文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期第三次月考卷
全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 选择性必修第一章~第三章。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的两倍，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为直线
的斜率
，设对应的倾斜角为
，则
，
由题意可得，直线的倾斜角为
，
故其斜率
，解得
.
故选：C
2．若抛物线
上的点
到其焦点
的距离为，则实数m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．3
【答案】C
【详解】由抛物线
，可得
，则焦点
，准线方程为
，
因为点
到其焦点
的距离为，
根据抛物线的定义，可得点
到准线的距离为，即
，解得
，
所以
，因为
，所以
.
故选：C.
3．已知
，则
（ ）
A．7
B．21
C．35
D．42
【答案】B
【详解】由
，得
或
，且
，
解得
或
，
当
时，
，
当
时，
.
故选：B．
4．过点
作
的两条切线，切点分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
可得
，
因为
平分
，且
，
，
所以
，
故选：D.
5．如图，已知在长方体
中，
，
，点
，
分别在棱
和
上，且
，
则直线
与直线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以
为原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系.
已知得
，
，
因为点
在棱
上，且
，
，
所以
，
，则
.
，
，
，
所以
，
则
.
直线
与直线
所成角的余弦值为
.
故选：A
6．已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，
是双曲线的一个顶点.以
为
直径的圆与双曲线的一条渐近线交于
，
两点，且
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由双曲线对称性，不妨设
、
在渐近线
上，
且
，
是双曲线左顶点，
则以
为直径的圆的方程为
，
联立
，解得
或
，
则
，
，又
，则
，
设其右顶点为
，
故
，
故
，则
，则双曲线
的渐近线方程为
.
故选：B.
7．在正三棱锥
中，
分别是棱
的中点，则点P 到平面
的距离
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图，取棱
的中点F，连接
，
则点P 在平面
的投影H 在线段
上，且
，
连接
，作
，交线段
于点G，易证
两两垂直，
则以H 为坐标原点，
的方向分别为x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为
是边长为
的等边三角形，所以
，所以
．
因为
，所以
，
所以
，所以
．
设平面
的法向量为
，则
令
，得
，
故点P 到平面
的距离是
．
故选：B
8．已知椭圆
：
（
）的左、右焦点分别为
，
，抛物线
：
（
），椭圆
与抛物线
相交于不同的两点A，B，且四边形
的外接圆直径为
，若
，
则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点
关于
轴对称，四边形
是等腰梯形或矩形，
易知四边形
的外接圆就是
的外接圆，
设四边形
的外接圆半径为R，在
中，
由正弦定理
，
记椭圆的上顶点为M，
，则由焦点三角性质可知
，
又
，所以
，
，所以
，
所以
，
所以
，即
，即
，
又
，所以
，即
，所以
，
所以
，即
，
则椭圆的离心率的取值范围是
.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．展开式中偶数项的二项式系数的和为
C．展开式中各项系数的和为
D．展开式中奇数项的系数的和为
【答案】AD
【详解】因为
的展开式中只有第五项的二项式系数最大，
所以共有项，又项数为
，所以
，故A 正确；
因为
，所以展开式中所有项的二项式系数的和为
，
由二项式的性质可知所有偶数项与奇数项的二项式系数和相等，
所以展开式中偶数项的二项式系数的和为
，故B 错误；
令
，可得
，
即
，故C 错误；
令
，可得
，即
，
所以
，所以
，
所以展开式中奇数项的系数的和为
，故D 正确.
故选：AD.
10．底面为直角梯形的直四棱柱
中，
，
，
动点
满足
．则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则点
在平面
上
B．若
，则点
在平面
上
C．若
，则点
到直线
的距离为
D．若
时，直线
与面
所成角的正弦值取值范围是
【答案】BCD
【详解】解：对于A：
时，
，
由共面向量定理知，
共面，
所以
点不在面
上，故A 错误；
对于B：
，所以，
共面，
所以，点
在面
上，故B 正确；
对于C：以
为原点，
所在直线分别为
轴建系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
则
，
故
，故C 正确；
对于D：根据C 选项可知
，
又
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，所以
，
设直线
与平面
的夹角为
，
则
因为
，则
，
当
时有最大值
，当
时有最小值
，故D 正确．
故选：BCD．
11．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另
一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆
，其左、右焦点分别是
，
直线与椭圆
相切于点
，且
关于直线的对称点为
，过点
且与直线垂直的直线
与椭
圆长轴交于点
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．点
在以
为圆心，16 为半径的圆上
D．
【答案】ABC
【详解】对A：由题意可得
，
，
则
，
，
则
，故A 正确；
对B：由椭圆光学性质结合
可得
为
的角平分线，
又
，
则
，
化简得
，即
，故B 正确；
对C：由椭圆光学性质可得
在直线
上，且
，
则
，故点
在以
为圆心，16 为半径的圆上，故C 正确；
对D：由正弦定理可得
，
，
即有
，
，
又
、
，
故
，则
，
即
，故
，故D 错误.
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．12 名同学合影.站成了前排4 人后排8 人，现摄影师要从后排8 人中抽2 人调整到前排，其他人的相对
顺序不变，则不同调整方法的种数是 .
【答案】840
【详解】分两步，第一步，从后排8 人中抽2 人有
种方法，
第二步，将这2 人插入前排4 人中，且保证其他人的相对顺序不变，
先从4 人产生的5 个空中插入1 人，有5 种插法，
剩余的1 人再插入5 人产生的6 个空中，有6 种插法，
所以这2 人有
种插法，
所以不同调整方法的种数为
种.
