文档文本内容
2025-2026 学年高一数学上学期第三次月考卷
全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 第一章~第四章。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
.
故选：C.
2．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故选：B.
3．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
，即
时，
单调递增，排除ABC 选项，
又
，即
关于
对称，D 正确.
故选：D
4．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上单调递增，所以只需要
解得
．
故选：D．
5．已知存在
，使得
成立，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，令
，
则
，其图象开口向上，对称轴为
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
又
，
，
则
，
因为存在
，使得
成立，
所以
，即
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
6．已知函数是定义在
上的偶函数，当
时，
，则不等式
的解集（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，其在
上单调递减.
因为
是偶函数，所以
在
上单调递增.
令
，当
时，
，由偶函数性质得
.
不等式
等价于
，结合单调性得
，
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A.
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含
量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减
少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）
（结果取整数，参考数据：
，
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【详解】设经过
个小时才能驾驶，则
，即
，
由于函数
在定义域上单调递减，
所以
，
故他至少经过7 小时才能驾驶.
故选：D.
8．已知函数
，
，其中
均为实数．若方程
有且仅有
5 个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
，
根据
的图象可知，要满足题意必须
有两个不等实根
，
且
有两个整数根，
有三个整数根，
结合图象，当
与
相切时满足要求，
在
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，
取得最小值，最小值为
，故
，
又
，
，其在定义域内单调递减，令
，解得
，
故
时，有两个整数根，分别为2 和
，
由图象可知，
的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有
满足要求，
此时
，故
，令
，解得另一个根为4，
又
，解得
，
故五个整数根分别为
，
，1，2，4，
所以最大整数解和最小整数解之积为
．
故选：A．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列函数是奇函数，且满足对任意.
都有
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】对任意
，都有
，
则
在
上单调递增；
所以
是在
上单调递增的奇函数.
对于A，函数
定义域为
，
不是奇函数，A 错误；
对于B，
与
在
上都为增函数，故
在
上为增函数，
，所以
是在
上单调递增的奇函数，B 正确；
对于C，
，易知
在
上单调递减，C 错误；
对于D，函数
定义域为R，
函数
在
上是增函数，函数
在定义域内是增函数，
所以
在
上单调递增，
，
是奇函数，D 正确.
故选：BD.
10．下列说法不正确的是（ ）
A．
B．已知
时，则
取得最小值8
C．若
，则
最大值为1
D．函数
的最小值为4
【答案】ABD
【详解】对于A，当
时，
，故A 不正确；
对于B，当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故B 不正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，设
，
则
在
上单调递增，所以最小值
，故D 不正确.
故选：ABD
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数.例如：
.已知函数
，
，则下列叙述
中正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
的值域是
D．
在
上是增函数
【答案】ACD
【详解】由
，
又
在
上为增函数且
，
在
上单调递增，
所以
在
为增函数，D 对，
，
且
的定义域为
，即
为奇函数，A 对，
由
，则
，C 对，B 错.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．设函数
的反函数是它自身，则常数
．
【答案】
【详解】因为
，所以
，则函数
的反函数是
，
所以
恒成立，即
恒成立，所以
.
当
时，
，其定义域为
，值域为
，
定义域和值域相同，故满足题意，所以
.
故答案为：
13．已知
，设幂函数
的图象关于原点中心对称，且与x 轴及y 轴均无交点，则k 的值为
．
【答案】1 或3 或5
【详解】由题意，令
，解得
，因为
，所以
；
当
时，
，幂函数为
，图象关于原点成中心对称，且与x 轴及y 轴均无交点，满足题
意；
当
时，
，幂函数为
，图象关于y 轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意；
当
时，
，幂函数为
，图象关于原点成中心对称，且与x 轴及y 轴均无交点，满足题
意；
当k＝4 时，
，幂函数为
，图象关于y 轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意；
当
时，
，幂函数为
，图象关于原点成中心对称，且与x 轴及y 轴均无交点，满足题
意；
综上，k 的值为1 或3 或5．
故答案为：1 或3 或5．
14．已知函数
，若关于x 的方程
有六个相异的实数根，
则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】画出函数
的图象如下图所示，
令
，则方程
可化为
.
由图可知：当
时，
与
有个交点，
关于x 的方程
有六个相异的实数根，
则方程
在
内有两个不同实数根，所以
，
解得
，因此，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）计算：
(1)
；
(2)已知
，求
的值；
(3)已知
，
，求
的值．
【详解】（1）
.
..............................................................................................................................................................................4 分
（2）由
，则
，即
，
，又
，则
，故
，
故
.................................................................................................................................................8 分
（3）因为
，
，所以
，
，
所以
...............................................................................13 分
16．（15 分）已知函数
.
(1)若
时，求
的单调区间；
(2)设函数
在区间
上的最小值为
，求
的表达式.
【详解】（1）当
时，
，易知
为
上的偶函数，............................................2 分
当
时，
，结合偶函数对称性，
的单调增区间为
，
，单调减区间为
，
..........................................6 分
（2）
时，
，其对称轴为
，..............................................8 分
①当
，即
时，
的最小值为
，
②当
，即
时，
的最小值为
，.................................12 分
③当
，即
时，
的最小值为
，
综上，
..............................................................................................................15 分
17．（15 分）已知函数
.
(1)求
的定义域和值域；
(2)判定函数
的单调性，并用定义证明；
(3)若对
，
，且
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【详解】（1）对于函数
，因为
，所以
恒成立，
所以函数
定义域
；................................................................................................................2 分
，因为
，所以
，所以
，
所以
，即函数
的值域
；...........................................................................................4 分
（2）函数
在R 上单调递增，证明如下：
，任取
，且
，
则
，........................................7 分
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在R 上单调递增；..................................................................................................................10 分
（3）对
，
，且
，不等式
恒成立，
即不等式
恒成立，
由（2）知函数
在R 上单调递增，因为
即
，
所以
，..................................................................................................................................12 分
因为
，所以
，
即
，所以
，
即
，解得
，
故实数
的取值范围为
.........................................................................................................................15 分
18．（17 分）已知结论：设函数
的定义域为
，若
对
恒成立，
则
的图象关于点
中心对称，反之亦然．特别地，当
时，
的图象关于原点对称，此
时
为奇函数．设定义在
上的函数
，满足
，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)计算
的值，并根据结论写出函数
的图象的对称中心；
(3)若对任意
，均有
恒成立，求实数
的取值范围．
【详解】（1）由题意可得
，解得
，
故
................................................................................................................................4 分
（2）
，
故
关于
中心对称.............................................................................................................................7 分
（3）由
，则
，
则
，
因
在
上单调递增且恒为正，则
在
上单调递减，
故
在
上恒成立，.........................................................................................................10 分
令
，由
，则
，
则有
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，...................................................................................13 分
因函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，则
，
故实数
的取值范围为
.......................................................................................................................17 分
19．（17 分）已知函数
（其中a，b 均为常数，
且
）的图象经过点
与点
．
(1)求a，b 的值；
(2)求不等式
的解集；
(3)设函数
，若对任意
，存在
，使得
成立，
求实数m 的取值范围．
【详解】（1）由题意知，
，即
，解得：
所以，
...............................................................................................................................................4 分
（2）由（1）知
，
，
所以
，即
，
所以
，令
，
则
，.................................................................................................................8 分
解
得
；解
得
，
所以
，
的解集为
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.............................................................................12 分
（3）由
得函数
，
当
时，
，
故
，
.................................................14 分
当
时，
因为对任意
，存在
，使得
成立，
所以
是
的子集，
所以
，即
，
所以实数
的取值范围为
...................................................................................................................17 分
