1
2026 年高二暑假讲义A 版
平面向量
1、向量
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2、向量的表示方法：
①字母表示法：如, , ,
a b c
等.
②几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB
，CD
等.
③坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA
的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为
,x y ，
则
,x y 称为OA
的坐标，记为OA
=
,x y .
2、相等向量：长度相等且方向相同的向量，两向量a
与b
相等，记为a
b
.
4、零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.
5、单位向量：长度等于1 个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.
6、共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.
规定：0
与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量.
7、相反向量：长度相等且方向相反的向量.
题型1
平面向量的概念
题型7
垂直、平行关系应用
题型2
平面向量的线性运算
题型8
投影及投影向量
题型3
平面向量共线定理及其推论
题型9
夹角和模长问题
题型4
平面向量基本定理的应用
题型10 “四心”问题与奔驰定理
题型5
平面向量的线性运算的坐标表示
题型11
坐标法和极化恒等式的应用
题型6
平面向量的数量积运算
知识点1
平面向量的有关概念
2
2026 年高二暑假讲义A 版
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的
运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的
运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a
的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，
当λ>0 时，λa 与a 的方向相同；
当λ<0 时，λa 与a 的方向相反；
当λ＝0 时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
1、共线向量基本定理
如果
(
)
a
b
R
，则
/ /
a
b
；反之，如果
/ /
a
b
且
0
b
，则一定存在唯一的实数，使a
b
．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在
ABC
△
中，若点D 是边BC 上的点，且BD
DC
（
1
），则向量
1
AB
AC
AD
．在
向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建
议熟练掌握．
D
A
C
B
3、三点共线定理
平面内三点A，B，C 共线的充要条件是：存在实数,
，使OC
OA
OB
，其中
1
，O 为
平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
知识点2
平面向量的线性运算
知识点5
向量的共线定理
3
2026 年高二暑假讲义A 版
A、B、C 三点共线存在唯一的实数，使得AC
AB
；
存在唯一的实数，使得OC
OA
AB
；
存在唯一的实数，使得
(1
)
OC
OA
OB
；
存在
1
，使得OC
OA
OB
．
4、中线向量定理
如图所示，在
ABC
△
中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量
1 (
2
AD
AB
)
AC
，反之亦正确．
D
A
C
B
1、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与b ，我们把数量|
||
| cos
a b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作
a b ，即
a b =|
||
| cos
a b
，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2、平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b 是两个非零向量，如图(1)(2)，OA
→表示向量a，OB
→表示向量b，过点A 作OB
→所在
直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a 得到向量OA1
→的变换称为向量a 向向量b 投影，向量OA1
→
称为向量a 在向量b 上的投影向量.
,
向量a 在向量b 上的投影向量为(|a|cosθ) b
|b|.
3、数量积的运算律
已知向量a 、b 、c 和实数，则：
①
a b
b a ；②(
)
(
)
(
)
a
b =
a b
a
b ；③(
)
a
b
c = a c
b c ．
4、数量积的性质
设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，是a 与e 的夹角，则
知识点4
平面向量的数量积
4
2026 年高二暑假讲义A 版
①
|
| cos
e a
a e
a
．②
0
a
b
a b
．
③当a 与b 同向时，
|
||
|
a b
a b ；当a 与b 反向时，
|
||
|
a b
a b ．
特别地，
2
|
|
a a
a
或|
|
a
a a ．
④cos
|
||
|
a b
a b (|
||
| 0)
a b
．⑤|
| |
||
|
a b
a b
≤
．
1、平面向量基本定理
如果
1
2
,
e e
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数
1
2
,
，使a
1 1
2
2
e
e
，称
1 1
2
2
e
e
为
1
2
,
e e
的线性组合.
注：其中
1
2
,
e e
叫做表示这一平面内所有向量的基底，记为
1
2
,
e e
；平面内任一向量都可以沿两个不
共线向量
1
2
,
e e
的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.当基底
1
2
,
e e
是两个互相垂直的
单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
2、平面向量的正交分解
（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；
（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；
（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．
（4）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为标准正交基．对
于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O 为起点作OP
→＝a（通常称OP
→为位置向量）．由平面向量基
本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使OP
→＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a 在
标准正交基{i，j}下的坐标，向量a 可以表示为a＝(x，y)．
4、点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中，点P 的位置被它的位置向量OP
所唯一确定，设点P 的坐标为( , )
x y ，容易
看出
( , )
OP
x
x
x y
i
j
，即点P 的位置向量OP
的坐标( , )
x y 也就是点P 的坐标；反之，点P 在
知识点5
平面向量的基本定理及坐标表示
5
2026 年高二暑假讲义A 版
平面直角坐标系中的坐标也是点P 所决定的位置向量OP
的坐标．
向量( , )
x y
一一对应
向量OA
一一对应
点
( , )
A x y ．
5、平面向量的直角坐标运算
①已知点
1
1
(
)
A x
y
，
，
2
2
(
)
B x
y
，
，则
2
1
2
1
(
)
AB
x
x
y
y
，
，
2
2
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
②已知
1
1
(
,
)
a
x y
，
2
2
(
,
)
b
x
y
，则a
b
1
2
1
2
(
)
x
x
y
y
，
，
1
1
(
,
)
a
x
y
，
=
a b
1
2
1
2
x x
y y
，
2
2
1
1
|
|
a
x
y
．a
b
∥
1
2
2
1
0
x y
x y
，a
b
1
2
1
2
0
x x
y y
6、数量积的坐标运算
已知非零向量
1
1
(
)
a
x
y
，
，
2
2
(
)
b
x
y
，
，为向量a、b
的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
|
|
a
a a
2
2
| a
x
y
|
数量积
|
||
| cos
a b
a b
1
2
1
2
a b
x x
y y
夹角
cos
|
||
|
a b
a
b
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
x
y
x
y
a
b
的充要条件
0
a b
1
2
1
2
0
x x
y y
a
b
∥的充要条件
a
b b
0
（
）
1
2
2
1
0
x y
x y
|
|
a b
与|
||
|
a b
的关系
|
| |
||
|
a b
a b
（当且仅当a
b
∥时等号成立）
1
2
1
2
|
|
x x
y y
≤
2
2
2
2
1
1
2
2
x
y
x
y
1、等和线
平面内一组基底
OB
OA,
及任一向量OP ，
)
,
(
R
OB
OA
OP
，若点P 在直线AB 上或者
在平行于AB 的直线上，则
k
（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的
直线称为等和线.
（1）当等和线恰为直线AB 时，k=1；
知识点6
拓展二级结论
6
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，
)1,0
(
k
；
（3）当直线AB 在点O 与等和线之间时，
)
,1(
k
；
（4）当等和线过O 点时，k=0；
（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数.
2、极化恒等式
设a，b 是平面内的两个向量，则有
2
2
1 (
)
(
)
4
a b
a
b
a
b
①几何解释1（平行四边形模型）以AB ，AD 为一组邻边构造平行四边形ABCD，AB
a AD
b
，
，
则AC
a
b BD
b
a
，
，由
2
2
1 (
)
(
)
4
a b
a
b
a
b
，得
2
2
1
4
AB AD
AC
BD
．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的1
4 ”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由
2
2
1
4
AB AD
AC
BD
变形为
2
2
2
2
1
1 4
4
4
4
AB AD
AC
BD
AM
BM
，得
2
2
AB AD
AM
BM
，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
3、“四心”问题
（1）重心的常见向量式
设O 是ABC
的重心, P 为平面内任意一点,则有
①
0
OA
OB
OC
;②
1 (
)
3
PO
PA
PB
PC
③若
(
),
[0,
)
AP
AB
AC
,则动点P 的轨迹经过三角形的重心
④若
,
[0,
)
|
| sin
|
| sin
AB
AC
AP
AB
B
AC
C
,则动点P 的轨迹经过三角形的重心
（2）垂心的常见向量式
若O 是ABC
的垂心, P 为平面内任意一点,则有:
①OA OB
OB OC
OC OA
;②
2
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA
BC
OB
CA
OC
AB
7
2026 年高二暑假讲义A 版
③
,
(0,
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
AP
AB
B
AC
C
,则动点P 的轨迹通过ABC
的垂心
（3）内心的常见向量式
若O 是ABC
的垂心,则有：①|
|
|
|
|
|
0
AB PC
BC PA
CA PB
②
,
[0,
)
|
|
|
|
AB
AC
AP
AB
AC
,则动点P 的轨迹经过三角形的内心
（4）外心的常见向量式
若O 是ABC
的外心, P 为平面内任意一点,则
①
2
2
2
|
| |
| |
|
OA
OB
OC
OA
OB
OC
②(
)
(
)
(
)
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OA
OC
AC
③
,
(0,
)
2
|
| cos
|
| cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
,则动点P 的轨迹通过外心O .
