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考试要求 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的
含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性
运算的性质及其几何意义.
【知识梳理】
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的
方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作| AB
| .
(2)零向量：长度为
0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1 个单位
长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b 平行，记作a∥b.
规定：0 与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和
的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝
b ＋
a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a ＋
( b ＋
c )
减法
求两个向量差
的运算
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
规定实数λ 与
向量a 的积是
一个向量，这
种运算叫做向
量的数乘，记
作λa
(1)|λa|＝| λ || a | ；
(2)当λ＞0 时，λa 的方
向与a 的方向相同；当
λ＜0 时，λa 的方向与a
的方向相反；当λ＝0
时，λa＝0
λ(μa)＝λμ
a ；
(λ＋μ)a＝
λ a ＋
μ a ；
λ(a＋b)＝
λ a ＋
λ b
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a .
[常用结论与微点提醒]
1.中点公式的向量形式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝
(OA＋OB).
2.OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为实数)，若点A，B，C 共线(O 不在直线BC 上)，则λ＋
μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量
的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b 的方向无关.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D 四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a，b 共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (2)若b＝0，则a 与c 不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D 四点不一定在
一条直线上.
2.(多选)下列命题中，正确的是( )
A.若a 与b 都是单位向量，则a＝b
B.直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量
C.若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M 与N 不重合
D.海拔、温度、角度都不是向量
答案 CD
解析 A 错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；
B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；
C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等或方向不同，所以终点不同；
D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.
3.(必修二P16 例8 改编)已知a，b 是两个不共线向量，向量b－ta 与a－b 共线，
则实数t＝________.
答案
解析 由题意知，存在实数λ，使得
b－ta＝λ，
则解得t＝.
4.(必修二P14 例6 改编)在平行四边形ABCD 中，BC 的中点为M，且AB＝a，AD
＝b，用a，b 表示AM＝________.
答案 a＋b
解析 AM＝AB＋BM＝AB＋BC
＝AB＋AD＝a＋b.
考点一 平面向量的概念
例1 (1)(多选)下列命题正确的有( )
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D.“若A，B，C，D 是不共线的四点，且AB＝DC”⇔“四边形ABCD 是平行四
边形”
答案 AD
解析 方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共
线，故A 正确；
零向量是有方向的，其方向是任意的，故B 错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相
同的起点和终点，故C 错误；
A，B，C，D 是不共线的点，AB＝DC，即模相等且方向相同，即平行四边形
ABCD 对边平行且相等，反之也成立，故D 正确.
(2)设a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A.a＝－b
B.a∥b
C.a＝2b
D.a∥b 且|a|＝|b|
答案 C
解析 因为向量的方向与向量a 方向相同，向量的方向与向量b 方向相同，且＝，
所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b 时，＝＝，
故a＝2b 是＝成立的充分条件.
感悟提升 平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函
数图象的平移混淆.
(4)非零向量a 与的关系：是与a 同方向的单位向量.
训练1 (1)下列命题中正确的是( )
A.向量AB的长度与向量BA的长度相等
B.向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反
C.a 与b 同向，且|a|>|b|，则a>b
D.两个终点相同的向量，一定是共线向量
答案 A
解析 对于A，向量AB与向量BA的长度相等，方向相反，故A 正确；
对于B，向量a 与b 平行，且a 或b 为零向量时，不满足条件，故B 错误；
对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，
所以任意两个向量都不能比较大小，故C 错误；
对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D 错误.
(2)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC相等的向量为( )
A.BA
B.CD
C.AD
D.OD
答案 D
解析 A，B 选项均与BC方向不同，C 选项与BC长度不相等，D 选项与BC方向
相同，长度相等.
考点二 平面向量的线性运算
例2 (1)(2024·太原模拟)在矩形ABCD 中，E 为AB 边的中点，线段AC 和DE 交
于点F，则BF＝( )
A.－AB＋AD
B.AB－AD
C.AB－AD
D.－AB＋AD
答案 D
解析 如图，取CD 的中点G，连接BG，交AC 于点H.
∵BE∥DG，BE＝DG，
∴四边形BEDG 为平行四边形，∴BG∥DE.
又E 为AB 的中点，
∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，
∴AF＝AC＝(AB＋AD).
∴BF＝BA＋AF＝－AB＋(AB＋AD)
＝－AB＋AD.
(2)(2024·安庆调研)如图，等腰梯形ABCD 中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E 为线段
CD 上靠近C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE＝( )
A.－AB＋AC
B.－AB＋AC
C.－AB＋AC
D.－AB＋AC
答案 A
解析 由题图得
FE＝FC＋CE＝BC＋CD
＝(AC－AB)＋
＝AC－AB＋AB－AC－AB
＝－AB＋AC.
