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艺体生专项训练6 回归分析与独立性检验
建议用时：40 分钟
参考公式：
经验回归方程
，其中
公式①
．公式②
相关系数
．
一、多选题
1．已知某AI 软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI 写作软件，现将该软件上
市后的月份
以及每个月获得的利润
（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根
据表中数据，得到经验回归方程
，则（ ）
月份
1
2
3
4
5
利润
5
8
10
12
15
A．
B．可以估计每增加1 个月份，月利润提高
2.8 万元
C．可以估计10 月份的利润为26.8 万元
D．5 月份利润的残差为0.4 万元
2．某科技公司统计了一款APP，最近5 个月的下载量如表所示，若y 与x 线性相关，且经
验回归方程为
，则（ ）
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y
（万次）
5
4.5
4
3.5
2.5
A．y 与x 负相关
B．
C．预测第6 个月的下载量约为2.1 万次
D．残差绝对值的最大值为0.5
3．下列说法正确的有（ ）
A．在经验回归方程
中，当解释变量x 每增加1 时，响应变量y 平均减
少2.3
B．在经验回归方程
中，相对于样本点
的残差为
C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D．若两个变量的决定系数
越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好
4．某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人
的120 位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄
周平均使用时间
超过4 小时
不超过4 小时
总计
不超过40 岁
54
b
72
40 岁以上
c
d
总计
72
120
附：
，
．
（1）当
时，没有充分的证据判断变量A，B 有关联，可以认为变量A，B 是没有
关联的；
（2）当
时，有90%的把握判断变量A，B 有关联；
（3）当
时，有99%的把握判断变量A，B 有关联；
（4）当
时，有99.9%的把握判断变量A，B 有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4 小时的概
率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4 小时
与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4 小时与
年龄有关
二、解答题
5．炎炎夏日，空调已经成为越来越多家庭的必备电器之一.为研究不同性别对空调“最佳
舒适温度”是否要超过
的认同差异，某家电公司随机对280 名空调用户进行了调查，
其中女性用户占调查总人数的一半，该调查数据中只有
的女性用户认为空调“最佳舒适
温度”低于
，且女性用户中认为空调“最佳舒适温度”低于
的人数恰与男性用
户中认为空调“最佳舒适温度”不低于
的人数相等.
性别
最佳舒适温度
合计
男
女
合计
280
(1)在答题卡中完成列联表；
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析空调“最佳舒适温度”是否超过
与性别
有关.
附：
6．近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取
了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示．
性别
男孩
女孩
喜欢豪车模型
340
160
不喜欢豪车模型
300
200
(1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取
10 人，再从这10 人中随机抽取3 人，求至少1 人是女孩的概率；
(2)根据
的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性．
附：
．
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
7．为了考察某种药物A 对预防疾病B 的效果，进行了200 次动物试验，得到如下列联表：
药物A
疾病B
合
计
患病
未患病
服用
100
未服
用
40
60
100
合计
200
在服用药物A 的动物中，患病的频率为0.2.
(1)求x，y；
(2)依据小概率值
的独立性检验，是否认为服用药物A 对预防疾病B 有效?
附：
，
.
0.1
0.05
0.01
0.00
5
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
8．7 月1 日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下
映，结束了自今年1 月29 日以来153 天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终
斩获154.4 亿元票房，总观影人次3.24 亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第
二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15 天累计票房到达
（单
位：亿元）与所用时间
（单位：天）的数据：
累计票房
2
0
40
60
8
0
100
用时
4
7
9
1
0
15
(1)利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程
度；
(2)求
关于
的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153 天时的累计票房，判断这
种预测方法是否合理．
参考公式：经验回归方程
，其中
．
相关系数
．
参考数据：
．
9．近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021 年到
2024 年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
202
2
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
销量
33
69
93
129
附：相关系数
；
回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
(1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量
与年份代号
的线性相关性强弱（
，则认为
与
的线性相关性较强，
，则认为
与
的线性相关性较
弱）；（精确到0.001）
(2)建立
关于
的线性回归方程，并预测该地2025 年的新能源汽车销量．
10．某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月
的销售额统计如下：
月份
销售额
万元
(1)根据表中数据建立月份
与销售额
的经验回归方程
；
(2)为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取
个月对销售情况进行分析，求抽到
的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：
．参考数据：
，
．
11．台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车
公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5 年的年广告费
（单位：
百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：
令
，数据经过初步处理得：
，
，
，
，
，
，
.现有①
和②
两种方案作为年销售量y 关于年
广告费x 的回归分析模型，其中a，b，m，n 均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y 关于x 的回归方
程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
附：①相关系数
，回归直线
中公式分别为
，
；
②参考数据：
，
，
，
12．中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统
技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期
间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5 天调查情况数据如下:
宣传天数x
1
2
3
4
5
不了解的人数
120
100
90
80
70
(1)若对中国民间传统文化不了解的人数
与宣传天数
之间满足线性回归关系，求变量
关于变量
的经验回归方程
.
(2)从前5 天的调查表中随机抽取100 份调查表，整理得如下2×2 列联表:
性别
对中国民间传统文化了解的程度
合计
了解
不了解
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100
（i）依据小概率值
的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有
关联?
（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7 份调查表，
再从这7 份调查表中任意抽取3 份，记X 为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X 的
分布列及期望.
附:回归方程
中斜率和截距的最小二乘法公式分别为
，
，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：
，
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
