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专题10 复数及其应用
（八大题型6 大易错题）
【考点1 复数的基本概念及应用】
1．(2+i)(1−3i)的虚部为（ ）
A．-5
B．5
C．-1
D．1
2．已知z = (1+i)
4
1−i
，则z的虚部为（ ）
A．2i
B．−2i
C．−2
D．2
3．已知复数z 所对应的点在第四象限，且|z|=2√2，z
2的虚部为−8，则复数z =（ ）
A．2−2i
B．2i−2
C．√2−√6i
D．√6i−√2
4．已知z = 1−i
1+i
，则z的实部是（ ）
A．−i
B．i
C．0
D．1
5．复数5i
i−2
的虚部是（ ）
A．i
B．1
C．−2i
D．−2
【考点2 复数的四则混合运算】
6．(1+2i)÷(3−4i)=（ ）
A．−1
5 + 2
5 i
B．1
5 −2
5 i
C．−2
5 + 1
5 i
D．2
5 −1
5 i
7．( 1−i
1+i )
2
=（ ）
A．−i
B．i
C．−1
D．1
8．已知复数z满足z⋅(1+i)=2−i，则z =（ ）
A．1
2 + 3
2 i
B．1
2 −3
2 i
1
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C．−1
2 −3
2 i
D．−1
2 + 3
2 i
9．已知复数z 满足(3−4i) z =5，则z = .
10．已知复数z = 3+3i
(1−i)
2，则在复平面内，z所对应的点的坐标为 ．
【考点3 复数的高次幂计算】
11．已知i为虚数单位，复数z = 1−i
3
3+ 4i
9
，则z =（ ）
A．7
25 −1
25 i
B．7
25 + 1
25 i
C．−1
25 −7
25 i
D．−1
25 + 1
25 i
12．复数z =|1−2i|
2−i
3 =（ ）
A．2−i
B．2
5 −1
5 i
C．2√5
5
+ √5
5 i
D．2√5
5
−√5
5 i
13．已知复数z满足z(i
2023+i
2024)=i
2025，则z的共轭复数的虚部是（ ）
A．1
2 i
B．1
2
C．−1
2 i
D．−1
2
14．已知复数z = 1+ai
2+i
99 (a∈R)是纯虚数，则|z|=（ ）
A．1
2
B．1
C．5
6
D．5
2
15．复数Z =i+2i
2+3i
3+⋅⋅⋅+2024i
2024的虚部是（ ）
A．1012
B．1011
C．−1011
D．−1012
16．设z = 1−i
i
2024+i
，则z =（ ）
A．i
B．2i
C．4
5 +i
D．4
5 −i
17．已知z = 1+ai
1+i
2023 (a∈R)，若z为纯虚数，则|z|= ．
【考点4 复数相等与共轭复数】
2
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18．已知复数z满足z = 2i−1
i
，且z是复数z的共轭复数，则z⋅z的值是（ ）
A．√5
B．3
C．5
D．9
19．已知复数1+i=i−2
z
，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
20．已知复数z满足(z−1)(1−2i)=5i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点5 复数的几何意义】
21．若复数z = a+i
3−i
（其中a∈R，i 为虚数单位）为纯虚数，则复数z−1在复平面内对应
的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
22．复平面内A ,B ,C三点所对应的复数分别为1−i,2−i,3+i，若四边形ABCD为平行
四边形，则点D对应的复数为（ ）
A．2
B．2+i
C．1
D．1+i
23．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,−1)，则
z
2
1−2i =（ ）
A．4
5 −2
5 i
B．2
5 −4
5 i
C．4
5 + 2
5 i
D．2
5 + 4
5 i
24．若复数z的共轭复数z满足i
2023 z =1−2i，则z在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．(2,1)
B．(−2,1)
C．(−2,−1)
D．(2,−1)
25．已知z1=2−i，z2=a−2i（a∈R，i 为虚数单位）．若z1，z2在复平面内对应的点
分别为Z1，Z2，点O 为原点，且O Z1⊥O Z2，则a=（ ）
A．1
B．－1
C．4
D．－4
【考点6 复数的模长及简单应用】
26．已知i为虚数单位，(1−i)
2⋅z = 1
2 + √3
2 i，则|z|=（ ）
A．1
4
B．1
2
C．√2
4
D．√2
2
3
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27．已知复数z = 10i
1−3i +3i，则|z|=（ ）
A．3
B．√10
C．4
D．5
28．复数z满足(4 +3i+ z)i=2−i，则|z|=（ ）
A．√10
B．√26
C．√34
D．5√2
29．若复数z满足z +i=2i(z−i)，则|z|=（ ）
A．1
B．√2
C．√3
D．2
【考点7 复数范围内的解方程】
30．已知关于x的方程x
2+2 x +3=0的一个根为x =a+bi(a,b∈R)，则a
2+b
2+a=
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
31．若i是关于x的方程x
2+ px +q =0( p,q∈R)的一个根，则q =（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
32．已知1+i为关于x的方程x
2+ax +b=0（a，b∈R）的一个根，z =a+bi，则
