n
当n≥2时,a+2a+…+2n-2a =(n-1)2n,
1 2 n-1
则2n-1a=n·2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n,
n
则a=2(n+1),当n=1时也满足.故a=2(n+1),n∈N*.
n n
则{a-tn}为等差数列.
n
故S≤S 对任意的n∈N*恒成立即a-6t≥0,a-7t≤0,
n 6 6 7
{6(2-t)+2≥0, 16 7
即 解得 ≤t≤ .
7(2-t)+2≤0, 7 3
8.(2021河南新乡测试,11)已知数列{a}满足a -a =3n-1,a +a =3n+5(n∈N*),则数列{a}的前40
n 2n 2n-1 2n+1 2n n
项和S = ( )
40
321+197 330+197
A. B. C.910+98 D.920+98
2 2
答案 A 由题意可得a +a =6,a -a =3n+1-1,
2n+1 2n-1 2n+2 2n+1
则a +a -(a +a )=4×3n-2,
2n+2 2n 2n+1 2n-1
即a +a =4×3n+4,
2n+2 2n
故S =(a+a+…+a +a )+(a+a+…+a +a )
40 1 3 37 39 2 4 38 40
=6×10+4×10+4×(31+33+…+319)
3×(910-1)
=100+4×
8
321+197
= .
2
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9.(2021河南顶级名校4月冲刺,12)已知数列{a}的前n项和为S(n∈N*),a=2,2nS=(2n-1)a ,记数列
n n 1 n n+1
{n }的前n项和为T n .若对于任意的n∈N*,不等式na n+1 ≥ 3n2-ta n+1 恒成立,则实数t的取值范
a |T -2|
n n
围为( )
A.( 3 ] B.[ 3 )
0, ,1
32 16
C.[ 3 ) D.[ 3 )
,+∞ ,+∞
32 16
答案 C 由2nS n =(2n-1)a n+1 ,得S n =( 1- 1 )a n+1 ,当n≥2时,S n-1 =( 1- 1 )a n ,两式作差,得a n =
2n 2n-1
(
1-
1 )a
n+1
-(
1-
1 )a
n
(n≥2),化简得 a n+1=2(n≥2),当n=1时,S
1
=a
1
=1×a
2
=2,a
2
=4, a 2=2,所以数
2n 2n-1 a 2 a
n 1
n n 1 2 n 1 1 2
列{a}是以2为首项,2为公比的等比数列,则a=2n,∴ = ,T= + +…+ , T= + +…+
n n a 2n n 2 22 2n 2 n 22 23
n
n ,错位相减得1T
n
=1+1 +…+ 1 - n ,T
n
=2-n+2 ,所以na
n+1
≥ 3n2-ta n+1⇔n·2n+1·n+2 ≥3n2-
2n+1 2 2 22 2n 2n+1 2n |T -2| 2n
n
t·2n+1⇔t≥n(n-4).令f(n)=n(n-4) ,则f(n+1)-f(n)=6-(n-3)2 ,故当1≤n≤5时, f(n+1)>f(n),
2n+1 2n+1 2n+2
5 3 3
f(n)单调递增,且f(5)= ,当n≥6时, f(n+1)<f(n), f(n)单调递减, f(6)= ,∴f(n) = ,于是由题意得
max
64 32 32
3
t≥ .故选C.
32
二、多项选择题
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1 1
10.(2021届山东德州跃华学校月考,9)已知数列{a}满足a=- ,a = ,则下列各数是{a}的项的
n 1 2 n+1 1-a n
n
是 ( )
2 3
A.-2 B. C. D.3
3 2
1
1 1 2 1 1 1
答案 BD ∵数列{a n }满足a 1 =- 2 ,a n+1 = 1-a ,∴a 2 = 1- ( - 1)= 3 ;a 3 = 1-a =3;a 4 = 1-a =- 2
n 2 2 3
1 2
=a,……,∴数列{a}是周期为3的数列,且前3项为- , ,3,故选BD.
