目 录
01 一元二次函数的图象与性质........................................................................................2
02 集合的概念及表示方法...............................................................................................8
03 集合和集合的关系....................................................................................................17
04 集合的基本运算.......................................................................................................23
05 常用逻辑关系...........................................................................................................32
06 等式的性质..............................................................................................................41
07 不等式的性质...........................................................................................................48
08 不等式的解法（一）...................................................................................................54
09 不等式的解法（二）...................................................................................................61
10 基本不等式（一）......................................................................................................69
11 基本不等式（二）......................................................................................................76
12 暑期复习..................................................................................................................82
1
01 一元二次函数的图象与性质
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解二次函数的图像性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握运用一元二次函数函数图像求值域的方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握一元二次函数的含参数值域问题的求法
知识清单
2
知识点1——二次函数的图象性质
考点1：二次函数一般式中各参数的几何意义
知识笔记
二次函数一般式中各参数的几何意义
已知二次函数方程为：y = ax2 + bx + c(a ≠0)，其各参数几何意义如下：
①二次项系数𝑎——决定函数图像的开口方向与开口大小；
a值的正负————决定了
；
当𝑎 > 0时，二次函数图像开口向上；
当𝑎 < 0时，二次函数图像开口向下.
|a|的大小——开口大小：
|a|越大，二次函数图像开口越小；
|a|越小，二次函数图像开口越大.
②常数项c——函数图像与y轴交点纵坐标
即y = ax2 + bx + c(a ≠0)图像，无论a, b的值为多少，必然过定点(0, c) .
③一次项系数b——本身几何意义不明显，但与二次项系数a组合后将具有鲜明的几何意义：x = −b
2a 为
y = ax2 + bx + c(a ≠0)图像的对称轴.
④判别式Δ = b2 −4ac——由a, b, c共同构成，决定函数与x轴交点个数，
当Δ > 0时，二次函数图像与𝑥轴存在两个交点，当Δ = 0时，二次函数图像与x轴存在1个交点，当Δ < 0时，二次
函数图像与x轴没有交点.
注：高中阶段我们习惯用f(x)表示函数值，y = ax2 + bx + c(a ≠0)也可表达为f(x) = ax2 + bx + c(a ≠0)，例如
f(1)就可代表函数x = 1时的函数值f(1) = a + b + c.
3
典型例题
例1
已知抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点．
(1)求m的取值范围；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3,0)，求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标．
2
2
变式1-1
若函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3，x ∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b =
.
变式1-2
若抛物线y = kx2 −2x −1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（
）
A. k > −1
B. k ≥−1
C. k > −1且k ≠0
D. k ≥−1且k ≠0
变式1-3
已知函数y = −x2 + 2ax + 3在区间(−∞, 4)上是y随x增大而增大，则实数a的取值范围是 .
4
变式1-4
如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b >4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.
其中正确的是( )
A. ②④
B. ①④
C. ②③
D. ①③
2
2
变式1-5
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
①abc < 0；②b2 −4ac < 0；③2a > b；④a + c > b.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5
知识点2——一元二次函数的最值与值域
考点2：定轴定区间值域问题
知识笔记
函数值域
一般地，设函数y = f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果存在x0,使得不等式y ≥f(x0)恒成立，那么f(x0)叫做函数
y = f(x)的最小值，同理，不等式y ≤f(x0)都成立，那么f(x0)叫做函数y = f(x)的最大值；
函数y = f(x)的最小值记作f(x)min，最大值记作f(x)max，那么函数的值域就是[f(x)min, f(x)max].
二次函数值域
(1)二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠0)的定义域为R，
当a > 0时，值域是[ 4ac −b2
4a
, +∞)，
当a < 0时，值域是(−∞, 4ac −b2
4a
]；
(2)二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠0)的定义域不为R时，定义域结合函数图像求最值.
典型例题
例2
已知函数y = −x2 + 3x + 4的x取值为[−2, 2]时，y的值域为 ．
变式2-1
函数y = x2的值域为
（用区间表示）.
变式2-2
函数f (x) = x + 1, x ∈{−1, 1, 2}的值域是
；
函数f(x)= −x2 + 4x −2，x ∈[0, 3)的值域是
.
变式2-3
设集合A = {x|1 ≤x ≤10, x ∈N}, B = {y|y = x2 −12x + 36, x ∈A}，则集合A ⋂B = .
6
变式2-4
已知函数f (x) = x2 −2x + 3，当x ∈[0, 3]时，f (x)的值域是
；若f (x)的值域是[2, 11]，则f (x)的定义域为
．（写出满足条件的一个结论）
考点3：R上的恒成立值域问题
典型例题
例3
已知二次函数y = ax2 + ax + 1图像永远在横轴上方，则实数a的取值范围为
.
变式3-1
若不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对任意x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
变式3-2
若不等式(a −1)x2 + (a −1)x −1 < 0对x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
7
02 集合的概念及表示方法
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解集合的概念及其性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
理解集合的表示方法
目标3
★★★★☆☆ 识别
掌握集合与元素间的关系及符号表达
知识清单
8
知识点1——集合的概念与性质
考点1：集合的概念
知识笔记
集合的概念
集合的概念：把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集，集合通常用大写字母ABC…等表示；集合所含的各个
对象叫做该集合的
.
应注意集合概念中的“确定的对象”与“全体”两个词.
典型例题
例1
请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 .
①上海市2025年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点(0，0)的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x −10 < 0的所有正整数解.
变式1-1
下列各对象的全体，可以构成集合的是
（填序号）
①高一数学课本中的难题；
②与1非常接近的全体实数；
②高一年级视力比较好的同学； ④高一年级中身高超过1.70米的同学
考点2：集合的分类
知识笔记
集合的分类
元素个数：有限集、无限集；
不含有任何元素的集合称为空集∅；
元素类型：数集和
；
常用数集：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
9
典型例题
例2
下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？
(1)
小于10000的素数构成的集合；
(2)
一元二次方程x2 + x + 1 = 0的全体实根之集；
(3)
满足条件x + y = 1和xy > 1的所有实数组(x, y)之集；
(4)
满足条件x2 + y2 = 1和xy < 0的所有实数组(x, y)之集.
变式2-1
判断下列集合是有限集还是无限集．
（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合 ;
（2）所有正方形组成的集合 ;
（3）直线y = x −1上的所有点组合的集合 ;
（4）不大于9的所有非负整数组成的集合 .
考点3：集合的性质
知识笔记
集合的性质
集合中元素的性质：①确定性；②
；③无序性.
10
典型例题
例3
判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）某个单位里的年轻人组成一个集合；
（2）1，3
2 ，6
4 ，|−1
2 |，1
2 这些数组成的集合有5个元素；
（3）由a、b、c组成的集合与由b、a、c组成的集合是同一个集合.
变式3-1
如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（
）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
变式3-2
由实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多含（
）
A. 3个元素
B. 2个元素
C. 4个元素
D. 5个元素
11
考点4：方程解与元素个数问题
典型例题
例4
已知A为方程ax2 + 2x + 1 = 0的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)
若A是空集，求a的范围；
(2)
若A是单元素集合，求a的范围：
(3)
若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
变式4-1
已知集合A是方程(a2 −1)x2 + 2 (a + 1)x + 1 = 0的解集．
(1)
若A是空集，求a的取值范围；
(2)
若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)
若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
12
知识点2——集合的表示方法
考点5：列举法表示集合
知识笔记
列举法
列举法：将集合中的元素一一列举出来.
适用范围：集合内元素较少，或者是无限集但是可以直观的看出集合内元素规律的集合，该方法优点在于简便、直
观.
