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高中物理解题技巧之电磁学篇08
等效法处理带电物体在电场中的多种运动
一.应用技巧
1.“等效重力场”模型解法综述
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．
中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效
法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个
自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之
前的相关概念之间关系．具体对应如下：
等效重力场
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力
重力、电场力的合力
等效重力加速度
等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”
物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”
物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能
等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
2.模型分类
“等效重力场”中的直线运动
例：如图所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A 到
坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在
水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A 点由静止开始沿
绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，
sin37º=0.6，cos37º=0.8）
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力
和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
1
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带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g'
的匀加速运动
SAB=2 Lcos30∘
①
SAB =1
2 g
't2
②
由①②两式解得
t=√3 L
g
“等效重力场”中的抛体类运动
例：如图所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为v0 竖直向上发射一个质量
为m、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
建立等效重力场如图所示，等效重力加速度g'
设g'
与竖直方向的夹角为θ，则
g
'=
g
cosθ
其中
arcsinθ=
qE
√（qE ）
2+（mg ）
2
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动
vx=v0sinθ v y=v0cosθ
当小球在y 轴方向的速度减小到零，即v y=0 时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度
vmin=vx=v0sinθ=v0
qE
√（mg ）2+（qE ）2
“等效重力场”中的单摆类模型
例：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m 的绝缘细绳
把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方
向的夹角为θ=37º．现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放：
2
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建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”g'
，
方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
g
'=
g
cos37∘=1.25g
由A、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能
定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功
m g
'(LO A
'−LOC
')=m g
' L(cosθ−sinθ)=1
2 mv C
2
代入数值得vC≈1.4 m/s
当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为vB ，绳上的拉力为F ，则
mg
'（L−Lsinθ）=1
2 mv B
2
①
F−m g
'=m vB
2
L ②
联立①②两式子得F=2.25N
“等效重力场”中的圆周运动类模型
例：如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R
的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现
有一质量为m 的带正电，电量为
q=√3 mg
3 E
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的
初速度应为多大？
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到
重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型
过山车．
等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力m g
'
，
大小
m g
'=√(qE )2+(mg )2=2√3mg
3
，
tg θ=qE
mg =√3
3 ，得θ=30° ，于是重效重力
方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力
场中过山车模型．
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好
提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如
图3-3 所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B 点应满足“重
