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高中物理解题技巧之电磁学篇08
等效法处理带电物体在电场中的多种运动
一.应用技巧
1.“等效重力场”模型解法综述
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．
中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效
法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个
自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之
前的相关概念之间关系．具体对应如下：
等效重力场
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力
重力、电场力的合力
等效重力加速度
等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”
物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”
物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能
等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
2.模型分类
“等效重力场”中的直线运动
例：如图所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A 到
坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在
水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A 点由静止开始沿
绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，
sin37º=0.6，cos37º=0.8）
“等效重力场”中的抛体类运动
例：如图所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为v0 竖直向上发射一个质量
为m、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
“等效重力场”中的单摆类模型
例：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m 的绝缘细绳
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把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方
向的夹角为θ=37º．现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放：
“等效重力场”中的圆周运动类模型
例：如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R
的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现
有一质量为m 的带正电，电量为
q=√3 mg
3 E
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的
初速度应为多大？
二、实战应用(应用技巧解题，提供解析仅供参考)
1．如图所示，平行板电容器上极板
与下极板
水平放置，一带电液滴从下极板
点
射入，恰好沿直线从上极板
点射出。下列说法正确的是（ ）
A．该电容器上极板一定带负电
B．液滴从
点到
点的过程中速度增加
C．液滴从
点到
点过程中电势能减小
D．液滴从
点以原速度射入时，若再加一垂
直纸面向内的匀强磁场，则液滴可能做匀速直线运动
2．如图空间存在水平方向的匀强电场（场强大小处处相等，方向处处相同），某同学用绝
缘细线将质量为
、带电荷量为
的金属球
悬于
点，稳定后，细线与竖直方向的夹角
。现用
个与
完全相同的不带电金属球同时与
球接触后移开，
球再次稳定后，
细线与竖直方向的夹角变为
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为
的带电小球，以初速度
从
点竖直
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向上运动，通过
点时，速度大小为
，方向与电场方向相反，则小球从
运动到
的
过程（ ）
A．动能增加
B．机械能增加
C．重力势能增加
D．电势能增加
4．如图，光滑绝缘圆形轨道竖直放置，半径为
，一带负电的小球，沿轨道做逆时针方向
的匀速圆周运动。小球的质量为
，速度为
。匀强电场与圆形轨道平行，
时，小
球位于
点等高的
点，设
点所在的水平面为零势能面，即
、
。重力加速
度为
，以下说法正确的是（ ）
A．小球在最高点对轨道的压力为零
B．小球在运动过程中合力最大值是
C．时刻小球的电势能为
D．时刻小球的机械能为
5．如图所示，质量为m、带电荷量为
的小球（可视为质点）与长为L 的绝缘轻绳相连，
轻绳另一端固定在O 点，整个系统处在与竖直方向夹角为
的匀强电场中。已知A、B、
C、D、E、F 为圆周上的点，
为水平直径，
为竖直直径，
过O 点且与
的夹
角为
，当小球绕O 点在竖直平面内做半径为L 的圆周运动时，小球运动到A 点时的速
度最小，最小速度为
，g 为重力加速度的大小，则下列说法正确的是（ ）
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A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球从A 点运动到B 点时，合力做的功为
C．小球运动到B 点时轻绳拉力的大小为
D．小球运动到F 点时的机械能最大
6．质量为m 的物块带电荷量为＋q，开始时使其静止在倾角α＝
的固定光滑绝缘斜面
顶端，整个装置放在水平向左场强大小为
的匀强电场中，如图所示．斜面高为
H，释放物块后，物块落地时的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在竖直向上的匀强电场中，有两个质量均为 m、带等量异种电荷（电量绝对值为 q）
的小球 A、B（均可视为质点）处在同一水平面上．现将两球以相同的水平速度 v0 向右抛
出最 后落到水平地面上，运动轨迹如图所示．A、B 两球抛出点到落地点之间的水平距离
分别是 L1和 L2．两球之间的静电力和空气阻力均不考虑（重力加速度为 g），则
A．A 球带正电，B 球带负电
B．B 球比A 球先落地.
