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直线和圆的方程专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷
一、单选题
1．直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
2．已知圆C 与直线
及
都相切，圆心在直线
上，则圆C 的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线：
是圆
：
的对称轴，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆
与直线
，P，Q 分别是圆C 和直线l 上的
点且直线PQ 与圆C 恰有1 个公共点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知圆
的直径
，若平面内一个动点
与点
的距离是它与点
距离的
倍，
则
的面积的最大值为（ ）
A．64
B．12
C．
D．
6．过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
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A．1
B．
C．
D．
7．在平面直角坐标系
中，点
，直线
．设圆
的半径为1，圆心在l
上．若圆C 上存在点M，使
，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知平面上两定点A，B，则所有满足
（
且
）的点P 的轨迹是一个圆
心在直线AB 上，半径为
的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，
故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6 的正方体
的一个侧面
上运动，
且满足
，则点P 的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知圆
：
，点
为直线：
上一动点，点
在圆
上，以下四
个命题表述正确的是（ ）
A．直线与圆
相离
B．圆
上有2 个点到直线的距离等于1
C．过点
向圆
引一条切线
，其中
为切点，则
的最小值为
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D．过点
向圆
引两条切线
、
，
、
为切点，则直线
经过点
10．已知圆
，过直线
上一点
向圆
作两切线，切点为
、
，
则（ ）
A．直线
恒过定点
B．
最小值为
C．
的最小值为
D．满足
的点
有且只有一个
11．
是
边
上的点，其中
，且
.则
面积的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知直线
与圆
交于
两点，则直线
倾斜角之和为 .
13．在
中，
为
的中点，延长
与
的外接
圆交于点
，则
.
14．已知直线
与
，若直线与
相交于
两点，且
，则
．
四、解答题
15．已知直线
.
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(1)若直线
过点
，且
，求直线
的方程；
(2)若圆
经过点
，且与直线相切，求圆
的方程.
16．已知圆心为C 的圆经过
，
两点，且圆心C 在直线
上．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)求与直线AB 平行且与圆C 相切的直线的方程．
17．已知
的三个顶点
，
，
．
(1)求
边上中线
所在直线的方程；
(2)已知点
满足
，且点
在线段
的中垂线上，求点
的坐标．
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18．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台
的正东方向设立了观测站
，在
平台
的正北方向设立了观测站
，它们到平台
的距离分别为12 海里和
海里，
记海平面上到观测站
和平台
的距离之比为2 的点
的轨迹为曲线
，规定曲线
及其
内部区域为安全预警区．
(1)如图，以
为坐标原点，
，
为
，
轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线
的方程；
(2)海平面上有渔船从
出发，沿
方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求
的取值
范围．
19．已知圆
，两点
(1)若r=8，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的截距式方程；
(2)动点
满足
，若P 的轨迹与圆C 有公共点，求半径r 的取值范围.
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参考答案：
1．D
【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
则圆心到直线
的距离
，
因为
，所以直线与圆相交但不过圆心，
故选：D
2．B
【分析】根据圆心在直线上，设出圆心坐标，然后由圆与直线相切列式求解，即可求出圆
心和半径，从而得到圆的方程.
【详解】设圆心坐标为
，由圆C 与直线
及
都相切可得
，解得
，
所以圆心
，半径
，故该圆的方程为
．
故选：B．
3．D
【分析】由已知条件，可知直线过圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，把圆
心坐标代入直线的方程求得k.
【详解】由圆C：
得，
，表示以
为圆心、
半径等于1 的圆．
由题意可得，直线
经过圆C 的圆心
，
故有
，得
.
故选：D.
4．A
【分析】
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，
的最小值为圆心
到直线的距离，可求
的
最小值.
【详解】
圆
化为标准方程为
，
则圆C 的圆心为
，半径
，则
，
直线PQ 与圆C 相切，有
，
因为点Q 在直线l 上，所以
，则
．
即
的最小值是
.
故选：A
5．D
【分析】以
为原点，
所在直线为
轴，线段
的垂直平分线为
轴，建立如图所示
的平面直角坐标系，设
，利用
求出点
的轨迹方程，再根据圆的知
识可求出结果.
