2025-2026 学年高一数学上学期期中模拟卷
提升卷·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 必修一第一章至第三章
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对空中移动的目标连续射击三次，设事件A =“三次都击中目标”，B =“三次都没击中目标”，C =
“恰有两次击中目标”，D =“至少有两次击中目标”，下列关系中不正确的是( )
A. A ⊆D
B. B∩D = ⌀
C. A ∪C = D
D. A ∪C = B∪D
【答案】D
【解析】解：对空中移动的目标连续射击三次，
则样本空间为Ω={三次都击中目标，恰有两次击中目标，恰有一次击中目标，三次都没击中目标}，
D =“至少有两次击中目标”包含：恰有两次击中目标和三次都击中目标，
由题意可得，A ⊆D，选项A 正确；
B∩D = ⌀，选项B 正确；
A ∪C = D，选项C 正确；
B∪D包含：三次都击中目标，恰有两次击中目标，三次都没击中目标，
故
，选项D 错误．
故选：D．
2.若集合X = {0,1}，则集合Y ={(a,b)|a∈X ,a−b∈X }的真子集的个数为( )
A. 3
B. 4
C. 7
D. 15
【答案】D
【解析】解：集合X = {0,1}，集合Y ={(a,b)|a∈X ,a−b∈X }，
若a=0，则b=0或−1；若a=1，则b=0或1，
∴Y ={(0,0),(0,−1),(1,0),(1,1)}，
∴Y ={(a,b)|a∈X ,a−b∈X }的真子集的个数为2
4−1=15．
故选：D．
3.已知x∈R，则“| x +1|+| x−1|≤2”是“1
x >1”的( )．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解集，充分、必要条件的判定，属于基础题．
解出不等式的解集，判断“| x +1|+| x−1|≤2”和“1
x >1”之间的逻辑推理关系，即得答案．
【解答】
解：解| x +1|+| x−1|≤2，当x<−1时，即−x−1−x +1≤2，则x ≥−1，此时解集为⌀，
当−1≤x ≤1时，即x +1−x +1≤2，则2≤2，此时解集为[−1,1]，
当x>1时，即x +1+ x−1≤2，则x ≤1，此时解集为⌀，
故“| x +1|+| x−1|≤2”成立时，等价于−1≤x ≤1；
当“1
x >1”成立时，等价于0< x<1，
故−1≤x ≤1成立时，不一定推出0< x<1成立，反之成立，
故“| x +1|+| x−1|≤2”是“1
x >1”的必要不充分条件，
故选：B
4.“不等式m x
2+ x +m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. m> 1
2
B. 0<m<1
C. m> 1
4
D. m>1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，正确解出m的范围是解题的关键，
属基础题．
根据“不等式m x
2+ x +m>0在R上恒成立”，m>0，再根据判别式△<0，求出m的范围，根据充分必要
条件的定义，进行求解；
【解答】
解：∵“不等式m x
2+ x +m>0在R上恒成立”，
显然m=0不满足题意，
∴{
m>0
Δ=1−4 m
2<0
，解得m> 1
2
，
对于A，m> 1
2
是充要条件，故A 错误；
对于B，因为m> 1
2
推不出0<m<1，故B 错误；
对于C，因为m> 1
2 ⇒m> 1
4
，反之不能推出，故C 正确；
对于D，因为m>1⇒m> 1
2
，所以m>1是充分不必要条件，故D 错误．
故选：C．
5.若命题“∃x0∈[−1,2]，−x0
2+2≥a”是假命题，则实数a的范围是( )
A. a>2
B. a≥2
C. a>1
D. a≥1
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了命题与它的否定命题应用问题，属于中档题．
根据命题与它的否定命题一真一假，写出它的否定命题，再求a的取值范围．
【解答】
解：若命题“∃x0∈[−1,2]，−x0
2+2≥a”是假命题，
则它的否定命题“∀x∈[−1,2]，−x
2+2<a”是真命题，
当x =0时，(−x
2+2)max =2，
所以a的取值范围是a>2．
故选：A．