典型例题
例5
用列举法表示下列集合：
（1）{x|x2 + 3x −18 = 0, x ∈R}；
（2）{x|x为不超过5的自然数}；
（3）{x| −3 < 2x −1 ≤3, x ∈Z}；
（4）{(x, y)|0 ≤x ≤2, 0 ≤y < 2, x, y ∈Z}．
变式5-1
已知集合A = {x |x (x −1) (x −2) = 0}，B = {x |x = a + b, a、b ∈A, a ≠b}，试用列举法表示集合B =
．
13
考点6：描述法表示集合
知识笔记
描述法
描述法：将集合中元素所具有的共同性质描述出来，其形式为{x |x满足的性质P}，其中x为元素的一般形式，P为
元素的
.
适用范围：常用于集合内元素是无限个，且这些元素具有共同特征（如果这些元素是有限个或者无限个，但是无法
找出其中的规律就不可用描述法了）.
典型例题
例6
用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：
；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：
；
（3）偶数集：
；
（4）抛物线y = x2 −3x + 2上的所有点组成的集合：
．
变式6-1
用描述法表示下图中的阴影部分可以是
．
14
考点7：区间法表示集合
知识笔记
区间法
当a，b ∈R且a < b时，规定：
满足不等式a ≤x ≤b的全体实数x组成的集合称为一个闭区间，记作[a, b]；
满足不等式a < x < b的全体实数x组成的集合称为一个开区间，记作(a, b)；
满足不等式a ≤x < b的全体实数x组成的集合为一个半开半闭区间，记作[a, b)；
满足不等式a < x ≤b的全体实数x组成的集合为一个半开半闭区间，记作(a, b];
满足不等式x < a(x ≤a)的全体实数x组成的集合，记作(−∞, a)((−∞, a]);
满足不等式x > a(x ≥a)的全体实数x组成的集合，记作(a, +∞)([a, +∞)).
典型例题
例7
集合A={x|x≥0且x≠1}用区间表示
．
变式7-1
把不等式|x −1| < 2的解集用区间表示：
.
知识点3——集合与元素的关系
考点8：符号运用
知识笔记
集合的属于关系
集合常用大写字母A, B, C…表示，集合中的元素用小写字母a, b, c…表示.
(1) 如果a是集合A的元素，就记作a ∈A，读作“a
A”；
(2) 如果a不是集合A的元素，就记作a ∉A，读作“a
A”.
15
典型例题
例8
用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设集合B是小于√11的所有实数的集合，则2√3
B，1＋√2
B；
（2）设集合C是满足方程x＝n ＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3
C，5
C；
（3）设集合D是满足方程y＝x 的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1
D，(－1，1)
D．
2
2
变式8-1
下列结论中，不正确的是（
）
A. 若a ∈N，则−a ∉N
B. 若a ∈Z，则a2 ∈Z
C. 若a ∈Q，则|a| ∈Q
D. 若a ∈R，则a3 ∈R
考点9：元素与集合的关系问题
典型例题
例9
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A =
变式9-1
已知集合A = {2, a2 + 3a + 3}，且3 ∈A，则实数a的值为
.
变式9-2
已知集合A = {2, a2 + 1, a2 −a}，B = {0,7，a2 −a −5，2 −a}，且5 ∈A，求集合B．
16
03 集合和集合的关系
学习目标
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
理解子集和真子集的概念及集合间的关系
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
掌握子集个数的计算方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握解决含参集合问题的方法
知识清单
17
知识点1——子集、真子集的概念及集合间的关系
考点1：子集、真子集的概念
知识笔记
子集的概念
子集：对于两个集合A与B，若集合A中任何一个元素都属于集合B，则集合A叫做集合B的子集，记作A ⊆B(或
B ⊇A) ，读作A包含于B（或B包含A）.
(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A.
(2)集合A是其自身的子集，即A ⊆A .
(3)子集的传递性：若A ⊆B, B ⊆C, 则A ⊆C.
真子集
对于集合A和B，若A ⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，则集合A叫做集合B的真子集，记作A ⊂B或B ⊃A，
读作“A真包含于B”.
(1)空集是任何非空集合的真子集；
(2)N ⊂Z ⊂Q ⊂R；
(3)连接元素与集合的符号有：∈和∉ ；
(4)连接集合与集合的符号有：⊆, ⊂, ≠, =等；
(5)若A ⊆B，则A ⊂B或A = B.
典型例题
例1
下列命题中正确的是（
）
A. 空集没有子集
B. 空集是任何一个集合的真子集
C. 任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D. 设集合B ⊆A，那么，若x ∉A，则x ∉B
变式1-1
已知集合A = {x|0 ≤x < 6, x ∈N}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则集合A，B间的关系为（
）
A. A ∈B
B. B ∈A
C. A = B
D. B ⊆A
18
变式1-2
设A = {1, 2, 3, 4}，B = {1, 2}，请写出一个满足B⊂C⊂A的集合C = .
变式1-3
已知集合A = {−1, 3, 2m −1}，集合B = {3, m2}.若B ⊆A，则实数m =
.
考点2：符号运用
典型例题
例2
设集合T = {∅, {∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅} ∈T，④{∅} ⊆T中正确的是
（写出所有
正确命题对应的序号）.
变式2-1
下列六个关系式：①{a, b} ⊆{b, a}；②{a, b} = {b, a}；③{0} ≠∅；④0 ∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅⊆{0}，其中正
确的个数为（
）
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
考点3：集合相等
知识笔记
相等的集合
对于两个集合A和B，若A ⊆B且B ⊆A，则叫做集合A与集合B 相等，记作A = B.相等的集合中的所含元素完全相
同.
典型例题
例3
含有三个实数的集合可表示为{a, b
a , 1}，也可以示为{a2, a + b, 0}，则a2013 + a2014的值为
.
19
变式3-1
设集合A = {0, a}, B = {a −2, 3a −4}，若B = A，则a =（
）
A. 2
B. 1
C. 4
3
D. −2
考点4：集合包含关系的运用
典型例题
例4
已知非空集合M满足：对任意x ∈M，总有x2 ∉M且√x ∉M，若M ⊆{0, 1, 2, 3, 4, 5}，则满足条件的M的个数是
.
变式4-1
已知一个有四个数字元素的集合S，S的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则S的元
素之和等于
.
知识点2——子集个数问题
考点5：子集个数的求算
知识笔记
集合的子集个数问题
思考：
1. 空集有多少个子集？1个
2. 集合{a, b, c}有多少个子集？集合{a, b, c, d}有多少个子集？8个、16个
3. 含n个元素的集合的子集个数为2n；非空子集个数为2n −1；真子集个数为2n −1；非空真子集个数为2n −2.
典型例题
例5
集合A = {x ∈N x = 16
n , n ∈N}的非空真子集个数为
.
∣
20
变式5-1
已知集合A = {x|x < 4, x ∈N}，则集合A的非空真子集的个数为
．
考点6：子集个数的应用
典型例题
例6
满足{1, 2} ⊆A ⊂{1, 2, 3, 4, 5}的集合A有
个．
变式6-1
集合A满足{a, b} ⊆A ⊆{a, b, c, d}的集合A有（
）个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
考点7：子集个数与参数求值
典型例题
例7
已知集合A = {x (m −1)x2 + 3x −2 = 0}有且仅有两个子集，则实数m =
.
∣
变式7-1
若集合A = {x ax2 + x −1 = 0}有且仅有两个子集，则实数a的值为
.
∣
变式7-2
已知集合A = {x x2 + ax + 3 = 0}，且满足1 ∈A，则集合A的子集个数为
．
∣
21
知识点3——含参集合问题
考点8：集合关系中参数取值问题
典型例题
例8
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
变式8-1
已知集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}.
（1）若A⊂B，求实数a的取值范围；
（2）若B ⊆A，求实数a的取值范围.
22
04 集合的基本运算
学习目标
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
识记“交”“并”“补”的概念
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解“交”“并”“补”的运算性质
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握文氏图在集合关系中的运用
知识清单
23
知识点1——“交”“并”“补”集的概念
考点1：“交”“并”“补”集的定义
知识笔记
交集定义
定义：既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.交集的表示方法：
A ∩B = {x|x ∈A且x ∈B}；
并集定义
定义：由所有属于集合A和属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集.