z⋅(z +1)=（ ）
A．−2−6i
B．−2+6i
C．6+2i
D．−6+2i
33．多选题已知z1, z2
是关于x的方程x
2+ px +q =0( p,q∈R)的两个根，其中z1=1+i，
则（ ）
A．z1= z2
B．z1
2= z2
2
C．p=−2
D．q =2
34．多选题已知方程z
2+2 z +3=0的两个复数根分别为z1, z2，则（ ）
A．z1= z2
B．z1+ z2=2
C．z1 z2=|z1|
2
D．|z1−z2|=2√2
【考点8 复数代数式与三角形互化】
35．复数z = 4+3i
1−2i +1−2i（i为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4
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36．(cos75
°+isin75
°)×(
√2
2 −√2
2 i)
9
=（ ）
A．√3
2 + 1
2 i
B．√3
2 −1
2 i
C．1
2 + √3
2 i
D．1
2 −√3
2 i
37．任意一个复数z =a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=r (cosθ+isinθ)．棣莫弗
定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754 年）创立的，指的是：设两个复数
z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r1(cosθ2+isinθ2)，则
z1 z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，已知复数z = 1
2 + √3
2 i，则z
2023+ z
2+ z =（ ）
A．1
2
B．1
2 + √3
2 i
C．1
2 −√3
2 i
D．1
38．1748 年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式
e
ix=cos x +isin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.
根据此公式可知，设复数z =e
π
4 i，根据欧拉公式可知，z
1−i
表示的复数的虚部为（ ）
A．−√2
2
B．−√2
2 i
C．√2
2
D．√2
2 i
39．已知复数z对应的向量为⃗OZ(O 为坐标原点)，⃗OZ与实轴正向的夹角为120°，且复数z
的模为2，则复数z为（ ）
A．1+√3i
B．2
C．−1−√3i
D．−1+√3i
40．棣莫弗公式(cos x +isin x)
n=cosnx +isinnx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫
弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω=cos 2π
3 +i⋅sin 2π
3
，
则ω
4的值是（ ）
A．−ω
B．1
ω
C．ω
D．ω
41．已知复数z 满足|z|=√2，z
2的虚部是2，z 对应的点A 在第一象限，
(1)求z 的值；
5
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(2)若z，z
2，z−z
2在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.
【易错点1 虚数单位i、复数】
1．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【易错点2 共轭复数】
2．已知复数z＝
，则z 的共轭复数是（ ）
A．1﹣i
B．1+i
C．i
D．﹣i
3．复数z＝
的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．1+i
D．1﹣i
【易错点3 复数的模】
4．复数z1，z2满足z1∈R
，则z1＝（ ）
A．1
B．2
C．0 或2
D．1 或2
（多选）5．已知复数z1对应的向量为
，复数z2对应的向量为
，下列说法中正确
的是（ ）
A．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则
6
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B．若
，则|z1|＝|z2|
C．若z1与z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z1z2＝|z1z2|
D．若|z1|＝|z2|，则
【易错点4 复数的运算】
6．已知复数z 是一元二次方程x2﹣2x+2＝0 的一个根，则|z|的值为（ ）
A．1
B．
C．0
D．2
7．复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知方程x2﹣px+1＝0 的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p 的值为（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
（多选）9．若复数z 满足z（1+i）＝2﹣i（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z 的虚部为
C．
D．若复数ω 满足|ω﹣2z|＝1，则|ω|的最大值为
【易错点5 复数的除法运算】
10．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．若i 为虚数单位，则
＝ ．
7
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8
