文档文本内容
2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
1．已知全集 ，集合 ， 或 ，则 （ ）
A． B． C．（－3，3] D．（2，3]
【答案】A
【解析】不等式 解得 ，∴ ，
或 ，则 ， .
故选：A
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形
【答案】D
【解析】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误．
对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误．
对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误．
对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确．
故选：D
3．记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．120 B．140 C．160 D．180
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以
，
故选：C.
4．已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且 ，则实数 的值是（ ）
A． 和 B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得 ，则 ，
整理可得 ，因为 ，解得
故选：B.
5．点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
6．已知数列 是公比为 的等比数列， 是数列 的前 项和，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】根据题意 ，可得 ，
则数列 为公差为 的等差数列，所以 .
7．已知平行六面体 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为
所以 ， .
8．闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为 和
，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，其中q表示阶数.现有下列四
个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，其中 ，则 ；
③若 ，其中 ，则 ；
④若 ，其中 ，则 的最小值为 .
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①： ，故①正确.
对于②： ，故②错误.
对于③： ，不妨设 ，，且 均为非负数，所以 故③正确.
对于④：构造函数 ，则 ， 的最小值即两曲线动
点间的最小距离，设 与直线 平行的切线方程为 ，联立 得：
，令 得， ，所以切线方程为 ： 与 之间的距
离 ，所以最小值为 ，故④正确.
二、多选题
9．甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7
场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（ ）
A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同
C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小
【答案】BCD
【解析】对于A，甲的得分中位数是5，乙的得分中位数是5，故A错误；
对于B，甲的得分平均数是 ，乙的得分平均数是 ，故B
正确；对于C，甲的得分极差是 ，乙的得极差是 ，故C正确；
对于D，甲的得分方差是 ，
乙的得方差是 ，故D正
确.
10．已知函数 的定义域为 ，则（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 是偶函数【答案】ABC
【解析】令 ，可得 ，故A正确；
令 ，可得 ，令 ，可得 ，则 ，故B正确；
由 ，可得 ，令 ，
则 ，令 ，可得 ，令 ，则 ，所以
是奇函数，即 是奇函数，故C正确；
因为 ，所以 不是偶函数，故D错误．
11．已知圆 ，圆 分别是圆 与圆 上的点，则（ ）
A．若圆 与圆 无公共点，则
B．当 时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当 时，则 斜率的最大值为
D．当 时，过 点作圆 两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
【答案】BC
【解析】对于选项A，当两圆内含时， 可以无穷大，所以A不正确；
当 时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为 ，所以B为正确选项；
对于选项B，当 时如图，
和 为两条内公切线，且 ，
由平面几何知识可知 ，所以可得 ，
即 斜率的最大值为 ，C选项正确；
对于D选项，如图，
点P在 位置时 ，点 在 位置时 ，
所以中间必然有位置使得 ，故D错误.
三、填空题
12．在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】60
【解析】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，则 项的系数为 .
13．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为 ， ，且
，则它的内切球的体积为 .
【答案】
【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中 为圆台的母线长， ， 分别为上、下底面的圆心，点
为内切球的球心，点 为球 与圆台侧面相切的一个切点.则由题意可得： ，
.
因此可得：内切球半径 ，即得内切球的体积为 .
14．椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 在椭圆上第一象限内，记
，存在圆 经过点 ，且 ，则椭圆 的离心率为
.
【答案】
【解析】显然直线 斜率都存在，且 ，
由 ，得 ，
则 ，而 ，
于是 ，设 ，则 ，
因此 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率为 .四、解答题
15．如图，四面体 中， 是 的中点， ，
(1)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；
(2)求点E到平面ACD的距离.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，
由E为BC的中点知 ，
则直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角，（2分）
在 中， ，
因为 是直角 斜边AC上的中线，则 ，可得 ，（5分）
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .（6分）
（2）设点E到平面ACD的距离为
因为 ，即 ，（8分）
在 中， ，可得 ，（9分）
且 ，（10分）
可得 ，（12分）
所以点E到平面ACD的距离为 （13分）
16．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的最小值．
【答案】(1)答案见详解(2)
【解析】（1） （ ），（1分）
当 时，由于 ，所以 恒成立，从而 在 上递增；（2分）当 时， ， ； ， ，
从而 在 上递增，在 递减；（4分）
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（6分）
（2）令 ，要使 恒成立，
只要使 恒成立，也只要使 .（7分）
，（8分）
若 ， ，所以 恒成立，（9分）
当 时， ，当 时， ，
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，（10分）
所以 ，解得： ，
可知 的最小值为 ；（12分）
若 ， ，所以 恒成立，（13分）
当 时， ，当 时， ，
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，（14分）
所以 在 内无最大值，且当 趋近于 时， 趋近于 ，不合题意；
综上所述： 的最小值为 .（15分）
17．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局
比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地
均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的比赛
结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．
(1)若每局比赛甲获胜的概率 ，求该场比赛甲获胜的概率.
