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考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公
式. 2.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一
般式). 3.常与圆锥曲线结合考查斜率的表示及直线方程的设法和求解.
【知识梳理】
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方
向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜角；
(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α 的取值范围是{ α |0°
≤
α <180°}
.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用
小写字母k 表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l 上的两点，则向量P1P2＝(x2－
x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l 的斜率为k，它的
一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y ＝
kx
＋
b
与x 轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y －
y 0＝
k ( x －
x 0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的
直线
截距式
纵、横截距
＋
＝
1
不过原点且与两坐标轴
均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋
B2≠0)
所有直线
[常用结论与微点提醒]
1.直线的斜率k 与倾斜角α 之间的关系
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨
论.”
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距
离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系中的直线都有倾斜角与斜率.( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(3)直线y＝kx－2 一定过定点(0，－2).( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－
x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)当直线的倾斜角为90°，直线不存在斜率.
(2)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝
1，k1＜k2.
2.(多选)下列说法中正确的有( )
A.直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
B.直线y＝3x－2 在y 轴上的截距是－2
C.直线x－y＋1＝0 的倾斜角是60°
D.过点(5，4)且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0
答案 BD
解析 对于A，当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°，A 错误；
对于B，直线方程为y＝3x－2，令x＝0，得y＝－2，所以直线y＝3x－2 在y 轴
上的截距为－2，B 正确；
对于C，直线x－y＋1＝0 的斜率为，
设其倾斜角为α，则tan α＝，0°≤α<180°，
所以α＝30°，C 错误；
对于D，直线过点(5，4)并且倾斜角为90°，则其斜率不存在，
所以直线方程为x＝5，即x－5＝0，D 正确.
3.(选修一P58T7 改编)设m 为实数，过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)
的直线l 的倾斜角为45°，则m 的值为________.
答案 －2
解析 ∵过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l 的倾斜角为45°，
∴＝＝1，
解得m＝－2.
4.经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
答案 x－4y＝0 或x＋y－5＝0
解析 当直线过原点时，直线方程为y＝x，
即x－4y＝0.
当直线不过原点时，
设直线方程为＋＝1(a≠0)，
代入(4，1)，得＋＝1，∴a＝5，
故直线方程是x＋y－5＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)已知两点A(2，－3)，B(－3，2)，直线l 过点P(1，1)且与线段AB 相交，
则直线l 的斜率k 的取值范围是( )
A.－4≤k≤－
B.k≤－4 或k≥－
C.－4≤k≤
D.－≤k≤4
答案 B
解析 结合图形，由题意得，所求直线的斜率k 满足k≥kPB或k≤kPA，
即k≥－或k≤－4，
即直线的斜率的取值范围是k≤－4 或k≥－.
(2)直线x＋(m2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是________.
答案
解析 依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0)，
因此其倾斜角的取值范围是.
感悟提升 1.斜率的三种求法：定义法、斜率公式法、方向向量法.
2.倾斜角和斜率范围求法：(1)图形观察(数形结合)；(2)充分利用函数k＝tan α 的
单调性.
3.当直线l 的倾斜角α∈时，α 越大，直线l 的斜率越大；当α∈时，α 越大，直线
l 的斜率越大.
训练1 (1)直线l 过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，
则直线l 斜率的取值范围为________________；倾斜角的取值范围为________.
答案 (－∞，－]∪[1，＋∞)
解析 如图，当直线l 过点B 时，设直线l 的斜率为k1，
则k1＝＝－；
当直线l 过点A 时，设直线l 的斜率为k2，则k2＝＝1，
所以要使直线l 与线段AB 有公共点，
则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)，
倾斜角的取值范围是.
(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的边AB 所在直线的
斜率为2，则边AC 所在直线斜率的可能值为________.
答案 －或
解析 设直线AB 的倾斜角为α，
则kAB＝tan α＝2.