力”当好提供向心力即：
m g'= mv B
2
R
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，
O
g'
3
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则根据动能定理：
−m g
'2 R=1
2 mv B
2−1
2 mv 0
2
解得：
v0=√
10√3gR
3
二、实战应用(应用技巧解题，提供解析仅供参考)
1．如图所示，平行板电容器上极板
与下极板
水平放置，一带电液滴从下极板
点
射入，恰好沿直线从上极板
点射出。下列说法正确的是（ ）
A．该电容器上极板一定带负电
B．液滴从
点到
点的过程中速度增加
C．液滴从
点到
点过程中电势能减小
D．液滴从
点以原速度射入时，若再加一垂
直纸面向内的匀强磁场，则液滴可能做匀速直线运动
【答案】C
【详解】A．对液滴受力分析可知，重力竖直向下，则电场力方向沿竖直向上，由于液滴
电性及场强方向均未知，所以极板电性无法确定，A 错误；
B．因为液滴恰好沿直线从上极板
点射出，则液滴沿PN 方向做匀速直线运动，所以液滴
从
点到
点的过程中速度不变，B 错误；
C．液滴从
点到
点过程中电场力做正功，电势能减小，C 正确；
D．液滴此时受力平衡，若再加一垂直纸面向内的匀强磁场，则液滴受洛伦兹力，将做匀
速圆周运动，D 错误。
故选C。
2．如图空间存在水平方向的匀强电场（场强大小处处相等，方向处处相同），某同学用绝
缘细线将质量为
、带电荷量为
的金属球
悬于
点，稳定后，细线与竖直方向的夹角
。现用
个与
完全相同的不带电金属球同时与
球接触后移开，
球再次稳定后，
细线与竖直方向的夹角变为
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】根据题意，对小球受力分析，如图所示
4
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由平衡条件可得
用
个与
完全相同的不带电金属球同时与
球接触后移开，A 球的带电量为
，对小
球受力分析，如图所示
由平衡条件可得
联立解得
故选B。
3．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为
的带电小球，以初速度
从
点竖直
向上运动，通过
点时，速度大小为
，方向与电场方向相反，则小球从
运动到
的
过程（ ）
A．动能增加
B．机械能增加
C．重力势能增加
D．电势能增加
【答案】B
5
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【详解】由动能的表达式
可知带电小球在M 点的动能为
，在N 点的
动能为
，所以动能的增量为
，故A 错误；带电小球在电场
中做类平抛运动，竖直方向受重力做匀减速运动，水平方向受电场力做匀加速运动，由运
动学公式有
，可得
，竖直方向的位移
，水平
方向的位移
，因此有
，对小球写动能定理有
，联
立上式可解得
，
，因此电场力做正功，机械能增加，故机械能增加
，电势能减少
，故B 正确D 错误，重力做负功重力势能增加量为
，故C 错
误．
4．如图，光滑绝缘圆形轨道竖直放置，半径为
，一带负电的小球，沿轨道做逆时针方向
的匀速圆周运动。小球的质量为
，速度为
。匀强电场与圆形轨道平行，
时，小
球位于
点等高的
点，设
点所在的水平面为零势能面，即
、
。重力加速
度为
，以下说法正确的是（ ）
A．小球在最高点对轨道的压力为零
B．小球在运动过程中合力最大值是
C．时刻小球的电势能为
D．时刻小球的机械能为
【答案】C
【详解】AB．带负电的小球在竖直光滑绝缘圆形轨道做匀速圆周运动，则小球所受合力大
小始终保持不变，合力方向始终指向圆心，由于小球必受重力、电场力，轨道还可能对小
球有作用力，则在做匀速圆周运动过程中要保持合力大小不变，小球所受重力与电场力必
然是一对平衡力，有牛顿第二定律有小球在轨道中任意位置合力大小相同，即有
所以小球在轨道任意位置受到的弹力提供向心力，即小球在最高点对轨道的压力大小为
6
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故AB 错误；
C．小球所受重力与电场力是一对平衡力，则电场力方向竖直向上，且电场力做了多少功，
电势能就变化多少，设时刻小球运动到某一位置时与圆心连线所在直线与水平方向的夹
角为
，则
时刻开始至时刻小球沿轨道做逆时针方向的匀速圆周运动，电场力做功为
又由电场力做功与电势能变化关系有
点所在的水平面为零势能面，故时刻小球的电势能为
故C 正确；
D．动能和势能统称机械能，小球所受重力与电场力是一对平衡力，可知本题中重力做功
大小与电场力做功大小相同，
点所在的水平面为零势能面，则时刻小球的机械能为
故D 错误。
故选C。
5．如图所示，质量为m、带电荷量为
的小球（可视为质点）与长为L 的绝缘轻绳相连，
轻绳另一端固定在O 点，整个系统处在与竖直方向夹角为
的匀强电场中。已知A、B、
C、D、E、F 为圆周上的点，
为水平直径，
为竖直直径，
过O 点且与
的夹
角为
，当小球绕O 点在竖直平面内做半径为L 的圆周运动时，小球运动到A 点时的速
度最小，最小速度为
，g 为重力加速度的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球从A 点运动到B 点时，合力做的功为
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C．小球运动到B 点时轻绳拉力的大小为
D．小球运动到F 点时的机械能最大
【答案】D
【详解】A．小球在A 点受重力和电场力，如图所示，由题意，小球绕O 点在竖直平面内
做圆周运动，在A 点时速度最小可知，小球受到的合外力提供向心力，小球在竖直方向受
力平衡，则有
A 错误；
B．小球从A 点运动到B 点时，重力做功是零，电场力做功为
因此合力做的功为
，B 错误；
C．小球运动到B 点时，由动能定理可得
解得
在B 点，由牛顿第二定律可得
代入数据解得
C 错误；
D．小球在做圆周运动中，只有重力和电场力做功，则有小球的机械能和电势能之和是一
个定值，小球在E 点时电势最高，小球带正电，电势能最大，小球在F 点时的电势最低，
具有的电势能最小，因此小球在F 点的机械能最大，D 正确。
故选D。
6．质量为m 的物块带电荷量为＋q，开始时使其静止在倾角α＝
的固定光滑绝缘斜面
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顶端，整个装置放在水平向左场强大小为
的匀强电场中，如图所示．斜面高为
H，释放物块后，物块落地时的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对物块进行受力分析，物块受重力和水平向左的电场力，电场力
重力和水平向左的电场力合力与水平方向夹角
，运用动能定理研究从开始到落地过
程，
解得：
A.
