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§7.6 空间向量的概念与运算
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1
1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则⃗AF- (⃗AB+⃗AC)等于( )
2
A.-⃗EF B.⃗BD C.⃗EF D.-⃗BD
2.已知a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，且a∥b，则m+n等于( )
A.4 B.6 C.8 D.10
3.设m为实数，若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为(m，2，4)，平面α的法向量为(2，4，8)，则m
的值为( )
A.1 B.2 C.-20 D.-10
4.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若a，b，c三个向量共面，则实数m等于( )
A.-1 B.2 C.3 D.5
5.已知平行六面体ABCD-A B C D 中，AA =2，BD=3，⃗AD ·⃗DC-⃗AB ·⃗BC=4，则cos〈⃗A A ，⃗BD〉等于
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 3 3
A. B.- C. D.-
3 3 4 4
6.(2025·日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A B C D ，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱
1 1 1 1
相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则⃗PA·⃗PB的最大值为( )
7 3 1
A.2 B. C. D.
4 4 4
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列命题正确的是( )
A.平面α，β的法向量分别为n =(0，1，3)，n =(1，2，6)，则α∥β
1 2
( 1)
B.直线l的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m的方向向量为b= 2，1，- ，则l与m垂直
2
C.直线l的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的法向量为n=(1，-1，-1)，则l∥α
D.平面α经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，向量n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，则
u+t=1
8.下列说法正确的是( )
A.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3，-4，5)关于Oxy平面对称的点为(3，-4，-5)
B.对空间任意一点O与不共线的A，B，C三点，若⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC，其中x，y，z∈R且x+y+z=1，
则P，A，B，C四点共面C.已知a=(0，1，1)，b=(0，0，-1)，则a在b上的投影向量为(0，0，-1)
D.向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.在空间直角坐标系中，已知A(1，1，0)，B(-1，0，2)，点C满足⃗AC=3⃗AB，则点C的坐标为 .
1 2 4
10.已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点，⃗PM=- ⃗PA+ ⃗PB+ ⃗PC，则三棱锥A-MBC的体
15 15 15
积是 .
四、解答题(共27分)
11.(13分)如图，四棱锥P -ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是
线段PA，PD，AB的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；(5分)
(2)PD⊥平面AHF.(8分)
12.(14分)如图所示，在三棱柱ABC-A B C 中，CA=CB=CC ，⃗CA=a，⃗CB=b，⃗CC =c，〈a，b〉=〈a，
1 1 1 1 1
2π π
c〉= ，〈b，c〉= ，N是AB的中点.
3 2
(1)用a，b，c表示向量⃗A N；(5分)
1
(2)在线段C B 上是否存在点M，使AM⊥A N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.(9分)
1 1 1
13题5分，14题6分，共11分
13.1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生
产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直，
E，F分别为AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过D，B，
C又回到点A，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30 cm，则丝
线缠一圈的长度为( )A.90√2 cm B.90√3 cm C.60√6 cm D.80√3 cm
( ( π])
14.(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角均为θ θ∈ 0， 的三条数轴，e ，
2 1
e ，e 分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若⃗OP=xe +ye +ze (x，y，z∈R)，则把有序数对(x，y，
2 3 1 2 3
z) 叫做⃗OP在坐标系Oxyz中的坐标，则下列结论正确的是( )
θ
A.若a=(-1，3，-7) ，b=(3，-2，4) ，则a+b=(2，1，3)
θ θ θ
(2，6，-3) (3，-1，0)
B.若a= π，b= π，则a·b=0
2 2
π
C.若a=(x，y，0) ，b=(1，2，0) ，则当且仅当x∶y=1∶2时，θ=
θ θ 6
D.若⃗OA=
(1，0，0)
π
，⃗OB
=
(0，1，0)
π
，⃗OC
=
(0，0，1)
π，则二面角O-AB-C的余弦值为
1
3 3 3 3
答案精析
1.C 2.C 3.A
4.B [∵a，b，c三个向量共面，
∴存在唯一有序实数对(λ，μ)，
使c=λa+μb，
即(-1，m，3)=λ(1，0，2)+μ(3，-2，1)，
{λ+3μ=-1,
{
λ=2,
即 -2μ=m, ⇒ μ=-1,]
2λ+μ=3 m=2.