④若(
)
(
)
(
)
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OC
OA CA
4、奔驰定理
如图，已知P 为ABC
内一点，则有
0
PBC
PAC
PAB
S
OA
S
OB
S
OC
△
△
△
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
例1、下列向量的概念错误的是（
）
A．长度为0 的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B．零向量和任何向量都是共线向量
C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D．
/ /
a
b
，
/ /
b
c
，则
/ /
a
c
题型1
平面向量的概念
8
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练1】（多选）下列结论中正确的为（
）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量AB
与向量BA
的长度相等
C．对任意向量
0 , a
a a
a
是一个单位向量
D．零向量没有方向
【变式训练2】（多选）下列命题正确的是（
）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若
/ /
a
b
，则a
b
C．若,a b
都为非零向量，则使
0
a
b
a
b
成立的条件是a与b
反向共线
D．若
,
a
b c
b
，则a
c
例2、下列向量的运算结果不正确
．．．的是（
）
A．AB
BC
AC
B．AB
AD
DB
C．
AB
AD
DC
BC
D．
0
OA
OD
AD
【变式训练3】在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 的中点，则AF
（
）
A．1
3
2
4
AB
AD
B．3
1
4
2
AB
AD
C．1
1
2
4
AB
AD
D．1
1
2
2
AB
AD
【变式训练4】如图，已知AB a
= ，AC
b
，
4
BC
BD
，
3
CA
CE
，则DE
（
）
A．5
3
12
4
b
a
B．2
3
a
b
C．3
1
4
3
a
b
D．5
3
12
4
a
b
题型2
平面向量的线性运算
9
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练5】在
ABC
V
中，点M 满足
3
AM
MB
，点N 满足2AN
NC
，E ，F 分别是MN ，BC
的中点，设AB a
= ，AC
b
，则EF
（
）
A．1
1
8
3
a
b
B．3
2
10
3
a
b
C．1
1
4
3
a
b
D．3
2
8
3
a
b
例3、已知向量a
，b
，
3
2
AB
a
b
，
4
BC
a
b
，
5
7
CD
a
b
，则一定共线的三点是（
）
A．
, ,
A B D
B．
, ,
A B C
C．
,
,
A C D
D．
,
,
B C D
【变式训练6】
1
2
AB
e
e
，
1
2
2
3
BC
e
e
，
1
2
3
4
CD
ke
e
，且A、C、D 三点共线，则k=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练7】已知向量a，b
不共线，且向量a
b
与(
1)
6
a
b
共线，则实数的值为（
）
A．2
或3
B．2
或3
C．3
或2
D．2
【变式训练8】已知点
, ,
A B C 是直线l 上相异的三点，O为直线l 外一点，且2
3
OA
OB
OC
，则
的值是（
）
A．1
B．1
C．
1
2
D．1
2
【变式训练9】如图，在
ABC
V
中，
2
AN
NC
，P 是BN 上一点，若
1
3
AP
t AB
AC
，则实数t 的
值为（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
6
题型3
平面向量共线定理及其推论
10
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练10】在
ABC
V
中，2BN
NC
，M 是AN 上一点，且
1
3
BM
AB
AC
，则实数的值为
（
）
A．1
3
B．
2
3
C．2
3
D．
1
3
【变式训练11】如图
ABC
V
中G 为重心，PQ 过G 点，
,
AP
mAB AQ
nAC
，则1
1
m
n
（
）
A．3
B．2
C．1
D．2
3
例4、如图，在
ABC
V
中，
1
2
,
2
3
AM
AB CN
CB
.设
,
AB
a AC
b
.
(1)用,a b
表示
,
AN MN
；
(2)若P 为
ABC
V
内部一点，且
4
1
9
9
BP
a
b
.求证：
, ,
M P N 三点共线.
题型4
平面向量基本定理的应用
11
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练12】如图，在
OAB
△
中，已知P 为线段AB 上一点，
3
BP
PA
，OP
xOA
yOB
．
(1)求实数x ，y 的值；
(2)若
2
OA
，
4
OB
，且OA
与OB
的夹角为120，求OP AB
的值．
【变式训练13】如图，在等腰梯形ABCD 中，2
2
2
6
AD
DC
CB
AB
，E ，F 分别为AB ，AD
的中点，BF 与DE 交于点M ．
(1)令AE
a
，AD
b
，用a
，b
表示BF
；
(2)求线段AM 的长．
例5、已知
,i j
为一组标准正交基，a
i
j
，b
i
j
，则1
3
2
2
a
b
在基
,i j
下的坐标为（
）
A．
1,2
B．
1, 2
C．
1, 2
D．
1,2
题型5
平面向量的线性运算的坐标表示
12
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练14】若平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为
1,2 ,
1,1 ,
3,4
A
B
C
，则顶点D 的
坐标为（
）
A．
1,5
B．
5,3
C．
1,4
D．
2,4
【变式训练15】已知
1
1,2
2
a
b
（
），
4, 10
a
b
（
），则a
等于（
）
A．
2, 2
（
）
B．2,2
（
）
C．
2,2
（
）
D．2, 2
（
）
【变式训练16】已知
6,3
AB
，
3,9
AC
，若
1
3
BD
BC
，则AD
（
）
A．
5, 3
B．
6, 2
C．
3,5
D．
2,6
例6、若向量a
，b
满足
1
a
b
，a
与b
的夹角为60°，则a b
等于（
）
A．1
2
B．3
2
C．
3
1
2
D．2
【变式训练17】已知向量
(1, 1),
( 2,3),
(1,1)
a
b
c
，则(
)
a
b
c
（
）
A．1
B．0
C．-1
D．-2
【变式训练18】已知向量a
，b
满足
2,1
a
b
，
0, 1
a
b
，则a b
（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
【变式训练19】在边长为3 正方形ABCD 中，E 为线段BC 上靠近B 的三等分点，计算EC ED
（
）
A．4
B．7
C．8
D．9
【变式训练20】在
ABC
V
中，
90
ACB
，
2
AC
，
4
AB
，点D 满足
1
2
CD
AB
，则AD AB
（
）
A．6
B．8
C．8 3
D．12
题型6
平面向量的数量积运算
13
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、已知向量
2, 1
a
，
3,
b
，
2,4
c
，若2a
b
与
3
b
c
共线，则实数的值为
．
【变式训练21】已知向量a，b
满足
1
a
，
2
b
，且
3
2
a
b
b
a
，则
a b
.
【变式训练22】已知向量
2,2
a
，
1, 2
b
，
,1
c
k
，若
2
/ /
a
b
c
，则k
．
【变式训练23】已知向量
1,1 ,
2,4
a
b
，若
/ /
a
c
，且
a
b
c
，则c
.
【变式训练24】已知向量
1,0 ,
1,2 ,
2
a
b
c
a
b
.
(1)若
a
b
∥c，求实数的值；
(2)若
a
b
b
c
，求实数的值.
例8、已知向量,
a b
的夹角为π
4 ，且
2
a
b
，则向量a在向量b
上的投影向量为（
）
A．2b
B．b
C．1
2 b
r
D．1
4 b
【变式训练25】已知向量
3,1 ,
1,0
a
b
，则a
在b
上的投影长为（
）
A．
3
3
B．1
C．
3
D．2
题型7
垂直、平行关系应用
题型8
投影及投影向量
14
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练26】向量
p、q满足：
1, 1
p
，
2
q
，
2
p
q
q
，则q在p上的投影向量的
模为（
）
A．
2
2
B．1
C．2
D．2 2
【变式训练27】已知
2,1 ,
3,5
a
b
，则b
a
在a上的投影向量为（
）
A．1 2
,
5 5
B．4 2
,
5 5
C．8 4
,
5 5
.