与分析不符，故A 项错误；
B.
与分析相符，故B 项正确；
C.
与分析不符，故C 项错误；
D.
与分析不符，故D 项错误．
7．在竖直向上的匀强电场中，有两个质量均为 m、带等量异种电荷（电量绝对值为 q）
的小球 A、B（均可视为质点）处在同一水平面上．现将两球以相同的水平速度 v0 向右抛
出最 后落到水平地面上，运动轨迹如图所示．A、B 两球抛出点到落地点之间的水平距离
分别是 L1和 L2．两球之间的静电力和空气阻力均不考虑（重力加速度为 g），则
9
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A．A 球带正电，B 球带负电
B．B 球比A 球先落地.
C．在下落过程中，A 球的电势能减少，B 球的电势能增加
D．两球从抛出到各自落地的过程中，A、B 球的机械能变化量大小相等
【答案】ABD
【详解】A．两球在水平方向都做匀速直线运动，由
知，
相同，则
运动的时间比
的长，竖直方向上，由
可知，相等，则有
的加速度比B 的加速度小，
的
合力比B 的合力小，所以
的电场力向上，带正电，
的电场力向下，带负电，故A 正确；
B．
运动的时间比
的运动时间长，则
球比
球先落地，故B 正确；
CD．
的电场力向上，电场力对
球做负功，
球的电势能增加，
球的机械能减小，减
小为
；
的电场力向下，电场力对
球做正功，
球的电势能减小，
球的机械
能增加，增加为
，故C 错误，D 正确。
8．如图所示，带电小球Q 固定在倾角为θ 的光滑固定绝缘细杆下端，一质量为m，电荷量
为q 的带正电小球M 穿在杆上从A 点由静止释放，小球到达B 点时速度恰好为零，已知
A、B 间距为L，C 是AB 的中点，两小球均可视为质点，重力加速度为g，则（ ）
A．小球从A 到B 的过程中加速度先减小后增大
B．小球在B 点时受到的库仑力大小为mgsinθ
C．小球在C 点时速度最大
D．在Q 产生的电场中，A．B 两点间的电势差为UAB=﹣
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，小球从A 由静止运动在B 点时，速度为零，则小球先加速后减速，
那么一开始库仑力小于重力沿着细杆的分力，当减速运动时，则库仑力大于重力沿着细杆
10
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的分力，因此加速度先减小，再增大，故A 正确；
B．球在B 点时，速度为零，但不是处于平衡状态，由于球要向上运动，那么受到的库仑力
大小大于mgsin θ，故B 错误；
C．当球的加速度为零时，速度才能达到最大，而C 虽是AB 的中点，但此处库仑力、支持
力与重力的合力不为零，故C 错误；
D．根据动能定理，从A 到B，则有
0－0=mgLsin θ＋qUAB
解得
UAB=－
故D 正确。
故选AD。
9．如图（a）所示，一带正电的小物块从粗糙程度不清楚的绝缘斜面上O 点由静止滑下，
途经P、Q 两点，所在空间有方向平行于斜面向上的匀强电场，以O 点为原点，选斜面底
端为重力势能零势能面，作出滑块从O 至Q 过程中的机械能E 随位移x 变化的关系如图
（b）所示，其中O 至P 过程的图线为曲线，P 至Q 过程的图线为直线，运动中物块的电
荷量不变，则（ ）
A．O 至P 过程中，物块做加速度减小的加速运动
B．P 至Q 过程中，物块做匀加速直线运动
C．P 至Q 过程中，摩擦力对物块做功的功率不变
D．O 至Q 过程中，物块的重力势能与电势能之和不断减小
【答案】BD
【详解】A．由于
解得
可知，
图像斜率的绝对值表示摩擦力与电场力两个力的合力大小，根据图像可知，O
至P 过程中，图像斜率的绝对值逐渐减小，则摩擦力与电场力两个力的合力逐渐减小，由
于物体静止向下滑动，根据
11
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可知加速度逐渐增大，即O 至P 过程中，物块做加速度增大的加速运动，A 错误；
B．P 至Q 过程中，
图像斜率一定，即摩擦力与电场力大小均一定，结合上述，P 至
Q 过程中，物块做匀加速直线运动，B 正确；
C．P 至Q 过程中，物块做匀加速直线运动，物块速度增大，根据
结合上述可知，P 至Q 过程中，摩擦力对物块做功的功率逐渐增大，C 错误；
