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压轴10 数列求和的3 大核心题型
近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方
法求数列的和，难度中档．
题型01 分组转化法求和的常见类型
1.（2025·山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列
na
中，
1
1
a = ，且
1
3
13
,
,
a a a 成等比数列，数列
nb
的前n
项和
n
S 满足
2
2
=
-
n
n
S
b
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
b
a
=
-
，数列
nc
的前n 项和
nT ，若不等式
2
2
log
1
nT
n
n
a
+
-
>
-
对任意
*
N
nÎ
恒成立，求实数a
的取值范围.
【思维导引】（1）设公差为
0
d →列方程求出d →求出
na
的通项公式→根据
1
1
,
1
,
2
n
n
n
S n
b
S
S
n
-
=
ì
= í
-
³
î
→
作差得数列
nb
为等比数列→
nb
的通项公式
（2）
2
2
1
n
nc
n
=
-
- →分组求和法求出
nT →令
1
2
2
n
f n
n
+
=
-
- →利用作差法判断
f n 的单调性→求
出
min
f n
→解a 的对数不等式→a 的取值范围.
【解析】（1）设等差数列
na
的公差为
1
0,
1
d
a
=
Q
，且
1
3
13
,
,
a a a 成等比数列，
2
3
1 13
a
a a
\
=
，即
2
(1
2 )
1 12
d
d
+
= +
，解得
2
d =
或
0
d =
（舍去），
所以
1
2
1
2
1
na
n
n
= +
-
=
- .
Q数列
nb
的前n 项和
2
2
=
-
n
n
S
b
，
技法指导
分组转化法求和的常见类型
当
1
n = 时，
1
1
2
2
b
b
=
-
，
1
2
b
\
=
当
2
n ³
时，
1
1
2
2
n
n
n
n
n
b
S
S
b
b
-
-
=
-
=
-
，
1
2
n
n
b
b -
\
=
，
即数列
nb
是首项为2 ，公比为2 的等比数列，
2n
nb
\
=
.
（2）由（1）可得
2
2
1
n
n
n
n
c
b
a
n
=
-
=
-
-
，
【技巧】若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}
的前n 项和.
1
2
2 1 2
1
2
1
2
2
1 2
2
n
n
n
n
n
T
n
+
-
+
-
\
=
-
=
-
-
-
2
1
2
2
n
nT
n
n
n
+
\
+
-
=
-
-
.
令
1
2
2
n
f n
n
+
=
-
-
，
2
1
1
1
2
1
2
2
1
0
n
n
n
f n
f n
n
n
+
+
+
\
+
-
=
-
+
-
+
=
- >
，
f n
\
单调递增，
min
( )
1
1
f n
f
\
=
= .
2
log
1
1
a
\
-
< ，
0
1
2
a
\ < -
<
，
1
1
a
\- <
< .
【易错提醒】只考虑数列求和对实数a 的要求，忽视对数函数的要求
（法二）令
1
2
2
x
f x
x
+
=
-
-
，
1
'
2
ln 2 1
x
f
x
+
=
-
因
1
x ³ ，
f x
\
单调递增，
min
( )
1
1
f n
f
\
=
=
2.（2025·湖北黄冈·二模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a = ，
2
2
a = 当
2
n ³
时，
1
1
2
3
n
n
n
S
S
S
+
-
+
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
*
1
1
3,
k
k
k
b
b
a
b
k
+
=
=
+
ÎN
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【解】（1）由题意得，当
2
n ³
时，有
1
1
2
n
n
n
n
S
S
S
S
+
-
-
=
-
，即
1
2
n
n
a
a
+ =
因为
2
1
2
a
a
=
，所以
1
2
n
n
a
a
+ =
对任意
*
nÎN 都成立
故数列
na
是首项为1，公比为2 的等比数列，从而
1
2n
na
-
=
．
（2）由
*
1
k
k
k
b
a
b
k
+ =
+
ÎN
，可得
1
1
2
n
n
n
b
b
a
n
-
-
-
=
³
，
则
1
2
1
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
-
-
-
=
+
-
+
-
+
+
-
+
-
L
1
1
2
2
1
n
n
b
a
a
a
a
-
-
=
+
+
+
+
+
L
0
1
3
2
3
2
2
2
2
n
n
-
-
=
+
+
+
+
+
L
1
1
1 2
3
2
2
1 2
n
n
-
-
-
=
+
=
+
-
当
1
n = 时，
1
3
b =
符合上式，故
1
2
2
n
nb
-
=
+
．
所以
1
2
1
n
n
n
T
b
b
b
b
-
=
+
+
+
+
L
0
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
-
-
=
+
+
+
+
+
+
+
+
L
0
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
-
-
=
+
+
+
+
+
L
1 2
2
2
2
1.