【详解】以
为原点，
所在直线为
轴，线段
的垂直平分线为
轴，建立如图所示
的平面直角坐标系，
则
，
，设
，
因为
，所以
，
整理得
，
所以点
在以
为圆心，以
为半径的圆上，
到直线
的距离的最大值为
，
因此
的面积的最大值为
.
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故选：D
6．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线
的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可
得
，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
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法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为x =0，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
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7．D
【分析】先求得圆
的方程，再利用
求得点M 满足的圆的方程，进而利用两
圆有公共点列出关于a 的不等式，解之即可求得a 的取值范围.
【详解】圆心C 的横坐标为a，则圆心C 的坐标为
，
则圆
的方程
，
设
，由
，
可得
，整理得
，
则圆
与圆
有公共点，
则
，
即
，解之得
.
故选：D
8．B
【分析】根据阿氏圆的定义分析得P 点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可
【详解】在图1 中，以B 为原点建立平面直角坐标系
，如图2 所示，
设阿氏圆圆心为
，半径为r.因为
，所以
，
所以
.
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设圆O 与AB 交于点M.由阿氏圆性质，知
.
又
，所以
.又
，
所以
，解得
，所以O(2,0)，
所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为4 的球.
当点P 在侧面
内部时，如图2 所示，截面圆与
，
分别交于点M，R，
所以点P 在侧面
内的轨迹为
.
因为在
中，
，
，所以
，
所以
，所以点P 在侧面
内部的轨迹长为
.
故选：B.
9．ABD
【分析】A、B 应用点线距离公式求圆心
到直线
的距离，结合圆的半径，
判断直线与圆的位置及点到直线的距离等于1 的个数；C 由圆切线性质求最小切线长；D
设点P(x0, y0)，写出以
为直径的圆，结合已知圆求公共弦
的方程为
，进而求定点即可判断.
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【详解】A：圆
：
的圆心
，半径
，
圆心
到直线
的距离
，所以直线与圆相离．正确；
B：圆心
到直线
的距离
，
所以
，则圆
上有2 个点到直线的距离等于1，正确；
C：由切线的性质知，
为直角三角形，
，
当且仅当
与直线
垂直时等号成立，所以
的最小值为
，错误；
D：设点P(x0, y0)，
，
，所以四点
，
，
，
共圆，
以
为直径，圆心为
，半径
，圆的方程为
，
又圆
：
，两圆相减得
，所以直线
的方程为
，
因为点P(x0, y0)在直线
上，所以
，
所以
，整理得
，
由
，得
，所以直线
过定点
，正确．
故选：ABD
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10．AC
【分析】根据
、
与圆
相切，得到直线
的方程，可判断A 选项；由勾股定理得
当|OP)最小时
最小，可判断B 选项；根据弦长公式，可判断C 选项；由
可得
到
，可判断D 选项.
【详解】
对于A，圆
的圆心为O(0,0)，半径为
，
设P(x0, y0)，
在直线
上，
，
、
为圆的切线，
以
为直径的圆的方程为
，
，两式作差可得直线
的方程为
，
将
代入得：
，
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满足
，解得
，
所以直线
恒过定点
，故A 正确；
对于B，
，
当|OP)最小时，
最小，
O(0,0)，
，
，此时
，故B 错误；
对于C，
，
O(0,0)到l AB的距离
，
，
当
时，
，故C 正确；
对于D，若
，则
，即
，
，
存在两个点
使
，故D 错误.
故选：AC.
11．AB
【分析】根据条件可得
，建立平面直角坐标系，从而可得
在一个定圆上运动变
化，从而可求
的
边上的高的范围，故可得面积的取值范围.
【详解】由面积公式可得：
答案第10页，共2页
，
，
因为
，
,所以
，
由
可得
，即
.
建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，设
，又
则
，整理得到：
，
即点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
故
的
边上的高的取值范围是
，故其面积的取值范围是
.
所以AB 选项满足条件.
故选：AB.