(1)“交集”中的“且”有时可省略，而“并集”中的“或”不能省略；
(2)并集的表示方法：A ∪B = {x|x ∈A或x ∈B} ；
24
补集定义
设U为全集，规定全集含有我们所要研究问题的全部可能的元素，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成
的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作A，读作A补； 有时为了强调全集“U”，补集也可记作“∁UA”
(1)补集的表示方法：A = {x|x ∈U且x ∉A}；
(2)补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同.
–
–
典型例题
例1
已知集合M = {x|x < 6}，N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, , 7, 8, 9}，则M ⋂N=
A. {6, 7, 8, 9}
B. {7, 8, 9}
C. {1, 2, 3, 4, 5}
D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
–
变式1-1
已知集合A = {(x, y) |y = 2x + 1}，B = {(x, y) |y = x + 3}，则A ∩B =（
）
A. (2, 5)
B. {2, 5}
C. {(5, 2)}
D. {(2, 5)}
变式1-2
设全集U = R，A = {x| −5 < x < 5}，B = {x|0 ⩽x < 7}，则A ⋃B ，A ⋃B ．
–
–
25
考点2：已知“交”“并”“补”集求参数取值问题
典型例题
例2
已知集合A = {x| −2 ≤x ≤4}，B = {x|x > a}．
（1）若A ∩B ≠∅，实数a的取值范围是
．
（2）若A ∩B ≠A，实数a的取值范围是
．
（3）若A ∪B = B，实数a的取值范围是
．
变式2-1
设集合A = {a2, a + 2, −3}，B = {a −3, 2a −1, a2 + 1}，A ∩B = {−3}，求a的值．
变式2-2
已知不等式x2 + ax + b ≥0的解集为A = {x |x ≤−2或x ≥3}，集合B = {x |t < x < t + 1}，
(1)
求实数a，b的值；
(2)
若A ∩B = ∅，求实数t的取值范围.
26
考点3：“交”“并”“补”集与二次方程的根
典型例题
例3
已知方程x2 −(p −1)x + q = 0的解集为A，方程x2 + (q −1)x + p = 0的解集为B，A ∩B = {−2}，则（
）
A. A ∪B = {−2, −1, 1}
B. A ⋂B={2}
C. A ⋂B=∅
D. A ⋂B={1}
–
–
变式3-1
已知U = R，集合A = {x|x2 + px + 12 = 0, x ∈R}，集合B = {x|x2 −5x + q = 0, x ∈R}，而且A ⋂B={2}，则
p + q的值等于 .
–
知识点2——“交”“并”“补”集的运算性质
知识笔记
交集的运算性质
交集的性质：①A ∩B = B ∩A；②A ∩A = A③A ∩∅= ∅；④A ∩B ⊆A；⑤A ∩B ⊆B.特别地，若
A ∩B = A, A ⊆B；若A ⊆B, A ∩B = A.
并集的运算性质
并集的性质：①A ∪B = A ∪B；②A ∪A = A；③A ∪∅= A；④A ⊆A ∪B；特别地，若A ∪B = B, A ⊆B；若
A ⊆B, A ∪B = B.
补集的运算性质
(1)补集的性质：①A ∩A = ∅ ② A ∪A = U③A = A；④若A ∪B = R ⇔B ⊆A
(2)摩根定理：①A ∩B = A ∪B② A ∪B = A ∩B.
–
–
–
–
–
–
–
–
27
考点4：交集的运算性质
典型例题
例4
已知集合A = {x ∣x2 + x −6 = 0}, B = {x ∣mx + 1 = 0}，若A ∩B = B，则实数m组成的集合为
．
变式4-1
已知集合A = {x|ax −2 = 0, a ∈R}，集合B = {x|x2 + x −2 = 0}，且A ⋂B = A，则实数a的所有可能取值组成
的集合为
.
考点5：并集的运算性质
典型例题
例5
已知A = {2, 5}，B = {x|x2 + px + q = 0}，A ∪B = A，A ⋂B = {5}，求p，q的值．
变式5-1
已知a为实常数，集合A = {a, a2}，集合B = {2a}，且A ∪B = A，则a的值为
.
28
考点6：补集的运算性质
典型例题
例6
若全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = {1, 3, 4}, N = {2, 3, 4}，则集合(M ∩N) =
．
–
变式6-1
已知A = {x| −3 ≤x ≤3}，B = {x|x < 2a −1或x > 3a}．设U = R，若A ⋃B=A，求实数a的取值范围
．
–
变式6-2
已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {x|x2 −3x + 2 = 0}，B = {x|x = 2a, a ∈A}，则集合A ⋃B= ．
–
变式6-3
已知全集为R，集合A = {x ∣x2 −5x + 6 = 0}；
(1)
若集合B = {x|ax ≤1}，存在x ∈A，使得x ∈B，求实数a的取值范围；
(2)
若集合C = {x|x2 −(m + 3)x + m2 = 0}, A ∪C = R，求实数m的取值范围；
–
29
知识点3——文氏图在集合关系中的运用
考点7：利用文氏图解决交并补问题
经典例题
例7
将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为
.
变式7-1
如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（
）
A. (M ∩P) ∩S
B. (M ∩P) ∪S
C. (M ∩P) ∩¯S
D. (M ∩P) ∪¯S
变式7-2
全集U = {x |x是不大于20的素数}，若A ∩B = {3, 5}，A ∩B = {7, 19}，A ∪B = {2, 17}，则集合A =
.
–
–
–
变式7-3
已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，若A ∩B = {1, 3}，A ∩B = {5, 7}，A ∪B = {2, 4, 6, 8}，则A ∩B =
．
–
–
–
30
考点8：文氏图的实际应用
经典例题
例8
某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队
而未参加合唱团的人数是 .
变式8-1
某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜欢篮球运动但不喜
爱乒乓球运动的人数为（
）
A. 5
B. 10
C. 12
D. 13
31
05 常用逻辑关系
学习目标
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
识记命题的概念并能判断命题的真假
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解条件关系的概念、联系及证明
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握“反证法”的步骤及方法
知识清单
32
知识点1——命题的概念
考点1：命题的概念
知识笔记
命题
用自然语言、符号或式子表达，且可以
叫做命题，命题通常用陈述句表述，其含义判断为真
的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.
真假命题的判断方法：
判断真命题需证明，判断假命题，只要举一个满足命题条件而不满足命题结论的例子（反例）即可.
典型例题
例1
下列语句
①考数学开心吗？
②好好做作业，争取下次数学能及格
③2不是素数
④0是自然数
其中是命题的语句的序号有
.
变式1-1
给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2＞2；③sin π
2 ＝1；④x －4x＋4＝0.其中是命题的有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2
33
考点2：命题的判断
典型例题
例2
已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题：
①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；
③存在x ∈P且x ∈M；④存在x ∈M且x ∉P；
这四个命题中，真命题的个数为（
）．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
变式2-1
若“不积跬步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（
）
A. 积跬步一定可以至千里
B. 不积跬步也可能至千里
C. 要想至千里一定要积跬步
D. 不想至千里就不用积跬步
变式2-2
判断命题“已知n ∈Z，若n3是奇数，则n是奇数”是真命题还是假命题？
.
考点3：命题与推出关系
知识笔记
推出关系
如果命题“若α，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作 α ⇒β(或β ⇐α).
因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性:
若α ⇒β, β ⇒γ则α ⇒γ .
34
典型例题
例3
将命题“面积相等的两个三角形全等”改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立．
变式3-1
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)
奇数不能被2整除；
(2)
当(a −1)2 + (b −1)2 = 0时，a = b = 1；
(3)
两个相似三角形是全等三角形．
35
知识点2——充分条件与必要条件
考点4：充分条件与必要条件
知识笔记
充分条件与必要条件
对于两个陈述句α与β，如果α ⇒β，就称α是β的充分条件，亦称β是α的必要条件.对于两个陈述句α与β，如果既有
α ⇒β，又有β ⇒α，就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作α ⇔β，读作“α与β 等 价 ”或“α成 立当且仅
当β成立”.