设直线AC 的倾斜角为θ，在等边三角形ABC 中，∠BAC＝60°，
所以当θ＝α＋60°时，
kAC＝tan θ＝tan(α＋60°)＝＝＝－；
当θ＝α－60°时，
kAC＝tan θ＝tan(α－60°)＝＝＝.
综上所述，kAC＝－或kAC＝.
考点二 直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍；
(3)直线过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5.
解 (1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即x＋4y＋13＝0.
(2)当横截距与纵截距都为0 时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2，1)，
∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0 时，可设直线方程为＋＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；
综上，所求直线方程为
x－2y＝0 或x＋2y－4＝0.
(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
∴原点到直线的距离d＝＝5，
解得k＝，
∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0，
综上，所求直线方程为x－5＝0 或3x－4y＋25＝0.
感悟提升 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先
考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
训练2 (1)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是( )
A.2x－y－1＝0
B.2x＋y－3＝0
C.x－2y＋1＝0
D.x＋2y－3＝0
答案 A
解析 ∵直线的方向向量为(1，2)，
∴直线的斜率k＝2，
又直线过点(1，1)，
∴直线的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
(2)已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0 的倾斜角的2 倍，则
直线l 的方程为________.
答案 4x－3y－4＝0
解析 由题意可设直线l0，l 的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2＝0 的斜率为，
则tan α＝，
所以直线l 的斜率
k＝tan 2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l 的方程为
y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
(3)已知△ABC 的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为AB 的中点，
N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为____________.
答案 2x＋y－8＝0
解析 由题知M(2，4)，N(3，2)，
故中位线MN 所在直线的方程为＝，
整理得2x＋y－8＝0.
考点三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，△AOB 的面积为S(O 为
坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.
(1)证明 直线l 的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0 时，直线在x 轴上的截距为－，在y 轴上的截距为1＋
2k，
要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k>0；
当k＝0 时，直线为y＝1，符合题意，
故k 的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l 的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝，
即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l 的方程为x－2y＋4＝0.
感悟提升 1.直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y 的方程组
可求定点.
2.求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数
的单调性或基本不等式求解.
3.求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基
本不等式求解最值.
训练3 (1)已知直线l 过点M(2，1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A，B 两点，
当|MA|·|MB|最小时，则直线l 的方程为______________.
答案 x＋y－3＝0
解析 设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，
则直线l 的方程为＋＝1，所以＋＝1.
|MA|·|MB|＝－MA·MB
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1
＝2a＋b－5＝(2a＋b)·－5
＝＋≥4，
当且仅当a＝b＝3 时取等号，
此时直线l 的方程为x＋y－3＝0.
(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2 时，直线l1，l2
与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝________.
答案
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，
直线l1在y 轴上的截距为2－a，
直线l2在x 轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋.
又0＜a＜2，
所以当a＝时，四边形的面积最小.
【A 级 基础巩固】
1.若直线l 的方程为x＝－3，则直线l 的倾斜角是( )
A.
B.
C.π
D.0
答案 A
解析 ∵直线l 的方程为x＝－3，
∴直线与x 轴垂直，∴直线l 的倾斜角是.
2.已知直线l 的倾斜角为60°，且经过点(0，1)，则直线l 的方程为( )
A.y＝x
B.y＝x－2
C.y＝x＋1
D.y＝x＋3
答案 C
解析 由题意知，直线l 的斜率为，则直线l 的方程为y＝x＋1.
3.(2024·潍坊模拟)若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案 D
解析 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，
所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.
4.若AB＞0 且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0 不经过第几象限( )
A.一
B.二
C.三
D.四
答案 C
解析 ∵AB＞0 且BC＜0，
∴－＜0，－＞0，
直线y＝－x－的斜率小于零，
在y 轴上的截距大于零，
故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
5.已知直线l 的一个方向向量为n＝(2，3)，若l 过点A(－4，3)，则直线l 的方程
为( )
A.y－3＝－(x＋4)
B.y＋3＝(x－4)
C.y－3＝(x＋4)
D.y＋3＝－(x＋4)
答案 C
解析 法一 因为直线l 的一个方向向量为n＝(2，3)，
所以直线l 的斜率k＝，
故直线l 的方程为y－3＝(x＋4).
