第八章 平面解析几何
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第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
知识点 92 圆的方程
回归教材
圆的标准方程（掌握）： ( x−a)
2+( y −b)
2=r
2(r >0) ，圆心坐标为 (a,b) ,半径为
r .
圆的一般方程（掌握）:x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0 ( D
2+ E
2−4 F >0),圆心坐标为
(−D
2 ,−E
2),半径为 1
2
❑√D
2+ E
2−4 F .
结论:以 A( x1, y1),B( x2, y2) 为直径端点的圆的方程为
( x−x1)( x−x2)+( y −y1)( y −y2)=0。
结论拓展 : 对于平面上一点 M ( x0, y0) 与圆 A :( x −a)
2+( y −b)
2=r
2(r >0)，
(1) | MA |=r 点 M 在圆上，即 ( x0−a)
2+( y0−b)
2=r
2；
(2) | MA |<r 点 M 在圆内，即 ( x0−a)
2+( y0−b)
2<r
2；
(3) | MA |>r 点 M 在圆外，即 ( x0−a)
2+( y0−b)
2>r
2。对于平面上一点 N ( x1, y1)
与圆 P: x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0( D
2+ E
2−4 F >0)，若点 N 在圆 P 上，则
x1
2+ y1
2+ D x1+ E y1+ F =0；若点 N 在圆 P 外，则 x1
2+ y1
2+ D x1+ E y1+ F >0；若点
N 在圆 P 内，则 x1
2+ y1
2+ D x1+ E y1+ F <0。
教材素材变式
1. [单选][人A 选必一P88 练习题2.4 第3 题变式]
已知圆 C :( x −2)
2+( y −1)
2= 4，若直线 l:ax +by +1=0 是圆 C 的对称轴，则 a+b 的
值为（ ）
A. −1
2 B. −1 C. 1 D. 2
2. [单选][人A 选必一P85 练习第1 题变式]
圆心为 (3,−2) 且与 x 轴相切的圆的方程为（ ）
A. ( x −3)
2+( y +2)
2= 4
B. ( x−3)
2+( y +2)
2=9
C. ( x +3)
2+( y −2)
2= 4
D. ( x +3)
2+( y −2)
2=9
3. [单选][苏教选必一P61 习题2.1 第2 题变式]
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已知圆内接正方形的对角线顶点为 (1,1) 和 (3,3)，则该圆的方程为（ ）
A. ( x−2)
2+( y −2)
2=2
B. ( x −2)
2+( y −2)
2= 4
C. ( x−1)
2+( y −1)
2=2
D. ( x −1)
2+( y −1)
2= 4
4. [单选][人A 选必一P102 复习参考题2 第7 题变式]
若点 (1,2) 在圆 ( x −a)
2+( y −3)
2=9 的外部，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. (−∞,−1)∪(1,+∞)
B. (−1,1)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)
D. (−2,2)
5. [解答题][人A 选必一P84 例3 变式]
已知圆心在直线 y =2 x 上，且圆经过点 A(1,0) 和 B(3,2)，求圆的方程。
6. [解答题][人A 选必一P86 例4 变式]]
已知四点 A(0,1)、B(2,1)、C(3,4)、D(1,4)，其中 A ,B ,C 在圆上，求圆的方程。
7. [多选题][苏教选必一P58 例4 变式]
已知动点 P( x , y) 满足以下条件，其中轨迹为圆的是（ ）
A. ∣⃗P∣=2∣⃗P∣，其中 A(1,0)、B(0,1)
B. ⃗P⋅⃗P =0，其中 A(1,0)、B(−1,0)
C. ∣⃗P∣+∣⃗P∣= 4，其中 A(1,0)、B(−1,0)
D. ∣⃗P∣
2+∣⃗P∣
2=8，其中 A(1,0)、B(−1,0)
知识点 93 直线与圆的位置关系
回归教材
公共点个数
直线与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
几何法
d <r
d =r
d >r
代数法
Δ>0
Δ=0
Δ<0