D．O 至Q 过程中，物块只有重力势能、电势能与由于滑动摩擦力做负功而产生的热量三
者之间的转化，摩擦力做功逐渐增多，产生的热量逐渐增多，则物块的重力势能与电势能
之和不断减小，D 正确。
故选BD。
10．如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A 点相切，B 点为圆轨道的最低
点，C 点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为m=1kg，电荷
量为q（q＞0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度
，θ=53°，圆轨道半径R=1m，g 取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。则以下说法中
正确的是（ ）
A．刚释放小球时小球的加速度的大小为3.5m/s2
B．若小球能到达C 点，释放点与A 的距离至少为1.2m
C．若小球恰能到达C 点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为75N
D．若小球恰能到达C 点，则在C 点对轨道的压力为0
【答案】AC
【详解】A．对小球受力分析，小球所受电场力水平向左，由牛顿第二定律得
解得
m/s2
故A 正确；
B．设重力与电场力的合力方向与竖直方向成α 角，如图
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故
解得
大小为
小球恰好能过等效最高点E 时也就恰好能到达C 点，在E 点由牛顿第二定律得
从释放到到达E 点，由动能定理得
代入数据解得
故B 错误；
C．此时若小球能到达C 点，应先恰能到达E 点，对E 点受力分析得
解得
对D 到E 由动能定理得
解得
对D 点由牛顿第二定律得
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由牛顿第三定律得压力
故C 正确；
D．对E 到C 由动能定理得
解得
m/s
对C 点由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得压力
故D 错误。
故选AC。
11．如图所示，
为竖直面内的光滑绝缘轨道，其中
段水平，
段为半圆形轨道，
轨道连接处均光滑，整个轨道处于竖直向上的匀强电场中，场强大小为
，一质量
为
的光滑绝缘斜面静止在水平面上，其底端与平面由微小圆弧连接。一带电量为
的
金属小球甲，从距离地面高为
的
点由静止开始沿斜面滑下，与静止在
点的不带电金
属小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两小球材质大小均相同，质量均为
，且
，
水平轨道足够长，不考虑两球之间的静电力，小球与轨道间无电荷转移，
取
，则
（ ）
A．甲球滑到斜面底端时斜面的速度大小为
B．甲、乙两球碰撞后甲的速度大小
C．甲、乙两球碰撞后乙的速度大小
D．若乙球恰能过
点，半圆形轨道半径为
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【答案】AD
【详解】A．设甲球滑到斜面底端时，斜面的速度大小为v1，甲球的速度大小为v2，甲球带
负电，受电场力向下，根据动能定理得
甲球与斜面在甲球下滑过程中水平方向动量守恒，设向右为正
解得
故A 正确；
BC．甲、乙两球发生的是弹性碰撞，设碰后甲球的速度为v3，乙球的速度为v4
解得
故BC 均错误；
D．甲、乙球碰撞后，根据电荷均分原理，乙带电为
，设乙球过D 点时的速度为v5，根
据动能定理得
乙球在D 点时，根据牛顿第二定律得
联立以上两式解得
故D 正确。
故选AD。
12．如图所示，质量为m、带电量为
的小圆环套在半径为R 的光滑绝缘大圆环上，大圆
环固定在竖直平面内，O 为环心，A 为最低点，B 为最高点。在大圆环所在的竖直平面内施
加水平向右、场强为
的匀强电场，并同时给在A 点的小圆环一个向右的水平初速度
，
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小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，则小圆环运动过程中（ ）