1 2
n
n
n
n
-
=
+
=
+
-
-
题型02 裂项相消法求和
3.【基础型】已知数列
na
满足
1
1
a = ，且
1
1
1 2
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
．
(1)证明：数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是等差数列；(2)求
na
的通项公式；
(3)设
1
n
n
n
b
a a +
=
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
1
4
nT <
．
【详解】（1）证明：因为
1
1
1
1,
1 2
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
=
-
=
+
，所以
1
1
4
n
n
n
n
a
a
a a
+
+
-
=
，
则
1
1
4
n
n
n
n
a
a
a a
+
+
-
=
，即
1
1
1
4
n
n
a
a
+
-
=
，所以
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是以
1
1
1
a = 为首项，4 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
1
1
4
1
4
3
n
n
n
a = +
-
=
- ，所以
1
4
3
na
n
=
-
．
（3）证明：因为
1
1
1
1
1
4
3
4
1
4 4
3
4
1
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø ．
所以
1
2
2
3
1
1
1
1
1 5
5 9
4
3
4
1
n
n
n
T
a a
a a
a a
n
n
+
=
+
+
+
=
+
+
+
´
´
-
+
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
9
4
3
4
1
4
4
1
4
1
n
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
´
-
+
-
+
+
-
=
´
-
=
ç
÷
ç
÷
-
+
+
+
è
ø
è
ø
L
， 因为
1
4
1
4
4
n
n
n
n
<
=
+
，所以
1
4
nT <
．
4．【根式型】记
,
n
n
S T 分别为数列
,
n
n
a
b
的前n 项和，已知
1
9
12
4
4
n
n
n
S
a
+
=
-
+
，且
1
2
2
n
n
n
n
b
a
a +
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)证明：2
2
1
nT ³
- ．
【详解】（1）因为
1
9
12
4
4
n
n
n
S
a
+
=
-
+
①，
当
1
n = 时，
2
1
1
1
9
9
12
4
4
S
a
a
=
=
-
+
，解得
1
4
a =
．
技法指导
裂项相消法求和的步骤
当
2
n ³
时，
1
1
9
12
4
4
n
n
n
S
a
-
-
=
-
+
②，
由 ①－②得
1
9
12
12
3 4n
n
n
n
a
a
a -
=
-
- ´
，即
1
4
4n
n
n
a
a -
=
+
，所以
1
1
1
4
4
n
n
n
n
a
a -
-
=
+ ．
所以数列4
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是首项为
1
1
4
1
4
4
a =
= ，公差为1 的等差数列，则
1
1
1
4
n
n
a
n
n
= +
-
´ =
，所以
4n
na
n
=
×
．
（2）由（1）可知
1
2
2
4
1 4
n
n
n
n
b
n
n
+
=
×
+
+
×
1
2
1
n
n
=
+
+
1
1
2
n
n
=
+ -
，
从而
1
1
2
1
3
2
1
1 1
2
2
nT
n
n
n
é
ù
=
-
+
-
+
+
+ -
=
+ -
ê
û
ë
L
，
因为
*
nÎN ，
1
n + 单调递增，则2
1 1
1 1 1
2
1
nT
n
=
+ - ³
+ - =
- ．
5．【指数型】已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
2
1
n
n
a
a
+ =
- .
(1)求
na
的通项公式； (2)设
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
-
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【详解】（1）由
1
2
1
n
n
a
a
+ =
- ，变形可得
1
1
2
1
n
n
a
a
+ - =
-
因为
1
1
2 1
1
a - =
- = ，所以数列
1
na -
是以1 为首项、2 为公比的等比数列，
故
1
1
1
1 2
2
n
n
na
-
-
- = ´
=
，即
1
2
1
n
na
-
=
+ .