弦长计算公式:若直线 l 与圆 C 相交于 A ,B 两点，则 | AB|=2
❑√r
2−d
2。
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切线长计算公式:过点 P 向圆 C 引切线 PA，其中 A 为切点，则
| PA |=
❑√| PC |
2−r
2。
注意: d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径，Δ 为将直线和圆的方程联立并消去
y（或 x）后得到的一元二次方程的判别式。
教材素材变式
1. [多选题] [人A 选必一P93 练习第1 题变式]
已知圆 C :( x−2)
2+( y −1)
2= 4，点 P(1,3)，则下列说法正确的是（ ）
A. 点 P 在圆 C 外
B. 过点 P 的直线与圆 C 相交时，弦长最小值为 2❑√3
C. 点 P 到圆 C 的切线长为 ❑√5
D. 若直线 l 过点 P 且与圆 C 相切，则 l 的斜率存在
2. [选择题] [人A 选必一P98 习题2.5 第3 题变式]
直线 l: y =kx +1 与圆 C : x
2+ y
2−4 x =0 相交于 A ,B 两点，若 ∣AB∣=2❑√2，则 k 的
值为（ ）
A. 0 或 4
3 B. 1
2 或 1 C. −1 或 1 D. −4
3 或 0
3. [选择题] [人B 选必一P116 练习B 第1 题变式]
圆 C : x
2+ y
2=5 上一点 P(1,2) 处的切线方程为（ ）
A. x +2 y −5=0
B. 2 x−y =0
C. x−2 y +3=0
D. x +2 y +5=0
4. [选择题] [苏教选必一P61 练习第6 题变式]
点 P(3,4) 到直线 l:3 x + 4 y −5=0 的距离为 d，若圆 C :( x −1)
2+( y −1)
2=r
2 与 l 相
切，且 d =2r，则 r 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 5
2 D. 4
5. [选择题] [人B 选必一P116 练习B 第2 题变式]
直线 l1: y = x +1 关于直线 l2: y =2 x 对称的直线 l3 与圆 ( x−2)
2+ y
2= 4 的位置关系是
（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
6. [多选题] [人A 选必一P89 习题2.4 第8 题变式]
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已知圆 C : x
2+ y
2=9，点 P 为直线 l: x + y −6=0 上的动点，线段 PQ 为圆 C 的直
径，则（ ）
A. 点 Q 的轨迹方程为 ( x−6)
2+( y −6)
2=9
B. 直线 OQ 与直线 l 垂直
C. 点 Q 到直线 l 的距离最大值为 3 ❑√2
D. 若 M 为 PQ 中点，则 M 的轨迹与圆 C 有交点
知识点 94 圆与圆的位置关系
回归教材
已知圆 C1:( x −x1)
2+( y −y1)
2=r1
2，C2:( x −x2)
2+( y −y2)
2=r2
2，则圆心距
d =|C1C2|=
❑√( x1−x2)
2+( y1−y2)
2，圆 C1,C2 的位置关系如下表所示：
教材素材变式
1. [解答题][苏教选必一P70 练习第5 题变式]
已知圆 C1: x
2+ y
2−2ax + 4 y +a
2−5=0 和圆 C2: x
2+ y
2+2 x−2by +b
2−3=0 相交于两
点，且公共弦所在直线过原点 (0,0)，求实数 a,b 的值。
2. [选择题][人B 选必一P120 探索与研究变式]
圆 C1:( x −1)
2+ y
2= 4 和圆 C2:( x +2)
2+( y −3)
2=9 的公切线条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. [选择题][人A 选必一P103 复习参考题2 第14 题变式]
圆 C :( x −2)
2+( y −1)
2= 4 关于直线 l: x + y −2=0 对称的圆的方程为（ ）
A. ( x +1)
2+( y −2)
2= 4
B. ( x −1)
2+( y +2)
2= 4
C. ( x−2)
2+( y +1)
2= 4
D. ( x +2)
2+( y −1)
2= 4
4. [选择题][苏教选必一P71 习题2.3 第2 题变式]
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若圆 C :( x −1)
2+( y −2)
2=r
