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第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷·强化卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知幂函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【详解】因为幂函数
为偶函数，则
，
即
，解得
或
，
当
时，函数
为奇函数，不合乎题意；
当
时，函数
为偶函数，合乎题意.
故
.
故选：A.
2．已知
，
，则
（ ）
A．9
B．3
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
，
于是
，
于是
.
故选：D
3．若函数
是奇函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．3
【答案】C
【详解】
的定义域为
，关于原点对称，
则
，即
，故
，解得
，
故选：C
4．已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为幂函数
在
上为增函数，所以
，即
，
又因为对数函数
在
上为增函数，所以
，
综上所述，
.
故选：D.
5．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离
高考还有236 天，我们可以把
看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是
；而
把
看作是每天“退步”率都是1%，高考时是
．若“进步”的值是“退步”的值
的10 倍，大约经过（ ）天（参考数据：
，
）
A．100 天
B．210 天
C．225 天
D．115 天
【答案】D
【详解】设经过
天后，“进步”的值是“退步”的值的10 倍，
则
，即
.
故选：D.
6．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，又函数
的值域为
，
可得当
时，
，
需满足
单调递增，且
，得到
，解得
，
即实数
的取值范围是
，
故选：D
7．已知函数
，若
互不相等，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】画出
的函数图象如图：
不妨设
，令
，则结合
和图象可知
，
因
，则
，
则
则
.
故选：D
8．已知函数
，设
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，易知函数
在
和
上分别单调递增，
所以
，
又当
时，
，
因为
，
则
，
，即
，
，
又
，所以
，
所以
，
设
，则
，
，
所以
，
故选：C.
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．已知非零实数a，b 满足等式
，则下列结论不可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】
【详解】解法一：在同一直角坐标系中作出函数
与
的图象如图所示，
设
，当
时，结合图象可得，
；
当
时，结合图象可得，
；
当
时，结合图象可得，
．
由此可知CD 选项不可能；
解法二：由题意，等式
两边同时取对数，得
，
即
，当
时，显然成立；
当
时，得
，所以a，b 同号且
，
所以
或
，由此可知CD 选项不可能；
故选：CD．
10．已知
与的函数关系式为
且
，部分图象如图所示，则（ ）
A．当
时，
B．
且
的值域为
C．
的单调递减区间为
D．当
为10，20，30 时，分别对应
，则
【答案】ACD
【详解】对于A，函数图象经过
，可得
，解得
，故
，当
时，
，故A 正
确；
对于B，因
，而指数函数
的值域为
，故函数
的值域为
，故B 错误；
对于C，由上分析，已得
，则
，
令
，则由
可得
或
，
而
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在定义域上为增函数，可推得
的单调递减区间为
，故C 正确；
对于D，依题意，由
，可得
，同理
，
因
，则
，即
，故D 正确.
故选：ACD.
11．已知函数
和
的定义域都为
是奇函数，
是偶函数，且
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
，使得
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，因为
是奇函数，所以
，
因为
是偶函数，所以
，
因为
，所以
为奇函数，故A 正确；
对于B，因为
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，
，
所以
，故B 正确；
对于C，令
，则
，
即
，此方程无解，故C 错误；
对于D，因为
，
所以
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以
成立，故D 正确.
故选：ABD
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．函数
（其中
为自然对数的底数）的反函数为
，则
．
【答案】1
【详解】因为
为函数
的反函数，所以
.
所以
，
.
所以
.
故答案为：1
13．已知函数
的图象恒过定点
，若点
也在一次函数
的图象上，其中
实数
，
满足
，则
的最小值为 .
【答案】9
【详解】由
恒过定点，需使
，解得
，即点
的坐标为
，
因点
也在一次函数
的图象上，则
，
又
，则得
，
由
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
即当
时，
取得最小值为9.
故答案为：9.
14．已知函数
，且满足
，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【详解】由题意，函数
，化简得
，
又
，即
，
又
，即
，
又
，所以
，
所以
，
令
，则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，所以
，
所以
，
,
所以
，所以函数
单调递增，
则有
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数
的最小值为
，
(1)求
的值；
(2)已知正实数
均不等于1，且
是方程
的两个根，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
则函数
的最小值为
，
得到
，又
，则
.
（2）
，
则
的两根为
，
，
即
.
16．近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020 年起，每年统计其芯片的年销售数量.
将2020 年记为第0 年，统计数据如下表所示：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
时间
年
0
1
2
3
4
年销售数量
万片
100
150
225
337.5
506.25
(1)在平面直角坐标系中，以为横轴，
为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；
(2)为了描述年销售数量
与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择：
①
②
③
（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000 万片？（参考数据：
）
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）选择函数模型
合适，理由见解析，
；
（ii）
年
【分析】
【详解】（1）
（2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长，
故选择函数模型
合适；
将
分别代入
，
得
，解得
，
所以
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以
；
（ii）令
，则
，
则
，
所以预测该公司芯片的年销售数量在
年会首次超过2000 万片.
17．已知定义域是
的函数
是奇函数．
(1)求
的值；
(2)判断函数
的单调性，并用定义法予以证明；
(3)设
，若关于的不等式
有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
在R 上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）由
为定义在
上奇函数，可知
，
即
，解得
．
经检验，
符合题意，
故
；
（2）由
单调递增可知
在
上为增函数，证明如下：
对于任意实数
，不妨设
，
，
递增，且
，
，
，
，
故
在
上为增函数．
（3）由
为奇函数得：
，等价于
．
又由
在
上为增函数得：
，即
；
因为
，所以
．原问题转化为
在
上有解，
又对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
.
的取值范围是
．
18．已知幂函数
在
上是严格增函数．
(1)求
的值；
(2)设
，求
在
上的最小值；
(3)若存在
，使得不等式
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)最小值是
(3)
【分析】
【详解】（1）因为
为幂函数，且在
单调递增，
所以
，解得
.
（2）
令
，而函数
在
单调递增，
所以
在
单调递减，所以函数
在
单调递减，
又
是增函数，根据复合函数单调性可知
在
单调递减，
所以当
时，
取得最小值
.
（3）令
，因为
，所以
，
则不等式即
，所以
，
，
所以
，
又
的对称轴为
，
所以当
时，
取得最小值
，+
所以
的取值范围是
.
19．已知函数
与
满足对任意的
，总存在
，使得
成立，则称
是
在区间D 上的“m 阶自伴函数”，当
时，称
为区间D 上的“m 阶自伴函数”.
(1)若函数
为区间
上的“243 阶自伴函数”，求实数b 的值;
(2)若
是
在区间
上的“2 阶自伴函数”，求实数a 的取
值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】
【详解】（1）因为函数
为区间
上的“243 阶自伴函数”，
所以对任意
，存在
，使得
成立，
所以对任意
，存在
，使得
，即
，
所以
，
所以
，解得b=2，即实数b 的值为2.
（2）当
时，
，
所以
，
因为
是
的“2 阶自伴函数”，
所以对任意
，存在
，使得
成立，
因为
，所以
，
所以
是
在区间
上值域的子集.
当
时，
，
令
，
当
时，
在
上单调递增，
，
所以
，解得
；
当
时，
，
所以
，解得
；
当
时，
，
所以
，解得
；
当
时，
在
上单调递减，
，
所以
，解得
.
综上所述，实数a 的取值范围为
.
