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第二章 平面解析几何（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．抛物线
的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】变形得
即可判断焦点坐标.
【详解】
，即
，则
，则其焦点坐标为
.
故选：A.
2．双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程直接进行求解.
【详解】
的渐近线方程为
，
即
.
故选：A
3．“
”是“直线
与圆
相切”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用直线与圆相切求出
，再利用充分条件、必要条件的意义判断即可.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
由直线
与圆
相切，得
，解得
，
反之，当
时，直线
与圆
相切，
所以“
”是“直线
与圆
相切”的充要条件.
故选：C
4．若
，直线
，直线
，则“
”的充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
的充要条件，据此可得答案.
【详解】因
，则
或
.
当
，
，
，两直线平行，满足题意；
当
，
，
，满足题意.
则
的充要条件为
或
.
则“
”的充分不必要条件可以是
，也可以是
.
故选：A
5．已知圆
上所有点都在第二象限，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出
的取值范围.
【详解】由题意，
在圆
中，
，
∴圆心坐标为
，半径为3．
∵圆上所有点都在第二象限，
∴
，解得
．
故选：C.
6．已知双曲线
的左、右焦点分别为
为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，则
，由
的最小值为
及
范围可求.
【详解】设
，则
，
所以
，当且仅当
时取等号．
由
，得
，又
，
所以
.
故选：D.
7．已知椭圆
，若椭圆上存在两个不同点
关于直线
对称，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】据题意可设直线
的方程为
，
，
，
的中点为
，联立
直线
与椭圆方程，可得
，结合韦达定理可得
，代入直线
可得
，进而求解即可.
【详解】根据题意可设直线
的方程为
，
设
，
，
的中点为
，
联立方程组
，得
，
则
，解得
，
由韦达定理得
，则
，所以
．
又点
在直线
上，即
，则
，
而
，则
.
所以实数
的取值范围是
.
故选：B．
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B 及动点P，若
（
且
），
则点P 的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，
，
，直线
，直线
，P 为，
的交点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，分别求出
所过的定点
，则点
的轨迹是以
为直径的圆，除去点
，得到
的轨迹方程， 由阿氏圆性质找到点
，将转化为
，问题转化为求解到两定点距离之
和最小即可.
【详解】当
时，
，
，此时
，交点为
，
当
时，直线的斜率为k，直线
的斜率为
，所以
，
综上，
，
，所以直线恒过点
，
，所以直线
恒过点
，
由P 为，
的交点，则
，
设
，连接EF，
则点P 的轨迹是以EF 为直径的圆（除去F 点），圆心为线段EF 的中点
，
半径为
，故P 的轨迹方程为
，
根据题意作图，如图2 所示，
由题意可知圆C 上一点
，满足
，取
，
则
，满足
，
下面证明对任意的
，连接PD，都满足
，即
，
，
，
所以
，
连接DQ，所以
，
又
，所以
，
当且仅当D，P，Q 三点共线，且P 位于D，Q 之间时取等号．
故选：D．
【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点
，构造
，转化线段和结合三角形三边关系计算
即可.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知直线l 过点
，
，则（ ）
A．点
在直线l 上
B．直线l 的两点式方程为
C．直线l 的一个方向向量的坐标为
D．直线l 的截距式方程为
【答案】BD
【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D.
【详解】A：因为直线l 过点
，
，所以直线l 的斜率为
，
设
，则
，故点
不在直线l 上，错；
B：直线l 的两点式方程为
，对；
C：若直线l 的一个方向向量的坐标为
，则
，与A 分析不符，错；
D：由B 中两点式方程，整理得截距式方程为
，对.
故选：BD
10．如图，
，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为
直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线
，则（ ）
A．曲线
与
轴围成的图形的面积等于
B．曲线
上有5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧
所在圆的方程为
D．弧
与弧
的公切线方程为
【答案】BC
【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A 的正误；根据图中的交点，可得B 的正误；根据图中明确
圆心与半径，可得C 的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D 的正误.
【详解】对于A，如图所示，连接
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，则曲线
与
轴围成的图形的面积
．A 错误；
对于B，曲线
上有
5 个整点．B 正确；
对于C，弧
所在圆的圆心为
，半径为1，故圆的方程为
．C 正确；
对于D，设弧
与弧
的公切线方程为
，根据图象知
，
则
，解得
，即公切线方程为
．D 错误；
故选：BC.
