文档文本内容
2025-2026 学年高一数学上学期期末模拟卷
全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 必修第一册+必修第二册。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因
，
，
则
.
故选：B.
2．函数
的零点所在的一个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，
，则
，
而结合幂函数与指数函数性质可得
是单调递增函数，
由零点存在性定理得函数
的零点所在的一个区间是
，故A 正确.
故选：A
3．已知向量
，若
与
同向共线，则x 为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【详解】
与
同向共线,
.
当
时，
，
与
同向共线，符合；
当
时，
，
与
反向共线，不符合.
．
故选：A．
4．关于
的不等式
的解集为
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
【答案】D
【详解】对于A 选项，由题意得关于
的不等式
的解集为
，则
，故A 错误；
对于B 选项，由题意可知，关于
的方程
的两根分别为
、，
由韦达定理可得
，可得
，
所以，不等式
即为
，
即
，解得
或
，
因此不等式
的解集为
或
，故B 错误；
对于C 选项，由题意得
，故C 错误；
对于D 选项，不等式
即为
，即
，解得
，
因此不等式
的解集为
，故D 正确.
故选：D.
5．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200 位参赛学生的
综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ）
A．
B．评分在
的人数约为20
C．估计评分的第25 百分位数为65
D．估计评分的平均数为76.5
【答案】C
【详解】对于A，由
，得
，故A 正确；
对于B，评分在
的频率为
，评分在
的人数约为
，故B 正确；
对于C，评分在
的频率为
，评分在
的频率为
，
则评分的第25 百分位数
在
内，由
，解得
，故C 错误；
对于D，评分的平均数
，故D 正确.
故选：C.
6．如图，在
中，
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，
.设
，
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
所以
，
又
，
，
所以
，
因为
，
，
三点共线，所以
，
由图可知
，
，
所以
，
当且仅当
，即
、
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：D
7．Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网
络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学
习率，
表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始
学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10 时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3 以下
（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：
，
）
A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】B
【详解】由于
，所以
，
依题意
，则
，
则
,由
，
两边同时取对数可得
，
，
，
，
即
，所以所需的训练迭代轮数至少为15 次．
故选：B
8．已知定义在R 上的奇函数
满足
，且当
时，
，则下列结
论正确的是（ ）
①
的图象关于直线
对称；
②
是周期函数，且2 是其一个周期；
③
；
④关于
的方程
（
）在区间
上的所有实根之和是12.
A．①③
B．①④
C．③④
D．①②④
【答案】B
【解析】由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数
的大致
图象与直线
，由它们交点的性质判断④．
【详解】由
可知
的图象关于直线
对称，①正确；
因为
是奇函数，所以
，所以
，所以
是周期
函数，其一个周期为4，但不能说明2 是
的周期，故②错误；
由
的周期性和对称性可得
.又当
时，
，所
以
在
时单调递增，所以
，即
，③错误；
又
时，
，则可画出
在区间
上对应的函数图象变化趋势，如图
易得
（
）即
（
）在区间
上的根分别关于1，5 对称，故零点之和
为
，④正确.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为
奇函数结合
，得到
和
，从而得到函数
的对称性和周期性.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设
，
是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ）
A．如果
，那么
与
相互对立
B．若
，则
，
是互斥事件
C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个
黑球”是对立事件
D．已知事件
，
发生的概率分别为
，
且
，则事件
，
相互独立
【答案】BD
【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2 次的试验中，
设
“至少有一次正面向上”，
“两次都是正面”，
显然
，但
与
不是对立事件，故A 错误；
选项B：由
，
，
得
，所以
，
是互斥事件，故B 正确；
选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果：
一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球；
故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C 错误；
选项D：根据相互独立事件的定义，若事件
与
满足
，则
与
相互独立，
因为
，
，
，满足
，
因此事件
，
相互独立，故D 正确.