A．动能最小与最大的位置在同一等势面上
B．电势能最小的位置恰是机械能最大的位置
C．在A 点获得的初速度为
D．过B 点受到大环的弹力大小为
【答案】BC
【详解】A．由于匀强电场的电场强度为
，即电场力与重力大小相等，作出小圆环的等
效物理最低点C 与物理最高点位置D，如图所示
小圆环在等效物理最低点速度最大，动能最大，在等效物理最高点速度最小，动能最小，
根据沿电场线电势降低，可知
可知其不在同一等势面上，A 错误；
B．小圆环在运动过程中，只有电势能、动能与重力势能的转化，即只有电势能与机械能的
转化，则电势能最小的位置恰是机械能最大的位置，B 正确；
C．小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，即小圆环通过等效物理最高点D 的速度
为0，对圆环分析有
解得
C 正确；
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D．小圆环运动到B 过程有
在B 点有
解得
可知，小圆环过B 点受到大环的弹力大小为
，D 错误。
故选BC。
13．如图所示，光滑绝缘直杆ABCD 水平放置并固定不动，其中AB＝BC＝CD＝L，杆上
套有质量为m、电量为＋q 的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点O 连
接，直杆A 处固定电量为＋9q 的点电荷。小球从B 处由静止开始释放，运动到D 处时速度
恰好达到最大值vm，OC 垂直于直杆，且OC 为弹簧自然长．静电力常量为k.求：
（1）BD 两点间的电势差UBD；
（2）小球刚释放时的加速度大小a；
（3）小球运动到D 处时，C 处的电场强度E。
【答案】（1）
；（2）k
；（3）k
，方向水平向右（或C→D）
【详解】（1）从B 到D 过程弹力做功为零，由动能定理有
解得
（2）在D 点，设弹簧与水平方向成θ
F 弹cosθ＝k
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在B 点
F 弹cosθ＋k
＝ma
解得
a＝k
（3）设正点电荷在C 处产生的电场，其强度为E1，带电小球在C 处产生的电场，其强度
为E2，则
E1＝k
E2＝k
E＝E1－E2
解得
E＝k
，方向水平向右（或C→D）
14．如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管ADB 固定在竖直平面内．圆管的圆心为O，D 点为
圆管的最低点，AB 两点在同一水平线上，AB=2L，圆管的半径为r=
L(自身的直径忽略不
计)．过OD 的虚线与过AB 的虚线垂直相交于C 点，在虚线AB 的上方存在方向水平向右、
范围足够大的匀强电场；虚线AB 的下方存在方向竖直向下、范围足够大的匀强电场，电场
强度大小E2=
．圆心O 正上方的P 点有一质量为m、电荷量为－q(q>0)的小球(可视为质
点)，PC 间距为L．现将该小球从P 点无初速释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A 无
碰撞地进入圆管内，并继续运动．重力加速度为g．求：
(1)虚线AB 上方匀强电场的电场强度E1的大小；
(2)小球在AB 管中运动经过D 点时对管的压力FD；
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（3）小球从管口B 离开后，经过一段时间到达虚线AB 上的N 点(图中未标出)，在圆管中
运动的时间与总时间之比
．
【答案】（1）
（2）2
mg，方向竖直向下（3）
【分析】（1）小物体释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，根据正交分解，
垂直运动方向的合力为零，列出平衡方程即可求出虚线AB 上方匀强电场的电场强度；
（2）根据动能定理结合圆周运动的规律求解小球在AB 管中运动经过D 点时对管的压力
FD；（3）小物体由P 点运动到A 点做匀加速直线运动，在圆管内做匀速圆周运动，离开管
后做类平抛运动，结合运动公式求解在圆管中运动的时间与总时间之比.