（2）因为
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
-
=
，由（1）知
1
2
1
n
na
-
=
+ ，
1
2
1
n
na + =
+
所以
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
-
-
-
-
-
+
-
+
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+
，
故
1
2
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n
T
b
b
b
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+×××+
=
-
+
-
+×××+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
6．记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知3
4
3
n
n
S
a
n
=
-
．
(1)求
na ；(2)设
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【详解】（1）令
1
n = 时，
1
1
3
4
3
S
a
=
- ，即得
1
3
a =
，
2
n ³
时，3
4
3
n
n
S
a
n
=
-
①，
1
1
3
4
3
1
n
n
S
a
n
-
-
=
-
-
②，
由①-②得，
1
4
3
n
n
a
a -
=
+ ，
又由
1
1
4
1
n
n
a
a -
+ =
+
，又
1
1
3
1
4
a
a
=
+ =
Q
，
，所以数列
1
na +
是以4 为首项，公比为4 的等比数列，
所以
1
1
1
4
1
4
4
1
n
n
n
n
n
a
a
a
-
+ =
+
=
=
-
，
；
（2）因为
1
1
4
1
1
1
3 4
1
4
1
4
1
4
1
n
n
n
n
n
n
b
+
+
æ
ö
=
=
-
ç
÷
-
-
-
-
è
ø．
所以
1
2
n
n
T
b
b
b
=
+
+
+
LL
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
3 4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
n
n+
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
-
-
-
-
-
-
è
ø
LL
1
1 1
1
3 3
4
1
n+
æ
ö
=
-
ç
÷
-
è
ø ．
题型03 错位相减法求和
7.（2025·新课标1 卷T16）设数列
na
满足
1
3
a =
，
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
(1) 证明：
n
na
为等差数列；
(2) 设
2
1
2
( )
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
，求
( 2)
f ¢ -
．
【解题指导】（1）
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
化简→
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
-
= →
n
na
为等差数列
（2）求
na
的通项公式→代入函数并求导→错位相减求和→导函数表达式→
( 2)
f ¢ -
【解】（1）由题意证明如下，
*
N
nÎ
，
在数列
na
中，
1
3
a =
，
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
，
∴
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
=
+ ，
即
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
-
= ，
∴
n
na
是以
1
3
a =
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）第一步：根据（1）得到数列
n
na
的通项
由题意及（1）得，
*
N
nÎ
，
在数列
n
na
中，首项为3，公差为1，
∴
3 1
1
n
na
n
=
+ ´
-
，即
2
1
na
n
= +
，
第二步：求出函数
f x 的导函数
f
x
¢
在
2
1
2
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
中，
技法指导
利用错位相减法求和的基本流程
2
2
3
2
1
m
f x
x
x
x
m
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
，
1
3
4
2
m
f
x
x
m
x
-
=
+
+
+
+
¢
L
第三步：利用错位相减法求和
∴
1
2
3
4
2
3
4
2
m
m
f
x
x
m
x
xf
x
x
x
m
x
-
ì
=
+
+
+
+
ïí
=
+
+
+
+
ïî
¢
¢
L
L
，
当
1
x 且
0
x
时，
∴
1
2
1
1
1
3
2
3
2
1
m
m
m
m
x
x
x f
x
x
x
x
m
x
m
x
x
-
-
-
-
=
+
+
+
+
-
+
=
+
-
+
-
¢
L
，
∴
1
2
1
2
3
1
1
1
m
m
x
x
m
x
f
x
x
x
x
-
-
+
-
¢
=
+
-
-
-
【易错提醒】用错位相减法求和时，应注意：
(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；(3)最后一项的符号.
第四步：代入
2
x = - ，求
2
f ¢ -
∴
1
2
2 1
2
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
m
m
m
f
-
é
ù
-
- -
+
-
ë
û
-
=
+
-
- -
- -
é
ù
- -
ë
û
¢
1
2
1
2
2
2
1
9
3
m
m
m
-
é
ù
-
- -
+
-
ë
û
= +
-
2
2
2
2
1
9
9
3
m
m
m
-
+
-
= -
-
-
3
7
2
7
9
9
m
m +
-
=
-
.
8.（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
*
1
4
1
n
n
n
a a
S
n
+ =
-
ÎN
，
1
1
a = ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)已知
2
n
n
n
a
b =
，求数列
nb
的前n 项和的取值范围．
【解】（1）由
1
4
1
n
n
n
a a
S
+ =
- 得，
1
1
4
1,
2
n
n
n
a
a
S
n
-
-
=
-
³
，
两式作差得
1
1
,
2
4
n
n
n
n
n
a a
a
a
n
a
+
-
=
-
³
，
因数列
na
为正项数列，则
1
1
,
2
4
n
n
a
a
n
+
- =
-
³
，
令
1
n = ，则
1
2
1
4
1
a a
S
=
- ，则
2
3
a =
，
则数列
na
的奇数项是以1为首项，4 为公差的等差数列，
故n 为奇数时，
1
1
1
4
2
1
2
n
n
a
n
+
æ
ö
= +
-
´
=
-
ç
÷
è
ø
，
数列
na
的偶数项是以3为首项，4 为公差的等差数列，
故n 为偶数时，
3
1
4
2
1
2
n
n
a
n
æ
ö
=
+
-
´
=
-
ç
÷
è
ø
，
综上，数列
na
的通项公式为
*
2
1
na
n
n
=
-
ÎN
；
（2）由（1）可得，
2
1
2
2
n
n
n
n
a
n
b
-
=
=
，
设数列
nb
的前n 项和为
nT ，则
1
2
3
1
3
5
2
1
2
2
2
2
n
n
n
T
-
=
+
+
+
+
L
，
则
2
3
4
1
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
2 +
-
=
+
+
+
+
L
n
n
n
T
，
两式作差得，
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
T
-
+
-
=
+
+
+
+
-
L
1
1
1
1
1
2
1
3
2
3
2
2
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
+
+
-
-
+
=
+
-
=
-
-
，则
2
3
3
2
n
n
n
T
+
=
-
，
令
2
3
2
n
n
n
c
+
=
，则
1
1
2
5
2
1 2
5
1
2
2
3
2 2
3
n
n
n
n
c
n
n
c
n
n
+
+
+
+
=
×
=
×
<
+
+
，
则数列
nc
为递减数列，且
1
5
2
c =
，
则
2
3
5
0
2
2
n
n +
<
£
，故
1 ,3
2
nT
é
ö
Î
÷
êë
ø，
故数列
nb
的前n 项和的取值范围为1 ,3
2
é
ö
÷
êë
ø .