(2)已知第一局目前比分为10∶10，求
（ⅰ）再打两个球甲新增的得分 的分布列和均值；
（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率 ；
【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见详解， ；（ⅱ）
【解析】（1）因为甲每局获胜的概率均为 ，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为 ，因为每局的比赛结果相互独立，
所以 的所有可能取值为 ，（1分）
可得 ；（4分）
64
故该场比赛甲获胜的概率P=P(Y =3)+P(Y =4)+P(Y =5)= .（5分）
81
（2）（ⅰ）依题意， 的所有可能取值为 （6分）
设打成 后甲先发球为事件 ，则乙先发球为事件 ，且 ，（7分）
1 1 1 1 1 1 1
所以P(X=0)=P(A)⋅P(X=0|A)+P(A)⋅P(X=0|A)= × × + × × = ，（8分）
2 3 2 2 2 3 6
（9分）
1 2 1 1 1 2 1
P(X=2)=P(A)⋅P(X=2|A)+P(A)⋅P(X=2|A)= × × + × × = .（10分）
2 3 2 2 2 3 3
所以 的分布列为
0 1 21 1 1 7
故 的均值为E(X)=0× +1× +2× = ；（12分）
6 2 3 6
（ⅱ）设第一局比赛甲获胜为事件 ，则P(B|X=0)=0,P(B|X=1)=P(B),P(B|X=2)=1.
1 1 1
由（ⅰ）知，P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ，（13分）由全概率公式，得
6 2 3
1 1 1
P(B)=P(X=0)P(B|X=0)+P(X=1)P(B|X=1)+P(X=2)P(B|X=2)= ×0+ P(B)+ ,（14
6 2 3
分）
2
解得P(B)= ，即第一局比赛甲获胜的概率 .（15分）
3
18．如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取
一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上
点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时
笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，
， .设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a
的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程；
(2)斜率为k的直线 过点 ，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为(0,2)，若
，求 的范围.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由题意，笔尖到点 的距离与它到直线 的距离相等，所以笔尖留下的轨迹为以 为焦点，直线 为准线的抛物线，设其方程为 ，则 ，（2分）
因为 ， ，且 ，可得 ，
由 ，可得点 的横坐标为 ，（4分）
又由抛物线的准线方程为 ，则 ，解得 ，（6分）
所以曲线 的轨迹方程为 .（7分）
（2）假设存在 ，使得 ，设 ，直线 的方程为 ，（9分）
联立方程组 ，整理得 ，且 ，（10分）
则 ，则 ，（11分）
可得 ，（12分）
由 ，可得 ，即 ，所以 ，（13分）
令 ，则 ，（14分）
所以 ，且 ，即 ，解得 或 ，（16分）
所以存在 ，使得 成立.（17分）19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工
作，此概念逐渐为数学家所接受.形如 的数称为复数，其中 称为实部， 称为虚部，i
称为虚数单位， .当 时， 为实数；当 且时， 为纯虚数.其中 ，叫做复数
的模.设 ， ， ， ， ， ， 如图，点 ，复数 可
用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，
有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，
任何一个复数 都可以表示成 的形式，即 ，其中 为复数 的模， 叫
做复数 的辐角，我们规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 . 叫做
复数 的三角形式.(1)设复数 ， ，求 、 的三角形式；
(2)设复数 ， ，其中 ，求 ；
(3)在 中，已知 、 、 为三个内角 的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数
相关内容，证明：
① ；
② ， ， .
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
【答案】(1) ，
(2) ；(3)证明见解析
【解析】（1）
,（2分）
；（5分）
（2）设 ， 的模为 ， 的模为 ， ，
对于 有 ， ，（6分）对于 有 ， ，（7分）
所以 ， （8分）
所以 ，（9分）
，故 ,即 的角的终边在 轴上，（10分）
又 ，所以 ，即 （11分）
（3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点 作 的平行线，过 作 的平行线，交于点
，则 ，所以 ，
即 ，
即 （13分）
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得 ，
所以 ， ，（14分）
同理 ， ，
， ，（16分）
所以 ， ， ， .（17分）