6.已知关于x的不等式(a
2−1) x
2−2ax +1<0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. {a|−4
3 <a≤−5
4
或5
4 ≤a< 4
3}
B. {a|−3
2 <a≤−4
3
或4
3 ≤a< 3
2}
C. {a|−3
2 <a≤−1或1≤a< 3
2}
D. {a|−3
2 <a≤−4
3
或1≤a< 3
2}
【答案】A
【解析】解：∵(a
2−1) x
2−2ax +1=[(a+1)x −1][(a−1)x −1]<0，
当a
2−1<0，即−1<a<1，不等式解集为
或x>
1
a+1 }，
存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；
当a
2−1>0，即a>1或a< −1，
当a>1时，0<
1
a+1 <
1
a−1
，
不等式解集为
，
由0<
1
a+1 < 1
2
，∴原不等式的3个整数解为：1,2,3，
∴3<
1
a−1 ≤4，则5
4 ≤a< 4
3
；
当a< −1时，1
a+1 <
1
a−1 <0，
不等式解集为
，
由
1
a−1 > −1
2
，∴原不等式的3个整数解为：−1,−2,−3，
∴−4≤
1
a+1 < −3，则−4
3 <a≤−5
4
；
综上所述：−4
3 <a≤−5
4
或5
4 ≤a< 4
3
．
故选：A
7.已知a,b>0，且ab=a+b+3，则a+ 4 b的最小值是( )
A. 6
B. 9
C. 13
D. 7+ 4
√3
【答案】C
【解析】解：由ab=a+b+3可得ab−a=b+3，
即a(b−1)=b+3，
因b>0且a>0，故b−1>0，即b>1，
因此a= b+3
b−1
，
可得a+ 4 b= b+3
b−1 + 4 b，
令t =b−1(t >0)，则b=t +1，
代入得：a+ 4 b= (t +1)+3
t
+ 4(t +1)= t + 4
t
+ 4 t + 4 =1+ 4
t + 4t + 4 = 4 t + 4
t +5
⩾2 √4 t × 4
t +5=2
√16+5=13．
当且仅当4t = 4
t
，即t ² =1，t =1(t >0)时取等号，
此时t =1，对应b=t +1=2，a= 2+3
2−1 =5，验证ab=5×2=10，a+b+3=5+2+3=10，符合条件，
因此，a+ 4 b的最小值为13，
故选C．
8.若定义在R上的奇函数f ( x)在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf ( x−1)≥0的x的取值范围是
( )
A. [−1,1]∪[3,+∞)
B. [−3,−1]∪[0,1]
C. [−1,0]∪[1,+∞)
D.
[−1,0]∪[1,3]
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，属于一般题．
根据题意，不等式xf ( x−1)⩾0可化为{
x⩾0
f ( x−1)⩾0
或{
x⩽0
f ( x−1)⩽0
，从而利用奇函数性质及函数的单
调性求解即可．
【解答】
解：根据题意，不等式xf ( x−1)⩾0可化为{
x⩾0
f ( x−1)⩾0
或{
x⩽0
f ( x−1)⩽0 ,
由奇函数性质得f (−2)=−f (2)=0，f ( x)在(0,+∞)上单调递减，
所以{
x⩾0
0⩽x−1⩽2
x
或−1⩽−2或{
x⩽0
−2⩽x−1⩽0
x
或−1⩾2 ,
解得1⩽x⩽3或−1⩽x⩽0．
满足xf ( x−1)⩾0的x的取值范围是x∈[−1,0]∪[1,3]．
故选D．
二、多选题：本题共3 小题，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，
部分选对的得3 分，有选错的得0 分。
9.下列选项正确的是( )
A. 若a>0，则a+ 4
a
的最小值为4
B. 若x∈R，则x
2+3
√x
2+2
的最小值是2
C. 若ab<0，则a
b + b
a
的最大值为−2
D. 若正实数x，y满足x +2 y =1，则2
x + x
y
的最小值为6
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值，属于中档题．
根据题意，由基本不等式代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果．