感悟提升 平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
训练2 (1)(2024·南充诊断)如图，在△ABC 中，BD＝4DC，则AD＝( )
A.AB＋AC
B.AB＋AC
C.AB＋AC
D.AB＋AC
答案 A
解析 因为BD＝4DC，
所以AD－AB＝4(AC－AD)，
所以5AD＝AB＋4AC，即AD＝AB＋AC.
(2)(2024·河南部分学校联考)已知不共线向量OA＝a，OB＝b，点M 关于点A 的
对称点为S，点S 关于点B 的对称点为N，则MN＝( )
A.2a－2b
B.2a＋2b
C.－2a－2b
D.－2a＋2b
答案 D
解析 如图，由OA＝a，OB＝b，点M 关于点A 的对称点为S，点S 关于点B 的
对称点为N，可知AB 是△SMN 的中位线，
所以MN＝2AB＝2(OB－OA)
＝2b－2a＝－2a＋2b.
考点三 共线向量定理的应用
例3 (1)(2024·长沙质检)已知向量a，b 不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若
c 与d 共线，则实数x 的值为( )
A.1
B.－
C.1 或－
D.－1 或－
答案 C
解析 因为c 与d 共线，
所以存在k∈R，使得d＝kc，
即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.
因为向量a，b 不共线，所以
整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝－或x＝1.
(2)(2024·潍坊调研)已知点M 为△ABC 中BC 边上的中点，点N 满足AN＝AM，过
点N 的直线与AB，AC 分别交于P，Q 两点，且设AP＝xAB，AQ＝yAC，则＋的
值为( )
A.5
B.6
C.9
D.10
答案 D
解析 根据题意，得
AN＝AM＝×(AB＋AC)
＝(AB＋AC)＝
＝AP＋AQ.
∵P，N，Q 三点共线，
∴＋＝1，即＋＝10.
感悟提升 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思
想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C 三点共线
⇔AB，AC共线.
(3)若a 与b 不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为实数)，若A，B，C 三点共线(O 不在直线BC 上)，则
λ＋μ＝1.
训练3 (1)如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 满足AN＝AB，AM 与CN
交于点D，AD＝λAM，则λ 等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 在△ABC 中，因为点M 是BC 的中点，
所以AM＝AB＋AC，
则AD＝λAM＝AB＋AC，
又AN＝AB，
于是得AD＝AN＋AC，
因为点C，D，N 共线，则有＋＝1，
解得λ＝.
(2)(2024·枣庄质检)已知D 为线段AB 上的任意一点，O 为直线AB 外一点，A 关
于点O 的对称点为C.若OD＝xOB＋yOC，则x－y 的值为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案 C
解析 因为A 关于点O 的对称点为C，
所以OC＝－OA，
又OD＝xOB＋yOC，
所以OD＝xOB－yOA，
又因为A，B，D 三点共线，
所以x－y＝1.
【A 级 基础巩固】
1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为( )
A.a＋4b
B.－a－9b
C.2a＋b
D.a－3b
答案 B
解析 2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.
2.(多选)下列命题中正确的是( )
A.|a|＋|b|＝|a－b|⇔a 与b 方向相反
B.在△ABC 中，AB＋BC＋CA＝0
C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反
D.如果非零向量a，b 的方向相同或相反，那么a＋b 的方向与a，b 之一的方向
一定相同
答案 BC
解析 对于A，当a，b 之一为零向量时，不成立，故A 错误；
对于B，首尾顺次相接，B 正确；
对于C，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向
相反)，故C 正确；
对于D，当a＋b＝0 时，零向量的方向是任意的，故D 错误.
3.(多选)下列能化简为PQ的是( )
A.QC－QP＋CQ
B.AB＋(PA＋BQ)
C.(AB＋PC)＋(BA－QC)
D.PA＋AB－BQ
答案 ABC
解析 对于A，QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ，符合题意；
对于B，AB＋(PA＋BQ)＝(PA＋AB)＋BQ＝PB＋BQ＝PQ，符合题意；
对于C，(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(CQ－CP)＝0＋PQ＝PQ，符合题意；
对于D，PA＋AB－BQ＝PB－BQ≠PQ，不符合题意.
4.(2024·武汉质检)已知a，b 是平面内两个不共线的向量，AB＝a＋λb，AC＝μa
＋b，λ，μ∈R，则A，B，C 三点共线的充要条件是( )
A.λ－μ＝1
B.λ＋μ＝2
C.λμ＝1
D.＝1
答案 C
解析 若A，B，C 三点共线，则存在不为0 的实数m，使得AB＝mAC，即a＋λb
＝m(μa＋b)，
可得所以λμ＝1.故选C.