11．已知抛物线
和点
，直线
与抛物线
交于不同的两点
，直线
与抛物线
交于另一点
，给出以下判断，正确的有（ ）
A．以
为直径的圆与抛物线准线相离
B．准线上存在一点
，使得
C．
D．设过点
的圆的圆心坐标为
，半径为，则
【答案】ACD
【分析】该题为直线与抛物线的综合应用，按照题干和选项选择相应的知识点作答.
【详解】如图，设
为抛物线
的焦点，以线段
为直径的圆为
，则圆心
为线段
的中点.
设
到准线的距离分别为
，
的半径为
，点
到准线的距离为
，
显然
三点不共线，则
.所以A 正确，B 错误.
由题意可设直线
的方程为
，代入抛物线
的方程，有
.
设点
的坐标分别为
，则
，
.
所以
.
则
.所以C 正确.
将
代入抛物线
的方程可得，
，从而，
.
根据抛物线的对称性可知，
两点关于
轴对称，所以过点
的圆的圆心
在
轴上.
由上，有
，
，
则
.
所以，线段
的中垂线与
轴的交点（即圆心
）横坐标为
，所以
.
于是，
，
代入
，
，得
，
所以
.所以D 正确.
综上，故选ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．点
到直线
的距离为
【答案】
/
【分析】应用点线距离公式求距离即可.
【详解】由点线距离公式知，点
到直线
的距离为
.
故答案为：
13．已知
，点
在
轴上运动，点
在圆
上运动，则
的模的最小值
是 ．
【答案】
【分析】设点
、
，可得出
，则
的模可视
为圆
上的点
到直线
上一点
的距离，数形结合以及利用圆的几何性质可求其最小
值.
【详解】设点
、
，则
，
，易知圆心为
，半径
为
，
所以
，
则
，
则
的模可视为圆
上的点
到直线
上一点
的距离，如下图所示：
由图可知，当直线
与直线
垂直且
为线段
与圆
的交点时，
取最小值，且其最小值为
，故
模的最小值为.
故答案为：.
14．“
”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线
过坐标原点
上的点到两定点
的距离之积为9.若
上第一象限内的点
满足
的面积为
，
则
.
【答案】6
【分析】确定点
是曲线
和以
为直径的圆
在第一象限内的交点，
【详解】已知原点
在
上，则
，
设
为
上任意一点，
则有
，整理得
．
因为
，又
，
所以
，可得
，
所以点
是曲线
和以
为直径的圆
在第一象限内的交点，
联立方程，解得
，
，即
，
所以
，
故答案为：6
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知圆
：
，直线：
.
(1)求圆
的圆心及半径；
(2)求直线被圆
截得的弦
的长度.
【答案】(1)圆心
，半径
(2)
【分析】（1）将圆
的方程化为圆的标准方程，即可求解；
（2）首先求出圆心
到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解.
【详解】（1）圆
：
的标准方程为：
，
∴圆
的圆心为
，半径为
.
（2）由（1）可知：圆
的圆心为
，半径为
.
弦
中点
，连接
，
，如图所示.
由圆的性质可知
，
.
∴圆心
到直线：
的距离
.
在
中，
，∴
，
即直线被圆
截得的弦
的长度为
.
16．已知直线的方程为
．
(1)求证：不论
为何值，直线必过定点
；
(2)过点
的直线交坐标轴正半轴于
两点，当
面积最小时，求
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数
的表达式，利用其对任意
恒成立的条件，即可证明直线过
定点；
（2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然
后求出对应三角形的周长即可.
【详解】（1）由
可得，
，
令
所以直线过定点
．
（2）由（1）知，直线恒过定点
，
由题意可设直线的方程为
，直线与
轴、
轴正半轴的交点分别为
，
令
，得
；令
，得
．
所以
的面积
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
面积最小，
，
，
的周长为
．
所以当
面积最小时，
的周长为
．
17．已知双曲线
的右焦点为
与抛物线
的焦点重合，且
的顶点与坐
标原点重合．过点
且与
轴垂直的直线交
于
两点，交
于
两点，且
．
(1)求
的离心率；
(2)若点
是
与
的公共点，且
，求
与
的标准方程．
【答案】(1)3
(2)
，
【分析】（1）先由题意设抛物线
的方程为
，进而由题意求出
和
，再结合
求出
即可得解；
（2）先由（1）得
，接着联立两曲线方程求得点M 的横坐标，再结合抛物线焦半径公式即
可求出参数a 即可得解.