D．12 6
,
5 5
【变式训练28】已知向量,
a b
满足
1
1,2
7
,
a
b
a
b
,
，则向量a在向量b
方向上的投影向量
为（
）
A．
1 1
,
10 5
B．1 2
,
5 5
C．
1
1
,
10
5
D．
1
2
,
5
5
例9-1、已知
3,
a
m
，
1, 1
b
，且
2
a b
，则
a
b
（
）
A．4
B．2
C．
5
D．1
【变式训练29】已知
2
a
，
1
b
，
,
120
a b
，则
2
a
b
（
）
A．4
B．2
C．12
D．13
【变式训练30】已知平面向量
2,0
a
，
1,1
b
，且
2
ma
b
a
b
，则m （
）
A．1
B．1
3
2
C．1
3
2
D．0
【变式训练31】设平面内三个非共线的单位向量, ,
a b c
两两之间的夹角相等，则
2
3
a
b
c
（
）
A．1
B．
3
C．5
D．14
题型9
夹角和模长问题
15
2026 年高二暑假讲义A 版
例9-2、已知向量,a b
满足
1
3
( ,
),
(2, 2 3)
2
2
a
b
，则
,
a b
（
）
A．π
3
B．2π
3
C．3π
4
D．5π
6
【变式训练32】已知
3,6 ,
3,
m
n
，若
,
120
m
n n
，则（
）
A．
3
B．2 3
C．3
D．
3
2
【变式训练33】已知
3
a
，
2
b
，且
2
a
b
a
b
，则cos
,a b
（
）
A．
2 2
3
B．
3
3
C．
3
3
D．2 2
3
【变式训练34】已知向量
1,
3
, 1
a
b
x
，
，若a
b
与b
的夹角为锐角，则x 的取值范围为
（
）
A．
2,1
B．
1,2
C．
1
1
1,
,2
3
3
D．
1
1
2,
,1
3
3
例10、在△ABC 中，O 为BC 的中点，若
0
MO BC
，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（
）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【变式训练35】已知
ABC
V
的重心为
,
3
G AD
DC
，延长DG 交AB 于点E ，则BE
（
）
A．2
5 BA
B．1
2 BA
C．3
5 BA
D．2
3 BA
【变式训练36】已知
ABC
V
，若点P 满足
|
|
|
|
AB
AC
AP
AB
AC
，其中
R
，则点P 的轨迹一定通
过
ABC
V
的（
）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
题型10 “四心”问题与奔驰定理
16
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练37】已知O 是
ABC
V
内一点，
0
OA
OB
OC
，
2 3
AB AC
且
30
BAC
，则
OBC
△
的面积为（
）
A．
3
B．
3
3
C．1
D．1
3
【变式训练38】点O为
ABC
V
内一点，若
:
:
4:3: 2
AOB
BOC
AOC
S
S
S
，设AO
AB
AC
，则实
数和的值分别为（
）
A．2
9 ，4
9
B．4
9 ，2
9
C．1
9 ，2
9
D．2
9 ，1
9
例11、边长为2 的正方形ABCD 上有一动点P ，则向量AB AP
的最大值是（
）
A．1
B．2
C．2 2
D．4
【变式训练39】在等腰梯形ABCD中，
/ /
AB
DC ，
2
2
2
AB
BC
CD
，P 是底边AB 上的动点，
则PD PC
的最小值为（
）
A．2 2
B．2
C．3
2
D．1
2
【变式训练40】在
ABC
V
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
4
b
，D 为AC 的中点，且
3
BD
，
则BA BC
（
）
A．3
B．5
C．6
D．12
【变式训练41】ABC
V
是边长为2 的正三角形，P 为
ABC
V
所在平面内任意一点，则
PA
PB
PC
的最小值为（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
5
2
D．-2
【变式训练42】在菱形ABCD 中，
π
|
| 4,
3
AB
DAB
，点P 在线段CD 上，则PA PB
的最小值是（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
题型11
坐标法和极化恒等式的应用
17
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、下列说法正确的是（
）
A．若,a b
为单位向量，则a
b
B．若,a b
为平行向量，则a
b
C．若|
| |
|
a
b
，则a
b
D．若a
b
，则|
| |
|
a
b
2、如图，在△ABC 中，
3
2
BD
DC AF
FC
，
，E 是AD 的中点，则EF
（
）
A．1
7
8
24
AB
AC
B．
1
1
6
3
AB
AC
C．1
1
6
3
AB
AC
D．
1
7
8
24
AB
AC
3、已知
2,1
A
，
1,5
B
，则与向量AB
方向相反的单位向量为（
）．
A．
3 4
,
5 5
B．
4 3
,
5 5
C．3
4
,
5
5
D．4
3
,
5
5
4、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点
,
O G 为
OAB
△
的重心，若
AG
xAB
yAD
，则x
y
（
）
A．1
3
B．3
4
C．1
2
D．5
6
5、已知向量a
与b
的夹角为π
6 ，且
1 ,
3
2
a
b
，则
3
a
b
（
）
A．91
4
B．
91
2
C．91
2
D．
91
4
6、已知向量
2 1
(1,2),
(2, 2),
(
, )
2
a
b
c
m
，若
// 2
c
a
b
，则实数m （
）
A．
1
2
B．1
2
C．1
D．1
7、已知非零向量a，b
满足
2a
b
b
，且
2
a
b
a
，则a与b
的夹角大小为（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
18
2026 年高二暑假讲义A 版
二、多选题
8、已知向量
2, 3 ,
2,1
a
b
，则下列结论正确的是（）
A．
1
a b
B．
13
a
C．a
与b
的夹角为钝角
D．a
在b
上的投影向量的坐标为2 1
,
5 5
9、设
1e，
2e是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（
）
A．
1
2
e
e
和
1
2
7
2
e
e
B．
1
2
2
e
e
和
1
2
2e
e
C．
1
2
2
e
e
和
1
2
1
2 e
e
D．
2e和
1
2
e
e
10、下列说法中正确的是（
）
A．若AB
CD
，则AB
CD
，且A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形
B．若m 为非零实数，且a
mb
，则非零向量a与b
共线
C．在
ABC
V
中，若
3
AB
AC
AO
AB
AC
，则点O一定在角A 的平分线上
D．若向量a b
∥，则a与b
的方向相同或相反
三、填空题
11、已知向量
4,3 ,
,1
a
b
x
，且
/ /
a
b
，则实数x 的值为
．
12、已知平面向量a
，b
满足
2
a
，
1
b
，且a
在b
上的投影向量为1
2 b
r
，则a b
13、如图，在矩形ABCD中，
3
AB
，
1
AD ，点P 在CD边上．
①若
1
AP AB
，则
,
AP BD
；
②AP BD
的取值范围是
．
四、解答题
14、设a，b
是两个向量，
19
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)若a，b
不共线，且9
1
(
)//(
)
2
2
a
mb
ma
b
，求实数m 的值；
(2)已知向量a，b
满足
2
a
r
，
1
b
，
2
·
0
a
b a
，求2a
b
.
15、如图所示，在平行四边形ABCD 中，
3
4
AE
AB
，记
,
AD
a AC
b
.
(1)用向量,a b
表示向量AE
和DE
；
(2)若
3
AD
AE
，且
11
2
AC DE
，求cos
,
a b
16、如图，在平行四边形ABCD 中，已知
4
AB
，
2
AD
，
π
3
BAD
，E 是AB 的中点，AC 与DE
交于点M ，设AB
a
，AD
b
．
(1)用a ，b 表示向量AC
，ED
；
(2)求
DMC
的余弦值．
20
2026 年高二暑假讲义A 版
解三角形
1、正余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
=
=
2
sin
sin
sinC
a
b
c
R
A
B
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
；
2
2
2
2
cosB
b
c
a
ac
；
2
2
2
2
cosC
c
a
b
ab
.
常见变形
(1)
2 sin
a
R
A
，
2 sinB
b
R
，
2 sinC
c
R
；
(2)sin
2
a
A
R
，sinB
2
b
R
，sinC
2
c
R
；
2
2
2
cosA
2
b
c
a
bc
；
2
2
2
cosB
2
c
a
b
ac
；
2
2
2
cosC
2
a
b
c
ab
.
2、三角形面积公式：
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S ABC
ab
C
bc
A
ac
B
1 (
)
4
2
abc
S ABC
a
b
c
r
R
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
1、正弦定理的应用
①边化角，角化边
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
②大边对大角大角对大边
题型1
余弦定理解三角形
题型6
三角形面积公式的应用
题型2
正弦定理解三角形
题型7
实际问题中距离、高度、角度的测量
题型3
正、余弦定理综合解三角形
题型8
中线、角平分线的应用
题型4
判断三角形形状
题型9
解三角形中的图形问题
题型5
三角形解的个数
知识点1
正余弦定理和三角形面积
知识点2
公式的相关应用
21
2026 年高二暑假讲义A 版
sin
sin
cos
cos
a
b
A
B
A
B
A
B
③合分比：
b
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin B
sin
a
b
c
a
b
b
c
a
c
a
c
R
A
B
C
A
B
B
C
A
C
A
C
2、
ABC
△
内角和定理：A
B
C
①sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
cos
cos
c
a
B
b
A
②
cos
cos(
)
cos
cos
sinAsinB
C
A
B
A
B
；
3、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有, ,
a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A
B
C
．
4、三角形中的射影定理
在ABC
中，
cos
cos
a
b
C
c
B
；
cos
cos
b
a
C
c
A
；
cos
cos
c
b
A
a
B
．
1、已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，
三角形不能被唯一确定.
3、从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知a,b 和A，解三角形为例加以说明，由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
（1）若
B=
>1，则满足条件的三角形的个数为0；
（2）若
B=
=1，则满足条件的三角形的个数为1；
（3）若
B=
<1，则满足条件的三角形的个数为1 或2.
显然由0<
B=
<1 可得B 有两个值，一个大于
，一个小于
，考虑到“大边对大角”、“三
角形内角和等于
”等，此时需进行讨论.
知识点3
对三角形解的个数的研究
22
2026 年高二暑假讲义A 版
1、解三角形的实际应用
（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角
叫俯角(如图①)．
（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角。北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如
图③)；北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．
2、测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB 的长度不可直接测量时，求AB 的距离有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
A,B 间不可达
也不可视
测得AC=b，BC=a，C 的大小，则由余弦定理
得
B, C 与点A 可
视但不可达
测得BC=a，B，C 的大小，则A=π-(B+ C)，
由正弦定理得
C,D 与点A,B
均可视不可达
测得CD=a 及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC
的度数.在△ACD 中，用正弦定理求AC；在
△BCD 中，用正弦定理求BC；在△ABC 中，
用余弦定理求AB.