1.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
3
3
n
n
S
a +
=
- .
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
n
S
的前n 项和.
【解】（1）因为
1
2
3
3
n
n
S
a +
=
- ,故
1
2
3
3
n
n
S
a
- =
- ，
所以
1
2
3
3
2
n
n
n
a
a
a
n
+
=
-
³
即
1
5
3
n
n
a
a +
=
故等比数列的公比为
5
3
q =
，
故
1
2
1
1
5
2
3
3
3
3
5
3
3
a
a
a
a
=
-
=
´
-
=
-
，故
1
1
a = ，故
1
5
3
n
na
-
æ
ö
= ç
÷
è
ø
.
（2）由等比数列求和公式得
5
1
1
3
3 5
3
5
2 3
2
1
3
n
n
n
S
é
ù
æ
ö
´
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
æ
ö
ë
û
=
=
-
ç
÷
è
ø
-
，
所以数列
n
S
的前n 项和
2
3
1
2
3
3
5
5
5
5
3
2
3
3
3
3
2
n
n
n
T
S
S
S
S
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+×××+
=
+
+
+×××+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
é
ù
-
ê
è
ú
ê
ú
ë
û
ç
è
ø
ø
è
ø
è
ø
5
5
1
3
3
3
3
15
5
3
15
5
2
2
4
3
2
4
1
3
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
æ
ö
=
×
=
×
-
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
-ç
÷
è
ø
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û -
.
2．（2025·重庆三模）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，且满足
2
n
n
S
n
a
+
=
，
*
nÎN .
(1)求证：数列
1
na +
是等比数列；
(2)若
1
2n
n
n
n
b
a
a +
=
×
，记
nT 为数列
nb
的前n 项和，求满足不等式
13
14
nT <
的n 的最大值.
【解】（1）当
1
n = 时，
1
1
1
2
S
a
+ =
，解得：
1
1
a = .
当
2
n ³
时，
2
n
n
S
a
n
=
-
，
所以
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
a
S
S
a
n
a
n
-
-
=
-
=
-
-
+
- ，即
1
2
1
n
n
a
a -
=
+ ，
所以
1
1
1
2
2
2
1
n
n
n
a
a
a
-
-
+ =
+
=
+
所以
1
1
2
1
n
n
a
a -
+
=
+
，所以数列
1
na +
是以
1
1
2
a + =
为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知数列
1
na +
是以
1
1
2
a + =
为首项，2 为公比的等比数列.
所以
1
2n
na + =
，所以
2
1
n
na =
- ，
1
2n
n
n
n
b
a
a +
=
×
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
+
+
=
=
-
-
-
-
×
-
1
2
3
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
+
+
=
+
+
+×××+
=
-
+
-
+×××+
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
n
n
+
+
=
-
= -
-
-
- .
所以
13
14
nT <
时，即
1
1
13
1
2
1
14
n+
-
<
-
，所以
1
2
15
n+ <
，所以n 的最大值为2 .
3.（2024 全国甲卷数学（理））记
n
S 为数列
na
的前n 项和，且4
3
4
n
n
S
a
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
( 1)n
n
n
b
na
-
= -
，求数列
nb
的前n 项和为
nT ．
【解】（1）当
1
n = 时，
1
1
1
4
4
3
4
S
a
a
=
=
+
，解得
1
4
a =
．当
2
n ³
时，
1
1
4
3
4
n
n
S
a
-
-
=
+
，所以
1
1
4
4
4
3
3
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
-
-
-
=
=
-
即
1
3
n
n
a
a -
= -
，而
1
4
0
a =
，故
0
na
，故
1
3
n
n
a
a -
= - ，
∴数列
na
是以4 为首项，3
- 为公比的等比数列，所以
1
4
3
n
na
-
=
× -
.