【详解】（1）如图，因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，故可设抛物线
的方程为
，
不妨设
在第一象限，由题意可得直线
和直线
均过点
，且
轴，
轴，
将
代入抛物线方程得
，则
，
将
代入双曲线方程得
，则
，
因为
，所以
，即
，
又
，所以
，解得
或
（舍去），
所以
的离心率为3．
（2）由（1）得
，
则
的方程为
的方程为
，
联立
，消去
得
，
解得
或
（舍去），则
的横坐标
，
因为
，故由抛物线定义可得
，解得
，
所以双曲线
的标准方程为
，抛物线
的标准方程为
．
18．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”．
(1)证明：椭圆
为“质朴椭圆”．
(2)是否存在实数
，使得椭圆
为“质朴椭圆”？若存在，求
的值；若不存在，说
明理由．
(3)设斜率为2 的直线经过椭圆
的右焦点，且与
交于
两点，
，试问
是否为“质朴椭圆”，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在实数
，理由见解析
(3)
为“质朴椭圆”，理由见解析
【分析】（1）根据新定义，只需求出椭圆的焦距、离心率，然后根据焦距是否为质数，且离心率的倒数
是否为质数进行判断即可．
（2）根据新定义，只需先对椭圆的焦距假设是质数，再去计算参数，然后可求出对应离心率，然后根据
离心率的倒数是否为质数进行判断即可．
（3）根据新定义，只需利用弦长求出椭圆的焦距，然后根据焦距是否为质数，且离心率的倒数是否为质
数进行判断即可．
【详解】（1）椭圆
，则
，
所以焦距为
，离心率
，即
，
所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，即该椭圆为“质朴椭圆”．
（2）椭圆
的焦距为
，离心率
，
若存在实数
，使得椭圆
为“质朴椭圆”，
则
均为质数，
又
，所以
，
即
，则
，这些数都不是质数，
所以不存在实数
，使得椭圆
为“质朴椭圆”．
（3）
设
的右焦点为
，则直线的方程为
，
设
，联立得
得
，
则
，
，
解得
，则
的焦距为
为质数，
离心率
，其倒数
为质数，
所以
为“质朴椭圆”．
19．已知点
是圆
上的任意一点，点
，线段
的垂直平分线交
于点
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)分别过
，
作平行直线
，
，若直线
与
交于
，
两点，直线
与
交于
，
两点，其中
点
，
在
轴上方.
（ⅰ）若
，求
的值；
（ⅱ）求四边形
的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
,（ⅱ）
【分析】（1）根据题意可知
，则
，所以动点
的轨迹是以
，
为焦点的椭
圆，即可求解；
（2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆联立，解出
，
的坐标，根据距离公式即可求解；
（ⅱ）利用弦长公式说明
，四边形
为平行四边形，可得四边形
的面积
四边形
的面积
的一半，利用点到直线的距离公式求出平行四边形
的高，即可求出
的表达式，结
合基本不等式求解即可.
【详解】（1）圆
，则圆心
，
，
因为线段
的垂直平分线交
于点
，
所以
，
由于
，所以
，又
，
根据椭圆的定义可知，动点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，其中
，
，所以
，
则动点
的轨迹
的方程为：
.
（2）由题可得直线
，
的斜率不为0，
设直线
的方程为：
，直线
的方程为：
，
，
（ⅰ）因为
，所以
，
联立
，可得：
，解得：
或，
因为点
在
轴上方.，所以
，即
，
所以
联立
，可得：
，解得：
或
，
因为点
，
在
轴上方.，所以
，即
，
所以
，
所以
.
（ⅱ）联立
，可得：
，
所以
，
，
则
，
联立
，可得：
，
所以
，
，
则
所以
，且
，则四边形
为平行四边形，
为对角线的交点，
根据对称性可知，四边形
的面积
四边形
的面积
的一半，
四边形
的高
，
所以
，
，
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，
所以四边形
的面积的取值范围为：
.
