压轴24 概率与统计中创新与融合的3 大核心题型
概率与统计中的创新问题主要涉及概率统计中的证明问题、概率统计与数列、函数的交汇问题及概率
统计中的新定义问题，考查题型多为解答题，难度中等偏上，或可作为压轴题出现.
题型01 概率、统计与数列的融合问题
1.（2025·湖北武汉·三模）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某
人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为
1
2 .若他挑战小明，
下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为3 1
4 4
、；若他挑战小红，下一次的挑战
权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为3 1
4 4
、.
(1)经过3 次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为X ，求X 的分布列及数学期望；
(2)若经过n 次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件
,
,
n
n
n
A B C .
（ⅰ）证明：
n
n
P B
P C
=
；
（ⅱ）求事件
6
A 发生的概率.
【解】（1）X 的可能取值为1 和2，且
1
1
1
1
1
1
2
4
2
4
4
P X =
=
´
+
´
=
；
1
3
2
1
4
4
P X =
= -
=
，则X 的分布列如下：
X
1
2
P
1
4
3
4
则X 的期望为
1
3
7
1
2
4
4
4
E X = ´
+ ´
=
.
技法指导
概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步
骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的
准则；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，也就
是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性
质，准确应用相关公式.
（2）（ⅰ）
1
1
1
1
2
4
n
n
n
P B
P A
P C
-
-
=
+
①
1
1
1
1
2
4
n
n
n
P C
P A
P B
-
-
=
+
②
①-②得：
1
1
1
4
n
n
n
n
P B
P C
P B
P C
-
-
-
= -
-
.
又
1
1
1
1
0
2
2
P B
P C
-
=
-
=
，则
0
n
n
P B
P C
-
=
，即
n
n
P B
P C
=
.
（ⅱ）
1
1
3
3
4
4
n
n
n
P A
P B
P C
-
-
=
+
③，
①+②得：
1
1
1
1
4
n
n
n
n
n
P B
P C
P A
P B
P C
-
-
-
+
=
+
+
.
由③知
1
1
4
3
n
n
n
P B
P C
P A
-
-
+
=
又
1
1
1
3
n
n
n
n
n
P A
P B
P C
P A
P A
-
-
=
+
=
+
；
则有
1
3
3
3
7
4
7
n
n
P A
P A -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø ，其中
1
1
3
3
0,
7
7
P A
P A
=
-
= -
；
则
3
7
n
P A
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是以
3
7
-
为首项，
3
4
-
为公比的等比数列.
可得：
1
3
3
3
7
7
4
n
n
P A
-
æ
ö
=
-
´ -
ç
÷
è
ø
；所以
6 1
6
3
3
3
543
7
7
4
1024
P A
-
æ
ö
=
-
´ -
=
ç
÷
è
ø
2.（2025·安徽六安二模）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或2 时得1 分，掷得的点数为3，4，5，6
时得2 分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2 次骰子，最终得分为X ，求随机变量X 的分布列与期望；
(2)若投掷n 次骰子，记合计得分恰为
1
n + 分的概率为
nP ，求
1
n
i
i
P
=å
.
【解】（1）X 可能取值为2，3，4，
1
1
1
2
3
3
9
P X =
=
´
=
，
1
2
1
2
4
3
C
3
3
9
P X =
=
´
´
=
，
2
2
4
4
3
3
9
P X =
=
´
=
.
X
\
的分布列为
X
2
3
4
P
1
9
4
9
4
9
数学期望
1
4
4
10
2
3
4
9
9
9
3
E X =
´
+ ´
+ ´
=
.
（2）根据题意，投掷n 次，得分为
1
n + 分，则只有一次投掷得2 分，
所以
1
1
2
1
2
C
3
3
3
n
n
n
n
n
P
-
æ
ö
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
则
1
2
1
1
2
4
2
2
2
3
3
3
3
n
i
n
n
i
n
n
P
-
=
-
=
+
+
+
+
å
L
，
则有
2
3
1
1
1
2
4
2
2
2
3
3
3
3
3
n
i
n
n
i
n
n
P
+
=
-
=
+
+
+
+
å
L
，
两式相减，得
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
2
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
i
i
n
n
n
n
P
+
+
+
+
=
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
+
ê
ú
æ
ö
ë
û
=
+
+
+
-
=
´
-
= -
-
= -
ç
÷
è
ø
-
å
L
，
所以
1
3
2
3
1
2
2
3
n
n
i
i
n
P
=
+
æ
ö
=
-
´ç
÷
è
ø
å
.
题型02 统计与函数的融合问题
3.（2025·安徽合肥一模）3 月14 日为国际数学日，也称为π 节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节
活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3 道题，
若答对题目不少于5 道题，则获得1 个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的
概率分别是
1p 和
2
p ，且每道题答对与否互不影响．
(1)若
1
4
5
p =
，
2
3
4
p =
，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1 个积分的概率；
(2)若
1
2
4
3
p
p
+
=
，且每轮比赛互不影响，进行n 轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X 分．若
(
)
5
E X ³
恒成立，求n 的最小值．
【解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为
1a ，
2a ，
所以所求概率为
1
2
1
2
1
2
2,
3
3,
2
3,
3
P
P a
a
P a
a
P a
a
=
=
=
+
=
=
+
=
=
2
3
3
2
3
3
2
2
3
3
4
1
3
4
3
1
4
3
297
C
C
5
5
4
5
4
4
5
4
500
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
´
+
´
´
+
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以他们在一轮竞赛中获得1 个积分的概率为297
500 ；
（2）由（1）可知
1
2
1
2
1
2
2,
3
3,
2
3,
3
P
P a
a
P a
a
P a
a
=
=
=
+
=
=
+
=
=
技法指导
概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与
方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问
题应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机
事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一
是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.