（2）
1
1
1
( 1)
4 ( 3)
4
3
n
n
n
nb
n
n
-
-
-
= -
× × × -
=
×
,所以
1
2
3
n
n
T
b
b
b
b
=
+
+
+
+
L
0
2
1
1
4 3
8 3
12 3
4
3n
n
-
=
×
+ ×
+
×
+
+
×
L
故
1
2
3
3
4 3
8 3
12 3
4
3n
nT
n
=
×
+ ×
+
×
+
+
×
L
所以
1
2
1
2
4
4 3
4 3
4 3
4
3
n
n
nT
n
-
-
=
+
×
+ ×
+
+
×
-
×
L
1
3 1 3
4
4
4
3
1 3
n
n
n
-
-
=
+ ×
-
×
-
1
4
2 3
3
1
4
3
n
n
n
-
=
+
× ×
-
-
×
(2
4 ) 3
2
n
n
=
-
×
-
，
(2
1) 3
1
n
nT
n
\
=
-
×
+ .
4．已知各项都是正数的数列
na
，其前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，且
1
1
4
n
n
n
n
a
a
S
S
+
-
-
=
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
n
n
n
b
a
a +
=
+
，求证：
1
2
24
1
1
1
3
b
b
b
+
+
+
=
L
.
【详解】（1）由题意得
2
4
4
1
n
n
n
S
S
a
-
=
- ，
所以
2
2
2
1
n
n
S
a
-
=
，又数列
na
是各项都是正数的数列，
1
1
a = ，
所以2
1
n
n
S
a
- =
，
2
4
1
n
n
S
a
=
+
，
当
2
n ³
时，有
2
2
1
1
1
4
4
4
2
2
n
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
a
-
-
-
-
=
=
+
-
-
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
+
=
-
=
+
-
，
所以
1
2
n
n
a
a -
-
=
，故数列
na
是1 为首项，2 为公差的等差数列，所以
2
1
na
n
=
- .1
（2）由（1）得
2
1
2
1
nb
n
n
=
- +
+ ，
所以
1
1
1 ( 2
1
2
1)
2
2
1
2
1
n
n
n
b
n
n
=
=
+ -
-
- +
+
，
所以
1
2
24
1
1
1
1
1
1
3
1
5
3
49
47
b
b
b
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
L
L
，
裂项得1
1
1
( 3
1)
( 5
3)
( 49
47)
2
2
2
-
+
-
+
+
-
=
L
1 ( 49
1)
3
2
-
=
，证毕.
5.（2025·山东临沂二模）已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，对任意
*
nÎN ，点
3
,log
n
n
a
在过原点且与直
线．
2
0
x
y
+
-
=
垂直的直线上．数列
nb
的前n 项和为
nT ，且
2
n
T
n
n
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：数列
nb
是等差数列；
(3)若
3
n
n
n
b
S
c
×
=
，求数列
nc
的前n 项和．
【解】（1）与直线
2
0
x
y
+
-
=
垂直的直线斜率为1，过原点且与直线
2
0
x
y
+
-
=
垂直的直线为y
x
=
，
又因为点
3
,log
n
n
a
在直线y
x
=
上，所以
3
log
na
n
=
，所以
3n
na =
；
（2）数列
nb
的前n 项和为
nT ，且
2
n
T
n
n
=
+
，
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
1
2
n
n
n
b
T
T
n
n
n
n
n
-
=
-
=
+
-
-
-
-
=
，
当
1
n = 时，
2
1
1
1
1
2
b
T
=
=
+ = ，符合上式，所以
2
nb
n
=
，
又因为
1
2
1
2
2
n
n
b
b
n
n
+ -
=
+
-
=
，
所以数列
nb
是等差数列
（3）因为
1
1
3
3
3
3
1 3
2
n
n
n
S
+
+
-
-
=
=
-
，所以
1
2
3
3
3
1
3
2
n
n
n
n
c
n
+ -
=
´
=
-
，
设数列
nc
的前n 项和为
n
B ，
1
2
3
3
1
2 3
1
3 3
1
3
1
n
n
B
n
=
-
+
-
+
-
+
+
-
L
，
所以
1
2
3
3
2 3
3 3
3
1
2
3
n
n
B
n
n
é
ù
=
+ ´
+ ´
+
+
´
+
-
+ -
+ -
+
+ -
ë
û
L
L
，
所以
1
2
3
1
3
2 3
3 3
3
2
n
n
n n
B
n
+
=
+ ´
+ ´
+
+ ´
-
L
，
设
1
2
3
3
2 3
3 3
3n
B
n
=
+ ´
+ ´
+
+
´
L
，
2
3
4
1
3
3
2 3
3 3
3n
B
n
+
=
+ ´
+ ´
+
+
´
L
，
所以
1
2
3
1
2
3
1 3
2 3
1 3
3
n
n
B
n
+
-
=
+ ´
+ ´
+
+ ´
- ´
L
，
1
1
1
3
3
3
1
2