故答案为：840.
13．设
，
分别为双曲线
的左、右焦点，过
且斜率为
的直线与
的右
支交于点
，与
的左支交于点
，点
满足
，
，则双曲线
的渐近线方程为
．
【答案】
【详解】由
，得
为
的中点；又
，所以
，所以
；
设
，如下图：
由双曲线的定义得
，
，
所以
，从而
，
所以
；
由直线的斜率为
，得
又
，
在
中，
，即
；
在
中，由余弦定理得
，
即
，整理得
，
解得
，所以
，可得
，
因此
，可知渐近线方程为
.
故答案为：
14．在正方体
中，
为线段
的中点，
为侧面
上的动点.若
，且
，则点
的轨迹长度为 .
【答案】6
【详解】
以
为原点，
的方向分别为x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
设
，
则
，
，
，
，
即
，
，
当
时，
，此时
为棱
的中点；
当
时，
，此时
为棱
的中点，
设棱
的中点为
，棱
的中点为
，连接MN，则点
的轨迹是线段MN，
，
点
的轨迹长度为6.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）在
的展开式中，求：
(1)求常数项及此项的二项式系数．
(2)求系数绝对值最大的项．
(3)求展开式中第奇数项的系数之和．
【详解】（1）由题意得，
展开式的通项为
，...............................................................2 分
令
，可得
，
所以展开式中的常数项为
，其二项式系数为
．..............................................4 分
（2）设第
项的系数绝对值最大， 则
，
即
，解得
，.........................................................................8 分
因为
，所以
，故系数绝对值最大的项为
．....................................10 分
（3）因为
，
所以
展开式中第奇数项的系数和等于
展开式中第奇数项系数和，.......................12 分
设
，
令
，得
，
两式相加得，
，
所以展开式中第奇数项的系数之和为
.....................................................................................................15 分
16．（15 分）已知圆
的半径为3，圆心
在射线
上，直线
被圆
截得的弦长为
.
(1)求圆
方程；
(2)过圆心的直线与圆
交于M、N 两点，且
的面积是6（
为坐标原点），求直线的方程.
【详解】（1）设圆心
，则圆的方程为
，
或
舍去，........................................................................................................................................4 分
圆的方程为
..................................................................................................................6 分
（2）由题意得
，则点
到直线的距离
，....................................................8 分
①当斜率不存在时，此时直线l 方程为
，
原点到直线的距离为
，满足题意.
此时直线方程为
....................................................................................................................................11 分
②当斜率存在时，设直线l 的方程为
，
原点
到直线l 的距离
，解得
，
此时直线方程为
，即
.
综上所述，直线的方程为
或
......................................................................................15 分
17．（15 分）如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，平面
平面
，
为
的中点．
(1)求证：
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值；
(3)若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求实数
的值．
【详解】（1）由
为等边三角形，
为
的中点，可知
，..........................................2 分
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
所以
平面
，又
平面
，则
．.....................................................................4 分
（2）取
的中点
，连接
，因为
，
则
，以
为原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，
又
，
，则
，
所以
，...........................6 分
设平面
的法向量
因为
，
由
，得到
，令
，
所以
，..........................................................................................................................................9 分
易知平面
的一个法向量为
，则
，
所以平面
和平面
夹角的余弦值为
．.......................................................................................11 分
（3）因为
，设直线
与平面
所成角为
，
，
整理得到
，即
，
解得
，满足题意，所以
.......................................................................................................15 分
18．（17 分）已知椭圆
的上顶点为
，四个顶点组成的四边形面积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的动直线与椭圆
交于两点
，点
关于
轴的对称点为点
，求证：直线
恒过定
点，并求出定点坐标
【详解】（1）由题得
，.......................................................................2 分
所以椭圆
的方程为
；..................................................................................................................4 分
（2）证明：由题可得直线的斜率存在，设
，
联立
，................................................................................6 分
则
，....................................................................8 分
设
，则
，
，
则直线AD 斜率为
，
所以直线AD 的方程为
，...............................................................................10 分
令
，则
，..................................................................15 分
所以直线
恒过定点，该定点为点
.................................................................................................17 分
19．（17 分）已知双曲线
的渐近线方程是
，且过点
.
(1)求
的标准方程；
(2)
，
分别为双曲线的左、右顶点，
，
分别为
的左、右焦点，与
轴不垂直的直线与双曲线
的左支相交于
，
两点，记直线
，
，
，
的斜率分别为
已知
.
（i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）求
面积的取值范围.
【详解】（1）设双曲线的方程为
，
因为双曲线过点
，
所以
，
所以双曲线
的方程为
...................................................................................................................3 分
（2）（i）设直线的方程为
，
，
，
又
，
，
所以
同理，
，................................................................................................................................................5 分
所以
，所以
，
由
消去
得，
，
所以
，
所以
，.............................................................................9 分
整理，得
，
即
整理，得
，
解得
或
，.........................................................................................................................................11 分
当
时，直线过点
，不合题意，舍去，
当
时，直线过点
，满足题意，
所以直线过点
..................................................................................................................................13 分
（ii）因为
，
又
，所以
，...............................................15 分
由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直，
得
，令
，
则
，
，
因为
在
上单调递减，
所以
，
所以得的取值范围是
......................................................................................................................17 分