2
2
3
3
2
2
3
3
3
1
1
2
1
3
2
2
1
2
C
1
C
1
p
p
p
p
p
p
p
p
=
´
´
-
´
+
´
´
´
-
+
´
，
整理可得
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
5
4
5
P
p p
p
p
p p
p p
p p
=
+
-
=
-
é
ù
ë
û
，
因为
1
0
1
p
£
£ ，
2
0
1
p
£
£ ，且
1
2
4
3
p
p
+
=
，
所以
1
1
1
3
p
£
£ ，
1
2
1
1
4
1 4
,
3
3 9
p p
p
p
æ
ö
é
ù
\
=
-
Î
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ，
令
1
2
t
p p
=
，则
1 4
,
3 9
t
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
所以
3
2
( )
5
4
P t
t
t
= -
+
，
1 4
,
3 9
t
é
ù
Îê
ú
ë
û ，则
2
( )
15
8
P t
t
t
¢
= -
+
，
当
1 4
,
3 9
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
( )
0
P t
¢
> 恒成立，
( )
P t 在1 4
,
3 9
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以当
1
3
t =
时，
( )
P t 取得最小值7
27 ，
设在n 轮比赛中，甲、乙两同学获得1 个积分的轮数为Y ，则Y 服从
~
( , )
Y
B n P ，
又X
Y
=
，所以
E X
E Y
nP
=
=
，则由
5
nP ³
，
即
7
5
27
n×
≥，解得
135
19.3
7
n ³
»
，
因为n 为正整数，所以n 的最小值为20 ．
4.（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1 米、2 米、3 米的A，B，C
三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C 三个位置投篮命中分别可得1 分、2 分、3
分，总分不低于4 分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C 三处的投篮命中率分别为3 2 1
,
,
4 3 2 ，且在这三处的
投篮相互独立．
(1)求甲未获得奖品的概率；
(2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C 处先投
*,
60
n n
n
Î
£
N
个球，若这n 个球都投进，则训练结束，
否则额外在C 处投(200
3 )
n
-
个球．试问n 为何值时，甲投篮次数的期望最大？
【解】（1）甲三次投篮都命中的概率为
1
3
2
1
1
4
3
2
4
P =
´
´
=
，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于4 分的概率为
2
3
2
1
3
2
1
5
1
1
4
3
2
4
3
2
24
P
æ
ö
æ
ö
=
-
´
´
+
´
-
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以甲未获得奖品的概率为
1
2
13
1
24
P
P
P
= -
-
=
.
（2）设甲的投篮次数为X，则X 的分布列为
X
n
200
2n
-
P
1
2n
1
1
2n
-
则
1
3
200
(
)
(200
2 )
1
2
200
2
2
2
n
n
n
n
n
E X
n
n
-
æ
ö
=
+
-
´
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
令
*
3
200
( )
2
200
2n
n
f n
n
n
-
=
-
+
ÎN
，则
1
3
197
(
1)
2
198
2n
n
f n
n
+
-
+
=
-
+
，
所以
2
1
203
3
2
(
1)
( )
2
n
n
n
f n
f n
+
+
-
-
+
-
=
，其中
2
203
3
2n
n
+
-
-
随n 的增大而减小.
当
5
n £
时，
2
0
203
3
2n
n
+
-
>
-
，
(
1)
( )
f n
f n
+
>
，当
6
n ³
时，
2
0
203
3
2n
n
+
-
<
-
(
1)
( )
f n
f n
+
<
，
所以
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
f
f
f
f
f
f
f
f
f
<
<
<
<
<
>
>
>
>L，
故当
6
n =
时，甲投篮次数的期望最大．
题型03 概率、统计中的新定义问题
5.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴
性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为
阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为
0
1
p
p
<
<
．目前，我们采用K 人混
管病毒检测，定义成本函数
N
f
X
KX
K
=
+
，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．
(1)证明：
2
E
f
X
p N
³
é
ù
ë
û
×
；
(2)若
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人
为阳性．
【解】（1）由题意可得X 满足二项分布
,
X
B N p
:
，
由
E aX
b
aE X
b
+
=
+
知，
2
N
N
E
f
X
K
X
E
pN
N
K
p
K
K
=
+
=
+
×
³
é
ù
ë
×
×
û
，当且仅当1
Kp
K =
时取等号；
（2）记P
P
=
（混管中恰有1 例阳性|混管检测结果为阳性），
iP
P
=
（混管中恰有i 例阳性）=
C
1
K i
i
i
K p
p
-
-
，
0,1,
,
i
K
=
L
，
令
e
1
x
h x
x
=
-
- ，
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，
则
e
1
x
h x
¢
=
- ，
技法指导
解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总
之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实
践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．
当
3 0
2 1
,
0
x
-
´
Î -
时，
0
h x
¢
<
，
h x 为单调递减，
当
3
0
0,2 1
x
-
Î
´
时，
0
h x
¢
>
，
h x 为单调递增，所以
0
0
h x
h
³
=
，
且
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
- ´
-
- ´
=
- - ´
- »
，
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
´
-
´
=
-
´
- »
，
所以当
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，e
1
0
x
x
-
- »
即e
1
x
x
»
+ ，两边取自然对数可得
ln
1
x
x
»
+
，
所以当
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
时，
所以
ln 1
1
e
e
1
K
K
p
Kp
p
Kp
-
-
-
=
»
» -
，
则
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
K
Kp
K
p
Kp
p
P
P
K
p
P
Kp
p
-
-
-
é
ù
-
ë
û
=
=
»
= -
-
»
-
-
-
．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
6.若随机变量X，Y 均为定义在同一样本空间W 上的离散型随机变量，则将
,
X Y 称为二维离散型随机变量，
将
,
X Y 取值为
,
i
j
x y
的概率记作
,
i
j
P X
x Y
y
=
=
，其中,
1,2,
,
i j
n
=
L
.
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1 分，不进球得1
- 分，分数
高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为
1
2 ，抽中签者点
球，进球得1 分，不进球得1
- 分；未抽中者不点球，得0 分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进
球的概率分别为
1
2 ，2
3 ，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.
(1)求
1,
0
P X
Y
=
=
，
2,
1
P X
Y
= -
=
；
(2)求
0
1
P Y
X
=
=
；
(3)已知随机事件
1
X = - 发生了，求随机变量Y 的分布列与数学期望.
【解】（1）由题意有
1,
0
X
Y
=
=
的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
所以
1
2
1
2
1
1,
0
1
2
3
2
3
18
P X
Y
æ
ö
=
=
=
´
´
´
-
=
ç
÷
è
ø
，
因为
2,
1
X
Y
= -
= 是不可能事件，
所以
2,
1
0
P X
Y
= -
=
=
；
（2）
1
X = 表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以
1
2
1
2
1
1
1
1
2
3
2
3
2
3
P X
æ
ö
=
=
´
-
+
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1,
0
1
18
0
1 =
1
1
6
3
P X
Y
P Y
X
P X
=
=
=
=
=
=
=
；
（3）
1
X = - 表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以
1
2
1
2
1
5
1
1
1
1
2
3
2
3
2
12
P X
æ
ö
æ
ö æ
ö
= -
=
-
´
+
-
´
-
´
=
ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø è
ø
，
又Y 的可能取值为2,0,1
-
，
所以
1
2
1
2
1
1,
2
1
1
1
2
3
2
3
36
P X
Y
æ
ö æ
ö
æ
ö
= -
= -
=
-
´
-
´
´
-
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø
，
1
1,
0
1
36
2
1
5
1
15
12
P X
Y
P Y
X
P X
= -
=
= -
= -
=
=
=
= -
，
1
2
1
2
1
1,
0
1
1
2
3
2
3
18
P X
Y
æ
ö æ
ö
= -
=
=
-
´
-
´
´
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
所以
1
1,
0
2
18
0
1
5
1
15
12
P X
Y
P Y
X
P X
= -
=
=
= -
=
=
=
= -
，
1
2
1
1,
1
1
2
3
3
P X
Y
æ
ö
= -
=
=
-
´
=
ç
÷
è
ø
，
1
1,
1
4
3
1
1
5
1
5
12
P X
Y
P Y
X
P X
= -
=
=
= -
=
=
=
= -
，
所以Y 的分布列为
Y
2
-
0
1
P
1
15
2
15
4
5
所以
1
2
4
2
2
0
1
15
15
5
3
E Y = - ´
+ ´
+ ´
=
1．（2025·重庆八中二模）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50 只小白鼠注射疫苗，
并将白鼠分成5 组，每组10 只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量
1,2,
,5
i
X
i =
L
表示第i 组被感染
的白鼠数，并将随机变量
i
X 的观测值
1,2,
,5
ix i =
L
绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只
白鼠被感染的概率为
0,1
p pÎ
，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记
iA 为事件
“
1,2,
,5
i
i
X
x i
=
=
L
”.