故选： BD
10．狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重
要贡献，创立了现代函数的正式定义．狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用
符号
来表示，该函数的解析式为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．对任意
【答案】BCD
【详解】对于A，
是分数形式的有理数，根据定义，当
时，
，因此
，故
A 错误；
对于B，
的值始终为有理数，根据定义，当
时，
，故B 正确；
对于C，对任意x，若
，则
，故
；
若
，则
，故
；
因此
对所有x 成立，
是偶函数，故C 正确；
对于D，对任意
，若
，
，则
，
故
；
若
，
，则
，
故
，
因此对任意
，
成立，故D 正确．
故选：BCD．
11．已知函数
，若
有3 个不等实根
，
，
，且
，则（ ）
A．
的单调递增区间为
，
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．方程
有5 个根
【答案】ACD
【详解】作函数
草图如下：
由图可知：
的单调递增区间为
，
，故A 正确；
有3 个不等实根，则
，故B 错误；
因为
，由
；由
.
所以
，所以
的取值范围是
，故C 正确；
由
，且
，所以
；
由
.
所以，由
或
.
因为方程
有3 个不同的实根，方程
有2 个不同的实根，且两方程的根互不相同，所以方
程
有5 个不同实根，故D 正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．一条渔船距对岸3km，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为
6km，则河水的流速为 km/h．
【答案】
【详解】如图，用
表示河水的流速，
表示船的速度，
则
为船的实际航行速度．
由图知，
，
，则
．
又
，
所以
．
即河水的流速是
km/h．
故答案为：
13．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【详解】
，
由反比例函数性质知当
，即
时，
在
单调递增，
又
在
单调递增，所以
，所以
.
综上
，即实数
的取值范围是
故答案为：
.
14．某校有
个社团，每个社团均有
人，第
个社团中有
个女
生，余下的为男生.在这
个社团中任选一个社团，再从该社团中依次选出3 人，若第三次选出的人恰为男
生的概率是
，则
.
【答案】7
【详解】每个社团被选出的概率为
，从第
个社团中第三次选出的人为男生的概率与第一次选出的人为
男生的概率是相同的，
则第
个社团中第三次选出的人为男生的概率
，
所以任选一个社团，其第三次选出的人恰为男生的概率
，
，
解得
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知集合
，
．
(1)若
且
，求b 的值．
(2)若
且
，求a 的值．
(3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（
且
），都有
？若存在，求出a 的值；若不存
在，请说明理由．
【详解】（1）若
，则
．因为
，所以
．.................................................3 分
（2）当
时，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，....................................................................................................................................5 分
所以
或
或
，
解得
或1．..................................................................................................................................................8 分
（3）若对于任意实数b，都有
，则
．
所以
，..................................................................................................................................10 分
所以
，解得
，
所以存在
，使得对于任意实数b（
且
），都有
．..............................................13 分
16．（15 分）在
中，点D 为边
上靠近A 的三等分点，点M 为形内一点.
(1)如图，若点M 满足
求
与
的面积之比；
(2)若点O 为
的外心，点M 满足
延长线交
于点N，
求k 的
值.
【详解】（1）M 是
所在平面内一点，延长
至
使
.
，
，
连接
，因为向量
和向量
平行且模相等，则四边形
是平行四边形...................................3 分
由于
，所以
，又
，所以
，
在平行四边形中，
，所以
与
的面积之比为
...................7 分
（2）
，
.
设
，
，
，
，
，.................................................................................................9 分
，.........................................................................................12 分
又
，
，解得
.
所以
........................................................................................................................................................15 分
17．（15 分）某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超
过半小时的部分每小时收费3 元（不超过半小时的部分不计费，超过半小时但不足1 小时的部分按1 小时
计费）.现有甲、乙、丙三人在该停车场停车，三人停车时长互不影响且都不超过2.5 小时.