【详解】（1）小物体释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小物体从A 点沿
切线方向进入，则此时速度方向与竖直方向的夹角为45°，即加速度方向与竖直方向的夹角
为45°，则：tan45°=
解得：
（2）从P 到A 的过程，根据动能定理：mgL+EqL=
mvA
2
解得vA=2
小球在管中运动时，E2q=mg，小球做匀速圆周运动，则v0=vA=2
在D 点时，下壁对球的支持力
由牛顿第三定律，
方向竖直向下．
（3）小物体由P 点运动到A 点做匀加速直线运动，设所用时间为t1，则：
解得
小球在圆管内做匀速圆周运动的时间为t2，则：
小球离开管后做类平抛运动，物块从B 到N 的过程中所用时间：
则：
15．如图，倾角为θ=30°的固定绝缘光滑斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，斜面底端连接
一根劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧另一端连接着一质量为m 的不带电小球A，小球A 静
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止时，到斜面顶端的距离为L。有一电荷量为+q、质量为
的小球B 以初速
，
从斜面顶端沿斜面向下运动，与小球A 发生弹性碰撞之后，两小球平分了原来的总电荷量，
已知电场强度
，弹簧始终在弹性限度内，空气阻力不计，重力加速度为g，求：
（1）小球A 静止时，弹簧的形变量x；
（2）两小球碰撞前，小球B 的速度大小v；
（3）小球A 从碰后到速度最大的过程中，电场力对它所做的功W。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球A 静止时，对A 分析有
解得
（2）对小球B 分析有
解得
小球向下做匀减速直线运动，则有
解得
（3）对AB 碰撞过程有
，
解得
，
可知，碰撞后B 球体反弹，与A 分离，向上做匀加速直线运动，A 向下运动，则小球A 碰
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后到速度最大时，小球A 的加速度为0，令此时弹簧的压缩量为x1，对小球A 分析有
则小球A 从碰后到速度最大的过程中，电场力对它所做的功
解得
16．如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB 与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC 平滑
连接，半圆形轨道的半径R=0.4m，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨
道所在的平面平行，电场强度E=1.0×104N/C，现有一电荷量q=+1.0×10-4C，质量m=0.1kg 的
带电体（可视为质点），在水平轨道上的P 点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道
的最高点C，然后落至水平轨道上的D 点。g 取10m/s2.试求：
（1）带电体运动到圆形轨道B 点时对圆形轨道的压力大小；
（2）D 点到B 点的距离xDB；
（3）带电体在从P 开始运动到落至D 点的过程中的最大动能。
【答案】（1）6.0N；（2）0；（3）1.17J
【详解】（1）设带电体通过C 点时的速度为vC，依据牛顿第二定律有
解得
设带电体通过B 点时的速度为vB，设轨道对带电体的支持力大小为FB，带电体在B 点时，
根据牛顿第二定律有
带电体从B 运动到C 的过程中，依据动能定理有
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联立解得
根据牛顿第三定律，带电体对轨道的压力
。
（2）设带电体从最高点C 落至水平轨道上的D 点经历的时间为t，根据运动的分解有
联立解得
（3）由P 到B 带电体做加速运动，故最大速度一定出现在从B 经C 到D 的过程中，在此
过程中只有重力和电场力做功，且
其合力与重力方向成45°夹角斜向右下方，故最大速度必出现在B 点右侧对应圆心角为45°
处，设小球的最大动能为
，根据动能定理有
代入数据解得
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