1 n
2 3
11.(2021届山东滨州博兴第三中学月考,11)记数列{a}的前n项和为S,若存在实数H,使得对任意
n n
的n∈N*,都有|S|<H,则称数列{a}为“和有界数列”.下列说法正确的是 ( )
n n
A.若{a}是等差数列,且公差d=0,则{a}是“和有界数列”
n n
B.若{a}是等差数列,且{a}是“和有界数列”,则公差d=0
n n
C.若{a}是等比数列,且公比|q|<1,则{a}是“和有界数列”
n n
D.若{a}是等比数列,且{a}是“和有界数列”,则{a}的公比|q|<1
n n n
n(n-1)
答案 BC 若{a}是等差数列,公差为d,则S=na+ d.
n n 1
2
A.d=0,则S=na,若a≠0,
n 1 1
则n→+∞时,|S|→+∞,所以{a}不是“和有界数列”,A错;
n n
B.若{a n }是“和有界数列”,则由|S n |=|d n2+ ( a - d) n |<H知d=0,a 1 -d=0,即a 1 =d=0,B正确;
2 1 2 2 2
C.{a}是等比数列,公比是q,则S=a (1-qn),若|q|<1,则n→+∞时,S→ a ,
n n 1 n 1
1-q 1-q
故存在H>0,使得|S|<H对于任意n∈N*成立,故{a}是“和有界数列”,C正确;
n n
D.若q=-1,a≠0,则S={a ,n=2k-1, (k∈N*),
1 n 1
0,n=2k
∴|S|<2|a|,则{a}是“和有界数列”,D错.故选BC.
n 1 n
12.(2021届江苏南京航空航天大学附中期中,11)已知等差数列{a}的首项为1,公差d=4,前n项和为
n
S,则下列结论成立的是 ( )
n
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A.数列{S
n
}的前10项和为100
n
B.若a,a,a 成等比数列,则m=21
1 3 m
n 1 6
∑
C.若 > ,则n的最小值为6
i=1 a i a i+1 25
1 16 25
D.若a +a=a+a ,则 + 的最小值为
m n 2 10
m n 12
答案 AB 由题意可得a=4n-3,S=2n2-n.
n n
S
对于A选项, n=2n-1,
n
则 S n+1 -S n =2(n+1)-1-(2n-1)=2,所以数列{S n }是首项为 S 1 =a 1 =1,公差为2的等差数列,其前10项
n+1 n n 1
10×(10-1)
和为10×1+ ×2=100,所以选项A正确;
2
对于B选项,由a,a,a 成等比数列,可得 =a·a ,又a=1,a=1+2×4=9,所以a =4m-3=81,解得m=21,
1 3 m a2 1 m 1 3 m
3
所以选项B正确;
对于C选项,因为 1 = 1 =1( 1 1 ),
-
a a (4i-3)(4i+1) 4 4i-3 4i+1
i i+1
所以
∑
n 1 =1·(
1-
1
+
1
-
1
+…+
1
-
1 )= n > 6 ,解得n>6,故n的最小值
i=1 a i a i+1 4 5 5 9 4n-3 4n+1 4n+1 25
为7,所以选项C错误;
对于D选项,由a +a=a+a ,可得4m-3+4n-3=5+37,即m+n=12,
m n 2 10
则1+16= 1 (m+n)·( 1 16)
+
m n 12 m n
= 1 ( n 16m)
1+16+ +
12 m n
≥ 1 ( √ n 16m)
17+2 ·
12 m n
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1 25
= (17+8)= ,
12 12
n 16m
当且仅当 = ,
m n
12 48
即m= ,n= 时,取等号,
5 5
25
又因为m,n∈N*,所以最小值不为 ,所以选项D错误.故选AB.
12
三、填空题
13.(2021安徽宣城第二次调研,14)若数列{a}满足a=1,且对于任意的n∈N*,都有a -a=n+1,则数
n 1 n+1 n
列{1 }的前n项和S= .
n
a
n
2n
答案
n+1
解析 由a=1,且对于任意的n∈N*,都有a -a=n+1,
1 n+1 n
1
可得a=a+(a-a)+(a-a)+…+(a-a )=1+2+3+…+n= n(n+1),
n 1 2 1 3 2 n n-1
2
则 1 = 2 =2(1
-
1 ),所以S
n
=2(
1-
1
+
1
-
1
+…+
1
-
1 )=2(
1-
1 )= 2n
a n(n+1) n n+1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
n
.
