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2025 年高考押题预测卷
高三数学（北京专用01）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40 分）
一、单项选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．过原点且倾斜角为
的直线被圆
所截得的弦长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
5．已知
，
是非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不必要也不充分条件
1
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6．已知函数
的图象与直线
的相邻两个交点间的距离等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知强度为
的声音对应的等级为
时，有
，喷气式飞机起飞时，声音约为
；一般说话时，声音约为
.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）
倍.
A．
B．
C．
D．
8．如图1，在直角梯形
中，
，
为线段
上的一点，
，过
作
的平行线交
于
，将矩形
翻折至与梯形
垂直，得到六面体
，
如图2，则六面体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示，将绘有函数
部分图象的纸片沿
轴折成钝二面角，此
二面角的平面角为
，此时
，
之间的距离为
，则
（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
10．
表示不小于
的最小整数，如
，已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．2023
D．2022
第二部分（非选择题共110 分）
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11．若抛物线
经过点
，则该抛物线的焦点坐标为 .
12．若
为第二象限角，且
，
13．已知空间
四点中任意两点间的距离都等于
，则点
到平面
的距离为 ．
14．已知双曲线
的渐近线与圆
有公共点，则双曲线离心率的取值范
围为 ．
15．设数列
和
的项数均为m，称
为数列
和
的距离．记满足
的所有数
列
构成的集合为C．已知数列
和
为集合C 中的两个元素，项数均为m，给出下列四个结论：
①数列1，3，5，7 和数列2，4，6，8 的距离为4
②若
，则
3
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③若
则
④若
数列
和
的距离不超过2025，则m 的最大值为3470．
其中，所有正确结论的序号是
三、解答题：本题共6 小题，共85 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13 分）在
中，
．
(1)求
的值；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
17．（13 分）如图，在长方体
中，
为
的中点，
与平面
交于点
.
(1)求证：
为
的中点；
(2)若二面角
的余弦值为
，求
的长度.
4
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18．（14 分）2025 年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断
升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号
和
的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：
和
需依次完
成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5 分、3 分、2
分，未完成项目得0 分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了
30 次赛前模拟，数据如下：
完成电路板焊接次数
完成精密设备开启次数
完成精准打螺丝次数
10
18
24
15
15
15
若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立．
(1)求比赛中
只完成了一个项目的概率；
(2)记
在比赛中的总分为
，求
的分布列；
(3)已知本次比赛
获胜，求
的总分不低于5 分的概率．
19．（15 分）已知椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点分别为
，椭圆C 的离心率为
，点P 是
椭圆C 上一动点，且
的最大值为2.
(1)求椭圆C 的方程.
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(2)过点
的直线交椭圆C 于E，F 两点，判断
是否为定值?若为定值，求出该定值;若
不为定值，请说明理由.
20．（15 分）已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)当
时，证明：
；
(3)当
恰有四个零点
，
，
，
时，证明：
．
21．（15 分）对于各项均为正整数的数列
，如果
，
给定，且对于任意
都有
，
6
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我们就称
为一个
数列．
(1)若数列
是
－数列，且
，
，直接写出
，
，
的值；
(2)若数列
为
数列，且
，
，则
，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整
数，
，
，使得
，证明：
，
的表示具有唯一性；
(3)能否将正整数集
拆成若干个集合
，
，
，
（可以是无穷个集合），使得
，都有
，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是
数列？
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