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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
强化卷·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
A
C
A
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
题号
9
10
11
答案
AC
AB
BD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
和
13．
14． 10 分钟
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（14 分）
15．（13 分）
【详解】（1）由
可得，
，（3 分）
令
所以直线过定点
．（7 分）
（2）由（1）知，直线恒过定点
，（8 分）
由题意可设直线的方程为
，直线与
轴、
轴正半轴的交点分别为
，（9 分）
令
，得
；令
，得
．（10 分）
所以
的面积
，（11 分）
当且仅当
，即
时等号成立，此时
面积最小，
，
，
的周长为
．（12 分）
所以当
面积最小时，
的周长为
．（13 分）
16．（15 分）
【详解】（1）
的圆心为
，半径为2，（1 分）
因为圆
与圆
关于原点对称，（3 分）
所以圆
的圆心为
，半径为2，（5 分）
所以圆
的标准方程为
；（7 分）
（2）方法一：由（1）知，圆
的圆心
，半径
，
，
因为
表示点
与
之间的距离，即
，（8 分）
所以
．（10 分）
又
，（11 分）
所以点
在圆
外，所以
，（13 分）
则
的最小值为
，（14 分）
最大值为
．（15 分）
方法二：由点
为圆
上任意一点，
且圆
的标准方程为
，可设
则
．
因为
，
所以
的最小值为
，最大值为
．（15 分）
17．（15 分）
【详解】（1）∵四边形
为菱形，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
平面
，
∵
平面
，平面
和平面
的交线为，
∴
.（4 分）
（2）取
的中点
，连接
，
∵
是边长为4 的等边三角形，∴
，
∵四边形
为菱形，
，∴
为等边三角形，
，
又
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
又
在平面
内，所以
，
所以
两两垂直，
以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，（5 分）
则
，
，（6 分）
设平面
的法向量为
，
由
，
令
，则
，
，（9 分）
假设在线段
（不含端点）上存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
．
设
，（10 分）
则
，（11 分）
∵平面
的法向量为
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，
∴
，（13 分）
整理得
，解得
或
，（14 分）
所以在线段
(不含端点)上存在点
，当
或
时，直线
与平面
所成角的正弦
值为
．（15 分）
18．（17 分）
【详解】（1）（解法一）设弦
的中点为
，
①当直线的斜率不存在时，易知
符合题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
即
，
，
，则由
，解得
，
此时直线的方程为
，
故直线的方程为
或
；（4 分）
（解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为
，
，
，则由
，解得
或
，
故直线的方程为
或
；（4 分）
（2）（解法一）由于
、
为圆
的两条切线，
所以
，
又
，而
的最小值为点
到直线
的距离
，
所以
，
故四边形
面积的最小值为
；（10 分）
（解法二） （前两步同解法一）
设点
的坐标为
，则
，
，
所以当
时，
，
故四边形
面积的最小值为
；（10 分）
（3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为
，
、
，
由
，可得
，
可得
，
所以
，所以
，
则
，所以
.
又
，
，所以
，
若向量
与
共线，则
，
由
，可得
，解得
，
当
时，
，
所以存在直线，使得向量
与
共线，
直线的方程为
，即
.（17 分）
19．（17 分）
【详解】（1）左边由定义可得：
，
右边
左边．
故等式得证.（4 分）
（2）设
，由定义可得底面
的面积为：
，
又因
为同时与
垂直的向量，故
为底面
的法向量，
则平行六面体的体高为：
，
所以平行六面体的体积为：
，
又因
，故点
在底面的投影为
的重心，易得
，
所以
．
所以，
，其几何意义为以向量
构成的平行六面体
的体
积．（10 分）
（3）如图，设正四面体
的棱长为，其中
设
，且平面
与
交于
，与
交于
，
故有
，又由（2）可得：
，
，
同理
，
由（1）可得：
，
所以
，
，
所以
，即
．（17 分）