知识点4
测量问题的基本类型和解决思路
23
2026 年高二暑假讲义A 版
3、测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB 的高度不可直接测量时，求AB 的高度有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
底部
可达
测得BC=a，C 的大小，AB=a·tan C.
底
部
不
可
达
点B 与
C,D 共
线
测得CD=a 及∠ACB 与∠ADB 的度数.
先由正弦定理求出AC 或AD,再解直角三角
形得AB 的值.
点B 与
C , D 不
共线
测得CD=a 及∠BCD,∠BDC,∠ACB 的度数.
在△BCD 中由正弦定理求得BC，再解直角
三角形得AB 的值.
4、测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题
意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
例1、在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1
a ，
2 2
b
，
13
c
，则
C
.
【变式训练1】在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
2 2
a
，
6
c
，
π
3
C
，
则b （
）
A．2
B．
3
C．2
D．2 2
题型1
余弦定理解三角形
24
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练2】已知平行四边形ABCD ，对角线
2 7
AC
，
2 3
BD
，
4
AB
，则边AD
.
例2、已知a，b，c 分别是
ABC
V
的三个内角A，B，C 所对的边.若
3
a
，
π
3
A
，
3
cos
3
B
，则
b
.
【变式训练3】
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
45
B
，
60
C
，
3
6
2
c
，则
b 的值为
.
【变式训练4】在
ABC
V
中，sin
cos
b
C
c
B
，则
B
（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【变式训练5】
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos
cos
4 sin
a
B
b
A
c
C
，
1
cos
4
A
，则a
c （
）
A．16
B．15
C．1
4
D．4
例3、在
ABC
V
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2π
1,
3,
3
b
c
C
，则a 的值为（
）
A．2
B．3
C．1
D．4
【变式训练6】
ABC
V
的三内角A，B，C 所对边长分别是a，b，c，若sin
sin
2
sin
B
A
a
c
C
a
b
，则角
B 的大小为（
）
A．3π
4
B．5π
6
C．π
3
D．π
4
题型2
正弦定理解三角形
题型3
正、余弦定理综合解三角形
25
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练7】在
ABC
V
中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos
cos
2
B
b
C
a
c
.
(1)求B 的大小；
(2)若
19
b
，
5
a
c
，求a 的值.
【变式训练8】已知
ABC
V
的内角A B C
､､
所对的边分别为
,
a b c
､､
2 3,
3
a
b
，且满足
sin
sin
sin
sin
b
a
B
C
c
A
B
，
(1)求角A 的值；
(2)求
π
sin 2
6
B
的值.
例4、在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2
2
2
b
a
c
ab
，若
2
sin
sin
sin
A
B
C
，
则三角形的形状为（
）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【变式训练9】在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
11
sin
sin
9
A
B
A
C
，sin
sin
10
sin
sin
9
B
C
A
C
，
则
ABC
V
的形状是（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不确定的
题型4
判断三角形形状
26
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练10】设
ABC
V
中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
cos
cos
sin
a
B
b
A
c
C
，
则
ABC
V
的形状是（
）
A．锐角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【变式训练11】在
ABC
V
中，
2
2 sin 2
A
c
c
b
（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则
ABC
V
是
（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
【变式训练12】已知
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，若
3
a
b
c
b
c
a
ab
，且
sin
2sin
cos
C
B
A，那么
ABC
V
是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
例5、在
ABC
V
中，已知
40,
20,
60
b
c
C
，则此三角形的解的情况是（
）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【变式训练13】在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，.c 已知
π
2,
2 3,
6
a
b
A
，则此
三角形（
）
A．无解
B．一解
C．两解
D．解的个数不确定
【变式训练14】在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，则满足以下条件的三角形的解个数
为两个的是（
）
A．
6,
3,
60
a
c
C
B．
2,
45 ,
75
b
A
C
C．
2 3,
2,
30
a
b
C
D．
2,
2,
30
b
c
C
题型5
三角形解的个数
27
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练15】
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
4
B
，
7
b
，如果
ABC
V
有两解，
则a 的值可能为（
）
A．9
B．7 2
C．11
D．12
例6、
ABC
V
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
5π ,
2 7,
3
6
A
a
c
b
，则
ABC
V
的面积
为
.
【变式训练16】已知
ABC
V
的面积为15 3
2π
,
,
5
4
3
A
AB
，则BC （
）
A．3
B．5
C．7
D．8
【变式训练17】在
ABC
V
中，若
5
3,cos
,
6
a
A
b
c
，则
ABC
V
的面积等于（
）
A．15
4
B．3 11
2
C．15
2
D．3 11
4
【变式训练18】在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
π
2,
,
3
b
B
ABC
的面积
3
ABC
S
，
则a
c
（
）
A．8
B．2 3
C．3 3
D．4
例7、如图，已知某山峰的海拔高度为m 米，一位登山者到达海拔高度为n 米的点A 处．测得山峰顶
端B 的仰角为．则A 、B 两点之间的距离为（
）
题型6
三角形面积公式
题型7
实际问题中距离、高度、角度的测量
28
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
sin
m
n
米
B．sin
m
n
米
C．
cos
m
n
米
D．cos
m
n
米
【变式训练19】一艘渔船航行到A 处时看灯塔B 在A 的南偏东15，距离为12 6 海里，灯塔C 在A 的
北偏东60o，距离为12 3 海里，该渔船由A 沿正东方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏西30o
方向，则此时灯塔C 位于渔船的（
）
A．南偏东60方向
B．南偏西30方向
C．北偏西60方向
D．北偏西30方向
【变式训练20】如图，某观察站B 在城A 的南偏西20的方向，由城A 出发的一条公路走向是南偏
东40，在B 处测得公路上距B 处31km 的C 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 之后到达D
处，此时B，D 间的距离为21km ．要达到A 城，这个人还要走（
）
A．15km
B．20km
C．13 km
2
D．17km
例8、在
ABC
V
中，, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，A 的角平分线AD 交BC 边于点D ．若2
2 cos
b
c
a
C
，
2
b
，
1
c ，则BD （
）
A．1
B．3
7
C．
7
3
D．7
3
【变式训练21】在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，
4
a
，4sin
3 cos
B
b
A
，AD
是内角A 的角平分线，
ABC
V
和
ABD
△
的面积分别是
1S ，
2S ，且
1
2
3
S
S
，则
1S __________．
题型8
中线、角平分线的应用
29
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练22】在
ABC
V
中，内角A，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
BAC
，D 为BC 上
一点，
2
BD
DC
，
3
2
AD
BD
，则
ABC
V
的面积为（
）
A．3 3
32
B．9 3
8
C．9 3
16
D．9 3
32
【变式训练23】已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
的内角
, ,
A B C 所对的边，
2
a
且
3 sin
cos
a
C
a
C
b
c
.
(1)求A ；
(2)已知D 是边BC 的中点，求AD 的最大值.
例9、如图，
ADC
△
是等边三角形，ABC
V
是等腰直角三角形，
90
ACB
，BD 交AC 于E ，
2
AB
.
(1)求
ABE
的度数；
(2)求
ABD
△
的面积.
题型9
解三角形中的图形问题
30
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练24】如图，在平面四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，且E 为AC 的中点.
45
ABD
，
3 2
AD
，
6
AB
，
2
BE
DE
.
(1)求BD 的长；
(2)求cos
ABC
.
【变式训练25】已知
ABC
V
内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，点M 是
ABC
V
的内心，若
2
a
, 3 cos
sin
b
A
a
B
.
(1)求角A ；
(2)延长AM 交BC 于点D ，若
2
3
3
AD
，求
ABC
V
的周长.
31
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、
ABC
V
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
30
B
，
2
b
，
2
c
，则A （
）
A．15°
B．45°
C．105°
D．15°或105°
2、在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对边的长分别为, ,
a b c .若
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
，则sinA 的值为（
）
A．
4
5
B．3
5
C．
3
5
-
D．4
5
3、在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且
4
3
b
c
a
，
1
cos
6
B
，则
ABC
V
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．不确定的
4、在
ABC
V
中，
2
AB
，
3
AC
，
2
cos
3
A
，则
ABC
V
的面积为（
）
A．
5
B．2 5
C．3 5
D．4 5
5、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D．现测
得
75
BCD
，
60
BDC
，
50m
CD
，在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为（
）．
A．25m
B．25 3m
C．25 2m
D．25 6m
6、在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
3 sin
cos
2cos
3
3
A
A
C
，2
6
b
c
，则
cosC 的值为（
）
A．
30
6
B．
6
6
C．
10
4
D．
6
4
7、已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
ABC
V
的面积为S ，
2
2
1
(
)sin
2
S
b
c
A
，
1
1
2
tan
tan
tan
A
C
B
，则A （
）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
32
2026 年高二暑假讲义A 版
二、多选题
8、在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（
）
A．若cos
cos
A
B
，则a
b
B．若△ABC 为锐角三角形，则sin
cos
A
B
C．若
π
6
B
，
4
c
，
2 3
b
，则满足条件的△ABC 有两个
D．若cos
cos
a
b
B
A
，则△ABC 为等腰三角形
9、已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（
）
A．若
0
AB BC
，则
ABC
V
是钝角三角形
B．若sin3
sin3
A
B
，则
ABC
V
为等腰三角形或钝角三角形
C．若
2
2
2
sin
sin
sin
A
B
C
，则
ABC
V
是锐角三角形
D．若
2
a
，
3
b
，
30
B
则符合条件的
ABC
V
有两个
10、锐角
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2
2
2
4
ab a
b
c
AC BC
2
2
2
sin
sin
sin
2
cos cos
A
B
C
A
B
，则下列正确的有（
）
A．
2
ab
B．
π
6
C
C．
2
2
2
2 3
a
b
c
D．
3
2
ABC
S
三、填空题
11、已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2,
3,
2
a
b
c
，则cosC
12、已知
ABC
V
三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
π
4
B
，
2
b
，且
ABC
V
为锐角三
角形，则
ABC
V
面积的最大值为
.