(1)写出
1
P A （用p 表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率p 与参数(0
1)
q
q
<
<
之间的关系为
2
1
5
19
2
6
45
p
q
q
=
-
+
.在统计学中，若参数
0
q
q
=
时的p
值使得概率
1
2
3
4
5
P A A A A A
最大，称
0
q 是q 的最大似然估计，求
0
q .
【详解】（1）由题知随机变量
1
10,
X
B
p
~
，所以
2
2
8
1
10
C
(1
)
P A
p
p
=
-
.
（2）设事件
1
2
3
4
5
A
A A A A A
=
，由题图可知
1
2
3
4
5
2,
1,
1,
3,
3
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
，
则
2
2
2
2
8
1
9
3
3
7
10
10
10
C
(1
)
C
(1
)
C
(1
)
P A
p
p
p
p
p
p
é
ù é
ù
é
ù
=
-
×
-
×
-
ë
û ë
û
ë
û ，
即
2
2
1
2
3
10
40
10
10
10
C
C
C
(1
)
P A
p
p
=
-
.
设
2
2
1
2
3
10
10
10
ln
ln
C
C
C
10ln
40ln 1
,
0,1
g p
P A
p
p
p
é
ù
=
=
+
+
-
Î
ê
ú
ë
û
，则
10
40
10
50
1
1
p
g
p
p
p
p
p
-
=
-
=
-
-
¢
，
所以当
1
0
5
p
<
<
时，
0
g
p
¢
>
，所以
g p 在
1
0, 5
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增；
当1
1
5
p
<
< 时，
0
g
p
¢
<
，所以
g p 在1 ,1
5
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减；
所以当
1
5
p =
时，
g p 取得最大值，即
P A 取得最大值，
所以
2
0
0
1
5
19
1
2
6
45
5
q
q
-
+
=
，即
2
0
0
9
15
4
0
q
q
-
+
=
，
解得
0
1
3
q =
或
0
4
3
q =
，
因为
0
0
1
q
<
< ，所以
0
1
3
q =
.
2.（2025·福州二模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，
混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的
人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为
0
1
p
p
<
<
．目前，
我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数
N
f
X
KX
K
=
+
，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．
(1)证明：
2
E
f
X
p N
³
é
ù
ë
û
×
；
(2)若
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人
为阳性．
【解】（1）由题意可得X 满足二项分布
,
X
B N p
:
，
由
E aX
b
aE X
b
+
=
+
知，
2
N
N
E
f
X
K
X
E
pN
N
K
p
K
K
=
+
=
+
×
³
é
ù
ë
×
×
û
，当且仅当1
Kp
K =
时取等号；
（2）记P
P
=
（混管中恰有1 例阳性|混管检测结果为阳性），
iP
P
=
（混管中恰有i 例阳性）=
C
1
K i
i
i
K p
p
-
-
，
0,1,
,
i
K
=
L
，
令
e
1
x
h x
x
=
-
- ，
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，
则
e
1
x
h x
¢
=
- ，
当
3 0
2 1
,
0
x
-
´
Î -
时，
0
h x
¢
<
，
h x 为单调递减，
当
3
0
0,2 1
x
-
Î
´
时，
0
h x
¢
>
，
h x 为单调递增，所以
0
0
h x
h
³
=
，
且
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
- ´
-
- ´
=
- - ´
- »
，
3
3
2 10
3
2 10
e
2 10
1
0
h
-
-
´
-
´
=
-
´
- »
，
所以当
3
3
2 10
2 10
x
-
-
- ´
<
<
´
，e
1
0
x
x
-
- »
即e
1
x
x
»
+ ，两边取自然对数可得
ln
1
x
x
»
+
，
所以当
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
时，
所以
ln 1
1
e
e
1
K
K
p
Kp
p
Kp
-
-
-
=
»
» -
，
则
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
K
Kp
K
p
Kp
p
P
P
K
p
P
Kp
p
-
-
-
é
ù
-
ë
û
=
=
»
= -
-
»
-
-
-
．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
3．（2025 湖北七市州调研）已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A 的需求量相对稳定，
每周内对商品A 的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：
对A 的需求量
0
1
2
3
概率P
1
8
1
2
1
4
1
8
若以商品A 的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A 进行盘点存货：如果商品A 都
售出了，则在周末及时采购2 个新的商品，只要商品A 还有1 个存货，就不采购新的商品.记
n
X 为该商店第
n 周开始时商品A 的供给量，假设
1
2
X =
.
(1)求
3
X 的分布列；
(2)记
1 ,
2
n
n
n
P X
P X
j =
=
=
uur
为第n 周开始时供给量
n
X 的概率向量，随着n 的增大，若
1
n
n
j
j
+ =
uuur
uur
，则
n
j
uur
趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为jr .
（i）求商品A 的定常态分布jr ；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A 需求大于供给的概率.
【解】（1）由题意
1,2
n
X
，第2 周开始时商品A 不同供给量的概率为
2
1
1
2
P X =
=
，
2
2
1
2
1
1
2
P X
P X
=
= -
=
=
，
第3 周开始时商品A 供给量的概率为
3
3
2
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
2
2
8
2
8
4
8
2
16
P X
P X
X
P X
P X
X
P X
æ
ö
=
=
=
=
=
+
=
=
=
=
´
+
+
+
´
=
ç
÷
è
ø
∣
∣
，
3
3
11
2
1
1
16
P X
P X
=
= -
=
=
.
第3 周开始时商品A 的供给量分布列为
3
X
1
2
P
5
16
11
16
（2）（i）记
n
D 为商品A 第n 周内的的需求量，由题意，
n
X 与
n
D 的状态有关，
当
1
n ³ 时，若
n
n
D
X
<
，则
1
n
n
n
X
X
D
+ =
-
；若
n
n
D
X
³
，则
1
2
n
X + =
，
设
,1
n
x
x
j =
-
uur
，即
1
,
2
1
n
n
P X
x P X
x
=
=
=
= -
，
由全概率公式可得
1
1
1
1
1
1
1
2
8
2
8
2
n
n
n
x
P X
P X
P X
x
+
-
=
=
=
+
=
=
+
，
1
1
7
1
2
1
1
8
2
n
n
x
P X
P X
x
+
+
-
=
= -
=
=
+
，
由
1
n
n
j
j +
=
uur
uuur
，得1
1
7
1
,
1
8
2
8
2
x
x
x
x
x
x
-
-
+
=
+
= -
，解得
11
4
x =
，故
4
7
,
11 11
j
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
.