法二 设P(x，y)是直线l 上的任意一点(不同于A)，则AP＝(x＋4，y－3)，
因为直线l 的一个方向向量为n＝(2，3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
故直线l 的方程为y－3＝(x＋4).
6.已知点M 是直线l：2x－y－4＝0 与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向
旋转45°，得到的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0
B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0
D.3x＋y－6＝0
答案 D
解析 设直线l 的倾斜角为α，
则tan α＝k1＝2，
直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，
所得直线的斜率
k2＝tan＝＝－3，
又点M(2，0)，
所以直线方程为y＝－3(x－2)，
即3x＋y－6＝0.
7.(2024·长沙模拟)直线2xcos α－y－3＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由α∈得≤cos α≤，
所以k＝2cos α∈[1，]，
设直线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，
则tan θ∈[1，]，
所以θ∈.
8.(多选)若直线l 过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 的
方程可能为( )
A.x－y＋1＝0
B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0
D.x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝t，
把点A(1，2)代入可得1－2＝t 或1＋2＝t，
求得t＝－1 或3，故所求的直线方程为
x－y＋1＝0 或x＋y－3＝0.
9.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC 边上中线所在
的直线方程为______________.
答案 x＋13y＋5＝0
解析 BC 的中点坐标为，
∴BC 边上中线所在的直线方程为
＝，即x＋13y＋5＝0.
10.已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1 与线段AB 恒相交，则
k 的取值范围是________.
答案
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1 经过定点P(2，1)，
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1 与线段AB 恒相交，
∴－2≤k≤.
11.设A，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程
为x－y＋1＝0，则直线PB 的方程是________.
答案 x＋y－5＝0
解析 易知A(－1，0)，∵|PA|＝|PB|，
∴点P 在AB 的垂直平分线，即x＝2 上，
∴B(5，0).
∵PA，PB 关于直线x＝2 对称，
∴kPB＝－1.
∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.
12.已知直线x＋ky－2－k＝0 恒过定点A，则A 点的坐标为________；若点A 在
直线mx－y＋n＝0(m，n＞0)上，则＋的最小值为________.
答案 (2，1) 3＋2
解析 将直线方程变形得x－2＋k(y－1)＝0，
由解得定点A 的坐标为(2，1).
由于点A 在直线mx－y＋n＝0 上，
则有2m－1＋n＝0，所以2m＋n＝1.
所以＋＝(2m＋n)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即当n＝m 时等号成立.
【B 级 能力提升】
13.(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α 如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案 BD
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，
而π－α∈R，A 不正确；
当x＝y＝0 时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，
所以直线必不过原点，B 正确；
当α＝时，直线斜率不存在，C 不正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·＝≥1，D 正确.
14.(2022·新高考Ⅱ卷)图1 是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面
的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，
相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1 的
等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k3等于( )
A.0.75
B.0.8
C.0.85
D.0.9
答案 D
解析 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，
则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
且＝0.725，
所以＝0.725，
故k3＝0.9.
15.设m∈R，若过定点A 的动直线x＋my＝0 和过定点B 的动直线mx－y－m＋3
＝0 交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
答案 5
解析 易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m 取何值，两动直线都垂直，
所以无论P 与A，B 重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P 在以AB 为直径的圆
上)，
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5，
当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立.
16.如图，射线OA，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线
AB 分别交OA，OB 于A，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y＝x 上时，则
直线AB 的方程是________.
答案 (3＋)x－2y－3－＝0
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB 的中点C.
由点C 在直线y＝x 上，且A，P，B 三点共线得
解得m＝，
所以A(，).
又P(1，0)，
所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB 的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