(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5 小时，1.5 小时以上且不超过2.5 小时这三个
时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3 元的概率；
(2)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5 小时，1.5 小时以上且不超过2.5 小时这三个
时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9 元的
概率；
(3)甲、乙、丙停车不超过半小时的概率分别为
，
，
，停车半小时以上且不超过1.5 小时的概率分别
为
，
，
，求甲、乙、丙三人临时停车的费用不相同的概率.
【详解】（1）由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5 小时，1.5 小时以上且不
超过2.5 小时这三个时段的概率相同均为
，且三段时间费用分别为0，3，6 元，
故甲停车的费用不超过3 元的概率为
..............................................................................................3 分
（2）设甲停车付费
元，乙停车付费
元，其中a，
，
甲、乙两人停车付费
的所有可能情况为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，共9 种，且概率相等，............................................................................................................5 分
其中事件“甲、乙两人停车付费之和为9 元”包含
，
，共2 种情况，
故甲、乙两人停车付费之和为9 元的概率为
..............................................................................................7 分
（3）设甲停车的时长不超过半小时，乙停车的时长不超过半小时，丙停车的时长不超过半小时分别为事
件
，
，
，
甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5 小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5 小时，丙停车的时
长在半小时以上且不超过1.5 小时分别为事件
，
，
，
甲停车的时长为1.5 小时以上且不超过2.5 小时，乙停车的时长在1.5 小时以上且不超过2.5 小时，丙停车
的时长在1.5 小时以上且不超过2.5 小时分别为事件
，
，
，..........................................................9 分
则
，
，
，...................................................................................................11 分
甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率为
，..............................................................................13 分
甲、乙、丙三人临时停车付费不相同的概率为
.....................................................................15 分
18．（17 分）已知函数
．
(1)判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(2)求函数
的值域．
(3)设函数
，且函数
在区间
上的最小值为7，求
的值．
【详解】（1）偶函数，理由如下：
由题意得
，则
，
所以
的定义域为
，关于原点对称，...........................................................................................2 分
由
，
则
，
所以
是偶函数............................................................................................................................................4 分
（2）因为
，
因为
，又因为
，则
，........................................................................6 分
①当
时，
为增函数，此时
，故
的值域为
，
②当
时，
为减函数，此时
，故
的值域为
................8 分
综上所述，当
时，故
的值域为
.
当
时，
的值域为
.......................................................................................................10 分
（3）由题意
，
设
，因为
为增函数，
为减函数，所以
为增函数，
所以
时，
，
所以
在区间
上的最小值为
，且对称轴为
，开口向上，...............................12 分
①当
，即
时，此时
在区间
上单调递增，
所以当
时，取得最小值为，不符合题意，故舍去；........................................................................13 分
②当
，即
时，此时
在区间
上单调递减，
在
上单调递增，则
时，有最小值为
，解得
（负值舍去），符合题意；15 分
③当
，即
时，此时
在区间
上单调递减，
所以当
时，最小值为
，解得
舍去.
综上所述，
的值为
....................................................................................................................................17 分
19．（17 分）定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称函数
是
上的有界函数，其中
称为函数
在
的上界．
(1)判断函数
在其定义域内是否属于有界函数；
(2)若函数
，且
，则函数
在区间
上是否存在上界
，若存在，求出
的
取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数
在
上是以3 为上界的有界函数，求实数
的取值范围．
【详解】（1）令
，则
，
当
时，函数
的最大值为
，
所以
，即
，所以
为有界函数．.........................................................4 分
（2）
，
，
在
上递增，
，
，................................................................6 分
，所以
，
存在上界
的范围是
．........................................................................................................8 分
（3）由题意知，
在
上恒成立，
，
，
因此
在
上恒成立，
，............................................................................................................11 分
设
，由
知
，
设
，则
，.................................................14 分
在
上单调递减，
在
上单调递增，
在
上的最大值为
在
上的最小值为
，
．
的取值范围
．...........................................................................................................17 分