对于事件α,β，“条件”又可具体分为以下四种情况：
①α是β的
：α ⇒β且β推不出α ；
②α 是β 的
：β ⇒α且 α推不出β ；
③α是β的充要条件：α ⇒β且β ⇒α；
④α既不是β的充分条件又不是β的必要条件：α推不出β 且β推不出α .
36
典型例题
例4
陈老师说：“不努力是读不好书的”，陈老师的意思是“努力”是“读好书”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
变式4-1
命题“x ≠1”是命题“x2 + 2x −3 ≠0”的
条件．（可填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必
要）
变式4-2
已知a、b ∈R,下列四个式子中，甲是乙的必要非充分条件是（
）
①甲：(a −1)(a + 2) = 0，乙：a = −2； ②甲：a, b不都为偶数，乙：a + b不为偶数
③甲：b2 = ac，乙：a
b = b
c ；
④甲：a > 6，乙：a > 2
A. ①②③
B. ①③④
C. ①④
D. ①②④
变式4-3
写出“x < 1”的一个必要非充分条件是
．
考点5：已知条件关系求参数取值
典型例题
例5
已知α：x ≥a，β：|x −1| < 1.若α是β的必要非充分条件，则实数a的取值范围是( )
A. a ≥0
B. a ≤0
C. a ≥2
D. a ≤2
37
变式5-1
“a ≤−2”是“函数f(x) = x2 + ax + 1(x ∈R)只有一个零点”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
变式5-2
已知非空集合A = {x |a −1 ≤x ≤2a + 3}，B = {x x2 −3x −4 ≤0}，全集U = R.
(1)
当a = 1时，求A ∩B；
(2)
若“x ∈B”是“x ∈A”的必要条件，求实数a的取值范围.
∣
–
知识点3——反证法
考点6：命题反设
知识笔记
反证法
反证法，是指通过
，进而证明结论成立的证明方法.
(1)运用反证法，首先要学会正确反设，即正确写出结论的否定形式.
(2)在反设后得出的条件，与命题的已知条件结合，正确推理，引出矛盾.矛盾的方式是多样的，可以与已知矛盾，
与定义矛盾，与定理、公理矛盾，也可以是引出的两个结论自相矛盾等.
38
典型例题
例6
用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为
．
变式6-1
用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2 + ax + b = 0至少有一个实根”时，要做的假设是
.
变式6-2
命题：“对任意的x ∈R，x3 −x2 + 1 ≤0”的否定是（
）
A. 不存在x ∈R，x3 −x2 + 1 ≤0
B. 存在x ∈R，x3 −x2 + 1 ≥0
C. 存在x ∈R，x3 −x2 + 1 > 0
D. 对任意的x ∈R，x3 −x2 + 1 > 0
变式6-3
已知a、b、c ∈R，则下列语句能成为“a、b、c都不小于1”的否定形式的个数是（
）
（1）a、b、c中至少有一个大于1；（2）a、b、c都小于1；（3）a < 1或b < 1或c < 1
A. 0个；
B. 1个；
C. 2个；
D. 3个.
考点7：反证法在证明中的应用
典型例题
例7
用反证法证明：若a, b, c ∈R，且x = a2 −2b + 1, y = b2 −2c + 1, z = c2 −2a + 1，则x, y, z中至少有一个不小于0.
39
变式7-1
证明：√2是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如m
n （m，n互质，m ∈z, n ∈z）的形式）
40
06 等式的性质
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解等式的性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握韦达定理的应用
知识清单
41
知识点1——等式的性质
考点1：等式的性质
知识笔记
等式的性质
等式具有以下性质：
传递性：设a, b, c为实数，如果a = b，且b = c，那么a = c；
加法性质：设a, b, c为实数，如果a = b，那么a + c = b + c；
乘法性质：设a, b, c为实数，如果a = b，那么ac = bc；
倒数性质：如果a = b ≠0，那么1
a = 1
b ；
指数性质：如果a = b，那么an = bn，其中n是正整数.
典型例题
例1
下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（
）
A. 如果a = b，那么a + c = b −c
B. 如果a2 = 6a，那么a = 6
C. 如果a = b，那么a
c = b
c
D. 如果a
c = b
c ，那么a = b
变式1-1
根据等式的性质判断下列变形正确的是（
）
A. 如果2x = 3，那么2x
a = 3
a
B. 如果x = y，那么x −5 = 5 −y
C. 如果1
2 x = 6，那么x = 3
D. 如果x = y，那么−2x = −2y
考点2：方程及方程的解
知识笔记
含有未知数的等式称为方程，使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解，以方程的所有解为元素组成的
集合称为方程的解集.
42
典型例题
例2
1
已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为
.
2
已知方程x2 + px + 3 = 0的所有解组成的集合A，方程x2 + x + q = 0的所有解组成的集合为B，且A ∩B = {1}
(1)
求实数p，q的值;
(2)
求集合A ∪B.
3
若关于x，y的方程组{
与{
的解集相等，则a、b的值为（
）
A. a = 4, b = −1
B. a = −4, b = −1
C. a = 4, b = 1
D. a = −4, b = 1
2x + y = −1
ax + by = 3
ax −by = 5
x −2y = −3
变式2-1
1
方程x2 + 2x −3 = 0和方程x2 + x −6 = 0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2
若关于x, y的二元一次方程组{
有无穷多组解，则m的取值为
．
mx + 4y = m + 2
x + my = m
43
知识点2——一元二次方程及韦达定理
考点3：一元二次方程的解集
知识笔记
方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）的解习惯上叫做方程的根，在实数范围内，当Δ > 0时，ax2 + bx + c = 0有两不等
实根，解集为{ −b + √b2 −4ac
2a
, −b −√b2 −4ac
2a
}，简记为{ −b ± √b2 −4ac
2a
}，当Δ = 0时，ax2 + bx + c = 0
有两相等实根，解集为{−b
2a }，当Δ < 0，方程无实根，解集为∅.
典型例题
例3
“a = −1”是“方程ax2 + 2x −1 = 0只有一个解”的（
）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
变式3-1
1
若集合A = {x ∣ax2 + 2x + 1 = 0}中只有一个元素，则a的值（
）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
2
证明：ac<0是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根的充分非必要条件.
44
考点4：韦达定理的应用
知识笔记
若方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0），两个根为x1, x2，则x1 + x2 = −b
a , x1x2 = c
a .
典型例题
例4
1
已知方程 x2 −3x + 2 = 0的两个根为 x1, x2，则(x1 + 1) (x2 + 1) =
2
法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地
引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称
为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦
达定理完成以下问题.
(1)
关于x的方程x2 −3x + m = 0的一个实数根为2，求另一实数根及实数m的值；
(2)
关于x的方程x2 −(k + 1)x + 1
4 k2 + 1 = 0有两个实数根x1、x2，若x2
1 + x2
2 = 6x1x2 −15，求实数k的值；
45
变式4-1
1
已知方程2x +4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x2
1 + x2
2 =
．
2
2
已知关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠0) 有两个实数根，通过对该方程配方发现：
x1 + x2 = −b
a , x1 ⋅x2 = c
a ，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定
理．根据以上结论，回答下列问题：
已知x1, x2为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的两实数根，求下列各式的值：
(1)
1
x1
+ 1
x2
；
(2)
(x2
1 −x2
2)2；
(3)
2x2
1 + 3x2
46
3
法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早
发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程
ax2 + bx + c = 0（a ≠0），它的两根α、β有如下关系：α + β = −b
a ，αβ = c
a ．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：α + β = −b
α ，αβ = c
a ，那么这两个数α和β是
方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二
次方程，例如：m + n = −3，mn = 2，那么m和n是方程x2 + 3x + 2 = 0的两根．请应用上述材料解决以下问题：
(1)
已知m、n是两个不相等的实数，且满足m2 −2m = 4，n2 −2n = 4，求1
m + 1
n 的值；
(2)
已知实数x、y满足xy + (x + y) = 13，x2y + xy2 = 42，求x2 + y2的值；
(3)
已知 x1, x2是关于x的一元二次方程4kx2 −4kx + k + 1 = 0的两个实根，且k ∈Z，求使x1
x2
+ x2
x1
的值为整数
的所有k的值．
47
07 不等式的性质
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
实数大小的比较
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握不等式的应用
知识清单
48
知识点1——两个实数大小的比较
考点1：两个实数大小的比较
知识笔记
不等式的概念
(1)不等式的概念：用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式.
