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2025-2026 学年广东省广州市南沙区部分学校八年级（上）期末数学试卷
一、单选题
1．（3 分）下列QQ 表情中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）分式
x
x−2
有意义，则x 的范围是（ ）
A．x≠2
B．x≠﹣2
C．x≠0 且x≠﹣2
D．x≠±2
3．（3 分）下列三条线段的长度能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5
B．3，5，9
C．4，5，6
D．5，5，11
4．（3 分）同学们都知道，蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料．那你知道蜂房蜂巢的厚度吗？事实上，蜂房
的蜂巢厚度仅仅约为0.000073m．此数据用科学记数法表示为（ ）
A．7.3×10﹣4m
B．7.3×10﹣5m
C．7.3×10﹣6m
D．73×10﹣5m
5．（3 分）在△ABC 中，∠B＝43°，∠C＝50°，则∠A 的度数为（ ）
A．43°
B．50°
C．87°
D．93°
6．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12
B．（a3）4＝a7
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6
D．a6÷a2＝a3
7．（3 分）一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，小亮现在要带其中的一块去配成与原来一样大小
的三角形玻璃，小亮去时应该带（ ）
A．第一块
B．第二块
C．第三块
D．第四块
8．（3 分）若x2+mx+16 是一个完全平方式，则m 的取值是（ ）
A．8
B．﹣8
C．±8
D．±4
9．（3 分）若分式2ab
a+b
中a，b 都扩大到原来的3 倍，则分式2ab
a+b
的值是（ ）
A．扩大到原来3 倍
B．缩小3 倍
2
C．是原来的1
3
D．不变
10．（3 分）如图，C 为线段AE 上一动点（不与A，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边
△ECD，AD 与BE 交于点O，AD 与BC 交于点P，BE 与CD 交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③AB＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
二、填空题
11．（3 分）分解因式：m2﹣9＝ ．
12．（3 分）如图，∠1＝ °．
13．（3 分）若x﹣y＝4，x+y＝7，则x2﹣y2＝ ．
14．（3 分）如图，锐角三角形ABC 的面积是15，AB＝5，BD 平分∠ABC，若M，N 分别是BD，BC 上
的动点，则CM+MN 的最小值是 ．
15．（3 分）定义新运算：a※b＝2ab﹣b2，则（2m）※（3n）的运算结果为 ．
16．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10 厘米，∠B＝∠C，BC＝12 厘米，点D 为AB 的中点．点
M 在线段BC 上以3 厘米/秒的速度由点B 向点C 运动，同时，点N 在线段AC 上由点C 向点A 运动．
当点M 运动到点C 或点N 运动到点A 时，另一个点也停止运动．若点N 的运动速度为a 厘米/秒，则：
（1）运动2 秒时，CN＝ 厘米（用含a 的式子表示）；
（2）当△BDM 与△CMN 全等时，a 的值为 ．
3
三、解答题
17．（8 分）解方程：3−x
4 + x = 1
2
．
18．（8 分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：△ABC≌△ADC．
19．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点均在正方形网格的格点上，且点A、B、C 的坐
标分别为A（3，4），B（1，2），C（4，1）．
（1）在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，点A，B，C 的对应点分别是A1，B1，C1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A1，B1，C1的坐标．
20．（8 分）先化简：(
x
x−1 −1)÷ x
2+2 x +1
x
2−1
，再从﹣2＜x≤1 的范围内选取一个合适的整数作为x 的值
代入求值．
21．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°．
（1）用尺规作∠A 的平分线，交BC 于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求PC 的长．
4
22．（8 分）随着京沈客运专线的开通，沈阳已进入方便快捷的高铁时代．由沈阳到A 市乘坐普通列车路
程为650 千米，而乘坐高铁路程为520 千米，且高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的4 倍．因
此由沈阳到A 市乘坐高铁列车所用时间比乘普通列车少用8 小时．求高铁列车的平均速度．
23．（8 分）已知关于x 的方程：2 x
x +3 = mx
x +3 −2．
（1）当m 为何值时，方程无解．
