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2025-2026 学年高一数学上学期第一次月考卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 必修一第一章+第二章 。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．集合
的子集有（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】D
【分析】根据集合中有
个元素，其子集有
个元素即可得解.
【详解】由题意得集合
中有3 个元素，则其子集有
个.
故选：D.
2．已知集合A = {1,2,3,5),B = {2,3,5,7,11)，则
（ ）
A．
B．
C．{2,3,5,7,11)
D．{1,2,3,5,7,11)
【答案】A
【分析】根据集合交集的定义计算.
【详解】因为A = {1,2,3,5),B = {2,3,5,7,11)，
所以
.
故选：A.
3．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】先将不等式
变形为
，再求出变形后的一元二次不等式的解，
即可得解.
【详解】原不等式
可化为
，
解得
或
，
所以不等式
的解集为
或
.
故选：B.
4．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得解.
【详解】由
，解得
，由
，解得
或
，
若
成立，则
或
也成立，
反之，若
或
成立，则
不一定成立，
∴“
”是“
”的充分不必要条件.
故答案为：A.
5．已知
，
，若集合
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．1 或-1
【答案】C
【分析】由两集合相等及分式的分母不为
可求出
，再利用集合相等和互异性求
，代入计算
即可.
【详解】因为
，
，所以
，故
，
此时集合为
，根据集合相等，必有
，解得
或
．
当
时，不满足集合元素的互异性，
当
时，集合为
，符合条件.
所以
．
故选：C.
6．已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】C
【分析】由题意可知：
，
是方程
的两根，利用韦达定理可得
，再利用基本不
等式求最值即可.
【详解】由题意可知：
，
是方程
的两根，且
，
则
，可得
，
，
则
，当且仅当
时取等号，
所以的最小值为
.
故选：C.
7．已知实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，得到
，求得
，得到
，即可求解.
【详解】令
，联立方程组
，解得
，
则
，
因为
，可得
，
所以
，所以
，即
.
故选：B.
8．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4 秒敲响一声，乙钟每5 秒敲响一声，丙钟每6 秒敲响一声．新
年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365 声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响
的次数分别
，则
（ ）
A．365
B．256
C．484
D．516
【答案】C
【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可.
【详解】设敲钟持续的时间为
秒，
则甲乙丙钟敲响次数分别为
，
，
，
由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为
，
由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为
，
由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为
，
由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为
，
由容斥原理易知
，
解得
，则
．
故选：C．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
【答案】AB
【分析】由不等式性质判断AB 正确，举反例说明CD 错误即可.
【详解】由不等式性质可知AB 正确；
对于C，当
，
时，
不成立，故C 错误；
对于D，当
时，
不成立，故D 错误.
故选：AB.
10．关于
的方程
至少有一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】探求使不等式成立的充分不必要条件，即寻找在解集范围内且小于该范围的选项．
【详解】当
时，方程为
，此时方程的根为负根，
当
时，方程
，
当方程有两个负根时，则有
，解得
，
当方程有一个负根一个正根时，则有
即
，
综上所述，当关于
的方程
至少有一个负根时，有
，
选项中，在
的范围内，且比
小的范围有A、B、C．
故选：ABC.
11．取整函数：
不超过
的最大整数，如
，取整函数在现实生活中有着广
泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性
质是真命题有（ ）
A．
B．
C．
则
D．
【答案】BC
【分析】根据取整函数的定义，ABD 举列判断，C 根据定义给予证明．
【详解】
时，
，但
，A 错；
时，
，B 正确；
设
，则
，
，∴
，C 正确；
，则
，但
，D 错．
故选：BC．
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假判断，考查新定义函数取整函数，对于全称命题与存在命题
的真假判断，要根据量词进行判断是进行证明还是可举例判断．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若“
，使得
”是假命题，则实数
的取值可以为 .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】由题意“
，使得
”是真命题，求参数范围即可.
【详解】由于“
，使得
”是假命题，
则“
，使得
”是真命题，
故
，则
，
则实数
的取值可以为
.
故答案为：
（答案不唯一）
13．若方程
的两根为
，且
，则
．
【答案】12
【分析】结合韦达定理，列出方程求解即可
【详解】由韦达定理得，
，
，
，
即
，可解得
故答案为：12
14．已知
，且
，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】将已知条件整理得
，代入
消元得
，再变形后利用基本不等式即得.
【详解】
，
，
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时
取最大值
．
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知集合
.