四、解答题
13、已知△ABC 内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，设
2
2
(
)
b
c
a
bc
.
(1)求A ；
(2)若
4,
b
c
ABC
的面积为
3
2
，求a 的值.
33
2026 年高二暑假讲义A 版
14、在
ABC
V
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2
c
b
，
2 sin
3sin
A
B
．
(1)求cosC ；
(2)若
ABC
V
的面积为3 7
2
，求AB 边上的中线CD 的长．
15、在面积为S 的
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
2
sin
sin
2
sin
sin
sin
C
A
S
a
b
A
B
C
．
(1)求C 的值；
(2)若
2
c
，求
ABC
V
周长的最大值；
(3)若
ABC
V
为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求
ABC
V
面积的取值范围．
34
2026 年高二暑假讲义A 版
空间几何体
1、多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
2、旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相
等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
题型1
空间几何体的结构
题型5
内切球问题
题型2
直观图
题型6
路径最短问题
题型3
空间几何体的表面积和体积
题型7
截面问题
题型4
外接球问题
题型8
轨迹问题
知识点1
空间几何体的结构特征
35
2026 年高二暑假讲义A 版
1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2、原图与直观图的关系：S 直= 4
2 S 原；S 原=
2
2
S 直
1、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝1
3Sh
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S
下
V＝1
3(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
球
S＝4πR2
V＝4
3πR3
知识点2
空间几何体的直观
知识点3
简单几何体的表面积与体积
36
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、下列说法正确的（
）
A．通过圆台侧面一点，有无数条母线
B．棱柱的底面一定是平行四边形
C．圆锥的轴截面都是等腰三角形
D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
【变式训练2】下列命题中正确的是（
）
A．正四棱锥的侧面都是正三角形
B．直四棱柱是长方体
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
例2、如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形A B C D
，若
6
A B
，
4
C D
，则下列说法正确的是（
）
A．
2 2
A D
B．
3
AB
C．四边形ABCD 的周长为10
6
2
D．四边形ABCD 的面积为10 2
【变式训练3】如图所示，梯形A B C D
是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，
2
2,
1
A D
B C
A B
，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（
）
题型1
空间几何体的结构
题型2
直观图
37
2026 年高二暑假讲义A 版
A．2
B．
3
C．
5
D．5
【变式训练4】如图，O A B
是由斜二测画法得到的水平放置的
OAB
△
的直观图，其中
3
3
O B
A B
O A
2
，那么原平面图形中，OA 边上的高为（
）
A．2 3
B．4 3
C．2 2
D．4 2
例3-1、若圆台的上下底面半径分别为1 和4，侧面积为25π ，则圆台的体积为________.
【变式训练5】已知正三棱锥的底面边长为4 3 ，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（
）
A．48
B．52
C．64
D．144
【变式训练6】某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD
是边长为2 的正方形，AEB
，FBC
，GCD
，
HDA
△
均为正三角形，且它们所在的平面都与平
面ABCD 垂直，则该包装盒的容积为________.
【变式训练7】如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
所有的棱长都为1，D ，E 分别为
1
1
B C 和
1
AB 的中点，
题型3
空间几何体的表面积和体积
38
2026 年高二暑假讲义A 版
则三棱锥
1
1
1
C
AA B
的体积__________．
例3-2、已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为______.
【变式训练8】实心圆锥PO的底面直径为6，高为4，过PO中点O作平行于底面的截面，以该截
面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（
）
A．27.75π
B．30π
C．32.25π
D．34.5π
【变式训练9】已知某圆锥体的底面半径
1
r ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为3 π
2
的扇形，则该圆锥体的表面积是___________．
【变式训练10】如图，AB 为圆锥SO 面圆的一条直径，点C 为线段SA的中点，现沿SA将圆锥SO 的
侧面展开，所得的平面图形中
ABC
V
为直角三角形，若
4
SA
．则圆锥SO 的表面积为（
）
A．28π
3
B．64π
9
C．8π
D．12π
39
2026 年高二暑假讲义A 版
题型4
外接球问题
40
2026 年高二暑假讲义A 版
4、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置
是△CBD 的外心O1 与△AB2D2 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1＝r，OO1＝
2
h ，
2
2
2
4
h
R
r
．
r
h
C
D
B
R
A
O1
O
2
h
r
h
C
D
B
R
A
O1
O
2
h
O2
D2
B2
5、有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，
如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，
类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在
平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心
O1 作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD 的高为h，外接球的半径
为R，球心为O．△BCD 的外心为O1，O1 到BD 的距离为d，O 与O1 的距离为m，则
R2＝r2＋m2，
R2＝d2＋h－m 2，
解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－l2
4(其中r1、r2 为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)
A
B
C
D
O
类型Ⅰ
A
B
C
D
O1
O
类型Ⅱ
A
B
C
D
O1
O
D
O2
类型Ⅲ
A
B
C
D
O1
O
R
r
m
h－m
R
d
d
类型Ⅳ
6、正棱锥外接球半径：
2
2
2
r
h
R
h
．
h
l
r
D
C
B
A
41
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、若长方体的长、宽、高分别为2,2,4，则长方体外接球的表面积为（
）
A．24π
B．2 6π
C．48π
D．4 6π
【变式训练11】在三棱锥P
ABC
中，
3
PA
PB
AC
BC
，
2
PC
AB
，则三棱锥P
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．20π
B．12π
C．5π
D．4π
【变式训练12】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑P
ABC
中，
PA 平面ABC，AC
CB
，
2
2
PA
BC
，
3
AC
，则此四面体的外接球表面积为（
）
A．3π
B．8π
C．9π
D．8 2 π
3
【变式训练13】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4 的同一个球的球面上，则该圆
柱的体积为（
）
A．
B．3
C．6
D．8
7、侧棱相等模型：
如图，P 的射影是ABC 的外心
三棱锥
P
ABC 的三条侧棱相等
三棱锥
P
ABC 的底面ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心
1
O ，则
1
,
,
P O O 三点共线；
第二步：先算出小圆
1
O 的半径
1
AO
r ，再算出棱锥的高
1
PO
h （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：
2
2
2
1
1
OA
O A
O O
2
2
2
(
)
R
h
R
r ，解出
2
2
2
r
h
R
h
．
42
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练14】已知圆锥底面半径为3，体积为3π ，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则
球O的表面积为（
）
A．100π
B．40π
C．40π
10
3
D．500π
3
【变式训练15】某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为（
）
A．64π
B．16
C．32
3
D．128
3
【变式训练16】已知三棱锥S
ABC
底面是边长为
3 的正三角形，SA 平面ABC ，且
2 3
SA
，
则该三棱锥的外接球的体积为（
）
A．32π
3
B．4 3π
C．
6π
D．8π
3
例5、半径为2 的球O内切于正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
，则正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的体积为（
）
A．48 3
B．96 3
C．32 3
D．16 3
题型5
内切球问题
43
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练17】如图，圆锥的底面半径为r，高为3r ，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均
相切）的半径为1，则r （
）
A．1
5
3
B．
5
1
3
C．1
10
2
D．1
10
3
【变式训练18】已知球O 内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，
//
AB CD，
且
2
6
CD
AB
，则圆台EF 的体积为（
）
A．27 2π
4
B．51 2π
4
C．57 2π
4
D．63 2π
4
例6、如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程为（
）
（π 取3）
A．10cm
B．14cm
C．20cm
D．无法确定
【变式训练19】如图，圆锥底面半径为3，母线
12
PA
，
2
3
AB
AP
，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆
锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为（
）
题型6
路径最短问题
44
2026 年高二暑假讲义A 版
A．6 7
B．16
C．4 10
D．12
【变式训练20】已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的底面边长为2 ，高为5，一质点从A 点出发，沿着三棱
柱的侧面绕行两周到达
1A 点的最短路线长为（
）
A．
61
B．10
C．5 5
D．13
例7、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点
,
E F 分别是
,
AB BC 的中点，过点
1, ,
D E F 的平面截该
正方体所得的截面是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
题型7
截面问题
45
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练21】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 是棱
1
CC 的中点，过
1
,
,
A D E 三
点的截面把正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
分成两部分，则该截面的周长为（
）
A．3 2
2 5
B．2 2
5
3
C．9
2
D．2 2
2 5
2
【变式训练22】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2 ，,
,
E F G 分别是
1
1
1
,
,
AB BB B C 的中点，则过
这三点的截面面积是（
）
A．3 2
B．6 2
C．6 3
D．3 3
【变式训练23】如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，N 为
1
1
B C 的中点，若过
1B D 的平面∥平
面
1
CND ，则截该正方体所得截面图形的面积为
.