（ii）由（i）可知，定常态分布
4
7
,
11 11
j
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
，所以从长远来看，
4
7
1
,
2
11
11
n
n
P X
P X
=
=
=
=
，
记商品A 需求大于供给的概率为
n
n
P D
X
>
，由全概率公式得
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P D
X
P D
X
X
P X
P D
X
X
P X
>
=
>
=
=
+
>
=
=
∣
∣
3
4
1
7
19
8
11
8
11
88
=
´
+
´
=
.
4．（2025·山东潍坊·二模）有n 个依次进行的试验
1
x 、
2x 、L、
nx ，每个试验的结果为成功或失败．试验：
1
ix
i
n
£ £
成功的概率为
1
1
1
is - + ，其中
1 1
is
i
n
-
£ £
为前
1
i - 次试验中的成功次数，特别地，当
1
i = 时，
0
0
s =
，
1
x 的成功概率为
1
1
0
1 =
+
（即
1
x 必定成功），记前n 次试验中恰有m 次失败的概率为
,
P n m ．
(1)当
3
n =
时，求恰好有2 次成功的概率；
(2)令
1
1
n
n
k
H
k
=
= å
，若
2
n ³
，证明：
,1
1 !
n
n
H
P n
n
-
=
-
；
(3)当
3
n ³
时，请判断
,1
P n
与
, 0
P n
的大小关系，并说明理由．
【解】（1）当
3
n =
时，恰有2 次成功即恰有1次失败，
由于
1
x 必成功，因此失败只能发生在
2x 或
3x 上，
当
2x 失败，
3x 成功时，概率为
1
1
1
1
1 1 1
1 1
4
æ
ö
´
-
´
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
当
2x 成功，
3x 失败时，概率为
1
1
1
1
1
1 1
2 1
3
æ
ö
´
´
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以恰有2 次成功的概率
1
1
7
3,1
3
4
12
P
=
+
=
．
（2）当
2
N ³
时，恰有1次失败，假设失败发生在第k 次
2
k
n
£
£
，其余成功．
则前
1
k - 次均成功的概率为
1
1
1
1
1 1 1
2 1
2 1
1 !
k
k
´
´
´
´
=
+
+
-
+
-
L
．
第k 次失败的概为
1
1
1
1 1
k
k
k
-
-
=
- +
，
后续n
k
-
次成功的概率为
1 !
1
1
1
1 1
1
2 1
1 !
k
k
k
n
n
-
´
´
´
=
- +
+
-
+
-
L
，
所以失败发生在第k 次的概率为
1 !
1
1
1
1 !
1 !
1 !
k
k
k
k
k
n
k n
-
-
-
´
´
=
-
-
-
，
则
2
2
1
1
1
,1
1
1 !
1 !
1 !
n
n
k
k
n
H n
k
P n
k n
n
k
n
=
=
-
-
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
-
-
-
è
ø
å
å
.
（3）
,1
, 0
P n
P n
>
，理由如下：
所有试验均成功的概率为
1
1
1
1
, 0
1 1 1
2 1
1 1
!
P n
n
n
= ´
´
´
´
=
+
+
- +
L
，
即证
1
1 !
!
n
H n
n
n
-
>
-
，即
1
H n
n
n
<
-
．①
因为当
3
n ³
时1
1
1
1
1
1
n
n
n
+
<
+
- ，即1
1
1
1
1
n
n
n
æ
ö
< -
-
ç
÷
-
è
ø，
所以1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
3
2
4
3
1
n
n
n
n
æ
ö
+
+
+
<
-
-
-
+
-
+
+
-
ç
÷
-
è
ø
L
L
．
即
1
1
1
1
1
2
3
n
n
n
+
+
+
+
<
-
L
，
所以①式成立，即
,1
, 0
P n
P n
>
．
5.（2025·山东潍坊·一模）若x ，h 是样本空间W 上的两个离散型随机变量，则称( , )
x h 是W 上的二维离散
型随机变量或二维随机向量．设( , )
x h 的一切可能取值为( ,
)
i
j
a b
，,
1,2,
i j =
×××，记
ij
p 表示( ,
)
i
j
a b
在W 中出现
的概率，其中
(
,
)
[(
)
(
)]
ij
i
j
i
j
p
P
a
b
P
a
b
x
h
x
h
=
=
=
=
=
=
I
．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3 的三个盒子中，记1 号盒子中的小球个数为x ，2 号盒子
中的小球个数为h ，则( , )
x h 是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量( , )
x h 的所有可能取值；
②若( , )
m n 是①中的值，求
(
,
)
P
m
n
x
h
=
=
（结果用m ，n 表示）；
(2)
(
)
i
P
a
x =
称为二维离散型随机变量( , )
x h 关于x 的边缘分布律或边际分布律，求证：
1
(
)
i
ij
j
P
a
p
x
+¥
=
=
=å
．
【解】（1）①该二维离散型随机变量( , )
x h 的所有可能取值为：
(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0) .
②依题意，0
3
m
n
£
+
£
，
(
,
)
(
|
)
(
)
P
m
n
P
m
n
P
n
x
h
x
h
h
=
=
=
=
=
×
=
，
显然
3
3
1
2
(
)
C ( ) ( )
3
3
n
n
n
P
n
h
-
=
=
，则
3
3
3
3
1
1
1
(
|
)
C
( ) ( )
C
( )
2
2
2
m
m
n m
m
n
n
n
P
m
n
x
h
- -
-
-
-
=
=
=
=
，
所以
3
3
3
3
1
1
2
(
,
)
C
( )
C ( ) ( )
2
3
3
m
n
n
n
n
n
P
m
n
x
h
-
-
-
=
=
=
×
3
3
1 C C
27
9
! !(3
)!
2
n
m
n
m n
m
n
-
=
=
×
-
-
.
（2）由定义及全概率公式知，
1
2
(
{(
[(
]}
)
)
)
(
)
(
)
i
i
j
P
a
P
a
b
b
b
x
x
h
h
h
=
=
=
=
=
=
I
U
ULU
UL
1
2
{[(
[(
(
[(
}
)
(
)]
)
)]
)
(
)]
i
i
i
j
P
a
b
a
b
a
b
x
h
x
h
x
h
=
=
=
=
=
=
=
I
U
I
ULU
I
UL
1
2
[(
[(
(
)
(
)]
)
)]
)
)]
[(
(
i
i
i
j
P
a
b
P
a
b
P
a
b
x
h
x
h
x
h
=
=
=
+
=
=
+
+
=
=
+
I
I
L
I
L
1
1
[
)
)]
(
(
(
,
)
i
j
i
j
j
j
P
a
b
P
a
b
x
h
x
h
+¥
+¥
=
=
=
=
=
=
=
=
å
å
I
1
ij
j
p
+¥
=
=å
.