（2）当m 为何值时，方程的解为负数．
24．（8 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 是BC 边上的动点（点D 与点B，C 不重
合），连接AD，作△ABD 关于AD 对称的△AED，设∠ADB＝α．
（1）当DE 平分∠ADC 时，
①求α 的值；
②求证：BD＝AD+CD；
（2）若点E 与点C 不重合，连接CE，当CE＝AD 时，求α 的值．
25．（8 分）定义：如果两个分式M 与N 的和为常数k，且k 为正整数，则称M 与N 互为“和整分式”，
常数k 称为“和整数值”．
例如，M =
x
x +1 ，N =
1
x +1 ，M + N =
x
x +1 +
1
x +1 =1，则M 与N 互为“和整分式”，“和整数
值”k＝1．
（1）已知分式A = x−7
x−2 ，B =
x
2+6 x +9
( x +3)( x−2)
判断A 与B 是否互为“和整分式”．若是，请求出“和
整数值”k；若不是，请说明理由；
（2）已知分式C = 3 x−4
x−2 ，D =
E
x
2−4
，C与D 互为“和整分式”，且“和整数值”k＝3．
①求E 所代表的代数式；
②若分式D 的值为正整数，求正整数x 的值．
5
（3）记（2）中分式D 的值为正整数t，已知分式P = 3 x−5
x−3 ，Q = mx −3
3−x
，且P+Q＝t．若关于x 的
方程无解，直接写出m 的值．
6
2025-2026 学年广东省广州市南沙区部分学校八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
C
C
D
C
A
B
11.（m+3）（m﹣3） 12.8 13.28 14.6 15.12mn﹣9n2 16.（1）2a；（2）2.5
或3
选择题、填空题解法提示
10．解：①∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，CD＝CE，∠CDE＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD 和△BCE 中，
{
AC = BC
∠ACD =∠BCE
CD =CE
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
故结论①正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△CAP 和△CBQ 中，
{
∠CAP =∠CBQ
AC = BC
∠ACB =∠BCD
，
∴△CAP≌△CBQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠BCD＝60°，
∴△CPQ 是等边三角形，
∴∠CPQ＝∠ACB＝60°，
∴PQ∥AE，
故结论②正确；
③∵△CAP≌△CBQ，
7
∴AP＝BQ，
∵∠APB 是△CAP 的一个外角，
∴∠APB＞∠ACB，
即∠APB＞60°，
∴∠APB＞∠ABC，
∴AB＞AP，
∴AB＞BQ，
故结论③不正确；
④∵∠CPD＞∠CPQ，∠CPQ＝∠BCD＝60°，
∴∠CPD＞∠BCD，
∴CD＞DP，
又∵DE＝CD，
∴DE＞DP，
故结论④不正确；
⑤∵∠APB 是△CAP 和△OBP 的一个外角，
∴∠APB＝∠ACB+∠CAP＝60°+∠CAP，∠APB＝∠AOB+∠CBQ，
∴∠AOB+∠CBQ＝60°+∠CAP，
∵∠CAP＝∠CBQ，
∴∠AOB＝60°，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤，共3 个．
故选：B．
16．解：（1）运动2 秒时，CN＝2a 厘米；
故答案为：2a；
（2）设运动的时间为t 秒，
根据题意得BD＝5 厘米，BM＝3t 厘米，CN＝ta 厘米，则CM＝（12﹣3t）厘米，
∵∠B＝∠C，
∴当BD＝CN，BM＝CM 时，△BDM≌△CNM（SAS），
即5＝ta，3t＝12﹣3t，
解得t＝2，a＝2.5；
当BD＝CM，BM＝CN 时，△BDM≌△CMN（SAS），
即5＝12﹣3t，3t＝at，
8
解得t= 7
3
，a＝3，
综上所述，a 的值为2.5 或3．
故答案为：2.5 或3．
解答题参考答案
17．解：原方程两边同乘以2（4+x）得2（3﹣x）＝4+x，
去括号得6﹣2x＝4+x，
移项得﹣2x﹣x＝4﹣6，
合并同类项得﹣3x＝﹣2，
系数化为1 得x = 2
3
，
经检验，x = 2
3
是分式方程的解，
所以方程的解为x = 2
3
．
18．证明：∵在△ABC 和△ADC 中{
AB = AD
BC = DC
AC = AC
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
19．解：（1）△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，如图即为所求；
（2）由图可知，A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣4，1）．
20．解：原式=(
x
x−1 −x−1
x−1 )÷
( x +1)
2
( x +1)( x−1)
9
=
1
x−1 × ( x +1)( x−1)
( x +1)
2
=
1
x +1
．
当x＝0 时，原分式有意义，则原式=
1
x +1 =
1
0+1 =1．
21．解：（1）如图，AP 即为所求．
（2）如图，过点P 作PD⊥AB 于点D．
∵AP 平分∠BAC，∠C＝90°，
∴PC＝PD．
