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第四章 概率与统计单元测试卷·强化卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．随机变量X 的分布列为：
X
1
2
3
P
a
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得
，解得
，
所以
.
故选：C.
2．已知
为随机变量X 和Y 的样本相关系数，
为随机变量M 和N 的样本相关系数，则下列说法正确的
是（ ）
A．若
，则X 和Y 负相关
B．若
，则M 和N 线性不相关
C．若
，
，则X 和Y 的线性相关程度比M 和N 的线性相关程度强
D．若
越接近1，则M 和N 的线性相关程度越弱
【答案】B
【详解】A，若
，则X 和Y 正相关，故A 错误；
B，若
，则M 和N 线性不相关，故B 正确；
C，若
，
，则
，
所以X 和Y 的线性相关程度比M 和N 的线性相关程度弱，故C 错误；
D，若
越接近1，则M 和N 的线性相关程度越强，故D 错误.
故选：B
3．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5 个景点中
随机选择其中一个景点游玩，记事件
“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件
“两位游客
选择的景点不同”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】两位游客从5 个景点中任选，每人有5 种选择，总事件数：
种.
事件
的对立事件
为“两位游客都不选择葫芦古镇”，
的事件数：
种,
因此
.
事件
分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4 个景点，4 种；
乙选葫芦古镇，甲选其余4 个景点，4 种；共
种事件，
因此
.
所以
.
故选：C.
4．假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布
（单位：g），该生产线上
的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于
的概率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】每包食盐的质量不低于
的概率为
，抽取了四包食盐，
则四包食盐质量不低于
的包数服从二项分布
，
所以恰有两包食盐的质量不低于
的概率为
．
故选：A
5．为了考查一种新疫苗预防某X 疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机
进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2 倍，接种且发病占接种的
，没接种且发
病的占没接种的
，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为接种该疫苗与预防某X 疾
病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
A．35
B．36
C．37
D．38
【答案】B
【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2 列联表如下：
发病
没发病
合计
接种
2k
没接种
k
合计
3k
则
的观测值为：
，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05 的前提下
认为喜爱足球与性别有关的结论，
于是
，即
，即
∴
，∴
故选：B．
6．已知连续型随机变量
服从正态分布
，记函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于点
成中心对称
D．关于点
成中心对称
【答案】C
【详解】
服从正态分布
，故
由对称性可知
，
又
，
，
故
，
关于点
成中心对称，C 正确，AD 错误；
又
， 故
，
不关于直线
对称，B 错误.
故选：C
7．2024 海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在
宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现
场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10 点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一
个小时反馈一次．指挥中心统计了前5 次的数据
，其中
，
为第次入口人流量数据（单
位：百人），由此得到
关于的回归方程
，
，已知
，根据回归方程（参考
数据：
，
），可预测下午4 点时入口游客的人流量为（ ）
A．9.6
B．11.0
C．11.4
D．12.0
【答案】B
【分析】
【详解】令
，则
，
又
，由
，得
，
因为
，所以
则
，
下午4 点时对应的是
，
可得
，
故选：B
8．
由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（
）
的中国初创公司．其
模型于2024 年年底发布，此模型足以媲美
，一经推出便成为全球热门话
题．利用
进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种
模型运算参差不齐．
技术人员对n 个
模型进行测试，测试由m 道题组成，每个
模型都对这
道题逐一进行求解．若一道
题至少有
个
模型未解对，则称此题为难题；若一个
模型至少解出了
道题，则该
模型测试成
绩合格．如果测试至少有
个
模型成绩合格，且测试中至少有
道题为难题，那么
的最小值为
（ ）
A．6
B．9
C．18
D．27
【答案】B
【详解】设有
个
模型合格，
道题为难题，则
，
依题意有
，
所以
所以
，
同理
，
要使两式有整数解，则
，所以
．
当
时，若3 个
模型生答题情况如下表：
题目1
题目2
题目3
1
√
√
×
2
√
×
√
3
√
×
×
则有2 个
模型合格，2 个难题，符合题意，所以
的最小值为9．
故选：B
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．（多选）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由图形特征可知
，
都是负相关，都是负数，
比
的相关系数绝对值更大，所以
，
，
都是正相关，
比
的相关关系更强，所以
.
故选：AC
10．设
为两个相互独立的随机事件，且
，下列命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由
为两个相互独立的随机事件，则
和
，
和
也是相互独立，得
，
对于A 项，
，故A 项错误；
对于B 项，
，故B 项正确；
对于C 项，
，故C 项正确；
对于D 项，
，故D 项正确．
故选：BCD
11．某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进
入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如
下表：
出场顺序
1 号
2 号
3 号
4 号
5 号
获胜概率
若比赛结束时甲队获胜的场数为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意可得:
时，前三场甲输，未进行后两场比赛，
所以
，则
．A 正确
时，前3 场甲1 胜2 负，第4 场甲负，未进行第五场
，解得
．B 错误
由题意知
所有的可能取值为0，1，2，3，则
，
甲胜率表如下所示：
出场顺序
1 号
2 号
3 号
4 号
5 号
获胜概率
时，前4 场甲2 胜2 负（含1 和3 胜；2 和4 胜；1，3 中胜一场，2，4 中胜一场三大类），第5 场甲
负
，
时，前3 局全胜未进行后2 场比赛；前3 局甲胜2 场，第4 场甲胜，未进行第五场比赛；前4 场甲2
胜2 负，第5 场甲胜（因第5 场甲胜负概率相同，所以此时概率等于
）
，C 正确
所以
的分布列为
0
1
2
3
故
．D 错误
故选：AC
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取
个，则其中恰好有
个二等品的概率为 .