(2)作差法比较大小：
设a, b ∈R, 则a > b⇔a −b > 0;a < b⇔a −b < 0.
典型例题
例1
比较x2 + 3与3x的大小，其中x ∈R.
变式1-1
比较下列各组中两数的大小：
(1)
已知a, b为正数，且a ≠b，比较a3 + b3与a2b + ab2的大小；
(2)
已知x < 1，比较x3 −1与2x2 −2x的大小；
(3)
已知x, y均为正数，设m = 1
x + 1
y ，n =
4
x + y ，比较m和n的大小.
49
知识点2——不等式的基本性质
考点2：不等式的基本性质
知识笔记
不等式的基本性质
性质1： a > b ⇔b < a （对称性）；
性质2： a > b, b > c ⇔a > c （传递性）；
性质3： a > b ⇒a + c > b + c （可加性）；
性质4： a > b, c > 0 ⇒ac > bc; a > b, c < 0 ⇒ac < bc（可乘性）；
性质5： a > b, c > d ⇒a + c > b + d （叠加性）；
性质6： a > b > 0, c > d > 0 ⇒ac > bd （叠乘性）；
性质7： a > b > 0, n ∈N ∗⇒an > bn (可乘方性)；
性质8: a > b, ab > 0 ⇒1
a < 1
b (可倒性,注意a, b要同号).
典型例题
例2
若a, b, c ∈R，a > b则下列不等式成立的是（
）
A. 1
a < 1
b
B. a2 < b2
C. a |c| > b |c|
D.
a
c2 + 1 >
b
c2 + 1
变式2-1
已知a, b, c ∈R，有以下命题：
①若a > b，则ac2 > bc2；②若ac2 > bc2，则a > b；③若1
a < 1
b < 0，则ab < b2；④若c > a > b > 0，则
a
c −a >
b
c −b ；⑤若a > b且1
a > 1
b ，则a > 0, b < 0.
其中正确的是
.(填上所有正确命题的序号)
变式2-2
若 a < b < 0 ，则下列不成立的是（ ）
A. a2 > b2
B. a3 < b3
C. 1
a > 1
b
D.
1
a −b > 1
a
50
变式2-3
设 a > 0，b > 0 ，则" a > b "是" 1
a < 1
b "的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
考点3：叠加性的应用
知识笔记
a > b, c > d ⇒a + c > b + d （叠加性）
典型例题
例3
已知1 < x < 3，−4 < y < 2，若z = 1
2 x + y，则z的取值范围是
．
变式3-1
已知−1 ≤x + y ≤4，且2 ≤x −y ≤3，则z = 2x −3y的取值范围是
．
变式3-2
已知−3 ≤a + b ≤−2，1 ≤a −b ≤4，则3a + b的取值范围是（
）
A. [−3, 0]
B. [−5, 3]
C. [−5, 0]
D. [−2, 5]
51
考点4：不等式性质的综合应用
典型例题
例4
对于四个正数x，y，z，w，如果xw < yz，那么称(x, y)是(z, w)的“下位序列”.
(1)
对于2，3，7，11，试问(2, 7)是否为(3, 11)的“下位序列”；
(2)
设a，b，c，d均为正数，且(a, b)是(c, d)的“下位序列”，试判断c
d ，a
b ，a + c
b + d 之间的大小关系；
(3)
设正整数n满足条件对集合{m |0 < m < 2022}内的每个m ∈N∗，总存在k ∈N∗，使得(m, 2022)是(k, n)的“下
位序列”，且(k, n)是(m + 1, 2023)的“下位序列”，求正整数n的最小值
变式4-1
甲、乙两人沿同一公路由A地到达B地，甲走一半路程后跑步前进，乙走一半时间后也跑步前进，设甲、乙两人走
的速度相同，跑的速度也相同，请比较甲、乙两人从A到B的时间t甲、t乙的大小关系．
52
变式4-2
已知b g糖水中有a g糖（b > a > 0），往糖水中加入m g糖（m > 0），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)
请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式；
(2)
利用（1）的结论比较M = 20192019
20232023 , N = 20192016
20232020 的大小；
(3)
证明命题：设x > 0, y > 0, z > 0，证明：1 <
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x < 2.
53
08 不等式的解法（一）
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解一元一次、一元二次不等式的解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握含参一元二次不等式的解法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握含参不等式的讨论方法
知识清单
54
知识点1——一元一次、一元二次不等式的解法
考点1：一元一次不等式的解法
知识笔记
一元一次不等式的解法
一元一次不等式
x为自变量，ax > b，讨论a > 0, x > b
a ；a < 0, x < b
a .
典型例题
例1
不等式组{
无实数解，则m的取值范围是
.
x < 5
x > m
变式1-1
关于x的不等式ax + 1 < 0 (a > 0)的解集为
．
变式1-2
已知a ∈R，若关于x的不等式ax < x + 2的解集为R，则a =
.
55
考点2：一元二次不等式的解法
知识笔记
一元二次不等式的一般形式：ax2 + bx + c > 0 (a ≠0)或ax2 + bx + c < 0 (a ≠0) ； ax2 + bx + c ≥0 (a ≠0)或
ax2 + bx + c ≤0 (a ≠0)
一元二次不等式的基本解法：
一般地，设关于x的一元二次不等式为ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0 (a > 0)，其对应的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0的根的判别式是Δ = b2 −4ac, x1, x2 (x1 < x2)是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个实根.
(1)当Δ > 0时，不等式ax2 + bx + c > 0的解集为(−∞, −b −√Δ
2a
) ⋃( −b + √Δ
2a
, +∞)；
不等式ax2 + bx + c < 0的解集为( −b −√Δ
2a
, −b + √Δ
2a
)；
(2)当Δ < 0时，不等式ax2 + bx + c > 0的解集为R，不等式ax2 + bx + c < 0的解集为∅；
(3)当Δ = 0时，不等式ax2 + bx + c > 0的解集为x ≠−b
2a ，不等式ax2 + bx + c < 0的解集为∅.
典型例题
例2
已知集合A = {1, 2, 3}，B = {x ∣x2 < 8}，则A ∩B =
.
变式2-1
设集合A = {x ∣x2 −3 > 0}, B = {1, 2, 3, 4}，则A ∩B =
．
56
知识点2——含参一元二次不等式的解法
考点3：根据不等式的解集求参数
知识笔记
根据不等式的解集求参数
根据根的分布区间，结合二次函数的图像问题，确定参数的取值范围.
典型例题
例3
关于x的不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，则a + b =
．
变式3-1
关于x的不等式x2 −(a + 1)x + a < 0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范围是
.
考点4：含参一元二次不等式的解法
知识笔记
解含参数一元二次不等式，通常都能够通过因式分解求解，若不能因式分解，可考虑用求根公式，涉及讨论思想
时，注意讨论顺序，先确认二次项系数是否为零，再讨论开口方向，最后讨论根的大小.
典型例题
例4
若0 < a < 1，则关于x的不等式(x −a) (x −1
a ) > 0的解集为
．
57
变式4-1
当0 < a < 1时，关于x的不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0的解集为（
）
A. (−∞, a −3
a −1 ) ∪(3, +∞)
B. (−∞, 3) ∪( a −3
a −1 , +∞)
C. (3, a −3
a −1 )
D. ( a −3
a −1 , 3)
变式4-2
若方程ax2 + bx + c = 0有唯一的实数根2，则不等式ax2 + bx + c ≥0的解集为
.