解后反思 若{a}满足a-a =f(n),可考虑用累加法求通项公式,其原理为a=(a-a )+(a -a )+……
n n n-1 n n n-1 n-1 n-2
+(a-a)+a=f(n)+f(n-1)+……+f(2)+a,运算化简即可.
2 1 1 1
14.(2021江西红色七校联考,14)已知数列{a}的前n项和S=2a-1(n∈N*),设b=1+loga,则数列
n n n n 2 n
{ 1 }的前n项和T= .
n
b b
n n+1
n
答案
n+1
解析 n=1时,a=1,n≥2时,
1
a=S-S =2a-2a ,
n n n-1 n n-1
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a=2a ,所以{a}是公比为2的等比数列.
n n-1 n
所以a=2n-1,b=1+log2n-1=n,
n n 2
1 1
则 = ,
b b n(n+1)
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
则T= + +…+ =1- + - +…+ -
n 1×2 2×3 n(n+1) 2 2 3 n n+1
n
= .
n+1
15.(2021安徽蚌埠质监,16)已知数列{a n }满足:a 1 =1,a 2 =1, b 1 + b 2 +…+ b n = b n+1 +6(n≥2且n∈N*),等
3 a a a a
1 2 n n-1
{1
,n为奇数,
比数列{b
n
}的公比q=2,令c
n
=
a
则数列{c
n
}的前2n项和S
2n
= .
n
b ,n为偶数,
n
4n+1-4
答案 2n2-n+
3
解析 ∵ b 1 + b 2 +…+ b n = b n+1 +6(n≥2且n∈N*)①,
a a a a
1 2 n n-1
b b b
∴当n=2时, + = +6,
1 2 3
a a a
1 2 1
1
∵a=1,a= ,∴b+3b=b+6,
1 2 1 2 3
3
∵等比数列{b}的公比q=2,
n
∴b+6b=4b+6,∴b=2,∴b=2n,n∈N*.
1 1 1 1 n
b b b b
当n=3时, + + = +6,
1 2 3 4
a a a a
1 2 3 2
8 1
∴2+3×4+ =3×16+6,∴a= ,
a 3 5
3
又 b 1 + b 2 +…+ b n-1 = b n +6(n≥3且n∈N*)②,
a a a a
1 2 n-1 n-2
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b b b
∴①-②得 n = n+1 - n ,
a a a
n n-1 n-2
即2n =2n+1 - 2n ,即 1 + 1 = 2 ,
a a a a a a
n n-1 n-2 n n-2 n-1
1 1 2
又 + =6= ,
a a a
1 3 2
∴数列{1 }为等差数列,且公差d= 1 - 1 =2,
a a a
n 2 1
1 1
∴ = +(n-1)·2=2n-1,n∈N*,
a a
n 1
∴c={2n-1 ,n为奇数,
n
2n,n为偶数,
∴S =1+22+5+24+…+(4n-3)+22n
2n
=[1+5+…+(4n-3)]+(22+24+…+22n)
n[1+(4n-3)] 4(1-4n)
= +
2 1-4
4n+1-4
=2n2-n+ .
3
16.(2021浙江绍兴4月模拟,11)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有
垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几
何?”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天
也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,S 为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S= 尺.
n 3
35
答案
4
1 1 35
解析 S=1+2+4+1+ + = .
3
2 4 4
四、解答题
17.(2020北京师范大学附属中学期中,17)已知数列{a}的前n项和为S,且a 是S 和1的等差中项,
n n n n
等差数列{b}满足b=a,b=S.
n 1 1 4 3
(1)求数列{a}、{b}的通项公式;
n n
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1 1 1
(2)设c= ,数列{c}的前n项和为T,求证: ≤T< .
n b b n n 3 n 2
n n+1
解析 (1)∵a 是S 和1的等差中项,∴S=2a-1,
n n n n
当n=1时,S=2a-1,∴a=1,
1 1 1
当n≥2时,a=S-S =2a-1-(2a -1)=2a-2a ,
n n n-1 n n-1 n n-1
a
∴a=2a ,即 =2,
n n-1 n
a
n-1
∴数列{a}是以1为首项,2为公比的等比数列,
n
1·(1-2n)
∴a=2n-1,S= =2n-1.
n n
1-2
设{b}的公差为d,∵b=a=1,b=S=23-1=7,∴b-b=3d=6,∴d=2,∴b=2n-1.