(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，若
为非空集合，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
和
两种情况求解即可；
（2）分
和
两种情况，结合一元二次方程根的分布求解即可.
【详解】（1）若A 是空集，则方程
无实根，
当
时，
，解得
，此时
，不符合题意；
所以
，
，解得
，
故实数a 的取值范围为
；
（2）当
时，
.
所以方程
至少有一个正实根.
①当
时，
，解得
，
所以
，符合题意；
②当
时，由
，则
且
，
若
时，
，此时
，符合题意；
当
且
时，方程
有两个不相等实根，设为
，
且方程
有两正根或一正根和－负根，
所以
或
，
解得
或
.
综上，实数a 的取值范围为
.
16．（15 分）
已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若存在正实数m，使得“
”是“
”成立的必要不充分条件，求正实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）解不等式化简集合
，再利用补集、交集的定义求解.
（2）求出集合
，再利用必要不充分条件定义列式求解.
【详解】（1）当
时，
，则
或
，
而
，
所以
.
（2）当
时，
，
由（1）知
，由“
”是“
”成立的必要不充分条件，
得集合
是集合
的真子集，则
或
，解得
或
，
所以正实数m 的取值范围中
.
17．（15 分）
娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须
购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润
（单位：万元）与运转的时间
（单位：年）
的函数关系为
.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】(1)第7 年时，可获得最大利润45 万元
(2)
【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果；
（2）设这批机器的年平均利润为
，则
且然后利用基本不等式可得其最
大值.
【详解】（1）
故当
时，
取得最大值，最大值为45，所以这批机器
运转第7 年时，可获得最大利润45 万元；
（2）记年平均利润为
，则
14
当且仅当
，即
时，等号成立.
18．（17 分）
已知函数
.
(1)关于
的不等式
的解集为
，求关于
的不等式
的解集;
(2)已知
，当
时，
，
①若存在正实数a，b，使不等式
有解，求的取值范围;
②求
的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)①
，②36
【分析】（1）由根与系数的关系求出
关系，代入所求不等式，分类讨论解集；
（2）由条件得
，再利用基本不等式求解问题.
【详解】（1）因为关于
的不等式
的解集为
，
所以
，即
所以不等式
可转化为
，
又
，所以
，即
，
当
，即
时，解得
;
当
，即
时，解得
;
当
，即
时，解得
，
综上所述:当
时，不等式的解集为
;
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
（2）因为当
时，
，所以
，
即
，所以
，
①若存在正实数a，b，使不等式
有解，则
，
，
当且仅当
，即
时，
，
所以
，解得
或
，
即的取值范围是
.
②由
，可得
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为36.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式
有解，则
，利用基本不等式求出
，则
，可解不等式.
19．（17 分）
已知集合
其中
由S 中的元素构成两个相应的集合：
，其中
是有序实数对，集合M 和
N 中的元素个数分别为m 和n.若对于任意的
，总有
，则称集合S 具有性质 P.
(1)检验集合
与
是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合M 和N；
(2)对任意具有性质 P 的集合S，证明：
(3)判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.
【答案】(1)集合
不具有性质 P，
具有性质 P，
，
.
(2)证明见解析
(3)
，证明见解析
【分析】（1）利用性质
的定义判断出具有性质
的集合，利用集合
，
的定义写出
，
.
（2）据具有性质
的集合满足
，总有
，得到
得到
；当
时，
，求出
中的元素个数.
（3）当
时，根据定义可得
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
，当
时，
根据定义可得
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
.，进而可得结论
【详解】（1）因为
时，
且
，所以集合
不具有性质
.
因为
时
，
，总有
，
所以集合
具有性质
，其相应的集合
和
是
，
.
（2）首先，由中元素构成的有序数对
共有
个.
因为
，所以
；
又因为当
时，
，
所以当
时，
.
从而，集合
中元素的个数最多为
，
即
.
（3）
，证明如下：
当
时，根据定义，
，
，且
，从而
.
如果
与
是
的不同元素，
那么
与
中至少有一个不成立，
从而
与
中也至少有一个不成立.
故
与
也是
的不同元素.
可见，
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
，
当
时，根据定义，
，
，
且
，从而
.
如果
与
是
的不同元素，
那么
与
中至少有一个不成立，
从而
与
中也至少有一个不成立，
故
与
也是
的不同元素.
可见，
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
，
综上可知，
.
