文档文本内容
2025-2026 学年高一数学上学期期末模拟卷
全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 必修第一册+必修第二册。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解不等式
，解得
或
，
所以集合
或
，
解
得
，即
，
所以集合
，
所以
.
故选：B
2．函数
的零点所在的一个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域为
，
函数
在
上都单调递增，则函数
在
上单调递增，
而
，所以函数
零点所在的一个区间是
.
故选：C
3．在
中，
，P 是直线BN 上的一点，若
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，则
，
而
三点共线，则
，
所以
.
故选：B
4．已知不等式
恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，
则不等式变为
在
上恒成立，
设
，对称轴
，
当
时，函数
在
上单调递增，最小值为
或
，所以
；
当
时，最小值在对称轴处取得，即
，解得
或
，所以
，
综上，a 的取值范围为
.
故选：C.
5．在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6 名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分
为15 分的解答题，6 名同学的得分为
，统计结果为：
，已
知这6 名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12 分，则该解答题得分的极差为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，即
，
因为
，所以
的值可能是13，14，15，
当
时，
，
因为
，且
，
为整数，所以
不可能；
当
时，
，因为
，
且
，
为整数，所以
不可能；
当
时，
，
因为
，且
，
为整数，
所以当且仅当
，
时，
，
所以所求极差为
.
故选：C.
6．在平行四边形
中，
，
是线段DE 的中点，连接
交
于O，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
又因为
，所以
，
设
，则
，
所以
，解得
，
故选：A.
7．已知函数
，函数
．若
有四个不同的零点
，
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
，由于函数
，
所以画出
的图象，如图所示，结合图象可知
，即
.
不妨设
，
则
，由
得
，又
，
所以
，则
.
根据对勾函数
在
上单调递增，可知
在
上单调递增，
所以
.
故选：D.
8．若函数
与
在区间
上的单调性相同，则称区间
为函数
的“稳定区
间”.已知区间
为函数
的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由区间
为函数
的“稳定区间”，
得函数
与函数
在区间
上同增或者同减，
当
时，函数
在
上递减，
在
上递增，不合要求；
当
时，
，
，
若两函数在
上单调递增，则
，解得
；
若两函数在
上单调递减，则
，不等式组无解，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设A，B 为两个随机事件，以下命题正确的有（ ）
A．若A，B 是对立事件，则
B．若A，B 是对立事件，则
C．若A，B 是互斥事件，
，
，则
D．若A，B 是互斥事件，
，
，则
【答案】BD
【详解】对于A，若A，B 是对立事件，则
，
则
，
，
于是
，故A 错，B 对；
对于C，若A，B 是互斥事件，
，
，则
，C 错；
对于D，若A，B 是互斥事件，
，
，则
，D 对.
故选：BD
10．已知
，
，定义直线
的斜率为
，对数函数
与
的图
象如图所示，过原点
的直线交
的图象于不同的A，B 两点，过点A，B 分别作
轴的平行线交
于C，D 两点，交
轴于M，N 两点，则（ ）
A．
三点共线
B．梯形
的面积为梯形
面积的2 倍
C．
D．当
轴时，点
坐标为
【答案】ABD
【详解】设
，
，则
，
，
∵
三点共线，∴
，即
，
，
则
，即
，∴
三点共线，A 选项正确；
∵
，
∴
，同理
，
，B 选项正确；
，C 选项错误；
当
轴时，
，则
，即
，
又∵
，∴
，∵
，∴
，则
，
∴
，
，即
，D 选项正确.
故选：ABD.
11．定义在
上的函数
满足下列条件：（1）
;（2）当
时，
，
则（ ）
A．
B．当
时，
C．当
时，
D．
在
单调递减
【答案】AC
【详解】A：在
中，令
，
得
，因此本选项说法正确；
B：在
中，令
，
得
，
即
，因此本选项说法不正确；
C：由上可知：
，
在
中，令
，
得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
即
，所以本选项结论正确；
D：设
是
上任意两个实数，且
，则有
，
由
，
因为当
时，
，
所以由
，
即
，
设
，则有
，且
，
所以
在
单调递增，
则有
，设
是
上任意两个实数，且
，则有
，
所以有
，而
，
于是由不等式的性质可得
，
因此
在
单调递增，所以本选项结论不正确，
故选：AC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．设向量
其中
为坐标原点，
，若
三点共线，
则
的最小值为 .
【答案】
【详解】由
，
由
三点共线，且
，
所以
，
则
，
当且仅当
时取等.
故答案为：6
13．已知函数
，
，对任意的
，总存在
，使
成立，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
时，
，
当
时，
，
则
时，
；
在
上单调递增，则
，
因对任意的
，总存在
，使
成立，
则
，
则
且
，得
，
则实数a 的取值范围是
.
故答案为：
14．甲乙两队进行答题比赛，每队
､
3 名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手
答对一题得1 分，答错一题得0 分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为
，乙队中3 名选手答对题的概
率分别为
.在第一轮比赛中，甲队得
分，乙队得
分，则在这一轮中，满足
且
的概
率为 .