5.B [因为⃗AD ·⃗DC-⃗AB ·⃗BC=(⃗AD+⃗A A )·⃗AB-(⃗AB+⃗A A )·⃗AD=⃗AD·⃗AB+⃗A A ·⃗AB-⃗AB·⃗AD-⃗A A ·⃗AD=
1 1 1 1 1 1
⃗A A ·(⃗AB-⃗AD)
1
=⃗AA ·⃗DB=4，
1
所以⃗A A ·⃗BD=-4，
1⃗A A ·⃗BD -4 2
cos〈⃗A A ，⃗BD〉= 1 = =- .]
1 |⃗A A ||⃗BD| 2×3 3
1
1
6.B [取AB的中点E，可知E在球面上，可得⃗EB=-⃗EA=- ⃗BA，
2
所以⃗PA·⃗PB=(⃗PE+⃗EA)·(⃗PE+⃗EB)
1
=⃗PE2-⃗EA2=⃗PE2- ，
4
点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，当PE为直径时，
|⃗PE| =√2，
max
7
所以⃗PA·⃗PB的最大值为 .]
4
7.BD [对于A，向量n =(0，1，3)与n =(1，2，6)不共线，平面α与β不平行，A错误；
1 2
( 1) ( 1)
对于B，由a=(1，-1，2)，b= 2，1，- ，得a·b=1×2-1×1+2× - =0，l与m垂直，B正确；
2 2
对于C，a·n=1×(-1)+(-1)×(-1)=0，a⊥n，则l α或l∥α，C错误；
对于D，⃗BA=(1，-1，-1)，
⊂
⃗BC=(-1，1，0)，
{⃗BA·n=1-u-t=0,
由n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，得 解得u+t=1，D正确.]
⃗BC·n=-1+u=0,
8.ABD [对于A，点(3，-4，5)关于Oxy平面对称的点应满足横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，
即为(3，-4，-5)，故A正确；
对于B，因为x+y+z=1，则z=1-x-y，所以⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+(1-x-y)⃗OC，即⃗OP-⃗OC=x⃗OA-x⃗OC+y⃗OB-y⃗OC，
所以⃗CP=x⃗CA+y⃗CB，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
a·b -1
对于C，由投影向量定义可得a在b上的投影向量为 b= b=-b=(0，0，1)，故C错误；
|b|2 1
对于D，设向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p=x(a+b)+y(a-b)+zc，
又向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
则p=4a+2b+3c，
所以4a+2b+3c
=x(a+b)+y(a-b)+zc
=(x+y)a+(x-y)b+zc，{x+ y=4, {x=3,
所以 x- y=2,解得 y=1,
z=3, z=3,
所以向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3)，故D正确.]
9.(-5，-2，6)
10.4
1 2 4 1 2 4
解析 ⃗PM=- ⃗PA+ ⃗PB+ ⃗PC，故3⃗PM=- ⃗PA+ ⃗PB+ ⃗PC，
15 15 15 5 5 5
不妨令⃗PH=3⃗PM，
1 2 4
则⃗PH=- ⃗PA+ ⃗PB+ ⃗PC，
5 5 5
1 2 4
又- + + =1，
5 5 5
故H，A，B，C四点共面，
2 2
故V = V = ×6=4.
三棱锥M-ABC 3 三棱锥P-ABC 3
11.证明 (1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，
且EH 平面EFH，
∴PB∥ ⊂平面EFH.
(2)因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
则AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，
H(1，0，0).
⃗PD=(0，2，-2)，⃗AH=(1，0，0)，⃗AF=(0，1，1)，∴⃗PD·⃗AF=0×0+2×1+(-2)×1=0，
⃗PD·⃗AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.