6．（2026·山东枣庄·一模）现将红色、黄色、蓝色的3 个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒
子容纳球数不限）．
(1)记甲盒中小球个数为X ，求X 的分布列和
E X ；
(2)对于两个不相互独立的事件M ，N ，
0
1
P M
<
< ，
0
1
P N
<
< ．
①若
P M N
P M
>
，则称事件M 与N 正相关（N 的发生会“促进” M 的发生）；若
P M N
P M
<
，则
称事件M 与N 负相关（N 的发生会“抑制” M 的发生）；
②定义
,
P MN
P M P N
M N
P M P M P N P N
r
-
=
为M 与N 的相关系数．
（ⅰ）若
,
0
M N
r
>
，求证：M 与N 正相关；
（ⅱ）定义事件M =“甲盒中恰有一个小球”，事件N = “甲盒中含有红球”．求
,
M N
r
，并判断事件M 与N
的相关情况．
【解】（1）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，且每个小球都有4 种放法，故3 个小球共有
3
4
64
=
种放法，
33
27
(
0)
64
64
P X =
=
=
，
1
2
3
C
3
27
(
1)
64
64
P X
×
=
=
=
，
2
3
C
3
9
(
2)
64
64
P X
×
=
=
=
，
3
3
C
1
(
3)
64
64
P X =
=
=
，
所以X 的分布列如下，
X
0
1
2
3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
所以
27
27
9
1
3
0
1
2
3
64
64
64
64
4
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
；
（2）（i）由
,
0
M N
r
>
，则
0
P MN
P M P N
-
>
，
所以
|
(
)
P MN
P M N
P M
P N
=
>
，故M 与N 正相关，得证；
（ii）由题意
27
(
)
(
1)
64
P M
P X
=
=
=
，
2
3
1 4
1
4
4
P N
´
=
=
，
2
3
1 3
9
4
64
P MN
´
=
=
，
所以
9
27
1
9
37
64
64
4
256
,
0
37
27
27
1
1
27
37
1
3
(1
)
(1
)
64
64
4
4
64
64
4
4
M N
r
-
´
=
=
=
>
´
-
´
´
-
´
´
´
，
结合（i）结论，故M 与N 正相关.
7．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数
*
1,2,3,…, (
N )
n nÎ
从小到大排列构成一个数123
n
L ，
( )
F n 为这个数
的位数.例如：当
12
n =
时，此数为123456789101112，共有15个数字，则
(12)=15
F
.现从这个数中随机取一
个数字，( )
p n 为恰好取到0 的概率.
(1)求
(101)
p
；
(2)当
2025
n £
时，求
( )
F n 的表达式；
(3)令
( )
f n 为这个数中数字 0 的个数，( )
g n 为这个数中数字9 的个数，( )= ( )- ( )
h n
g n f n ，
*
={
( )=1,
100,
N }
S
n h n
n
n
£
Î
∣
，求当n
S
Î
时( )
p n 的最大值.
【解】（1）由题可知当
101
n =
时，
101
9
90 2
2 3
195
F
=
+
´ + ´ =
，
即这个数中共有195个数字，其中数字0 的个数为9
2 1 12
+
+ =
，
则恰好取到0 的概率为
12
4
101
195
65
p
=
=
；
（2）由题当1
9
n
≤≤时，这个数由1位数组成，
F n
n
=
；
当10
99
n
£
£
时，这个数由9个一位数和
9
n - 个两位数组成，
则
1 9
2
9
2
9
F n
n
n
= ´ +
-
=
- ；
当100
999
n
£
£
时，这个数由9个一位数、90个两位数和
99
n -
个三位数组成，
则
1 9
2 90
3
99
3
108
F n
n
n
= ´ + ´
+
-
=
-
；
当1000
2025
n
£
£
时，这个数由9个一位数、90个两位数、900个三位数和
999
n -
个四位数组成，
则
1 9
2 90
3 900
4
999
4
1107
F n
n
n
= ´ + ´
+ ´
+
-
=
-
；
综上所述
,1
9
2
9,10
99
3
108,100
999
4
1107,1000
2025
n
n
n
n
F n
n
n
n
n
£
£
ì
ï
-
£
£
ï
= í
-
£
£
ï
ï
-
£
£
î
；
（3）当
*
1
9,
N
n
b
b
b
=
<
£
Î
时，
0
f n =
，
当
*
10
1
9,0
9,
N ,
N
n
k
b
k
b
k
b
=
+
£
£
£
£
Î
Î
时，
f n
k
=
；
当
100
n =
时，
11
f n =
，
即
*
0,1
9
,
10
,1
9,0
9,
N ,
N
11,
100
n
f n
k n
k
b
k
b
k
b
n
£
£
ì
ï
=
=
+
£
£
£
£
Î
Î
í
ï
=
î
，
同理有
*
0,1
8
,
10
1,1
8,0
9,
N ,
N
80,89
98
20,
99,100
n
k n
k
b
k
b
k
b
g n
n
n
n
£
£
ì
ï
=
+
-
£
£
£
£
Î
Î
ï
= í -
£
£
ï
ï
=
î
，
由
1
h n
g n
f n
=
-
= 可知
9,19,29,39,49,59,69,79,89,90
n =
，
所以当
100
n £
时，
9,19,29,39,49,59,69,79,89,90
S =
，
当
9
n =
时，
9
0
p
=
；当
90
n =
时，
9
1
90
1 9
2 90
9
19
p
=
=
´ +
-
；
当
*
10
9 1
8,
N
n
k
k
k
=
+
£
£
Î
时，
2
9
20
9
f n
k
k
p n
F n
n
k
=
=
=
-
+
，
由函数
1
9
1
20
9
20
20
20
9
k
y
k
k
=
=
-
´
+
+
是关于k 单调递增的，
得当
*
10
9 1
8,
N
n
k
k
k
=
+
£
£
Î
时，有
p n 的最大值为
8
89
169
p
=
，
又8
1
169
19
<
，所以当n
S
Î
时，
p n 的最大值为1
19 ．
8．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，
比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为a （0
1
a
<
< ），乙每次射击命中目标的
概率均为b （0
1
b
<
< ），各次射击结果互不影响．
(1)若甲先射击，甲第2 次射击且获胜的概率为p ，求p （用a ，b 表示）；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求b 的最小值．
参考公式：若0
1
q
<
< ，则
2
3
0
1
1
1
i
i
q
q
q
q
q
¥
=
= +
+
+
+××× = -
å
．
【解】（1）甲第2 次射击且获胜，即甲第1 次未命中，乙第1 次未命中，甲第2 次命中.