n 1 1 4 3 4 1 n
(2)证明:由(1)知c
n
= 1 = 1 =1·( 1
-
1 ),∴T
n
=1· 1-1+1-1+…+
b b (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1 2 3 3 5
n n+1
1 - 1 =1( 1- 1 )= n ,∵1- 1 <1,∴T n <1 ,
2n-1 2n+1 2 2n+1 2n+1 2n+1 2
n n-1 1
又T-T = - = >0,
n n-1 2n+1 2n-1 (2n+1)(2n-1)
1
∴{T}是递增数列,∴T≥T= .
n n 1
3
1 1
综上, ≤T< .
n
3 2
18.(2021北京东城二模,17)已知等比数列{a}满足a+a=3,a+a=24.
n 1 2 4 5
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求数列{b}的前n项和S.
n n
条件①:设b=loga ;
n 2 2n-1
条件②:设b=a+2n.
n n
注:如果选择条件①、条件②分别解答,按第一个解答计分.
解析 (1)设等比数列{a}的公比为q,
n
{ a +a q=3, {a =1,
所以 1 1 解得 1
a q3+a q4=24, q=2.
1 1
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所以a=aqn-1=2n-1.
n 1
(2)选择条件①:b=loga .
n 2 2n-1
因为b=loga =log2(2n-1)-1=2n-2.
n 2 2n-1 2
所以b -b=[2(n+1)-2]-(2n-2)=2.
n+1 n
又因为b=0,
1
所以{b}是首项b=0,公差d=2的等差数列.
n 1
n(b +b ) n(0+2n-2)
所以S= 1 n = =n2-n.
n 2 2
选择条件②:b=a+2n.
n n
因为b=a+2n=2n-1+2n,
n n
所以S=b+b+b+…+b +b
n 1 2 3 n-1 n
=(20+2)+(21+4)+(22+6)+…+[2n-2+2(n-1)]+(2n-1+2n)
=(20+21+22+…+2n-2+2n-1)+[2+4+6+…+2(n-1)+2n]
1-2n n(2+2n)
= + =2n+n2+n-1.
1-2 2
19.(2021天津红桥一模,19)已知数列{a}的前n项和S 满足:S=2a+(-1)n,n≥1.
n n n n
(1)求数列{a}的前3项a,a,a;
n 1 2 3
(2)求证:数列{ 2 }是等比数列;
a + ·(-1)n
n 3
(3)求数列{(6n-3)·a}的前n项和T.
n n
解析 (1)当n=1时,有S=a=2a+(-1)⇒a=1,
1 1 1 1
当n=2时,有S=a+a=2a+(-1)2⇒a=0,
2 1 2 2 2
当n=3时,有S=a+a+a=2a+(-1)3⇒a=2,
3 1 2 3 3 3
综上,可知a=1,a=0,a=2.
1 2 3
2
(2)证明:由已知得n≥2时,a=S-S =2a+(-1)n-2a -(-1)n-1,化简得a=2a +2×(-1)n-1,上式可化为a+
n n n-1 n n-1 n n-1 n
3
(-1)n=2[
a +
2
(-1)n-1
],又a
1
+2(-1)1=1,∴数列{
a +
2
·(-1)n
}是以1为首项,2为公比的等
n-1 3 3 3 n 3 3
比数列.
2 1
(3)由(2)知a+ (-1)n= ·2n-1,
n
3 3
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1 2
∴a= ·2n-1- (-1)n,(6n-3)·a=(2n-1)[2n-1-2·(-1)n]=(2n-1)·2n-1-2·(-1)n·(2n-1),
n n
3 3
当n为偶数时,T=[1×20+3×21+…+(2n-1)·2n-1]-2[-1+3-5+7-…-(2n-3)+(2n-1)],
n
令A=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1①,
n
2A=1×21+3×22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n②,
n
2(1-2n-1)
①-②得-A=20+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2· -
n 1-2
(2n-1)·2n=-3+(3-2n)·2n,∴A=3+(2n-3)·2n,
n
n
令B=2[-1+3-5+7-…-(2n-3)+(2n-1)]=2×2· =2n,所以T=A-B=3+(2n-3)·2n-2n;
n n n n
2
当n为奇数时,同理可得,A=3+(2n-3)·2n,B=2[-1+3-5+7-…-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)]=2
n n
[ n-1 ]=-2n,所以T=A-B=3+(2n-3)·2n+2n,综上,T=3+(2n-3)·2n+(-1)n-1·2n.