∵S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∴1
2 ×3×4 = 1
2 ×3 PC + 1
2 ×5 PC，
解得PC = 3
2
．
∴若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则PC 的长为3
2
．
22．解：设普通列车的平均速度为x 千米/时，则高铁列车的平均速度为4x 千米/时，
由题意得，650
x −520
4 x =8，
解得x＝65，
经检验，x＝65 是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝4×65＝260，
答：高铁列车的平均速度是260 千米/时．
23．解：（1）由原方程，得
2x＝mx﹣2x﹣6，
①整理，得
（4﹣m）x＝﹣6，
10
当4﹣m＝0 即m＝4 时，原方程无解；
②当分母x+3＝0 即x＝﹣3 时，原方程无解，
故2×（﹣3）＝﹣3m﹣2×（﹣3）﹣6，
解得 m＝2，
综上所述，m＝2 或4；
（2）由（1）得到 （4﹣m）x＝﹣6，
当m≠4 时．x= −6
4−m ＜0，
解得m＜4
综上所述，m＜4 且m≠2．
24．解：（1）①∵△ADE 与△ADB 关于AD 对称，
∴∠ADB＝∠ADE＝α，
又∵ED 平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝α，
∴3α＝180°，
解得α＝60°；
②如图，过点A 作 AF∥BC，
则∠DFA＝∠FDC＝60°，
∴∠ACF＝∠AFD＝60°，
∴△ADF 为等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，
∴∠AFE＝∠ADC＝120°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵△ADE 与△ADB 关于AD 对称，
∴∠E＝∠B，
∴∠E＝∠C，
在△AFE 与△ADC 中，
11
{
∠ADC =∠AFE
∠C =∠E
AD = AF
，
∴△AFE≌△ADC（AAS），
∴EF＝CD，
∴AD+CD＝DF+EF＝DE＝BD，
即BD＝AD+CD；
（2）①当点E 在BC 上方时，如图所示，设DE 与AC 交于点G，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADB＝α，
∴∠BAD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，
∵△ADE 与△ABD 关于AD 对称，
∴∠DAE＝∠BAD＝135°﹣a，∠ADE＝∠ADB＝α，
∴∠CAE＝2∠BAD﹣90°＝180°﹣2a，
∠EDC＝180°﹣2∠ADB＝180°﹣2a，
又∵AE＝AB＝AC，
∴∠ACE = 180°−∠CAE
2
=α，
∴∠ADG＝∠ECG＝α，
在△ADG 与△ECG 中，
{
∠ADG =∠ECG
∠AGD =∠EGC
AD =CE
，
∴△ADG≌△ECG（AAS），
∴GD＝GC，GA＝GE，
∴∠GDC＝∠GCD，∠GAE＝∠GEA，
∵∠AGE＝∠DGC，
12
∴∠GDC＝∠GCD＝GAE＝∠GEA，
∴AE∥BC，
∴180°﹣2α＝45°，
∴α＝67.5°；
②当点E 在BC 下方时，如图所示，设AE 与BC 交于点H，
同理可得∠DAE＝∠BAD＝135°﹣a，∠ADE＝∠ADB＝α，
∴∠CAE＝90°﹣2∠BAD＝2α﹣180°，
∠EDC＝2∠ADB﹣180°＝2a﹣180°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝180°﹣α＝∠ADC，
∴△ADH≌△CEH（AAS），
∴HD＝HE，HA＝HC，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，∠HAC＝∠HCA＝45°，
∴2a﹣180°＝45°，
∴α＝112.5°；
综述所述：当点E 在BC 上方时α＝67.5°；当点E 在BC 下方时α＝112.5°．
25．解：（1）A + B = x−7
x−2 +
x
2+6 x +9
( x +3)( x−2)
= x−7
x−2 +
( x +3)
2
( x +3)( x−2)
= x−7
x−2 + x +3
x−2
= 2( x−2)
x−2
＝2，
∴A 与B 是互为“和整分式”，“和整数值”k＝2；
13
（2）①C + D = 3 x−4
x−2 +
E
x
2−4
= (3 x−4)( x +2)
( x−2)( x +2) +
E
( x−2)( x +2)
= 3 x
2+2 x−8+ E
( x−2)( x +2)
，
∵C 与D 互为“和整分式”，且“和整数值”k＝3，
∴3x2+2x﹣8+E＝3（x﹣2）（x+2）＝3x2﹣12，
∴E＝3x2﹣12﹣3x2﹣2x+8＝﹣2x﹣4；
②∵D =
E
x
2−4
=
−2( x +2)
( x +2)( x−2) =−
2
x−2
，且分式D 的值为正整数t，x 为正整数，
∴x﹣2＝﹣1 或x﹣2＝﹣2，
∴x＝1（x＝0 舍去）；
（3）由题意可得：t = D =−
2
1−2 =2，
∴P+Q = 3 x−5
x−3 + mx −3
3−x =2，
∴3 x−5−mx +3
x−3
=2，
∴（3﹣m）x﹣2＝2x﹣6，
整理得：（1﹣m）x＝﹣4，
∵方程无解，
∴1﹣m＝0 或方程有增根x＝3，
当1﹣m＝0 时，
解得：m＝1，
当1﹣m≠0，方程有增根x＝3，
∴−4
1−m =3，
解得：m= 7
3
，
综上：m 的值为：1 或7
3
．