所以
1
1
p
a
b a
=
-
-
.
（2）设乙先射击并获胜的概率为P乙，甲获胜的概率为P甲.
乙获胜的情况为：
乙第1 次射击并命中，概率为b ；
第1 轮甲乙均未命中，乙第2 次射击并命中，概率为
1
1
b
a b
-
-
；
第2 轮甲乙均未命中，乙第3 次射击并命中，概率为
2
1
1
b
b
a
é
ù
-
-
ë
û
；
L
第n 轮甲乙均未命中，乙第
1
n + 次射击并命中，概率为
1
1
n b
b
a
é
ù
-
-
ë
û
；
这是一个首项为b ，公比为
1
1
b
a
-
-
的无穷等比数列，所以
1
1
1
P
b
b
a
= -
-
-
乙
.
甲获胜的情况为：
第1 轮乙未命中，甲命中，概率为
1
b a
-
；
第2 轮乙未命中，甲命中，概率为
1
1
1
b
a
b a
-
-
×
-
；
第3 轮乙未命中，甲命中，概率为
2
1
1
1
b
a
b a
é
ù
-
-
×
-
ë
û
；
L
第n 轮乙未命中，甲命中，概率为
1
1
1
1
n
b
a
b a
-
é
ù
-
-
×
-
ë
û
；
这是一个首项为
1
b a
-
，公比为
1
1
b
a
-
-
的无穷等比数列，所以
1
1
1
1
P
b a
b
a
-
= -
-
-
甲
.
由题意知，P
P
>
乙
甲恒成立，即
1
1
1
1
1
1
1
b a
b
b
a
b
a
-
>
-
-
-
-
-
-
恒成立，
因为0
1
a
<
< ，0
1
b
<
< ，所以
1
1
1
0
b
a
-
-
-
>
，
所以
1
b
b a
>
-
恒成立，即
1
1
1
1
a
b
a
a
>
= -
+
+
.
因为0
1
a
<
< ，所以1 1
2
a
< +
<
，
1
1
0
1 1
2
a
< -
<
+
，所以
1
2
b ³
.
所以b 的最小值为
1
2 .
9．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相
互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为1
3 ，规定先达到净胜3 局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的
净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）．
(1)记经过n 局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为
np ，求
3p ．
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k 时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概
率为
kq ，求证：
1
3
2
k
k
q
q
k
k
+ -
- £
£
ÎZ
，
是等比数列；
(3)求甲获得训练赛胜利的概率．
【解】（1）由题意可知经过3 局比赛，甲获得训练赛胜利，需3 局连胜，则
3
3
1
1
3
27
p
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
；
（2）由题意，
kq 为事件“ X
k
=
时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率，
由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X ，
故X 即为甲的净胜局数，所以
3, 2, 1,0,1,2,3
X = -
-
-
.
经过若干局后，假定当前X
k
=
，
①当
3
k =
时，即甲的净胜局数
3
X =
，
则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以
3
1
q = ；
②当
3
k = - 时，即甲的净胜局数
3
X = - ，乙的净胜局数
3
X
-
=
，
则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则
3
0
q- =
；
③当2
2,
Z
k
k
- £
£
Î
时，
由甲的净胜局数2
2
X
- £
£
，则乙的净胜局数为
X
-
，且2
2
X
- £ -
£
，
故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局.
记事件
kA =“ X
k
=
时，甲最终获得训练赛胜利”（2
2,
Z
k
k
- £
£
Î
），
事件B = “下一局比赛甲获胜”，
下一局若甲赢（即事件B 发生），则
1
X
k
=
+ ；若乙赢（即事件B 发生），则
1
X
k
=
- ；
因为
(
)
k
k
q
P A
=
，
1
1
(
)
k
k
q
P A
+
+
=
，
1
1
(
)
k
k
q
P A
-
-
=
，
且
1
2
( )
,
1
( )
3
3
P B
P B
P B
=
= -
=
，
所以由全概率公式得，
(
)
|
( )
|
k
k
k
P A
P A
B P B
P A
B P B
=
+
，
即
1
1
(
)
( )
k
k
k
P A
P A
P B
P A
P B
+
-
=
+
，
因此
1
1
1
2
3
3
k
k
k
q
q
q
+
-
=
+
，整理得
1
1
3
2
k
k
k
q
q
q
+
-
=
-
，
两边都减去
kq ，则可得
1
1
2
k
k
k
k
q
q
q
q
+
-
-
=
-
，
又当
2
k = - 时，
2
3
2
0
q
q
q
-
-
-
-
=
¹
，
故数列：
2
3
1
2
0
1
1
0
2
1
3
2
,
,
,
,
,
q
q
q
q
q
q
q
q q
q q
q
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
是公比为2 的等比数列．
即数列
1
k
k
q
q
+ -
( 3
2,
Z)
k
k
- £
£
Î
是公比为2 的等比数列．
（3）由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为
0q .
记
1
( 3
2,
Z)
k
k
k
a
q
q
k
k
+
=
-
- £
£
Î
，
则
3
3
2
1
0
1
2
3
1 0
1
q
q
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
+
+
+
+
+
= -
= ，
由（2）知，数列
1
k
k
q
q
+ -
( 3
2,
Z)
k
k
- £
£
Î
是公比为2 的等比数列，
则
2
3
4
5
3
3
3(1
2
2
2
2
2 )
1
q
q
a
-
-
-
=
+
+
+
+
+
= ，解得
3
1
63
a- =
，
所以
2
3
2
1
3
1
1
(1
2
2 )
7
63
9
a
a
a
a
-
-
-
-
+
+
=
+
+
=
´
=
，
又
3
2
1
2
3
1
2
0
1
0
3
0
(
)
(
)
(
)
a
a
a
q
q
q
q
q
q
q
q
q
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
=
-
+
-
+
-
=
-
=
，
所以
0
1
9
q =
，
故甲最终获得训练赛胜利的概率为1
9 .
10．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1 个单位的正方体
-
ABFD
CGHE 中，一个质点从顶点A 出发，每隔1
秒等可能地沿着棱移动1 个单位，移动的方向是随机的．设第n 秒
*
nÎN
后，质点回到A 点的概率为
na ．
(1)求
2a 和
3a ；
(2)设第n 秒后，质点移动到B 点的概率为
nb ，移动到E 点的概率为
nc ，移动到H 点的概率为
n
d ．
（i）证明：存在常数x ，使得
1
1
1
,
1
n
n
n
n
n
n
b
xa
x c c
x b
xd
+
+
=
+
-
=
-
+
；
（ii）记
na
的前n 项和为
n
S ，证明：存在常数M ，使得
8
<
+
n
n
S
M ．
【解】（1）当
2
n =
时，从A 出发，第1 秒只能移动到相邻的3 个顶点（B，D，C），
第2 秒要回到A，必须从这3 个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3 条棱，返回A 的概率是1
3 .