2· -2n+1 n n n n
2
20.(2021浙江杭州二模,20)已知数列{a},{b},满足a=2n-2,b =a(k∈N*),b ,b ,b 成等差数列.
n n n 2k-1 k 2k-1 2k 2k+1
(1)证明:{b }是等比数列;
2k
n+2
(2)数列{c}满足c= ,记数列{c}的前n项和为S,求S.
n n 8n(n+1)(b -b ) n n n
2n 2n-1
解析 (1)证明:因为b ,b ,b 成等差数列,
2k-1 2k 2k+1
所以2b =b +b =a+a ,
2k 2k-1 2k+1 k k+1
b a +a
于是 2k+2 = k+1 k+2 =2,所以数列{b 2k }是等比数列.
b a +a
2k k k+1
a +a a -a
(2)b -b = n n+1-a= n+1 n=2n-3,
2n 2n-1 n
2 2
n+2 1 1
所以c= = - ,
n n(n+1)2n n·2n-1 (n+1)·2n
1 1 1 1 1
所以S=1- + - +…+ -
n 2·21 2·21 3·22 n·2n-1 (n+1)·2n
1
=1- .
(n+1)·2n
21.(2021安徽合肥质检,17)已知数列{a}满足a+2a+3a+…+na=(n-1)·2n+1+2(n∈N*).
n 1 2 3 n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
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(2)设b= a ,数列{b}的前n项和为S,求证:S<1.
n n n n n
(a +1)(a +1) 3
n n+1
解析 (1)由a+2a+3a+…+na=(n-1)·2n+1+2,
1 2 3 n
得a+2a+3a+…+(n-1)a =(n-2)2n+2(n≥2),
1 2 3 n-1
∴na=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n=n·2n(n≥2),∴a=2n(n≥2).
n n
∵n=1时,a=2,∴当n=1时,a=2n也成立,
1 n
∴a=2n(n∈N*).
n
(2)证明:∵b= a = 2n = 1 - 1 ,
n n
(a +1)(a +1) (2n+1)(2n+1+1) 2n+1 2n+1+1
n n+1
∴S n =b 1 +b 2 +b 3 +…+b n =( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+…+( 1 - 1 )=1- 1 .
21+1 22+1 22+1 23+1 2n+1 2n+1+1 3 2n+1+1
1 1
∵n∈N*,∴ >0,∴S< .
2n+1+1 n 3
22.(2021浙江嘉兴二模,20)已知数列{a}的前n项和为S,公比为q(q>0)的等比数列{b}的前n项和
n n n
为T
n
,并满足2S n+1(1+T
n
)=2S n(n∈N*),且a
1
=0,a
2
=-1,T
3
=7.
(1)求a 与b;
n n
(2)若不等式t(T+1)+S+S >0对任意的正整数n恒成立,求实数t的取值范围.
n n n+1
解析 (1)在2S n+1(1+T
n
)=2S n(n∈N*)中,令n=1,得
(1+T)= ⇒ (1+T)=1⇒ (1+T)=1.
2S
2
1 2S
1
2S
2
-S
1
1 2a
2
1
又a=-1,T=b,∴b=1.
2 1 1 1
T=b(1+q+q2)=7⇒q=2(q=-3舍去),
3 1
因此b=2n-1,T=2n-1.
n n
∴ (1+T)= ⇒ =2-n⇒a =-n⇒a=-n+1(n≥2),
2S
n+1
n 2S
n
2a
n+1
n+1 n
又a=0也满足上式,∴a=-n+1(n∈N*).
1 n
(2)S=-n(n-1) ,T=2n-1,由题得t>(n2 ) ,
n n
2 2n
max
记c=n2
,令c
-c=(n+1)2 -n2 =-n2+2n+1>0,得n≤2,
n n+1 n
2n 2n+1 2n 2n+1
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9
所以,n≤2时,c >c;n≥3时,c <c.又c=1,c= ,
n+1 n n+1 n 2 3
8
9 9
因此,(c ) =c= ,∴t> .
n max 3 8 8
∴t的取值范围是(9 ).
,+∞
8
15 / 15