C．在下落过程中，A 球的电势能减少，B 球的电势能增加
D．两球从抛出到各自落地的过程中，A、B 球的机械能变化量大小相等
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8．如图所示，带电小球Q 固定在倾角为θ 的光滑固定绝缘细杆下端，一质量为m，电荷量
为q 的带正电小球M 穿在杆上从A 点由静止释放，小球到达B 点时速度恰好为零，已知
A、B 间距为L，C 是AB 的中点，两小球均可视为质点，重力加速度为g，则（ ）
A．小球从A 到B 的过程中加速度先减小后增大
B．小球在B 点时受到的库仑力大小为mgsinθ
C．小球在C 点时速度最大
D．在Q 产生的电场中，A．B 两点间的电势差为UAB=﹣
9．如图（a）所示，一带正电的小物块从粗糙程度不清楚的绝缘斜面上O 点由静止滑下，
途经P、Q 两点，所在空间有方向平行于斜面向上的匀强电场，以O 点为原点，选斜面底
端为重力势能零势能面，作出滑块从O 至Q 过程中的机械能E 随位移x 变化的关系如图
（b）所示，其中O 至P 过程的图线为曲线，P 至Q 过程的图线为直线，运动中物块的电
荷量不变，则（ ）
A．O 至P 过程中，物块做加速度减小的加速运动
B．P 至Q 过程中，物块做匀加速直线运动
C．P 至Q 过程中，摩擦力对物块做功的功率不变
D．O 至Q 过程中，物块的重力势能与电势能之和不断减小
10．如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A 点相切，B 点为圆轨道的最低
点，C 点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为m=1kg，电荷
量为q（q＞0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度
，θ=53°，圆轨道半径R=1m，g 取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。则以下说法中
正确的是（ ）
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A．刚释放小球时小球的加速度的大小为3.5m/s2
B．若小球能到达C 点，释放点与A 的距离至少为1.2m
C．若小球恰能到达C 点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为75N
D．若小球恰能到达C 点，则在C 点对轨道的压力为0
11．如图所示，
为竖直面内的光滑绝缘轨道，其中
段水平，
段为半圆形轨道，
轨道连接处均光滑，整个轨道处于竖直向上的匀强电场中，场强大小为
，一质量
为
的光滑绝缘斜面静止在水平面上，其底端与平面由微小圆弧连接。一带电量为
的
金属小球甲，从距离地面高为
的
点由静止开始沿斜面滑下，与静止在
点的不带电金
属小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两小球材质大小均相同，质量均为
，且
，
水平轨道足够长，不考虑两球之间的静电力，小球与轨道间无电荷转移，
取
，则
（ ）
A．甲球滑到斜面底端时斜面的速度大小为
B．甲、乙两球碰撞后甲的速度大小
C．甲、乙两球碰撞后乙的速度大小
D．若乙球恰能过
点，半圆形轨道半径为
12．如图所示，质量为m、带电量为
的小圆环套在半径为R 的光滑绝缘大圆环上，大圆
环固定在竖直平面内，O 为环心，A 为最低点，B 为最高点。在大圆环所在的竖直平面内施
加水平向右、场强为
的匀强电场，并同时给在A 点的小圆环一个向右的水平初速度
，
小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，则小圆环运动过程中（ ）
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A．动能最小与最大的位置在同一等势面上
B．电势能最小的位置恰是机械能最大的位置
C．在A 点获得的初速度为
D．过B 点受到大环的弹力大小为
13．如图所示，光滑绝缘直杆ABCD 水平放置并固定不动，其中AB＝BC＝CD＝L，杆上
套有质量为m、电量为＋q 的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点O 连
接，直杆A 处固定电量为＋9q 的点电荷。小球从B 处由静止开始释放，运动到D 处时速度
恰好达到最大值vm，OC 垂直于直杆，且OC 为弹簧自然长．静电力常量为k.求：
（1）BD 两点间的电势差UBD；
（2）小球刚释放时的加速度大小a；
（3）小球运动到D 处时，C 处的电场强度E。
14．如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管ADB 固定在竖直平面内．圆管的圆心为O，D 点为
圆管的最低点，AB 两点在同一水平线上，AB=2L，圆管的半径为r=
L(自身的直径忽略不
计)．过OD 的虚线与过AB 的虚线垂直相交于C 点，在虚线AB 的上方存在方向水平向右、
范围足够大的匀强电场；虚线AB 的下方存在方向竖直向下、范围足够大的匀强电场，电场
强度大小E2=
．圆心O 正上方的P 点有一质量为m、电荷量为－q(q>0)的小球(可视为质
点)，PC 间距为L．现将该小球从P 点无初速释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A 无
碰撞地进入圆管内，并继续运动．重力加速度为g．求：
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(1)虚线AB 上方匀强电场的电场强度E1的大小；
(2)小球在AB 管中运动经过D 点时对管的压力FD；
（3）小球从管口B 离开后，经过一段时间到达虚线AB 上的N 点(图中未标出)，在圆管中
运动的时间与总时间之比
．
15．如图，倾角为θ=30°的固定绝缘光滑斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，斜面底端连接
一根劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧另一端连接着一质量为m 的不带电小球A，小球A 静
止时，到斜面顶端的距离为L。有一电荷量为+q、质量为
的小球B 以初速
，
从斜面顶端沿斜面向下运动，与小球A 发生弹性碰撞之后，两小球平分了原来的总电荷量，
已知电场强度
，弹簧始终在弹性限度内，空气阻力不计，重力加速度为g，求：
（1）小球A 静止时，弹簧的形变量x；
（2）两小球碰撞前，小球B 的速度大小v；
（3）小球A 从碰后到速度最大的过程中，电场力对它所做的功W。
16．如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB 与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC 平滑
连接，半圆形轨道的半径R=0.4m，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨
道所在的平面平行，电场强度E=1.0×104N/C，现有一电荷量q=+1.0×10-4C，质量m=0.1kg 的
带电体（可视为质点），在水平轨道上的P 点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道
的最高点C，然后落至水平轨道上的D 点。g 取10m/s2.试求：
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（1）带电体运动到圆形轨道B 点时对圆形轨道的压力大小；
（2）D 点到B 点的距离xDB；
（3）带电体在从P 开始运动到落至D 点的过程中的最大动能。
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