∴⃗PD⊥⃗AF，⃗PD⊥⃗AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF=A，
且AH，AF 平面AHF，
∴PD⊥平面⊂AHF.
1 1
12.解 (1)⃗A N=⃗A A+⃗AN=⃗C C+ ⃗AB=-⃗CC + (⃗CB-⃗CA)
1 1 1 2 1 2
1 1
=- a+ b-c.
2 2
(2)假设存在点M，使AM⊥A N，
1
设 ⃗C M=λ⃗C B =λb(λ∈[0，1])，
1 1 1
显然⃗AM=⃗A A +⃗A C +⃗C M
1 1 1 1
=c-a+λb.
因为AM⊥A N，所以⃗AM·⃗A N=0，
1 1
( 1 1 )
即(c-a+λb)· - a+ b-c =0，
2 2
1 1 1 1 1 1
所以- c·a+ c·b-c2+ a2- a·b+c·a- λa·b+ λb2-λb·c
2 2 2 2 2 2
1 (1 ) 1 (1 1 ) 1
= c·a+ -λ c·b-c2+ a2- + λ a·b+ λb2=0.
2 2 2 2 2 2
设CA=CB=CC =1，
1
2π π
又〈a，b〉=〈a，c〉= ，〈b，c〉= ，
3 2
1 1 (1 1 ) 1
所以 c·a-c2+ a2- + λ a·b+ λb2=0，
2 2 2 2 2
1 ( 1) 1 (1 1 ) ( 1) 1
即 ×1×1× - -12+ ×12- + λ ×1×1× - + λ×12=0，
2 2 2 2 2 2 2
2 2
解得λ= ，所以当C M= C B 时，AM⊥A N.
3 1 3 1 1 1
13.C [依题意⃗BE⊥⃗EF，⃗FD⊥⃗EF，
⃗BE⊥⃗FD，
所以⃗BE·⃗EF=0，⃗FD·⃗EF=0，
⃗BE·⃗FD=0，又⃗BD=⃗BE+⃗EF+⃗FD，
所以⃗BD2=(⃗BE+⃗EF+⃗FD) 2
=⃗BE2+⃗EF2+⃗FD2+2⃗BE·⃗EF+2⃗BE·⃗FD+2⃗EF·⃗FD
=152+302+152=152×6，
所以|⃗BD|=15√6，
同理可得|⃗AD|=|⃗AC|=|⃗BC|=15√6，
所以丝线缠一圈的长度为4×15√6=60√6(cm).]
14.BD [对于A，因为a=(-1，3，-7) =-e +3e -7e ，b=(3，-2，4) =3e -2e +4e ，则a+b=2e +e -3e =(2，1，-
θ 1 2 3 θ 1 2 3 1 2 3
3) ，故A错误；
θ
(2，6，-3) ， (3，-1，0) ，
对于B，因为a= π b= π
2 2
此时a，b在空间直角坐标系中，则a·b=2×3+6×(-1)=0，故B正确；
对于C，因为a=(x，y，0) =xe +ye ，b=(1，2，0) =e +2e ，
θ 1 2 θ 1 2
当x∶y=1∶2时，y=2x，则a=(x，y，0) =xe +2xe =x(e +2e )=xb，
θ 1 2 1 2
π
此时a∥b，θ不一定为 ，故C错误；
6
对于D，因为⃗OA=
(1，0，0)
π
，⃗OB
=
(0，1，0)
π
，⃗OC
=
(0，0，1)
π
，
3 3 3
则三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，如图所示，取AB的中点H，连接OH，HC，
√3
在等边△OAB，△ABC中，易知OH⊥AB，HC⊥AB，OH=HC= ，
2
则∠OHC即为二面角O-AB-C的平面角，
在△OHC中，由余弦定理得，
3 3
+ -1
OH2+HC2-OC2 4 4 1
cos∠OHC= = = ，
2OH·HC 3 3
2×
4
1
所以二面角O-AB-C的余弦值为 ，故D正确.]
3