例8、在三棱台
1
1
1
A B C
ABC
中，点D 在
1
1
A B 上，且
1 / /
AA
BD ，点M 是三角形
1
1
1
A B C 内（含边界）
的一个动点，且有平面
/ /
BDM
平面
1
1
A ACC ，则动点M 的轨迹是（
）
A．三角形
1
1
1
A B C 边界的一部分
B．一个点
C．线段的一部分
D．圆的一部分
题型8
轨迹问题
46
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练24】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
棱长为3，点M 在正方体内部运动（包括表面），且
BM ∥平面
1
AD C ，则动点M 的轨迹所形成区域的面积为
．
【变式训练25】棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，P 为正方体表面上一个动点，且总有
1
PC
BD
，则动点P 的轨迹所围成的面积为（
）
A．3 3
B．6 2
C．6
D．2 3
【变式训练26】动点Q 在棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
侧面
1
1
BCC B 上，满足
2
QA
QB
，则
点Q 的轨迹长度为（
）
A．2π
B．4π
3
C．
3π
D．
3π
2
一、单选题
1、已知圆锥的表面积为12π ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（
）
A．8 3π
3
B．3 3
C．5π
3
D．12π
2、如图，O A B
是
OAB
△
用“斜二测画法”画出的直观图，O A
A B
，O A
A B
，
2
O B
，则
OAB
△
的周长是（
）
A．2 2
2
B．4 2
2
C．
2
4
D．2 2
2 3
2
3、已知菱形ABCD的边长为2，
60
A
．将菱形ABCD沿对角线AC 折起，使得
3
BD
，则三
棱锥D
ABC
的体积为（
）
A．1
2
B．
3
2
C．1
D．
3
47
2026 年高二暑假讲义A 版
4、如图圆柱的底面周长是10cm ，圆柱的高为12cm ，BC 为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着
圆柱的侧面从下底面点A 处爬到上底面点B 处，那么它爬行的最短路程为（
）
A．10cm
B．11cm
C．13cm
D．12cm
5、已知圆台
1
2
O O 上、下底面的半径分别为2，4，圆台的高为6．若该圆台的两个底面的圆周都在同
一个球的表面上，则这个球的半径为（
）
A．3
B．2 3
C．4
D．2 5
二、多选题
6、下列结论正确的是（
）
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．棱台各侧棱的延长线交于一点
C．圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
7、如图正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段
1
CC 上的动点，过A、P 、Q 的
平面截该正方体所得的截面记为.若
1
CQ
CC
，则下列结论正确的是（
）
A．当
1
0
2
,
时，为四边形
B．当
1
2
时，为等腰梯形
C．当
3 ,1
4
时，为六边形
D．当
1
时，的面积为
6
2
48
2026 年高二暑假讲义A 版
三、填空题
8、若圆柱的侧面展开图为边长为1 的正方形，则该圆柱的表面积为________．
9、如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
2
A B
，
6
AB
，若该四棱台的体积为52 3
3
，则该四
棱台的外接球表面积为
．
四、解答题
10、如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
PCD
△
为等边三角形，平面PAC 平
面PCD，PA
CD
，
4
CD
，
6
AD
．
(1)若平面PAB 平面PCD
l
，求证：//
l CD ；
(2)求证：PA 平面PCD；
(3)求四棱锥P
ABCD
的体积．
49
2026 年高二暑假讲义A 版
11、现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
，下部的形状
是正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
（如图所示），并要求正四棱柱的高
1
OO 是正四棱锥的高
1
PO 的4 倍.
(1)若
1
6m,
2m
AB
PO
，则仓库的容积是多少
3
m ？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ，
1
2m
PO
，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处
理，每平方米粉刷费用是100 元，下部每平方米粉刷费用是80 元，问粉刷总费用是多少元（结果
精确到0.1 元）？
(3)若正四棱锥的侧棱长为6m ，当
1
PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
50
2026 年高二暑假讲义A 版
线面、面面的平行与垂直问题
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面平行，记作l ∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线
线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条
直线平行，那么这条直线和这个平面平行
（简记为“线线平行线面平行）
1
1
l
l
l
l
l
∥
∥
面∥面
线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所
有直线都平行于另一个平面
a
a
∥
∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面
线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直
线的平面和这个平面相交，那么这条直线就
和交线平行
l
l
l
l
l
∩
∥
∥
题型1
构造中位线证线面平行
题型8
面面平行的性质
题型2
构造平行四边形证线面平行
题型9
常见的线面垂直的证明
题型3
利用面面平行证线面平行
题型10
利用全等三角形证明线面垂直
题型4
利用线面平行的性证线线、线面平行
题型11
利用线面垂直证明线线垂直
题型5
利用线段成比例证线面平行
题型12
证明面面垂直
题型6
四点共面问题
题型13
面面垂直性质定理的应用
题型7
面面平行的证明
知识点1
直线和平面平行
51
2026 年高二暑假讲义A 版
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若
∩
，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面
面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行
于另一个平面，那么这两个平面平行
（简记为“线面平行面面平行）
,
,
a
b
a
b
P
∩
a
b
∥，∥
∥
线面
面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这
两个平面平行
l
l
∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的
所有直线都平行于另外一个平面
/ /
/ /
a
a
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相
交，那么他们的交线平行
（简记为“面面平行线面平行”）
/ /
/ / .
a
a
b
b
∩
∩
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，
那么另一个平面也垂直于这条直线
/ /
l
l
知识点2
两个平面平行
52
2026 年高二暑假讲义A 版
1、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
2、直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直
线都垂直，则该直线与此平面垂直
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
l⊥b
⇒l⊥α
面⊥面
线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直
b
a
a
b
b
b
a
平行与垂
直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面
垂直，则该直线与另一个平面也垂直
a
/ /
a
a
平行与垂
直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另
一条直线与该平面也垂直
b
a
/ /
a
b
b
a
3、直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
b
a
/ /
a
a
b
b
垂直与平行
的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
a
/ /
a
a
知识点3
直线与平面垂直
53
2026 年高二暑假讲义A 版
线垂直于面
的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该
直线与平面内所有直线都垂直
,
l
a
l
a
1、平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相
垂直．（如图所示，若
,
CD CD
，且
,
,
AB
BE AB
BE
，则
）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这
两个平面垂直
l⊥α
l⊂β
⇒α⊥β
3、平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a
l⊥a
⇒l⊥α
知识点4
平面与平面垂直
54
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
45 ,
1
ADC
AD
AC
，O为AC
中点，PO⊥平面ABCD ，
2
PO
，M 为PD 中点.
(1)证明：PB / / 平面ACM ；
(2)求四棱锥P
ABCD
的体积.
【变式训练1】如图，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D 是BC 的中点，
2
AB
．
(1)求证：
1AC∥平面
1
AB D ；
(2)若三棱锥
1
1
B
ADC
的体积为2 3
3
，求
1
AA ．
题型1
构造中位线证线面平行
55
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、如图，在四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD 底面ABCD ，底面ABCD 为
矩形，
2
, ,
AB
AD E F
分别为
,
AB PC 的中点．
求证：直线
/ /
EF
平面PAD ；
【变式训练2】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
,
M N 分别是
1
1,
A B AC 的中点.
(1)证明：MN ∥平面
1
1
BCC B ；
(2)若
1
2
AB
BC
BB
，且AB
BC
，求三棱锥A
BMN
的高.
题型2
构造平行四边形证线面平行
56
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、已知直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，AB
AD
，
//
AB CD，
2
AB
，
3
AD
，
4
CD
．
(1)证明：直线
1 //
A B
平面
1
1
DCC D ；
(2)若该四棱柱的体积为36，求
1A A 的长．
【变式训练3】如图，已知四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，E 为侧棱SC 的中点.
(1)求证：SA ∥平面EDB ；
(2)若F 为侧棱AB 的中点，求证：EF ∥平面SAD .
题型3
利用面面平行证线面平行
57
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上
取一点G，过G 和PA 作平面交BD 于点H，求证：
//
PA GH .
【变式训练4】如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中
点，在线段DM 上取一点G （不取端点），过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求证：
/ /
GH
平面
PAD ．
【变式训练5】如图，四棱锥P
ABCD
中，ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点．
(1)若AB 的中点为N ，求证：
/ /
MN
平面APD ；
(2)在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上，证明：
/ /
AP
GH ．
题型4
利用线面平行的性证线线、线面平行
58
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、如图，点S 是
ABCD
所在平面外一点，M，N 分别是SA，BD 上的点，且AM
DN
SM
NB
．求证：
/ /
MN
平面SBC ．
【变式训练6】如图，已知在四棱锥P
ABCD
中，PD 平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形.