【解答】
解：因为 a>0 ，则 a+ 4
a ≥2 √a⋅4
a = 4 ，当且仅当 a= 4
a 时，即 a=2 时，等号成立，所以 a+ 4
a 的最小
值为4，故A 正确；
因为 √x
2+2⩾
√2>0
，
则 x
2+3
√x
2+2
= ( x
2+2)+1
√x
2+2
=
√x
2+2+
1
√x
2+2
⩾2 √
√x
2+2⋅
1
√x
2+2
=2 ，
当且仅当 √x
2+2=
1
√x
2+2
时，即 x
2=−1
时，等号成立，显然不成立，
所以 x
2+3
√x
2+2
最小值是2不正确，故B 错误；
因为 ab<0 ，则a
b <0, b
a <0，
则 a
b + b
a =−[(−a
b )+(−b
a )]⩽−2 √[(−a
b )⋅(−b
a )]=−2 ，
当且仅当 (−a
b)=(−b
a)
时，即 a=−b 时，等号成立，故C 正确；
因为 x +2 y =1 ，则 2
x + x
y = 2 x + 4 y
x
+ x
y =2+ 4 y
x + x
y ≥2+2 √
4 y
x ⋅x
y =6 ，
当且仅当 {
4 y
x = x
y
x +2 y =1
时，即 {
x = 1
2
y = 1
4
时，等号成立，故D 正确；
故选：ACD
10.下列命题中，正确的有( )
A. 函数y =
√x +1⋅
√x−1与函数y =
√x
2−1
表示同一函数
B. 已知函数f (2 x +1)= 4 x−6，若f (a)=10，则a=9．
C. 若函数f (
√x−1)= x−3
√x，则f ( x)= x❑
2−x −2．
D. 奇函数f ( x)在[2,4 ]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，则2f (−4)+ f (−2)=−15
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查同一函数的概念，函数求值，函数解析式以及抽象函数定义域，属于中档题．
分别求两个函数的定义域即可判断A；由函数解析式可得若f (a)=10，则{
2 x +1=a
4 x−6=10即可判断B；利用
配凑法可求解函数f ( x)解析式，即可判断C；结合抽象函数单调性与奇偶性即可判断D．
【解答】
解：y = f ( x)=
√x +1⋅
√x−1的定义域是{x|{
x +1⩾0
x−1⩾0 }={x| x⩾1},
y = g( x)=
√x
2−1的定义域是{x| x
2−1⩾0}={x| x⩾1，或x⩽−1}，
两函数的定义域不同，故不是同一函数，A 错误;
函数f (2 x +1)= 4 x−6，若f (a)=10，则{
2 x +1=a
4 x−6=10 ⇒{
x = 4
a=9，故B 正确；
若函数f ( √x−1)= x−3
√x =(
√x−1)
2−(
√x−1)−2，则f (x)= x
2−x−2(x ≥−1)，C选项缺少定义域说
明，故C 错误；
D中，由奇函数f ( x)在[2,4 ]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，可得f (2)=−1，f (4)=8，所以
2f (−4)+
f (−2)=−2f (4)−f (2)=−15，故D 正确．
故选BD．
11.已知函数y = f (x)是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f (x + 4)= f (x)+ f (2)成立，当x1，
x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
<0，下列命题正确的是( )
A. f (−2)=0
B. 直线x =−4是函数y = f (x)的图像的一条对称轴
C. 函数y = f (x)在[ 4 ,6]上为增函数
D. 函数y = f (x)在(−8,6]上有四个零点
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属
于较难题．
A令x =−2，可得f (−2)=0，从而可判断A；
B由A知f ( x + 4)= f ( x)，所以f ( x)的周期为4，再利用f ( x)是R上的偶函数，根据函数对称性从而可判
断B；
C依题意知，函数y = f ( x)在[0,2]上为减函数结合函数的周期性，从而可判断C；