变式4-3
已知一元二次不等式x2 −ax + b > 0
(1)
若不等式的解集为(−∞, 2) ∪(3, +∞)，求不等式ax2 −bx + 1 < 0的解集；
(2)
当b = a −1时，求不等式x2 −ax + b > 0的解集；
变式4-4
（1）若不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知实数m < 0，解关于x的不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1.
58
知识点3——不等式的应用
考点5：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
知识笔记
(1)若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题.一般地，对于二次函数
y = ax2 + bx + c(a ≠0, x ∈R),有
y > 0对x ∈R恒成立⇔ a > 0, Δ < 0
y < 0对x ∈R恒成立⇔ a < 0, Δ < 0
(2)将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
y > a恒成立⇔ a < ymin;
y < a恒成立⇔ a > ymax.
典型例题
例5
1
若关于x的不等式x2 −mx + 1 > 0的解集为R，则实数m的取值范围是
.
2
若关于x的不等式(a2 −4)x2 + (a + 2)x −1 ≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为
.
变式5-1
若关于x的不等式m(m −1)x2 + mx −2 < 0的解集为R，求实数m的取值范围.
59
变式5-2
已知m ∈R，关于x的不等式(m + 1)x2 −mx + m −1 > 0．
(1)
若不等式解集为∅，求实数m的取值范围；
(2)
若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
考点6：一元二次不等式在某区间上恒成立问题
知识笔记
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参
数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.一般地有：
f(x) < g(a)恒成立⇔g(a) > f(x)max;
f(x) > g(a)恒成立⇔g(a) < f(x)max.
典型例题
例6
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3 + m，若f(x) ≥0对任意的x ∈[1, 2]恒成立，则实数m的取值范围是
.
变式6-1
若不等式x ﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是
．
2
60
09 不等式的解法（二）
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握分式不等式的解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握单绝对值不等式的解法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握双绝对值不等式的解法
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握高次不等式的解法
知识清单
61
知识点1——分式不等式的解法
考点1：不含参分式不等式的解法
知识笔记
分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路：先将其转化为整式不等式，在此过程中，变形的等价性尤为重要.
解分式不等式的通法（以大于为例），
(1)标准化：右边化零，化成 f (x)
g (x) > 0（或f (x)
g (x) ≥0）形式；系数化正；
(2)将f (x)
g (x) > 0（或f (x)
g (x) ≥0）转化为整式不等式f (x) ⋅g (x) > 0（或f (x) ⋅g (x) ≥0且g (x) ≠0）.
注意: (1)标准化之前不要去分母；
(2)解不等式中的每一步要求"等价"即同解变形；
(3)结果用集合的形式表示.
典型例题
例1
已知集合M = {x x + 3
x −3 ≤0, x ∈Z}, N = {x |1 < x ≤4}，则M ∩N =（
）
A. {x |1 < x < 3}
B. {1, 2}
C. {2}
D. {2, 3, 4}
∣
变式1-1
不等式1 −
7
2x −1 ≤0的解集是
.
62
变式1-2
(1)
当 a = 1
2 时, 求 A 和 B;
(2)
已知 A ∪B = A, 求实数 a 的取值范围;
已知 a ∈R. 集合 A = {x
1 −x
x −3 ≤0}, B = {x ∣x2 + (2 −a)x −2a < 0}
∣
考点2：含参分式不等式的解法
知识笔记
解分式不等式的基本思路：先将其转化为整式不等式，在此过程中，变形的等价性尤为重要.
典型例题
例2
已知全集U = R，集合M = {x 2x −3
x + a ≤1}.
(1)
当a = 1时，求集合M；
(2)
若−1 ∈M，求实数a的取值范围.
∣
–
63
变式2-1
已知不等式ax2 −3x + 2 > 0的解集为或{x|x < 1或x > b}．
(1)
求实数a，b的值；
(2)
解不等式3 + ax
bx + 1 > 2．
变式2-2
已知关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，若3 ∉M，则实数a的取值范围是
．
变式2-3
对于一个正整数，如果将它的各位数码反向排列后与它本身相等，则称这样的数是“自恋数”，例如6，121，2992都
是自恋数．设所有自恋数组成的集合为A，而B = {x| (x −10) (x −50)
(x −30) (x −70) < 0}，则A ∩B中有
个元素．
64
知识点2——绝对值不等式的解法
考点3：单绝对值不等式的解法
知识笔记
解含有绝对值不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含有绝对值的不等式去解，去绝对值具体方法
如下：
(1)设x ∈R, a ∈R则|x| < a ⇔−a < x < a；|x| > a ⇔x > a；
(2) |f (x)| < g (x)与−g (x) < f (x) < g (x)同解，|f (x)| > g (x)与f (x) > g (x)或f (x) < −g (x)同解；
典型例题
例3
不等式|x −1| < 3的解集为
．
变式3-1
不等式 1 −|x| > 0 的解集为
．
变式3-2
不等式|2x −1| ≤3的解是 .
考点4：双绝对值不等式的解法
知识笔记
解含有绝对值不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含有绝对值的不等式去解，去绝对值具体
方法如下：
(1) |ax + b| > |cx + d|与(ax + b)2 > (cx + d)2同解；
(2)含有两个或两个以上绝对值符号，并且形式是和或差的不等式，可用数轴法、函数图像法或分段讨论法进行
求解.
65
典型例题
例4
解下列不等式:
(1)
2x2 + 3x −7
x2 −x −2
≥1
(2)
x|x −1| ≤|x|
变式4-1
不等式 |2x −1| −|x −2| < 0 的解集为
．
变式4-2
不等式 |x −1| + |x −3| ≤2 的解集为
变式4-3
“|x| + |2x −1| = |3x −1|”是“x ≤0”的 条件.
考点5：含参绝对值不等式的解法
典型例题
例5
若关于x的不等式|x −2 |+|x −a| ⩾a在R上恒成立，则实数a的取值范围是
.
66
变式5-1
已知函数f(x) = |2x −1| + |x + m|(m ∈R)．
（1）若m = 1，解不等式f(x) ≤6；
（2）若关于x的不等式f(x) ≤|2x + 1|在[ 3
4 , 2]上恒成立，求实数m的取值范围．
变式5-2
若不等式|x −4| −|x −3| ≤a对一切x ∈R恒成立，那么实数a的取值范围是
A. a > 1
B. a < 1
C. a ≤1
D. a ≥1
知识点3——高次不等式的解法
考点6：穿针引线法解不等式
知识笔记
一元高次不等式是指次数大于或等于3的不等式.
常见的解法一一穿针引线。具体步骤如下：
1.移项，把不等式右边变为0且最高次项的系数为正；
2.把不等式左边分解因式，分解到不能再分为止；
3.把对应的方程的根在数轴上接从到大的顺序标出；
4.从右上方开始，遇到奇数次的根穿轴而过，遇到偶数次的根即回头；
5.按从小到大的顺序依次写出不等式的解(高中为解集，或用区间表示)；
6.位于数轴上方对应的x的范围为不等式>0的解；位于数轴下方对应的x的范围是不等式<0的解.
67
典型例题
例6
不等式
x2 + 1
x2 −2x −3 < 1的解集用区间表示为
．
变式6-1
不等式x2 −4x + 1
3x2 −7x + 2 ≤1的解集用区间表示为
.
68
10 基本不等式（一）
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握平均值不等式并能求最值
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握三角不等式并能求最值
知识清单
69
知识点1——平均值不等式
考点1：积定和最小(积为定值时和有最小值)
知识笔记
平均值不等式
平均值不等式
对于正数a, b，称a + b
2
是a, b的算术平均值，并称√ab是a, b的几何平均值；
定理1（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于他们的几何平均值，即对与任意的正数a, b，有
a + b
2
≥√ab，且等号当且仅当a = b时成立；
定理2：对于任意的实数a, b，有( a + b
2
)
2
≥ab，且等号当且仅当a = b时成立.