所以
2
1
1
1
1
1
1
3
1
3
3
3
3
3
3
9
3
a =
´
+
´
+
´
=
=
.
当
3
n =
时，第2 秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为1
3 .
从这三点出发，第3 秒无法回到A（因为它们与A 距离为1，第3 秒移动后距离为2），所以
3
0
a =
.
故
2
1
3
a =
，
3
0
a =
.
（2）（i）由对称性可知第n 秒
*
nÎN
后质点恰好走到
,
,
B C D 三点的概率相同，都为
nb ；
第n 秒
*
nÎN
后质点恰好走到
,
,
E F G 三点的概率也相同，都为
nc ；
第n 秒
*
nÎN
后质点恰好走到点H 的概率为
n
d ．记第n 秒
*
nÎN
后质点的位置为
n
X ，
则
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
B
P X
A
P X
G
P X
F
+ =
=
=
+
=
+
=
，
即
1
1
1
1
1
2
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
b
a
c
c
a
c
+ =
+
=
+
+
，
再由
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
E
P X
C
P X
D
P X
H
+ =
=
=
+
=
+
=
，即
1
1
1
1
2
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
c
b
b
d
b
d
+ =
+
+
=
+
．
于是存在常数
1
3
x =
，使得
1
1
1
,
1
n
n
n
n
n
n
b
xa
x c c
x b
xd
+
+
=
+
-
=
-
+
．
（ii）由
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
A
P X
B
P X
C
P X
D
+ =
=
=
+
=
+
=
可知
1
1
3
3
+ =
´
´ =
n
n
n
a
b
b ，
由
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
P X
H
P X
E
P X
F
P X
G
+ =
=
=
+
=
+
=
可知
1
1
3
3
+ =
´
´ =
n
n
n
d
c
c ，
于是
1
n
n
a
b
+ =
——①，
1
1
2
3
3
+ =
+
n
n
n
b
a
c ——②，
1
2
1
3
3
+ =
+
n
n
n
c
b
d ——③，
1
n
n
d
c
+ =
——④.
由①②得
2
1
2
3
3
n
n
n
a
a
c
+ =
+
，即
2
3
1
2
2
n
n
n
c
a
a
+
=
-
——⑤，
再由①③④得
1
1
1
2
1
3
3
n
n
n
c
a
c
+
+
-
=
+
——⑥，由⑤得
1
3
1
3
1
2
2
n
n
n
c
a
a
+
+
+
=
-
，
1
1
1
3
1
2
2
n
n
n
c
a
a
-
+
-
=
-
代入⑥
3
1
1
1
1
3
1
2
1 3
1
2
2
3
3 2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
+
+
-
æ
ö
-
=
+
-
ç
÷
è
ø，化简得
3
1
1
10
1
9
9
+
+
-
=
-
n
n
n
a
a
a
.
因为
1
1
1
1
2
3
1
1
0,
,
0,
,
0
3
3
a
b
c
d
a
a
=
=
=
=
=
=
，
则
2
1
1
4
3
2
2
2
1
2
1
2
1
4
7
3
3
9
3
3
9
27
27
=
+
=
=
=
+
=
+
=
c
b
d
a
b
a
c
，
．
由
3
1
1
10
1
9
9
+
+
-
=
-
n
n
n
a
a
a
，于是
3
1
1
1
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
-
=
-
．所以
1
1
1
3
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
-
=
-
.
所以当n 为奇数时，
1
1
1
3
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
-
=
-
，
1
3
3
5
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
-
，……，
6
4
4
2
1
9
a
a
a
a
-
=
-
，上述
3
2
n -
个式子相乘得
1
1
4
2
3
3
2
1
7
1
1
2
27
3
3
3
9
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
æ
ö
-
=
-
×
=
-
×
= -
ç
÷
è
ø
．
又由
3
1
1
10
1
9
9
+
+
-
=
-
n
n
n
a
a
a
，即
3
1
1
1
1
1
9
9
+
+
+
-
-
=
-
n
n
n
n
a
a
a
a
可知
1
1
4
2
1
1
2
9
9
9
+
-
-
=
-
=
n
n
a
a
a
a
．
所以
1
1
2
2
(9
3
)
n
n
n
a
a
+
+ -
-
= -
，解得
1
1
1
1
1
1
4
4 3
4
3
n
n
n
a +
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
´
è
ø，
即当n 为奇数时，
1
1
1
1
4
3
n
n
a +
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，所以当n 为偶数时，
1
1
1
1
4
3
n
n
a
-
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
．
当n 为偶数时，
1
1
1
3
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
-
=
-
，
1
3
3
5
1
9
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
-
，
5
3
3
1
1
9
a
a
a
a
-
=
-
，上述
2
2
n -
个式子相乘得
1
1
3
1
2
2
1
0
9
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
-
=
-
×
=
,即
1
1
n
n
a
a
+
-
=
.
又由
3
1
1
1
1
1
9
9
+
+
+
-
-
=
-
n
n
n
n
a
a
a
a
可知
1
1
3
1
1
1
0
9
9
+
-
-
=
-
=
n
n
a
a
a
a
．解得
1
0
na + = ，即当n 为奇数时，
0
na =
．
因此，当n 为奇数时，
0
na =
；当n 为偶数时，
1
1
1
1
4
3
n
n
a
-
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ．
当
*
2
n
k k
=
ÎN
时，
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
12
9
1
1
1
4
3
4
4
32
9
4
32
1
9
k
k
n
k
m
k
m
k
k
k
S
S
-
=
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
=
=
+
=
+
=
+
-
<
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
å
，
则
3
8
32
<
+
n
n
S
．
当
*
2
1
n
k
k
=
-
ÎN
时，
2
1
2
2
2
1
3
1
1
1
1
3
27
1
1
4
32
9
4
3
4
32
32 9
n
k
k
k
k
k
k
k
k
S
S
S
a
-
-
-
æ
ö
æ
ö
=
=
-
=
+
-
-
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
´
è
ø
è
ø
，
即
1
27
1
8
32
32 9
8
32
=
-
-
<
-
´
n
k
n
n
S
．
所以存在常数
3
32
=
A
，使得
8
<
+
n
n
S
A．
11．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放
入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3 次遇到黑色障碍物，
已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1
2 ，最后落入A 袋或B 袋中．一次游戏中
小球落入A 袋记1 分，落入B 袋记2 分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（
*
nÎN ）分的概率为
np ．
(1)求
1
2
3
p
p
p
，，
；
(2)写出
np 与
1
np -
*
2,
n
n
³
ÎN
之间的递推关系，并求出
np
的通项公式．
【解】（1）小球3 次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B 袋中，
此概率P（B）＝
3
3
0
3
3
3
1
1
1
C
C
2
2
4
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则小球落入A 袋中的概率P（A）＝1－P（B）＝
1
3
1
4
4
-
=
，
故
1
3
4
p
P A
=
=
，
2
2
3
1
13
4
4
16
p
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
3
2
3
1
3
51
C
4
4
4
64
p
æ
ö
=
+
´
´
=
ç
÷
è
ø
．
（2）游戏过程中累计得n 分可以分为两种情况：得到（n－2）分后的一次游戏中小球落入B 袋中，或得到
（n－1）分后的一次游戏中小球落入A 袋中，
故
1
2
3
1
4
4
n
n
n
p
p
p
-
-
=
+
*
3,
n
n
³
ÎN
，
即
1
1
2
1
1
4
4
n
n
n
n
p
p
p
p
-
-
-
+
=
+
*
3,
n
n
³
ÎN
，
故
1
1
4
n
n
p
p -
ì
ü
+
í
ý
î
þ
*
2,
n
n
³
ÎN
为常数列，且
2
1
1
1
4
p
p
+
= ，
故
1
1
1
4
n
n
p
p -
+
=
*
2,
n
n
³
ÎN
，
即
1
1
1
4
n
n
p
p -
= -
*
2,
n
n
³
ÎN
，得
1
4
1
4
5
4
5
n
n
p
p -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø
*
2,
n
n
³
ÎN
，
故
4
5
np
ì
ü
-
í
ý
î
þ为等比数列，且首项为
1
4
3
4
1
5
4
5
20
p -
=
-
= -
，公比为
1
4
-
，
故
1
4
1
1
1
1
5
20
4
5
4
n
n
np
-
æ
ö
æ
ö
-
= -
´ -
=
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
1
1
4
5
4
5
n
np
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
*
nÎN
．
12．（2026·山东济宁·一模）2026 年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有
, ,
A B C 三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，A 盒中有1 个红球，2 个
黄球；B 盒中有1 个红球，3 个黄球；C 盒中有5 个红球，3 个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，
游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从A 盒中随机摸出1 个小球，记录颜色后再放回A 盒内，然后，乙根
据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从B 盒中摸球；若甲摸到黄
球，则乙从C 盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的
小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰
骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第n 轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为
*
nP nÎN
，且
1
1
P = .