【点睛】本题解题关键是先由已知得到
，再通过建系确定出点A 的轨迹，从而
得解.
12．
/
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【分析】结合图象，设直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，直线
倾斜角为
，由
求解．
【详解】如图所示：
设直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，直线
倾斜角为
，
则
，得
，
因为
，所以
，
则
，
得
，
得
，
故答案为：
13．
【分析】根据三角形边长和内角的特点，建立直角坐标系，设出圆的一般方程，利用待定
系数法求出圆的一般方程，结合两点间距离公式进行求解即可.
【详解】如图建系，
，
答案第12页，共2页
设
的外接圆的方程为
，
，
即
，
，即
，
故答案为：
14．
或
【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【详解】若直线与
相交于
两点，且
，
则圆心
到直线的距离
，所以
，
解得
或
．
故答案为：
或
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直得出斜率再根据点斜式得出直线方程；
（2）根据点到直线距离得出圆心及半径，再根据圆的标准方程即可求出圆的方程.
【详解】（1）
直线的斜率为
答案第13页，共2页
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又
直线
的斜率为1
又直线
过点
直线
的方程为
即
（2）设
，
圆
经过点
，化简得
①
又圆
与直线相切，
，化简得
②
联立①②得
圆
的半径
故圆
的方程为
16．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆心坐标利用圆过两点以及圆心位置即可求得圆心坐标和半径，可得圆
C 的标准方程；
（2）由直线平行可设直线方程为
，再由直线与圆相切可求得直线方程.
【详解】（1）如下图所示：
答案第14页，共2页
设圆心
，因为圆心C 在直线
上，所以
，
因为A，B 是圆上的点，所以
，
根据两点间距离公式，有
，即
，
解之可得
，
，
所以圆心
，半径
，
所求圆的标准方程为
．
（2）直线斜率为
，所以所求直线的斜率也为
，
设所求直线方程为
，
所以圆心C 到该直线的距离为
，解之得
，
所以所求直线方程为：
．
17．(1)
(2)
或
【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得
所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求
解；
（2）首先得
，直线
的方程为
，结合
以及点到直线的距
离公式得点
所在直线方程为
或
，进一步求得线段
的中垂线方
程，联立即可得解.
【详解】（1）由题意
中点
，
所以
所在直线的斜率
，
所以
所在直线的方程为
，
答案第15页，共2页
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即
边中线
所在直线的方程
；
（2）因为B (2,1)，
，所以
，
，所以直线
的方程为
，即
，
设点
到直线
的距离
，则由题意
，
所以点
到直线
的距离
，
则点
所在直线方程为
或
，
因为
，
，
所以
，线段
中点坐标为
，
所以线段
的中垂线为
，即
，
所以联立
或
，
所以点
的坐标为：
或
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）
，有
，化简并整理即可求解.
（2）直线
截距式方程为
，结合点到直线的距离公式列出不等式求解
即可.
答案第16页，共2页
【详解】（1）根据已知条件设P(x , y)且
，O(0,0)，
由
，有
，
，
，
，
整理有
，它是以
为圆心，8 为半径的圆．
所以曲线
的方程为：
．
（2）
，
过
的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂
直，
所以直线
截距式方程为
，
化为一般式方程为
，
根据题意，
且
，解得
，
所以综上可知
的取值范围为
．
19．(1)
或
.
(2)
.
答案第17页，共2页
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【分析】（1）根据直线与圆相交弦长，求出弦心距，待定系数法求直线的方程即可；
（2）由题求出
的轨迹方程为圆，利用两圆有公共点列出不等式求解即可.
【详解】（1）若
，则
.
直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，设圆心
到直线距离为
，则
，
，解得：
.
若直线l 斜率不存在，则
，不合题意；
若直线l 斜率存在，设
即
，
，解得：
，
即直线l 方程为：
.
当
时，
，
故即直线l 截距式方程为：
或
.
（2）由题：
，化简得：
，
即
，
若P 的轨迹与圆C 有公共点，即圆
与
有公共点，
所以
，解得：
，
故半径r 的取值范围是
.