3
3
1 3
2
2
n
n
n
B
n
n
+
+
+
-
æ
ö
-
=
- ´
= -
+
-
ç
÷
-
è
ø
，
1
3
1
3
4
4
2
n
n
B
+ æ
ö
=
+
-
+
ç
÷
è
ø，
所以
1
1
3
1
3
4
4
2
2
n
n
n n
n
B
+
+
æ
ö
=
+
-
+
-
ç
÷
è
ø
；
6．（2026·浙江宁波·二模）已知数列
na
中，
1
0
a =
，
1
2
2
3
n
n
a
a
n
+ -
=
+ ．
(1)令
2
1
n
n
b
a
n
=
-
+ ，求证：数列
nb
是等比数列；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
【解】（1）因为
1
0
a =
，
2
1
n
n
b
a
n
=
-
+ ，所以
1
1
2
1
1
b
a
=
-
+ = - ，
再由
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
a
n
b
a
n
b
a
n
a
n
+
+
+
-
+
+
-
-
=
=
-
+
-
+
，
因为
1
2
2
3
n
n
a
a
n
+ -
=
+ ，所以
1
1
2
3
2
2
n
n
n
a
a
+
+
=
+
，代入上式得：
1
1
2
n
n
b
b
+ =
，
所以数列
nb
是以1
- 为首项，
1
2 为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
b
a
n
a
n
-
-
æ
ö
æ
ö
=
-
+ = -
´
Þ
=
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则
0
1
2
1
1
1
1
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
n
n
S
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+×××+
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
= -
-
-
0
1
2
1
1
1
1
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
n
n
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= +
+
+ ×××+
-
-
+
+
+ ×××+
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
-
é
ù
æ
ö
´
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
+
-
ê
ú
æ
ö
ë
û
=
-
=
-
+ ç
÷
è
ø
-
7．记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知3
4
3
n
n
S
a
n
=
-
．
(1)求
na ；(2)设
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【详解】（1）令
1
n = 时，
1
1
3
4
3
S
a
=
- ，即得
1
3
a =
，
2
n ³
时，3
4
3
n
n
S
a
n
=
-
①，
1
1
3
4
3
1
n
n
S
a
n
-
-
=
-
-
②，
由①-②得，
1
4
3
n
n
a
a -
=
+ ，
又由
1
1
4
1
n
n
a
a -
+ =
+
，又
1
1
3
1
4
a
a
=
+ =
Q
，
，所以数列
1
na +
是以4 为首项，公比为4 的等比数列，
所以
1
1
1
4
1
4
4
1
n
n
n
n
n
a
a
a
-
+ =
+
=
=
-
，
；
（2）因为
1
1
4
1
1
1
3 4
1
4
1
4
1
4
1
n
n
n
n
n
n
b
+
+
æ
ö
=
=
-
ç
÷
-
-
-
-
è
ø．
所以
1
2
n
n
T
b
b
b
=
+
+
+
LL
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
3 4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
n
n+
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
-
-
-
-
-
-
è
ø
LL
1
1 1
1
3 3
4
1
n+
æ
ö
=
-
ç
÷
-
è
ø ．
8．（2026·河北保定·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
.
(1)求
n
S
(2)若
1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
【解】（1）因为
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
，且
1
1
a = ，
可知数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以首项为
1
1
1
S = ，公差为
1
2 的等差数列，
则
1
1
1
1
2
2
n
S
n
n
n
+
= +
-
=
，所以
1
2
n
n n
S
+
=
.