5.在边长为1 的正方形ABCD 中，设AB＝a，AD＝b，AC＝c，则|a－b＋c|等于(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 因为四边形ABCD 是边长为1 的正方形，
AB＝a，AD＝b，AC＝c，
所以a－b＋c＝AB－AD＋AC＝AB－AD＋(AB＋AD)＝2AB，
又|AB|＝1，所以|a－b＋c|＝|2AB|＝2.
6.(2024·渭南调研)如图，在四边形ABCD 中，E，F 分别为AB，CD 的中点，若
AD＝a，BC＝b，则EF＝( )
A.a＋b
B.a－b
C.a＋b
D.a－b
答案 A
解析 由题意知
EF＝EB＋BC＋CF＝EA＋AD＋DF，
因为E，F 分别为AB，CD 的中点，
所以EB＝－EA，DF＝－CF，
所以2EF＝AD＋BC，即EF＝AD＋BC，
因为AD＝a，BC＝b，
所以EF＝a＋b.
7.(2024·昆明诊断)在△ABC 中，若AD 为BC 边上的中线，点E 在AD 上，且AE
＝2ED，则EB＝( )
A.AB－AC
B.AC－AB
C.AB－AC
D.AC－AB
答案 A
解析 如图所示.
在△ABC 中，因为AD 为BC 边上的中线，
所以D 为BC 的中点.
由平行四边形法则，得AD＝(AB＋AC).
又点E 在AD 上，且AE＝2ED，
所以EA＝－AD，
所以EB＝EA＋AB＝－AD＋AB
＝－×(AB＋AC)＋AB
＝－AB－AC＋AB
＝AB－AC.
8.已知向量a，b 不共线，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c 与d 反向共线，
则实数λ 的值为________.
答案 －
解析 由于c 与d 反向共线，
则存在实数k 使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋2b＝k[a＋(2λ－3)b]，
整理得λa＋2b＝ka＋(2λk－3k)b.
由于a，b 不共线，所以有
整理得2λ2－3λ－2＝0，
解得λ＝2 或λ＝－.
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
9.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则
△ABC 的形状为________.
答案 直角三角形
解析 OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－
AC，
∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.
故A，B，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形.
10.在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP＝2PC，AP＝λAB＋μAC，则2λ＋μ＝
________.
答案
解析 在△ABC 中，BP＝2PC，
则AP＝AB＋BP＝AB＋BC
＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
又AP＝λAB＋μAC，且AB，AC不共线，
则λ＝，μ＝，
所以2λ＋μ＝.
11.已知a，b 不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如
果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t 使C，D，E 三点在一条直线上？
若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由.
解 由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，
CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b 不共线，
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E 三点在一条直线上.
12.如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近B 点，E，F 分别为AC，
AD 的三等分点，且分别靠近A，D 两点，设AB＝a，AC＝b.
(1)试用a，b 表示BC，AD，BE；
(2)证明：B，E，F 三点共线.
(1)解 在△ABC 中，因为AB＝a，AC＝b，
所以BC＝AC－AB＝b－a，
AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝a＋(b－a)＝a＋b，
BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.
(2)证明 因为BE＝－a＋b，
BF＝BA＋AF＝－AB＋AD
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以BF＝BE，即BF与BE共线，且有公共点B，所以B，E，F 三点共线.
【B 级 能力提升】
13.(多选)下列命题正确的是( )
A.若A，B，C，D 四点在同一条直线上，且AB＝CD，则AB＝CD
B.在△ABC 中，若O 点满足OA＋OB＋OC＝0，则O 点是△ABC 的重心
C.若a＝(1，1)，把a 向右平移2 个单位，得到的向量的坐标为(3，1)
D.在△ABC 中，若CP＝λ，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心
答案 BD
解析 对于A，如图，A，B，C，D 四点满足条件，但AB≠CD，故A 错误；
对于B，设BC 的中点为D，当OA＋OB＋OC＝0 时，能得到OA＝－(OB＋OC)，
所以OA＝－2OD，所以O 是△ABC 的重心，故B 正确.
对于C，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C 错误.
对于D，根据向量加法的几何意义知，以，为邻边所得到的平行四边形是菱形，
点P 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得P 点在∠ACB 的平
分线所在直线上，故D 正确.
14.经过△OAB 的重心G 的直线与OA，OB 分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ
＝nOB(m＞0，n＞0).
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n 的最小值.
(1)证明 设OA＝a，OB＝b.
由题意知OG＝×(OA＋OB)＝(a＋b)，
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
PG＝OG－OP＝a＋b，
由P，G，Q 三点共线，得存在实数λ，
使得PQ＝λPG，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而消去λ 得＋＝3.
(2)解 由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n 取得最小值，最小值为.