D由题意可知，y作出函数在(−8,6]上有的图象，从而可判断D．
【解答】
解：A .对于任意x∈R，都有f ( x + 4)= f ( x)+ f (2)成立，令x =−2，则f (−2+ 4)= f (−2)+ f
(2)= f (2)，即f (−2)=0，即A 正确；
B.由A知f ( x + 4)= f ( x)，则f ( x)的周期为4，
又∵f ( x)是R上的偶函数，∴f ( x + 4)= f (−x)，
而f ( x)的周期为4，则f ( x + 4)= f (−4+ x)，f (−x)= f (−x−4)，
∴f (−4−x)= f (−4 + x)，
则直线x =−4是函数y = f ( x)的图象的一条对称轴，即B 正确；
C.当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有
f (x1)−f (x2)
x1−x2
<0，
∴函数y = f ( x)在[0,2]上为减函数，
而f ( x)的周期为4，
∴函数y = f ( x)在[ 4,6]上为减函数，故C 错误；
D.∵f (2)=0，f ( x)的周期为4，函数y = f ( x)在[0,2]上为增函数，
在[−2,0]上为减函数，
∴作出函数在(−8,6]上的图象如图：
则函数y = f ( x)在(−8,6]上有4个零点，故D 正确．
故答案为ABD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.已知f (x)={
√x , x>0
1, x ≤0 ,则f (3)= ．
【答案】 √3
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于基础题．
利用分段函数的解析式可求f (3)．
【解答】
解：因为f (x)={
√x , x>0
1, x ≤0 ,故f (3)=
√3．
故答案为： √3．
13.若函数f (x)的定义域是[2,5]，则函数y =
f (2 x−3)
√x
2−2 x−3
的定义域是 ．
【答案】(3,4]
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域问题，属于基础题．
由已知求得 f (2 x−3) 的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于0求解．
【解答】
解：函数 f (x) 的定义域是 [2,5] ，所以 2≤2 x−3≤5 ，即 5
2 ≤x ≤4 ，
所以 f (2 x−3) 的定义域为 [
5
2 ,4]
，
所以函数 y =
f (2 x−3)
√x
2−2 x−3
有意义需满足 {
5
2 ≤x ≤4
x
2−2 x−3>0
，
解得 3< x ≤4 ，
即函数 y =
f (2 x−3)
√x
2−2 x−3
的定义域为 (3,4] ，
故答案为 ： (3,4] ．
14.已知a,b为正实数，且满足1
a +
9
b+2 =2，若对于任意1≤x ≤4，不等式a+b≥x
2−4 x−m恒成立，则
实数m的取值范围为 ．
【答案】[−6,+∞)
【解析】解：因为a,b为正实数，且满足1
a +
9
b+2 =2，
所以a+b=a+(b+2)−2=[a+(b+2)](
1
2a +
9
2(b+2))−2
=3+ b+2
2a +
9a
2(b+2) ≥3+2 √
b+2
2a ⋅
9a
2(b+2) =6，
当且仅当b+2
2a =
9a
2(b+2)，即a=2,b= 4时，等号成立，
因为对于任意1≤x ≤4，不等式a+b≥x
2−4 x−m恒成立，
所以6≥x
2−4 x−m在x∈[1,4]上恒成立，
即m≥x
2−4 x−6在x∈[1,4]上恒成立，
设函数f (x)= x
2−4 x−6，其在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，
所以f (x)= x
2−4 x−6在x = 4处取得最大值f (4)= 4
2−4×4−6=−6，
所以m≥−6，即m∈[−6,+ ∞)．
故实数m的取值范围为[−6,+ ∞)．
故答案为：[−6,+∞)．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设A ={x| x
2−ax +a
2−19=0}，B ={x| x
2−5 x +6=0}，C ={x| x
2+2 x−8=0}.