【答案】
【详解】根据题意可知，任意抽取
个共有
种抽法，
则其中恰好有个二等品的抽法共有
种，
因此任意抽取
个，则其中恰好有个二等品的概率为
.
故答案为：
13．某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的
，
，
，
，这四条流水线的不合格品率依次为
，
，
，
.该厂规定，出现不合格品要追究有关
流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，
工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担
的责任.（结果精确到
）
【答案】
【详解】记产品是不合格品为事件
，产品来自第四条流水线为事件
，
则
，
所以
，
所以第四条流水线应该承担约
的责任.
故答案为：
14．甲、乙、丙三人分别从2 个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合
，
，
，
记
中元素的个数为
，则
的概率为 .
【答案】
【详解】设两个不同数为
，一个元素被某人选中的概率为
且相互独立，
所以一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为
，
由
中元素的个数
，表示至少一个元素被三人选中，
而两个元素均未被三人选中的概率为
，
所以
的概率为
.
故答案为：
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产
品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300 件产品，产品的质量统计如下表：
特优级品
优级品
合计
一号机床
225
75
300
二号机床
180
120
300
合计
405
195
600
(1)能否有
的把握认为两台机床的产品质量有差异？
(2)现考虑让一号机床生产4 件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用
表示这4 件产品中的
特优级品数量，求
的期望与方差．
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异
(2)期望为3，方差为0.75
【分析】
【详解】（1）零假设
为：两台机床的产品质量没差异，
根据列联表数据，计算卡方统计量：
，其中，
（一号机床特优级品），
（一号机床优级品），
（二号机床特优级品），
（二号机床优级品），
（总样本量），
代入得
，
，
99.9%的把握的临界值为
（对应
），
由于
，
故有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异
（2）一号机床生产特优级产品的频率为
，故
期望：
方差：
16．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销
售额
（单位：亿元）的影响，结合近12 年的年研发资金投入量
和年销售额
的数据
，该
团队建立了两个模型：①
；②
，其中
，
，
，均为常数，为自然对数的底数.经对
历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令
，
，计算得如下数据：
20
66
770
200
14
46
0
4.20
3125000
0.308
21500
(1)设
和
的相关系数为
，
和
的相关系数为
，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更
好的模型：
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额y 需达到80 亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元?（结果精确到0.01）
附：对于一组数据
，样本相关系数
回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
【答案】(1)模型②；
(2)（i）
（ⅱ）27.1 亿元
【分析】
【详解】（1）由题意表格数据得
，
同理
，
0.86<0.91
∵
，即
，
则从相关系数的角度，选择模型②
的拟合程度会更好.
（2）（i）由（1）得
，模型②
，可建立关于x 的线性回归方程，
则
，又
，
∴
，∴
，
∴
，即
.
（ii）由（i）得
，
要使下一年销售额
达到80 亿元，即
，
，
∴
，解得
，
故下一年销售额
达到80 亿元，预测下一年的研发资金投入量
是27.1 亿元.
17．某个学习小组有6 名同学，其中男生4 人，女生2 人，现从中选出3 人参加一项活动，记男生的人数
为
．
(1)求
的分布列和数学期望；
(2)现从该小组6 名同学中重新选取3 人参加另一项活动．
①求两次活动中恰好有一人都参加的概率；
②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为2；
(2)①
；②
.
【分析】
【详解】（1）由题设
的可能取值为
，则
，
，
，
所以
的分布列如下：
1
2
3
；
（2）①由题意，6 个人中有1 个人参加两次活动有
种，
再从5 人中选2 人参加第一项活动，最后从3 人中选2 人参加另一项活动，
所以两次活动中恰好有一人都参加的概率
；
②第一次有两名男生参加，第二次这两名男生也参加，且另一名从其它4 人中选1 人，所以对应概率为
.
18．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的
深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型
.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设
计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时
通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知
三款模型通过算法设计评审的概率依次为
，通
过工程部署验收的概率依次为
.
(1)求
三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
(2)若已知
三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为
的概率；
(3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，
三款模型能成功上线的数量为随机变量
，求
的分布列及数学期望
.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）设A，B，C 三款模型通过算法设计评审为事件
，
A，B，C 三款中恰有两款通过算法设计评审为事件
，
则
；
（2）设A，B，C 三款中恰有一款通过算法设计评审为事件
，
则
；
由条件概率公式可得
；
（3）设A，B，C 三款模型能成功上线为事件
，
则
，
，
，
的可能取值为
，
则
，
，
，
，
所以X 的分布列如下：
0
1
2
3
数学期望为
.
19．“英才计划”最早开始于2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023 年已经培养了6000 多
名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物
理学科夏令营活动．
(1)若参加数学学科夏令营的7 名中学生中恰有3 人来自
中学，从这7 名中学生中选取3 名中学生，求选
取的中学生中来自
中学的人数
的分布列和数学期望；
(2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人
分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道
题的概率分别为
，
．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．
（i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率
；
（ii）当
时，求
的最大值．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）
；（ii）
【分析】
【详解】（1）由题意知，
的可能取值有
，，
，，
，
，
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
（2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为
，则
，
设乙答对题数为
，则
，
设“
甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则
（ii）因为
，所以
由
，又
，所以
，
则
，又
，所以
，
设
，所以
，因
，
由二次函数的性质可知，当
时取最大值
，
故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为
．