注意：(1) a + b
2
≥√ab、( a + b
2
)
2
≥ab成立的条件是不同的，前者要求正数a, b，而后者要求实数a, b；
(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当a = b时等号成立”这句话要理解深刻.可从两个方面
来理解：第一，“
” ，其含义就是a = b ⇒a + b
2
= √ab 或a = b ⇒( a + b
2
)
2
= ab
⇒a2 + b2 = 2ab；第二，“ 仅当a = b 时等号成立” ，其含义就是( a + b
2
)
2
= ab ⇒a2 + b2 = 2ab ⇒a = b 或
a + b
2
= √ab ⇒a = b.综合起来，其含义就是：a = b a + b
2
= √ab( a + b
2
)
2
= ab的充要条件；
即平均值不等式a + b
2
≥√ab，必须满足“
”、“定值”、“
”三个条件，才能使等号成立，取得最值.
典型例题
例1
1
设正实数x, y满足xy = 20，则x + 4y的最小值为
．
2
设实数x < 1，当代数式2x +
1
x −1 取最大值时，x的值为
．
70
变式1-1
1
已知正实数x, y满足xy = 1，则x + y的最小值是
.
2
（1）已知x > 0，则y = x + 1
x 的最小值为
.
（2）已知x < 0，则1 −x −4
x 的最小值是
.
考点2：一正二定三相等
典型例题
例2
若a、b ∈R，且ab > 0，则下列不等式恒成立的是（
）
A. a2 + b2 ≥a + b
B. a + b ≥2√ab
C.
b
a + a
b ≥1
D. ab + 1
ab > 2
变式2-1
1
若a、b ∈R，且ab > 0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. a2 + b2 ≥a + b
B. a + b ≥2√ab
C.
b
a + a
b ≥2
D. a2 + b2 ≥4ab
2
已知a、b ∈R，若ab ≠0，则下列不等式：
①a2 + b2
2
≥ab；②b
a + a
b
≥2；
③b
a + a
b ≥2；④a + b ≥2√ab．
其中恒成立的不等式序号是
A. ①、③
B. ①、②
C. ②、③
D. ②、④
∣∣
71
考点3：和定积最大(和为定值时积有最大值)
典型例题
例3
1
已知x + y = 2，则xy的最大值为
．
2
（1）已知a，b是实数.求证：a2 + b2 ≥2a −2b −2，并指出等号成立的条件；
（2）已知a，b是实数，若a + 2b = 1，求ab的最大值，并指出此时a，b的值.
变式3-1
1
设a > 0，b > 0，若2a + b = 8，则ab的最大值为
.
2
（1）已知0 < x < 1，则x (4 −3x)取得最大值时，x的值为
.
（2）已知x < 5
4 ，则y = 4x −2 +
1
4x −5 的最大值为
.
（3）已知x > 1，则x2 + 3
x −1 的最小值为
.
72
知识点2——三角不等式
考点4：三角不等式及其取等条件
知识笔记
三角不等式
定理：两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数a, b，有|a + b| ≤|a| + |b|，且等号当
且仅当ab ≥0时成立，该不等式也称三角不等式.
另，|a| = |a −b + b| ≤|a −b| + |b| ⇔|a| −|b| ≤|a −b|.
那么，如果a, b, c是实数，有|a −c| ≤|a −b| + |b −c|，且等号当且仅当
成立.
典型例题
例4
1
已知a > 0，b > 0，则下列不等式恒成立的是（
）
A. ab ≤(a + b)2
4
；
B. a + b
2
≥√ab；
C. |a + b| + |a −b| ≤2 |a|；
D. |a + b| −|a −b| ≥2 |b|.
2
若|x −2| + |x + 4| ≥6对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为
．
变式4-1
若|3x −4| + 3 |x −1| ≥1对所有实数x恒成立，则当等号成立时，x的取值范围是
.
考点5：三角不等式求最值
典型例题
例5
1
若对任意x ∈R，都有|x + 1| + |2 −x| ≥m，则实数m的最大值为
73
2
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a2 + a + 1对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
.
变式5-1
1
关于x的不等式|x + 1| + |x + c| ⩽1有解，则实数c的取值范围是
．
2
已知函数 y = f(x) 满足 f(x) = |x −a2| + |x −2a + 1|．
(1)
当 a = 2 时，求不等式 f(x) ⩾4 的解集；
(2)
若 f(x) ⩾4 恒成立，求实数 a 的取值范围．
3
已知集合A = {a||x + 3| + |x −4| ≥a对任意x ∈R恒成立}，B = {x|
4x
x2 + x + 2 < 1}，则A ∩B =
．
4
不等式|2x −a| > |2a −1| −2|x|对一切x ∈R都成立，则实数a的取值范围是
A. (−3, −1)
B. (1, 3)
C. ( 1
3 , 1)
D. (−1, −1
3 )
74
考点6：三角不等式的其他应用
典型例题
例6
（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2 + y2与x2 + xy的大小，并说明理由；
（2）求证：|2x −5| + |2x −9| ≥4对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围．
变式6-1
设在二维平面上有两个点A (x1，y1) ，B (x2，y2) ，它们之间的距离有一个新的定义为
D (A, B) = |x1 −x2 |+|y1 −y2|，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.
(1)
已知A，B两个点的坐标为A (2x, 1)，B (3, 2)，如果D (A，B) ≤3，那么x的取值范围是多少？
(2)
已知A，B两个点的坐标为A (x, 2x)，B (1, 4)，如果D (A，B) = |3x −5|，那么x的取值范围是多少？
75
11 基本不等式（二）
学习目标
目标1
★★★★☆☆ 识别
掌握“1”的代换的灵活运用
目标2
★★★★☆☆ 识别
掌握基本不等式的实际应用
知识清单
76
知识点1——“1”的妙用求最值
考点1：“1”的妙用求最值
知识笔记
“1“的代换
运用基本不等式需要注意“一正、二定、三相等”的条件，为了得到“定值”，往往需要对目标式进行恰当
的“配”“凑”，“1”的代换是一种常用的方法，可用来创造使用基本不等式的条件.
此类问题通常有如下特点：1.变量a, b是正实数，2.有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中
两个代数式一个是整式ma + nb,一个是分式p
a + q
b ，也有其它的变形形式，通过“1”的代换凑出可以使用基本
不等式的齐次式λb
a + μa
b .
典型例题
例1
1
设x, y ∈(0, +∞)，且x + 2y = 1，则1
x + 1
y 的最小值为（
）
A. 7
B. 6
C. 3 + 2√2
D. 3 + √2
2
已知正数x, y满足x + 2y −1 = 0，且不等式m ≤1
y + 1
x 对任意的正数x, y恒成立.则实数m的取值范围是
.
变式1-1
1
（1）已知a > 1，求证：a2 + 1
a2 −1 < a + 1
a −1 ；
（2）已知正数x、y满足x + 3y = 2，求证：1
x + 1
y ≥2 + √3.
77
2
若正实数x，y. 且x + 2y = 1则2
y + 3
x 的最小值为（ ）
A. 2
B. 3 + 2√2
C. 5 + 2√6
D. 7 + 4√3
3
设非负实数x，y满足2x + y = 1，则下列说法正确的是（
）
A. xy的最大值是1
4
B.
1
2x + 1
y 的最小值是8
C. 4x2 + y2的最小值是1
2
D. y + x2的最小值是0
考点2：“1“的代换的变形
知识笔记
运用“1“的代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，配凑成齐次式λb
a + μa
b ；
(4)利用基本不等式求解最值解题过程中，要根据表达式的具体特点，选择“部分1的代换”或者“将1看成12“，并且
要注意基本不等式成立的前提条件.
典型例题
例2
1
已知x、y均为正实数，且x + y = 6，则
xy
9x + y 的最大值为
．
2
若a > −1，b > 0，且a + 1
b = 3，则式子
1
a + 1 + 2025b的最小值是
3
若x ∈(0, 2)，则1
x +
1
2 −x 的最小值是
.