【答案】
【详解】依题意甲队在一轮比赛中得
分的概率为
，
甲队在一轮比赛中得分的概率为
，
乙队在一轮比赛中得分的概率为：
，
乙队在一轮比赛中得
分的概率为：
，
设在这一轮中，满足
且
为事件
，
则
包含①甲队得
分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得
分，
所以
，
即在这一轮中，满足
且
的概率为
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得
分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，
③甲队得分，乙队得
分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知集合
，集合
，命题
，命题
．
(1)当实数
为何值时，
；
(2)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【详解】（1）令
，即
，
有
，解得
，故
，.........................................................................1 分
的解为
，
，
当
时，
，
，
则
，无解；...........................................................................................................................................3 分
当
或
时，
，
，此时
；......................................................................................4 分
当
或
时，
，
，
则
，解得
；
综上，
；...................................................................................................................................................6 分
（2）因为
是
的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
所以当
时，
，
，
则
或
，无解；........................................................................................................................9 分
当
或
时，
，
，此时不符合题意；...........................................................................10 分
当
或
时，
，
则
，解得
；
，
或
，解得
，
综上所述，a 的取值范围为
．..........................................................................................................13 分
16．（15 分）为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共
有1000 名学生参加，随机抽取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成4 组：
，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
(2)用分层随机抽样的方法从
，
两个区间共抽取出4 名学生，再从这4 名学生中随机抽取2
名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间
的概率；
(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每
个项目胜方得1 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三
个项目中获胜的概率分别为
，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1 分的概率是
，甲乙两人谁
获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：
分........................................................................2 分
（2）解：由频率分布直方图，可得
的频率为
，
的频率为
，
所以用分层随机抽样的方法从
，
两个区间共抽取出4 名学生，
可得从
抽取人，即为
，从
中抽取人，即为
，...................................................4 分
从这4 名学生中随机抽取2 名依次进行交流分享，有
，共有12 个基本事件；..............................................................6 分
其中第二个交流分享的学生成绩在区间
的有：
，共有3 个，
所以概率为
.......................................................................................................................................8 分
（3）解：甲最终获胜的可能性大.
理由如下：由题意，甲至少得1 分的概率是
，
可得
，其中
，解得
，................................................................10 分
则甲的2 分或3 分的概率为：
，
所以乙得分为2 分或3 分的概率为
，
因为
，所以甲最终获胜的可能性更大.................................................................................................15 分
17．（15 分）如图，在等腰梯形
中，
，
，
，
，
与
交于点G，记
，
．
(1)用
，
表示
，
；
(2)记
的面积为
，
的面积为
，求
的值．
【详解】（1）
；................................................................................2 分
；......................................................................................................................................................5 分
（2）设
，连接
，
，...............................................................................................7 分
，
则
，解得
，..................................................................................................................10 分
设
边
上的高为
，
边
上的高为
，
则
，........................................................................................13 分
所以
.
......................................................................................................15 分
18．（17 分）已知函数
．
(1)判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(2)求函数
的值域．
(3)设函数
，且函数
在区间
上的最小值为7，求
的值．
【详解】（1）偶函数，理由如下：
由题意得
，则
，
所以
的定义域为
，关于原点对称，...........................................................................................2 分
由
，
则
，
所以
是偶函数............................................................................................................................................4 分
（2）因为
，
因为
，又因为
，则
，
①当
时，
为增函数，此时
，故
的值域为
，
②当
时，
为减函数，此时
，故
的值域为
................7 分
综上所述，当
时，故
的值域为
.
当
时，
的值域为
.........................................................................................................8 分
（3）由题意
，......................................10 分
设
，因为
为增函数，
为减函数，所以
为增函数，
所以
时，
，
所以
在区间
上的最小值为
，且对称轴为
，开口向上，...............................12 分
①当
，即
时，此时
在区间
上单调递增，
所以当
时，取得最小值为，不符合题意，故舍去；........................................................................13 分
②当
，即
时，此时
在区间
上单调递减，
在
上单调递增，则
时，有最小值为
，解得
（负值舍去），符合题意；15 分
③当
，即
时，此时
在区间
上单调递减，
所以当
时，最小值为
，解得
舍去.
综上所述，
的值为
....................................................................................................................................17 分
19．（17 分）定义
已知函数
(1)求
的单调区间．
(2)已知
是关于
的方程
的三个不同的实根．
（i）求
的取值范围；
（ii）已知
，求
的最小值．
【详解】（1）解：当
时，
，即
，.......3 分
当
时，令
，可得
，即
，解得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
，...........................................................................................6 分
当
时，
，可得
在
单调递减；
当
时，函数
，可得
在
单调递减，在
单调递增，
综上可得：函数
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
.............................8 分
（2）解：（i）当
时，令
，可得
；
当
时，令
，可得
，解得
或
，..............................................11 分
因为关于
的方程
有三个不同的实根，则满足
，解得
，
所以
的取值范围为
................................................................................................................................13 分
（ii）由（i）可知
，
令
，所以
，...........................15 分
可得
，
当且仅当
时，等号成立，所以
的最小值为
．............................17 分