(1)若A ∩B = A ⋃B，求a的值；
(2)若⌀⫋( A ∩B)，且A ⋂C =∅，求a的值；
(3)若A ⋂B = A ⋂C ≠∅，求a的值．
【答案】解：(1)B ={x | x
2−5 x +6=0}={2,3}，
因为A ∩B = A ∪B，所以A = B，则A ={2,3}，
所以{
2+3=a
2×3=a
2−19
，解得a=5．
(2)因为⌀⫋( A ∩B)，且A ∩C = ⌀，B ={2,3}，
C ={x| x
2+2 x−8=0}={−4,2}
，
所以−4∉A，2∉A，3∈A，
所以3
2−3a+a
2−19=0，
即a
2−3a−10=0，解得a=5或a=−2．
当a=−2时，A ={−5,3}，满足题意；
当a=5时，A ={2,3}，不满足题意，舍去．
综上，可知a=−2．
(3)因为A ∩B = A ∩C ≠⌀，B ={2,3}，C ={−4,2}，
所以2∈A，则2
2−2a+a
2−19=0，
即a
2−2a−15=0，解得a=5或a=−3．
当a=5时，A ={2,3}，不满足题意，舍去；
当a=−3时，A ={−5,2}，满足题意．
综上，可知a=−3．
【解析】本题主要考查了集合的有关运算，属于中档题．
解一元二次方程，求出集合B，C．
(1)根据条件得到A = B，从而可得集合A，从而可得到结果；
(2)根据集合B，C中的元素得3∈A，从而可得到结果，但是要注意检验；
(3)根据题目分析可得到2∈A，从而可得结果，注意进行检验．
16.(本小题15分)
已知二次函数f ( x)=a x
2−bx +3．
(1)若不等式f ( x)>0的解集为{x|−1
3 < x<1}，求a和b的值;
(2)若a>0，b=3a+1．
(ⅰ)解关于x的不等式f ( x)≤0;
(ⅱ)若对任意a∈[1,2]，f ( x)>0恒成立，求x的取值范围．
【答案】解：(1)由题意得，−1
3
，1是方程a x
2−bx +3=0的两根，
则{
−1
3 +1= b
a
−1
3 = 3
a
，解得{
a=−9
b=−6
(2)(i)若b=3a+1，则f ( x)=a x
2−(3a+1)x +3=(ax−1)( x −3)．
当0<a< 1
3
时，1
a >3，则不等式f ( x)≤0的解集为[3, 1
a ];
当a= 1
3
时，1
a =3，则不等式f ( x)≤0的解集为{3};
当a> 1
3
时，1
a <3，则不等式f ( x)≤0的解集为[ 1
a ,3]．
(ii)若b=3a+1，则f ( x)=a x
2−(3a+1)x +3=( x
2−3 x)a−x +3．
令g(a)=( x
2−3 x)a+3−x，则g(a)>0在[1,2]上恒成立，所以{
g(1)>0
g(2)>0
，即{
( x
2−3 x)+3−x>0
2( x
2−3 x)+3−x>0
解得{
x<1
x
或>3
x< 1
2
x
或>3
，所以x< 1
2
或x>3，
即x的取值范围为(−∞, 1
2 )∪(3,+ ∞).
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.(本小题15分)
已知奇函数f ( x)的定义域为R，当x ≤0时，f ( x)= 3 x
x−1
．
(1)求f ( x)的解析式；
(2)证明：f ( x)在[0,+ ∞)上单调递减；
(3)若对任意的x∈R，不等式f (m−3 x
2)+ f (2 x
2−4 x −3)≥0恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】解：(1)奇函数f ( x)的定义域为R，当x ≤0时，f ( x)= 3 x
x−1
，
当x>0时，−x<0，
则f (−x)= −3 x
−x−1 = 3 x
x +1 =−f ( x)，
所以f ( x)=−3 x
x +1
，
则f ( x)={
3 x
x−1 , x ≤0
−3 x
x +1 , x>0
；
(2)证明：任取x1> x2≥0，
因为x>0时，f ( x)=−3 x
x +1 =−3+
3
x +1
，
则f ( x1)−f ( x2)=
3
1+ x1
−
3
1+ x2
=
3( x2−x1)
(1+ x2)(1+ x1) <0，
所以f ( x1)<f ( x2)，
所以f ( x)在[0,+∞)上单调递减；
(3)因为f ( x)是定义域为R的奇函数，以及在[0,+∞)上单调递减，
所以f ( x)在R上单调递减，
若对任意的x∈R，不等式f (m−3 x
2)+ f (2 x
2−4 x −3)≥0恒成立，
则f (2 x
2−4 x −3)≥−f (m−3 x
2)= f (3 x
2−m)恒成立，
所以2 x
2−4 x−3≤3 x
2−m恒成立，
所以m≤x
2+ 4 x +3恒成立，
根据二次函数的性质可知，当x =−2时，x
2+ 4 x +3取得最小值−1，
所以m≤−1，
故实数m的取值范围为{m|m≤−1}．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.(本小题17分)
Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有
国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千
件需另投入c( x)万元.其中c( x)与x之间的关系为：
，且函数
c( x)的图象过A(3,9)，B(6,24)，C(82,1054)三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12
万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完．
(1)求a，b，c的值，并写出年利润L( x)(万元)关于年产量的x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润．
【答案】解：(1)将A(3,9)，B(6,24)，C(82,1054)三点代入，
得
解得{
a= 1
3
b=2
c =16000
,
即
依题意，
(2)由
当0< x<20时，L( x)=−1
3 ( x−15)
2+60，
则当为x =15时，L( x)取得最大值60万元；
当x ≥20时，L( x)=−10 x−16000
x−2 +935=−[10( x−2)+ 16000
x−2 ]+915
≤−2 √10( x−2)× 16000
x−2 +915=115，
当且仅当10( x−2)= 16000
x−2
时，即x = 42时取得等号，
此时L( x)取得最大值，且最大值为115万元，
所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.(本小题17分)
定义：满足f ( x)= x的实数x为函数f ( x)的“不动点”.已知二次函数f ( x)=a x
2+bx(a≠0)，f ( x +1)为
偶函数，且f ( x)有且仅有一个“不动点”．
(1)求f ( x)的解析式．
(2)若函数g( x)= f ( x)+ k x
2在(0,4)上是增函数，求实数k的取值范围．
(3)是否存在区间[m,n](m<n)，使得f (x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在，请求出m，n的值
;若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)由题意可得，二次函数f ( x)=a x
2+bx(a≠0)的对称轴为x =−b
2a =1，
∴b=−2a，
f ( x)=a x
2−2ax．
再根据函数f ( x)有且仅有一个不动点，可得a x
2−2ax = x只有一个解，
故△=(2a+1)
2−0=0，
∴a=−1
2
，b=1，
∴f ( x)=−1
2 x
2+ x；
(2)∵函数g( x)= f ( x)+k x
2=(k −1
2 )x
2+ x，
当k −1
2 =0，即k = 1
2
时，
g( x)= x在(0,4)上是增函数，满足要求；
当k −1
2 >0，即k > 1
2
时，
若g( x)在(0,4)上是增函数，
则
1
1−2k ≤0，解得k > 1
2
，
综上，k > 1
2
，
当k −1
2 <0，即k < 1
2
时，
若g( x)在(0,4)上是增函数，
则
1
1−2k ≥4，综上解得3
8 ≤k < 1
2
，
综上所述，实数k的取值范围为[ 3
8 ,+∞)．
(3)f ( x)=−1
2 x
2+ x =−1
2 ( x−1)
2+ 1
2 ≤1
2
，
∵f ( x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]
∴3n≤1
2
∴n≤1
6
故m<n≤1
6
∴f ( x)在区间[m,n]上为增函数
∴{
f (m)=3m
f (n)=3n
即{
−1
2 m
2+m=3m
−1
2 n
2+n=3n
即m，n为方程−1
2 x
2+ x =3 x的两根，
解−1
2 x
2+ x =3 x得x =−4，或x =0
故m=−4，n=0
【解析】本题主要考查二次函数的性质应用，新定义，函数图象的平移变换，是二次函数图象和性质的综
合应用，属于中档题．
(1)由题意可得，二次函数f ( x)=a x
2+bx(a≠0)的对称轴为x =−b
2a =1，故有b=−2a，再根据函数
f ( x)有且仅有一个不动点，可得a x
2−2ax = x只有一个解，由判别式等于零求得a的值，可得函数的解析
式．
(2)由于函数g( x)= f ( x)+ k x
2=(k −1
2 )x
2+ x的对称轴为x =
1
1−2k
，且函数g( x)在(0,4)上是增函数，
分类讨论求得k的范围．
(3)由(1)中函数的解析式，求出函数的最大值，进而根据f ( x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]，可得
m<n≤1
6
，利用二次函数的图象和性质分析函数的单调性，可构造关于m，n的关系，可得答案．