AD
CD
，
/ /
AB
CD ，
2
AB
AD
PD
，
4
CD
，点E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，点F 是棱
PA 上点.
(1)证明：
/ /
PA
平面BDE ；
(2)求异面直线BD 与PC 夹角的余弦值.
题型5
利用线段成比例证线面平行
59
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F 分别是棱
1
AA ，
1
CC 的中点．求证：E ，B ，F ，
1
D 四点共面．
【变式训练7】如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
,
E F 分别为
1
,
AB AA 上的点且
1
D F
CE
M
．求证：点
, ,
D A M 三点共线．
【变式训练8】如图，在多面体ABCDEFGH 中，四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，四边
形ABGF 和四边形ADEF 均为梯形，其中
//
AB
FG ，
/ /
AD
EF ，且
2
AB
FG
．
(1)证明：B，D，E，G 四点共面.
(2)证明：
,
,
AF BG DE 三条直线交于一点.
题型6
四点共面问题
60
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、如图所示，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，过BC 的平面与上底面
1
1
1
A B C 交于GH（GH 与
1
1
B C 不重
合）.
(1)求证：BC
GH
∥
；
(2)若E，F，G 分别是AB，AC，
1
1
A B 的中点，求证：平面
1
EFA ∥平面BCHG.
【变式训练9】如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为
1
DD 的中点．
(1)求证：
1 / /
BD
平面AEC ；
(2)若F 为
1
CC 的中点，判断并证明平面AEC 和平面
1
BFD 的位置关系．
题型7
面面平行的证明
61
2026 年高二暑假讲义A 版
例8、如图，在六面体ABCDEF 中，
/ /
DE
CF ，四边形ABCD 是平行四边形，
2
DE
CF
．
(1)证明：平面
/ /
ADE
平面BCF ．
(2)若G 是棱BC 的中点，证明：
/ /
AE
FG ．
【变式训练10】如图，在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD 是平行四边形，
,
AC BD 交于点O，点
E 是棱PB 上的一点，且
//
PD
平面EAC ．
(1)求证：点E 是PB的中点；
(2)在棱BC 上是否存在点G ，使得平面
//
EOG
平面PCD？若存在，请加以证明，并写出BG
BC 的值；
若不存在，请说明理由．
题型8
面面平行的性质
62
2026 年高二暑假讲义A 版
例9、如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点. 求证：
BD 平面PAC .
【变式训练11】如图，在三棱锥A
BCD
中，
4 3,
2 3,
30 ,
CD
BC
BDC
BC
AD
．求证：
BC
平面ABD .
【变式训练12】如图，PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AE
PB
于点E ．求证：AE 平面
PBC ；
题型9
常见的线面垂直的证明
63
2026 年高二暑假讲义A 版
例10、如图，直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA
SB
SC
，D 为斜边AC 的中点.
求证: SD 平面ABC .
【变式训练13】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M ､N ､Q 分别为棱
1
1
C D ､
1
BB ､
1
1
A B
的中点，求证：
1A N 平面AMQ .
例11、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
(1)求证：
//
AB 平面
1
1
A B CD ；
(2)求证：
1
1
AC
B C
.
题型10
利用全等三角形证明线面垂直
题型11
利用线面垂直证明线线垂直
64
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练14】如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
π
2
ACB
，E 、F 分别为AB 、
1
1
B C 的中点.
(1)求证：
1 //
C B 平面
1ACE ；
(2)求证：EF
BC
.
【变式训练15】如图，已知矩形ABCD ，过点A 作SA 平面ABCD ，再过点A 作AE
SB
交SB 于
点E ，过点E 作EF
SC
交SC 于点F ．
(1)求证：AF
SC
；
(2)若平面AEF 交SD 于点G ．求证：AG
SD
．
65
2026 年高二暑假讲义A 版
例12、如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD
PB
，且底面ABCD 是菱形．求证：平面APC 平面ABCD ．
【变式训练16】在如图所示的四棱锥P
ABCD
中，已知PA 平面ABCD ，AD
BC
∥
，
90
BAD
，
1
PA
AB
BC
，
2
AD
，E 为PD 的中点.
(1)求证：CE∥平面PAB
(2)求证：平面PAC 平面PDC
【变式训练17】如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是正方形，PA 底面ABCD ，PA
AB
，
E，G 分别为线段PB，PA 的中点，F 为线段BC 上的点.
(1)若
4 3
PC
，平面EFG ∥平面PCD，求线段FG 的长度．
(2)证明：平面AEF 平面PBC
题型12
证明面面垂直
66
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练18】如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D 为棱AC 的中点，E 为棱
1
CC 中点，
1
AC
AA
.
(1)证明：
1 / /
AB
平面
1
C BD ；
(2)证明：平面
1
1
A B C 平面BDE .
例13、如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是
60
DAB
的菱形，侧面PAD 为正三角
形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点.求证：BG 平面PAD .
【变式训练19】如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
,
AA
AC AC
BC
，平面
1A BC 平面
1
1
1
,
ACC A D
为
1
1
A B 的中点.
(1)求证：
1
/ /
AC
平面
1
1
BC D ；
(2)求证：
1
BC
AA
.
题型13
面面垂直性质定理的应用
67
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练20】如图，在直角梯形ABCD 中，已知
//
AD BC ，AD
AB
，
90
BAD
，
45
BCD
，
E 为对角线BD 的中点，现将
ABD
△
沿BD 折起到
PBD
△
的位置，使平面PBD 平面BCD ．求证：
(1)直线PE 平面BCD ；
(2)平面PBC 平面PCD．
一、解答题
1、如图所示，平面
1
1
ABB A 为圆柱
1
OO 的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点．
(1)求证：
BC
平面
1A AC ；
(2)若D 为AC 的中点，求证：
1
/ /
A D
平面
1
O BC ．
68
2026 年高二暑假讲义A 版
2、如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，AB
BC
，
1
2
AA
AB
BC
，D 为线段
1
AB 的中点.
(1)求证：
//
AC 平面
1
BDC ；
(2)求证：平面
1
BDC 平面
1
1
AB C ；
(3)求直线
1
DC 与平面
1
1
BB C C 所成角的正切值.
3、如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
PCD
△
为等边三角形，平面PAC 平
面PCD，PA
CD
，
4
CD
，
6
AD
．
(1)若平面PAB 平面PCD
l
，求证：//
l CD ；
(2)求证：PA 平面PCD；
(3)求四棱锥P
ABCD
的体积．
69
2026 年高二暑假讲义A 版
4、如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D 为AB 的中点，
1
4
AA
AB
，
1
3
B E
EB
．
(1)证明：
1
CD
A E
．
(2)证明：
1A D 平面CDE ．
(3)求二面角
1A
CE
D
的正切值．
5、如图1，四边形ABCD 为边长为2 的菱形，
60
ABC
，
3
PB
PA
，M 为AB 的中点，将PAB
沿AB 边折起，使
2 3
PC
，连接PD ，如图2.
(1)证明：AB
PC
；
(2)求直线BD 和PC 所成角的余弦值；
(3)在线段PD 上是否存在点N，使得
/ /
PB
平面MCN ？若存在，请求出PN
PD 的值；若不存在，请说明
理由.
70
2026 年高二暑假讲义A 版
线线角、线面角、二面角问题
1、线线角的定义
①定义：设,
a b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线
//
a
a
，
//
b b
，把a与b所成的锐角或
直角叫做异面直线,
a b 所成的角(或夹角)
②范围：0, 2
2、求异面直线所成角一般步骤
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0, 2
，所以所作的角为钝角时，应取它的补角
作为异面直线所成的角．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法
①平行四边形平移法；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
1、直线与平面所成角的定义
如图，一条直线PA 和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜
线和平面的交点A 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直
题型1
利用平行四边形平移求线线角
题型6
已知线面角求其他量
题型2
利用中位线法求线线角
题型7
定义法求二面角
题型3
补形法求线线角
题型8
三垂线、垂面法求二面角
题型4
定义法求线面角
题型9
射影面积、补形法求二面角
题型5
等体积法求线面角
题型10
已知二面角求其他量
知识点1
线线角的定义与求解
知识点2
线面角的定义与求解
71
2026 年高二暑假讲义A 版
线AO 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO，
叫做这条直线和这个平面所成的角，设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°.
2、定义法
能直接找到ƺ点在ح平面的射影Ƭ点，能计算出|ƺƬ|或者|퐴Ƭ|，则线面角的正弦或余弦可求。
3、公式法求线面角（也称等体积法）
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：푠푖ǒش =
ℎ
ǐ，其中ش是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，ǐ是斜线段的长。
1、二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两
个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示
①棱为AB，面分别为，
的二面角记作二面角-AB-
，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面
角-l-
，如图(1).