（2）由（1）可知：
1
2
n
n n
S
+
=
，
当
2
n ³
时，则
1
1
1
2
2
n
n
n
n n
n n
a
S
S
n
-
+
-
=
-
=
-
=
，
且
1
1
a = 符合上式，所以
na
n
=
，
可得
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a a
n n
n
n
+
+
+
æ
ö
= -
= -
= -
+
ç
÷
+
+
è
ø ，
设数列
nb
的前n 项和为
nT ，
则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
1
n
n
nT
n
n
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
+
+
-
+
+×××+ -
+
= - +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以数列
nb
的前n 项和为
1
1
1
n
n
-
- +
+
.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
4
9,
30
a
S
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和；
(3)证明：
1
2
4
2
1
1
1
1
1
2
n
S
S
S
S
+
+
+
+
<
L
．
【解】（1）设等差数列
na
的公差为d，由题意可知
1
1
2
9,
4
6
30,
a
d
a
d
+
=
ì
í
+
=
î
解得
1
3,
3
a
d
=
=
，故
1
(
1)
3
na
a
n
d
n
=
+
-
=
．
（2）由（1）得
(3
3 )
3 (
1)
2
2
n
n
n
S
n n
+
=
=
+
，所以1
2
2 1
1
3 (
1)
3
1
n
S
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为2
1
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
1
3(
1)
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
；
（3）由（2）知
2
1
2
2
3 (
1)
3
iS
i i
i
=
<
+
，其中
4,8,
,2n
i =
L
，
当
2
n ³
时，
4
6
2
1
2
4
8
2
1
1
1
1
1
2 1
1
1
1
1
3 2
6
2
2
2
n
n
S
S
S
S
S
æ
ö
+
+
+
+
+
<
+
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
L
4
1
4
1
1
1
1
2 1
1
2 1
1
1
2
4
2
1
1
3 2
6
3 2
6
2
1
1
4
4
n-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
ç
÷
=
+
+
<
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
-
ç
÷
è
ø
è
ø
，
当
1
n = 时，
1
2
1
1
1
1
4
1
3
9
9
2
S
S
+
=
+
=
<
．
综上所述，
1
2
4
8
2
1
1
1
1
1
1
2
n
S
S
S
S
S
+
+
+
+
+
<
L
．
10．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
a =
，
2
3
2
a =
，
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
.
(1)证明：数列
1
n
n
a
a
+ -
为等比数列；
(2)求
na
的通项公式；
(3)记
2
1
n
n
b
a
=
+ ，数列
1
n
n
n
a
b b +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
n
S ，证明：1
1
16
8
n
S
£
<
.
【解】（1）由
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，得
2
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
-
=
-
=
-
，
又
1
1
2
a =
，
2
3
2
a =
，所以
2
1
3
1
1
0
2
2
a
a
-
=
-
=
，
所以
1
0
n
n
a
a
+ -
，
2
1
1
3
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
，
即
1
n
n
a
a
+ -
是以1 为首项，3 为公比的等比数列；
（2）由（1）知
1
1
1
1 3
3
n
n
n
n
a
a
-
-
+ -
= ´
=
，
当
2
n ³
时，
1
1
2
2
3
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
-
+
-
+
-
+ ××× +
-
+
1
1
2
3
4
0
1
1 3
1
3
3
3
3
3
2
1 3
2
2
n
n
n
n
n
-
-
-
-
-
-
=
+
+
+×××+
+
=
+
=
-
.
当
1
n = 时，
1
3
2
n
na
-
=
也成立，所以
na
的通项公式为
1
3
2
n
na
-
=
；
（3）由（2）得
1
2
1
3
1
n
n
n
b
a
-
=
+ =
+ ，
所以
1
1
1
1
3
1
1
1
4 3
1
3
1
2 3
1 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b b
-
-
-
+
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
+
+
è
ø ，
所以
0
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4 3
1
3
1
4 3
1
3
1
4 3
1
3
1
4 3
1
3
1
n
n
n
S
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
+
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
1 1
1
4 2
3
1
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø
，
显然
n
S
是递增数列，所以
1
1
16
n
S
S
³
=
.
因为
1
0
3
1
n
>
+
，所以
1
1
1
4
2
8
n
S <
´
=
，所以1
1
16
8
n
S
£
<
.
11．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
2
2
x
f x
x
=
+
.
(1)若数列
na
f n
=
，求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(2)已知函数
f x 在
*
(
)
x
n n
=
ÎN
处的切线为直线nl ，直线nl 在y 轴上的截距为
nb ，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【解】（1）因为
2
2
n
na
n
=
+
，所以
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
3
n
n
S
n
=
+
+
+ ×××+
+
´
+
+
+ ×××
1
2
2 1
2
1
2
2
2
1
2
2
n
n
n n
n
n
+
-
+
=
+
´
=
-
+
+
-
.