（i）求
3
4
,
P P ；
（ii）求
nP ，并判断：当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 是否无限趋近于一个常数a ？若是，求出a 的值；若不是，请说明
理由.
【解】（1）甲从A 盒中摸到红球的概率为1
3 ，摸到黄球的概率为2
3 ，乙从B 盒中摸到黄球的概率为3
4 ，
红球的概率为1
4 ，乙从C 盒中摸到黄球的概率为3
8 ，红球的概率为5
8 ，
故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为1
3
2
5
2
3
4
3
8
3
´
+
´
=
.
（2）（i）
3
2
1
1
1
1
2
1
11
3
3
3
3
3
3
3
27
P =
´
+
´
+
´
´
=
,
4
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
7
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
27
P =
´
´
+
´
´
´
+
´
´
+
´
´
´
+
´
´
=
,
（ii）设事件
n
C 表示甲乙两人在第n 轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片，
则
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
3
3
3
9
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P C
P C
P
P C
P
P
P
P
P
n
+
+
-
+
-
-
=
=
´
´
+
´
=
´
+
+
³
，
，
则
1
1
2
2
1
2
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P
n
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
-
= -
-
³
，
，或
1
1
2
1
2
1
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
n
P
+
-
æ
ö
+
ç
+
÷
è
ø
=
³
，
又
2
1
1
2
5
3
3
3
9
P
+
´
=
=
，
当
1
1
2
2
1
2
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P
n
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
-
= -
-
³
，
时，
2
1
2
5
2
1
3
9
3
9
P
P =
-
= -
-
，
所以
1
1
2
2
1
9
3
3
1
n
n
n
P
n
P
-
+
æ
ö
-
= -
-
³
ç
÷
è
ø
，
，
1
1
1
3
1
2
2
1
1
3
3
9
n
n
n
n
P
n
P
-
+
+
æ
ö
æ
ö
-
= -
-
- -
³
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
，
，
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
3
3
3
2
1
1
1
3
3
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
P
n
n
P
+
+
+
+
+
é
ù
ê
ú
ê
ú
-
= -
³
Þ
+
= -
³
ê
ú
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
+
û
，
，
，
故
3
3
1
1
n
n
P
ì
ü
ï
ï
ï
ï
í
ý
æ
ö
ï
ï
-
ç
ïî
+
÷
ï
è
ø
þ
为等比数列，且公比为2
- ，首项为
8
3
-
，
则
1
1
8
2
3
3
1
3
n
n
n
P
-
= -
´ -
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
，故
1
1
1
2
1
8
1
2
2
1
3
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
P
+
-
+
+
é
ùæ
ö
æ
ö
é
ù
= -
´ -
-
-
=
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
ë
ûè
ø
è
ø
，
而
1
1
P = 满足上式，因此
1
1
2
2
1
1
3
n
n
n
nP
+
+
+
æ
ö
é
ù
=
+ -
ç
÷
ë
û
è
ø
；
当
1
1
2
1
2
1
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
n
P
+
-
æ
ö
+
ç
+
÷
è
ø
=
³
，
时，
2
1
1
5
1
8
3
9
3
9
P
P =
+
=
+
，
则
1
1
1
1
2
2
3
3
3
8
2
9
n
n
n
n
P
P
-
+
+
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
，则
1
1
4
1
2
2
2
3
4
3
3
3
n
n
n
n
P
P
+
+
é
ù
ê
ú
ê
ú
-
= -
-
ê
ú
æ
ö
æ
ö
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ë
û
，
故
4
3
2
3
n
n
P
ì
ü
ï
ï
ï
ï
-
í
ý
æ
ö
ï
ï
ç
÷
ï
ï
è
ø
î
þ
为等比数列，且公比为
1
2
-
，首项为1
6 ，
故
1
1
1
2
4
1
1
2
1
1
4
1
2
1
3
6
2
3
3
2
3
3
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
-
+
+
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
-
=
´ -
Þ
=
-
´ -
+
=
+ -
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
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ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
æ
ö
ê
ú
ë
û
ç
÷
è
ø
，
而
1
1
P = 满足上式，因此
1
1
2
2
1
1
3
n
n
n
nP
+
+
+
æ
ö
é
ù
=
+ -
ç
÷
ë
û
è
ø
，
2
2
3
2
2
3
1
1
2
2
1
1
2
1
1
3
3
1
2
1
2
(
)
2
1
1
2
1
3
2
1
1 (
1
2
3
)
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
æ
ö
é
ù
+ -
+ -
ç
÷
ë
û
+ -
è
ø
=
=
=
×
+ -
æ
ö
- -
é
ù
+ -
ç
×
÷
ë
û
è
ø
，
当n ® +¥ 时，则
1
2
2
3
1
2
(
)
1
2
1
3 1 ( 2
2
)
n
n
n
n
P
P
+
+
+
+ -
=
×
®
- -
.
综上可得：故当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 无限趋近于一个常数2
3 ，即
2
3
a =
.