②若在，
内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么
这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
知识点3
二面角
72
2026 年高二暑假讲义A 版
3、二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和
OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB 叫做二面角α-l-β的平面角.
4、二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平
面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是
；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是
.所以二面角的平面角
的范围是
.
例1、在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，异面直线
1A D 与
1
AB 所成的角为（
）
A．30o
B．45
C．60o
D．90
【变式训练1】如图，已知正三棱柱
1
1
1
1
,
2
,
ABC
A B C AB
AB M
为
1
1
AC 的中点，则AM 与
1
BC 所成
角的余弦值为（
）
A．1
B．10
4
C．
6
4
D．
5
10
题型1
利用平行四边形平移求线线角
73
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M，N 分别为
1
,
AC A B 的中点，异面直线MN 与
1
DD 所成
角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
12
【变式训练2】在正三棱锥P
ABC
中，
4
AB
，
6
PA
，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与PB 所
成角的余弦值是（
）
A．
3
9
B．
3
3
C．
6
9
D．
6
3
【变式训练3】已知正四棱锥P
ABCD
的所有棱长均为4, E 为棱PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所
成角的余弦值为（
）
A．
6
3
B．
6
3
C．
3
3
D．
3
3
例3、如图，在三棱锥A
BCD
中，
1
AB
AC
，AB
AC
，
2
AD
，AD 平面ABC ，E 为CD 的
中点，则直线BE 与AD 所成角的余弦值为
.
题型2
利用中位线法求线线角
题型3
补形法求线线角
74
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练4】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
3
AA
AC
BC
，
90
ACB
，点D 是线
段
1
AA 上靠近
1A 的三等分点，则直线
1
C D 与
1
B C 所成角的余弦值为
.
例4、已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的侧棱长与底面边长相等，则
1
AB 与侧面
1
1
ACC A 所成角的正弦值
等于（
）
A．
6
4
B．10
4
C．
2
2
D．
3
2
【变式训练5】在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，四边形ABCD 是菱形，
60
ABC
，
1
2
3
AA
AB
，
E 是棱
1
1
A D 的中点，则直线BE 与平面ABCD 所成角的余弦值是（
）
A．
7
4
B．3
4
C．1
2
D．
3
2
【变式训练6】如图，在四面体ABCD 中，
90 ,
2,
1,
7
BDC
AB
BC
CD
AD
，点M 为线段
AC 的中点，且
1
2
MD
AC
.
(1)证明：直线AB 平面BCD ；
(2)求直线MD 与平面ABC 所成角的正弦值
题型4
定义法求线面角
75
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、在正四棱锥P
ABCD
中，O为顶点P 在底面内的射影，Q 为侧棱PD 的中点，且
4
PO
，
2 2
AB
，则直线BD 与平面QAC 所成角的正弦值为________．
【变式训练7】已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，点D 是AB 的中点，底面
ABC
V
的边长为2，
1
3
BB
．
(1)求证：
1//
BC
平面
1
CAD；
(2)求三棱锥
1
1
B
A DC
的体积；
(3)求直线AB 与平面
1A DC 所成角的正弦值．
【变式训练8】如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，PA 平面ABCD ，
Q 为棱PD 的中点.
(1)求证：
/ /
PB
平面ACQ ；
(2)已知：AQ
PD
①求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；
②求点P 到平面ACQ 的距离.
题型5
等体积法求线面角
76
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
2
AB
BC
，
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成的角为30，则四棱锥
1
C
ABCD
的体积为（
）
A．8 2
B．8 2
3
C．8 3
3
D．8 3
【变式训练9】正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2 ，P 是线段
1A B 上的动点.
(1)求证：平面
1
1
BDD B 平面
1
1
A BC ；
(2)
1
PB 与平面
1
1
A BC 所成的角的余弦值为
3
3
，求PB 的长．
题型6
已知线面角求其他量
77
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、在四面体ABCD 中，已知
ABD
△
为等边三角形，
ABC
V
为等腰直角三角形，斜边
4
AB
，
2 7
CD
，则二面角C
AB
D
的大小为（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
【变式训练10】如图，AB 是圆O的直径，PA 垂直于圆O所在的平面，点C 是圆周上不同于A
B
、
的
任意一点.
(1)证明：
BC
平面PAC ；
(2)若
2
PA
AC
，求二面角P
BC
A
的大小.
题型7
定义法求二面角
78
2026 年高二暑假讲义A 版
例8、在四面体P
ABC
中，
90 ,
2,
ACB
AC
BC
PA
底面
,
ABC M 、N 、Q 分别是PB
PA
BN
、
、
的中点，点E 在线段PC 上，且
3
PE
EC
．
(1)求证：
/ /
EQ
平面ABC ；
(2)若三棱锥P
ABC
的体积为4
3 ，求平面MAC 与平面ACB 的夹角的大小．
题型8
三垂线、垂面法求二面角
79
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练11 】如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD ，AD
CD
，
//
AB CD ，
1
PA
AD
DC
，
2
AB
CD
，E 是棱PC 上一点，满足CE
CP
，0
1
.
(1)求证：平面PAD 平面ABE ；
(2)记平面PCD ∩平面
PAB
l ，求证：直线//
l AB ；
(3)当
1
2
时，求二面角P
AB
E
的大小.
题型9
射影面积、补形法求二面角
80
2026 年高二暑假讲义A 版
例9、已知在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，E
F
、
分别是AB
PD
、
的
中点，且
2,
4
PA
AD
AB
.
(1)求证: AF 平面PDC
(2)求点A 到平面PED 的距离.
(3)求平面PCE 与平面PAD 所成锐二面角的正弦值.
【变式训练12】如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是正方形，PA 底面ABCD ，
2
PA
AB
.过点A 作AE
PB
于E ，作AF
PC
于F ，连EF .
(1)证明：EF
PC
；
(2)求平面AEF 与底面ABCD 所成角的余弦值.
81
2026 年高二暑假讲义A 版
例10、如图，已知正四棱锥P
ABCD
的底面边长2 ，侧面与底面所成的二面角的正切值为
2 ，E
为棱PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为（
）
A．
6
3
B．
3
3
C．1
3
D．
2
2
【变式训练13】如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，E ，F ，G
分别是AB ，PD ，PC 的中点.
(1)若AD
PA
，求证：AF 平面PDC ；
(2)若二面角P
EC
D
的正切值为2 ，且
2
AD
，
2 2
AB
，求EG 与平面PDE 所成角的正弦
值.
题型10 已知二面角求其他量
82
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，1A D 和
1
CD 与底面所成的角分别为45和30，则异面直线
1A D 与
1
1
B D
所成角的余弦值为（
）
A．
3
4
B．
2
4
C．3
4
D．
5
4
2、正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，直线
1
AB 与平面
1
1
ACC A 所成的角为（
）
A．30o
B．45
C．60o
D．90
3、在四面体ABCD 中，已知
ABD
△
为等边三角形，ABC
V
为等腰直角三角形，斜边
4
AB
，
2
CD
，
则二面角C
AB
D
的大小为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
二、填空题
4、已知在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
2
AB
，
1AC 与平面
1
1
B BCC 所成的角为45，则该正三棱柱的
体积为
．
5、已知某圆台轴截面的周长为6 2
4
，母线与底面成45角，圆台的高为2 ，该圆台的体积
为
．
三、解答题
6、如图1，已知在
ABC
V
中，
3
AC
，
4
BC
，AC
BC
，E，F 分别是AB，AC 上的点，
1
3
EF
BC
，
将
AEF
△
沿EF 翻折至
PEF
△
，连接PB，PC，得到如图2 所示的四棱锥P
EFCB
，若平面PEF 与
平面PBC 相交于直线m．
(1)求证：
//
m BC ；
83
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)当PF
PC
时，求直线PE 与平面BCFE 所成角的正弦值．
7、如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
π
2
ACB
，E 、F 分别为AB 、
1
1
B C 的中点．
(1)求证：EF
BC
；
(2)若
2
AC
BC
，三棱锥
1
1
B
A EC
的体积为2 3
3
，求直线EF 与平面ABC 所成角大小．
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2026 年高二暑假讲义A 版
8、如图1，在
ABC
V
中，
2
AB
BC
，
2 2
AC
，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，将
ADE
V
沿着DE 折起，使得点A 到达点P 的位置，如图2，且二面角P
DE
C
的大小为60o．
(1)求证：平面PBC 平面PBD ；
(2)求点E 到平面PDC 的距离；
(3)在棱PE 上是否存在点G ，使得BG 与平面PDE 所成角的正弦值为3 6
8
？若存在，求PG 的长；
若不存在，请说明理由．
9、如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA
PC
PD
，底面ABCD 是平行四边形，O 点为AD 的中点，
OB
OC
，
30
AOB
，
3
PO
．
(1)求证：
PO
平面ABCD ；
(2)若
2
AD
，求平面POB 与平面PCD所成的二面角的正切值：
(3)当PA 与平面PCD的所成角最大时，求四棱锥P
ABCD
的体积．