（2）
2 ln2
2
x
f
x =
+
¢
，
直线nl 的方程为
2
2
2 ln2
2
n
n
y
n
x
n
-
-
=
+
-
，
令
0
x =
，
得
2
2
2 ln2
2
2
2 ln2
n
n
n
n
y
n
n
n
=
+
-
+
=
-
×
，
所以
2
2 ln2
n
n
nb
n
=
-
×
，
令数列
2n
n ×
的前n 项和为
n
Q ，则
1
2
3
1 2
2 2
3 2
2n
n
Q
n
= ´
+ ´
+ ´
+×××+
´
，
2
3
1
2
1 2
2
2
1
2
2
n
n
n
Q
n
n
+
= ´
+
´
+ ×××+
-
´
+
´
，
两式相减得
2
3
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
Q
n
n
n
+
+
+
-
-
=
+
+
+ ×××+
-
×
=
-
×
=
-
-
-
，故
1
1 2
2
n
n
Q
n
+
=
-
+
，
又数列
2n 的前n 项和为
1
2
2
n+ -
，
所以数列
nb
的前n 项和
1
1
2
2 [
1 2
2]ln2
n
n
nT
n
+
+
=
-
-
-
+
.
12.（2025·天津·二模）已知等差数列
na
和等比数列
nb
满足：1
1
1
a
b
=
= ，
*
nb
N
Î
，
2
8
18
a
a
+
=
，2
4
81
b b =
．
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)求数列
2
1
n
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S ；
(3)已知
3
n
n
n
a
c
b
=
数列
nc
的前n 项和
nT ，若对任意正整数n，不等式1
2
n
n
T
l
-
<
恒成立，求实数l 的取值范围．
【解】（1）设等差数列
na
的公差为d，已知
1
1
a = ，
2
8
5
2
18
a
a
a
+
=
=
，则
5
9
a =
．
则
5
1
4
1
4
9
a
a
d
d
=
+
= +
=
，
解得
2
=
d
，所以
1
2
1
2
1
na
n
n
= +
-
=
-
设等比数列
nb
的公比为q，
1
1
b = ，
2
2
4
3
81
b b
b
=
=
，又
*
N
nb Î
，所以
3
9
b =
．
因为
2
2
3
1
9
b
b q
q
=
=
=
，
解得
3
q =
（
3
q = - 舍去，因为
*
N
nb Î
），所以
1
3n
nb
-
=
．
（2）由（1）知
2
1
na
n
=
- ，
1
2
1
na
n
+ =
+ ，
则
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
4
1
4
4
8 2
1
2
1
4 4
1
n
n
n
n
n
a a
n
n
n
n
n
n
+
æ
ö
=
=
=
+
=
+
-
ç
÷
-
+
-
-
+
-
è
ø ．
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
8 2
1
2
1
4
8
3
3
5
2
1
2
1
n
n
n
k
k
k
k
k
n
S
a a
k
k
n
n
=
=
+
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
+
-
=
+
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
-
+
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
å
å
2
2
1
1
1
1
2
2
1
4
8
2
1
4
4 2
1
4 2
1
4 2
1
2 2
1
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
æ
ö
=
+
-
=
+
=
=
=
ç
÷
+
+
+
+
+
è
ø
．
（3）由（1）知
2
1
na
n
=
- ，
1
3n
nb
-
=
，则
2
1
3
3
n
n
n
n
a
n
c
b
-
=
=
．
1
2
2
3
1
3
5
2
1
3
3
3
3
n
n
n
n
T
c
c
c
-
=
+
+×××+
=
+
+
+×××+
①，
2
3
1
1
1
3
2
3
2
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
+
-
-
=
+
+×××+
+
②，
①-②得：
2
3
1
2
1
2
2
2
2
1
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
T
+
-
=
+
+
+×××+
-
，所以
1
1
3
n
n
n
T
+
= -
，则
1
3
2
n
n
n
l
+ <
．
因为对任意正整数n，不等式1
2
n
n
T
l
-
<
恒成立，
即
1
3
2
n
n
n
l
+ <
恒成立，等价于
1
3
2
n
n
l
+
>
æ
ö
ç
÷
è
ø
恒成立．
设
1
3
2
n
n
n
d
+
=
æ
ö
ç
÷
è
ø
，则
1
1
1
1
3
2
1
2
1
1
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
d
+
+
+
+
+
-
+
+
+
-
-
=
-
=
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
．
当
1
n = 时，
2
1
0
d
d
-
=
，即
2
1
d
d
=
；
当
2
n ³
时，
1
0
n
n
d
d
+ -
<
，即
1
n
n
d
d
+ <
，
所以
n
d 的最大值为
2
2
3
4
3
3
2
d =
=
æ
ö
ç
÷
è
ø
．
所以
4
3
l >
，即实数l 的取值范围是4 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø．