变式2-1
1
已知实数x满足0 < x < 1
3 ，则1
x +
12
1 −3x 的最小值为
.
78
2
已知正实数a，b满足2a + b = 1，则6a + 2b
a2 + ab 的最小值为
.
知识点2——基本不等式的实际应用
考点3：基本不等式的实际应用（填选）
知识笔记
利用基本不等式来解决一些实际问题
基本解题步骤：
①先理解题意，合理设置变量，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求函数的最大值或最小值；
④正确写出答案.
典型例题
例3
某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在
P1 + P2为定值的情况下，P的最大值为
（用P1､P1表示）
变式3-1
如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左
右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为45m2，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为0.1m，两个宣传栏之间
的空隙的宽度为0.2m，设海报纸的长和宽分别为xm, ym，为节约成本（即使用纸量最少），则长x =
m.
79
考点4：基本不等式的实际应用（解答）
典型例题
例4
2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣
赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格=固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，
浮动价格=
5
销售量（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售
价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总
利润=（售价-供货价格）×销售量；
(1)
当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
(2)
每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？
变式4-1
1
厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了
各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形ABCD）为P，根据设计要求，它
的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白.
(1)
若AB = 20cm，BC = 30cm，且该海报的面积不超过1000cm2，求a的取值范围；
(2)
若a = 2cm，P = 800cm2，则当AB长多少时，才能使纸的用量最少？
80
2
现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用m（万元）和与仓库A、厂房B的距离x（千米）的关系为：
m =
k
3x + 2 （0 < x ≤8），若距离为1千米时，仓库A建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修
建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设f (x)为建造仓库A与修路费用之和．
(1)
求f (x)的表达式；
(2)
当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用f (x)最小？并求出最小值．
81
12 暑期复习
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握集合的常见题型解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握不等式的常见题型解法
知识清单
82
知识点1——集合与逻辑
考点1：集合间的关系
知识笔记
集合初步
集合：把一些确定的对象的全体称作集合.
集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a ∈A；若b不是集合A的元素，记作b ∉A ；
集合中的元素的性质：确定性、互异性与无序性；
集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示；
集合的包含关系：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或A包含于B），记作A ⊆B；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样.
若A ⊆B且B ⊆A，则称A等于B，记作A = B；若A ⊆B且A ≠B，则称A是B的真子集，记作A ⊂B；
若集合A是n个元素的集合，则集合A有
子集（其中
个真子集，
个非空真子集).
典型例题
例1
已知集合A = {0, 1, a2}，B = {1, 0, 3a −2}，若A = B，则a等于（
）
A. 1或2
B. −1或−2
C. 2
D. 1
变式1-1
若{1,2}⊆ A⊂{1,2,3,4,5}，则集合A的个数是
A. 8
B. 7
C. 4
D. 3
变式1-2
集合A = {x| (a −1)x2 + 3x −3 = 0}有且仅有两个子集，则实数a =
．
83
考点2：集合的运算
典型例题
例2
已知集合A = {x
4
7 −x ≥1}, B = {x|2 < x < 10}，则A ⋂B=（
）
A. [3, 7)
B. (2, 3]
C. (2, 3) ∪[7, 10)
D. (2, 3] ∪(7, 10)
∣
–
变式2-1
设全集U ={x|x为小于20的非负奇数}，若A ∩B = {3, 7, 15}，A ∩B = {13, 17, 19}，且A ∩B = ∅，则A ⋂B =
.
–
–
–
变式2-2
设全集为U，用集合A、B的交、并、补集符号表示图中的阴影部分
变式2-3
已知集合A＝{x|x ﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x ﹣2mx+m ﹣4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∪B＝A，求实数m的取值；
（2）若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
（3）若A⊆B，求实数m的取值范围．
2
2
2
–
考点3：充分条件与必要条件
知识笔记
常用逻辑用语
(1)如果α ⇒β，那么①α是β的充分条件，②β是α的必要条件，③β的充分条件是α，④α的必要条件是β.
(2)既有α ⇒β，又有β ⇒α，即α ⇔β，那么①α是β的充要条件，②β是α的充要条件，③α的充要条件是β，④β的
84
充要条件是α.
典型例题
例3
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的
（
）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
变式3-1
设α: 3 < x ≤4，β: x > m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是
变式3-2
设p : 2x −1
x −1 ≤0，q : x2 −(2a + 1)x + a(a + 1) < 0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
.
知识点2——等式与不等式
考点4：不等式的基本性质
典型例题
例4
若ab < 0，且−c
a < −d
b ，则下列各式中，恒成立的是（
）
A. a
c > b
d
B. a
c < b
d
C. bc > ad
D. bc < ad
85
变式4-1
有下列命题：（1）若a > b，则1
a < 1
b ；（2）若a > b，c > d，则a −d > b −c；（3）若a > 0 > b且a + b > 0，
则a2b > b3；（4）若a < b < 0，则
1
a −b < 1
a .其中真命题有
（写出所有真命题的序号）.
考点5：解不等式
知识笔记
(1)一元一次不等式：将不等式化为ax < b(a ≠0),然后分类讨论；
(2)一元二次不等式：将不等式化为ax2 + bx + c > 0(< 0, ≥0, ≤0)；
先看开口方向；三层解法：①
，②判别式，③求根公式.
(3)分式不等式:解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式，变形的等价性尤为重要.而是先移项、通分化成
形如f(x)
g(x) > 0 ，或f(x)
g(x) ≤0形式，再实施同解变形；
f(x)
g(x) > 0等价于f(x) ⋅g (x) > 0，f(x)
g(x) ≤0等价于f(x) ⋅g (x) > 0，f(x)
g(x) ≤0等价于{
.
(4)含绝对值的不等式：含有绝对值的不等式的同解原理源于实数的绝对值的定义，总体思路是将含有绝对值的不
等式转化为不含有绝对值的不等式去解.即|f(x)| < g(x)与−g(x) < f(x) < g(x)同解；|f(x)| > g(x)与
f(x) < −g(x)或f(x) > g(x)同解.
f(x) ⋅g(x) ≤0
g(x) ≠0
典型例题
例5
（1）解不等式：|2x + 1| −|x −1| < 1
（2）解不等式：(x −1)√x2 −x −2 ≥0
86
变式5-1
若不等式ax2 + 5x + 1 ≤0的解集为{x −1
2 ≤x ≤−1
3 }，则不等式x −a
x −3 ≤1的解集为
.
∣
变式5-2
若不等式5 −x > 7|x + 1|与不等式ax2 + bx −2 > 0同解，而|x −a| + |x −b| < k的解集为空集，求实数k的取值范
围．
变式5-3
已知二次函数y = ax2 + ax + 1图像永远在横轴上方，则实数a的取值范围为
.
考点6：基本不等式
知识笔记
(1)平均值不等式：a2 + b2 ≥2ab a, b ∈R；a + b ≥2√ab a ≥0, b ≥0；
(2)三角不等式：|a + b| ≤|a| + |b|，当且仅当ab ≥0时等号成立.
典型例题
例6
若x > 0，y > 0，且2x + 3y = 6，则xy的最大值为（
）
A. 9
B. 6
C. 3
D. 3
2
87
变式6-1
若关于x的不等式|x + 3| + |x −2| < a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（
）
A. [1，+ ∞)
B. (1，+ ∞)
C. [5，+ ∞)
D. (5，+ ∞)
变式6-2
三角不等式中，|a| + |b| ≥|a + b|等号当且仅当
成立．
变式6-3
已知正数a，b 满足3a + 2b = 1 ，则2
a + 3
b 的最小值为
变式6-4
已知正数x，y满足2x + y = 1，则（
）
A. xy ≤1
16
B.
1
x + 2
y ≥8
C. √2x + √y ≤√2
D. x2 + y2 ≥1
5
变式6-5
已知a，b均为正数，且ab = a + 4b，则a2
16 −8
a + b2 −2
b 的最小值为
．
88