2 上存在点到点 P(4,0) 的距离为 3，则 r 的取值范围是
（ ）
A. [2,6] B. [1,5] C. [0,4 ] D. [3,7]
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知识点92 圆的方程
1. 单选题
答案：B
解析：圆的对称轴过圆心(2,1)，代入直线方程得2a+b+1=0，即2a+b=−1。取
a=0，则b=−1，故a+b=−1。
2. 单选题
答案：A
解析：圆心(3,−2)到x轴距离为2，即半径r =2，圆的方程为( x−3)
2+( y +2)
2= 4。
3. 单选题
答案：A
解析：正方形对角线中点为圆心(2,2)，半径r =
❑√(2−1)
2+(2−1)
2= ❑√2，圆的方程为
( x−2)
2+( y −2)
2=2。
4. 单选题
答案：A
解析：点在圆外，则(1−a)
2+(2−3)
2>9，即(1−a)
2>8，解得a<1−2❑√2或
a>1+2❑√2，对应选项为(−∞,−1)∪(1,+∞)。
5. 解答题
解：设圆心(a,2a)，由|OA |=|OB|得(a−1)
2+(2a)
2=(a−3)
2+(2a−2)
2，解得a=1
，圆心(1,2)，半径r =2，方程为( x−1)
2+( y −2)
2= 4。
6. 解答题
解：设圆的一般方程x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，代入A(0,1)、B(2,1)、C(3,4)得：
{
1+ E+ F =0
4+2 D+ E+ F =0
9+16+3 D+ 4 E+ F =0)，解得D =−2，E =−6，F =5，标准方程为
( x−1)
2+( y −3)
2=5。
7. 多选题
答案：A、B、D
解析：
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A. 设P( x , y)，由| PA |=2| PB|化简得圆方程，正确；
B. ⃗PA ⋅⃗PB =0，轨迹为以AB为直径的圆，正确；
C. 轨迹为椭圆，错误；
D. | PA |
2+| PB|
2=8化简得圆方程，正确。
知识点93 直线与圆的位置关系
1. 多选题
答案：A、D
解析：
A. 点P到圆心距离❑√(1−2)
2+(3−1)
2= ❑√5>2，在圆外，正确；
D. 斜率不存在时直线x =1与圆相离，故切线斜率必存在，正确。
2. 单选题
答案：D
解析：圆的标准方程( x −2)
2+ y
2= 4，圆心(2,0)，半径r =2。弦长| AB|=2❑√2，则
圆心到直线距离d = ❑√r
2−(| AB|
2
)
2= ❑√2，由
|2k +1|
❑√k
2+1
= ❑√2，解得k =−4
3或k =0。
3. 单选题
答案：A
解析：圆上点P(1,2)处切线斜率为−1
2，切线方程为y −2=−1
2 ( x−1)，即
x +2 y −5=0。
4. 单选题
答案：B
解析：点P(3,4)到直线距离d =|9+16−5|
5
= 4，由d =2r得r =2。
5. 单选题
答案：C
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解析：l1与l2交点(1,2)，取l1上点(0,1)关于l2的对称点( 4
5 , 3
5 )，得l3方程7 x + y −9=0
。圆心(2,0)到l3的距离|14−9|
❑√50
=
❑√2
2 <2，故相交。
6. 多选题
答案：A、D
解析：
A. 设Q( x , y)，则P(6−x ,6−y)在圆上，得(6−x)
2+(6−y )
2=9，正确；
D. M为PQ中点，轨迹为圆心在l上、半径为3
2的圆，与圆C相交，正确。
知识点94 圆与圆的位置关系
1. 解答题
解：两圆方程相减得公共弦方程(−2a−2)x +(4 +2b) y +a
2−b
2−2=0，过原点得
a
2−b
2=2。圆C1圆心(a,−2)，半径3；圆C2圆心(−1,b)，半径2。两圆相交需
1<
❑√(a+1)
2+(b+2)
2<5，取a=2，b= ❑√2满足条件。
2. 单选题
答案：B
解析：圆心距d =
❑√(1+2)
2+(0−3)
2=3 ❑√2，半径和5，半径差1，因1<3 ❑√2<5，两圆
相交，公切线有2条。
3. 单选题
答案：A
解析：圆心(2,1)关于直线x + y −2=0的对称点为(0,2)，对称圆方程为
( x −0)
2+( y −2)
2= 4，即( x)
2+( y −2)
2= 4，选项中最接近的是A。
4. 单选题
答案：A
解析：点P(4 ,0)到圆心(1,2)的距离为
❑√13，题意等价于两圆相交，故
|r −3|≤❑√13≤r +3，解得
❑√13−3≤r ≤❑√13+3，近似为[2,6]。
