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数列专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷
一、单选题
1．已知等比数列
的公比
，且数列
是一个递减的数列，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．3
2．记等差数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．14
B．72
C．36
D．60
3．设数列
满足
．设
为数列
的前
项的和，则
（ ）
A．110
B．120
C．288
D．306
4．等差数列：
，
，
，
，满足
，
，则
（ ）
A．5.4
B．6.3
C．7.2
D．13.5
5．已知数列
满足
，
，且
，若
表示不超过
的最大
整数，则
（ ）
A．2015
B．2016
C．2017
D．2018
6．已知数列
的前
项和为
，
，
，且
是
，
的等差中项，则
使得
成立的最小的
的值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
7．某企业今年年初有资金1000 万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达
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到
，每年年底需要扣除下一年的消费基金50 万元，剩余资金投入再生产，设该企业从
今年起每年年初拥有的资金数依次为
则表示
与
之间关系的递推公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上
的64 个方格中，第1 个方格放1 粒小麦，第2 个方格放2 粒小麦，…，第
个方格放
粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，
将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第
次被抽取的小
麦编号为
，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为
，接下来的幸运小麦按照规律
逐个抽取，则共能抽取（ ）粒幸运小麦．
A．4
B．5
C．15
D．63
二、多选题
9．已知
是等比数列，公比为
，若存在无穷多个不同的
，满足
，则下
列选项之中，可能成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．意大利人斐波那契于1202 年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，
5，8，13，…即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数
称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列
说法正确的是（ ）
A．
B．
是偶数
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C．
D．
11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传
统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．数列
的前2n 项和的最小值为2
三、填空题
12．已知数列
的前
项和为
，则数列
的通项公式为 .
13．记
为公差不为零的等差数列
的前n 项和.若
，且
，
，
成等比数列，
则
的值为 .
14．已知数列
满足
，
，且数列
的前
项和为
．若
的最大值为
，则实数
的最大值是 ．
四、解答题
15．已知数列
和等差数列
的前n 项和分别为
，
，且
，
，
.
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(1)求数列
，
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和.
16．已知数列
满足：
（
）．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
（
），数列
前
项和为
，试比较
与
的大小
并证明．
17．已知
为等比数列，其前
项和为
．
(1)求
的通项公式；
(2)记各项均为正数的数列
的前
项和为
，若
，证明：当
时，
．
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18．已知数列
的各项均为正整数，设集合
，
，记
的元素个数为
.
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合
，并写出
的值;
(2)若
是递减数列，求证:“
”的充要条件是“
为等差数列”;
(3)已知数列
，求证:
.
19．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线
上的点
作曲
线
的切线与曲线
交于
，过点
作曲线
的切线
与曲线
交于点
，
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依此类推，可得到点列：
，
，
，…，
，…，已知
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)记点
到直线
（即直线
）的距离为
，
（I）求证：
；
（II）求证：
，若
值
与（I）相同，则求此时
的最小值．
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参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，写出等比数列
的通项，再分类探讨数列单调性即可得解.
【详解】等比数列
的公比
，则
，显然
是递增的，
当
时，数列
是递增的，不符合要求；
当
时，数列
是递减的，符合题意，则
恒成立，
所以
的值可以为
.
故选：C
2．D
【分析】利用等差数列性质可得公差
，再由前
项和公式以及通项公式计算可得结果.
【详解】由等差数列性质可知
，可得
；
设等差数列
的公差为
，
可得
，解得
；
又
.
故选：D
3．A
【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.
【详解】
.
故选：A.
4．B
【分析】利用等差数列的通项公式及前
项和公式即可求解.
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【详解】设等差数列的
的公差为
，
由题意可知
，解得
，
所以
.
故选：B.
5．B
【分析】先由累加法求出
，进而求得
，再用裂项相消法求解即可.
【详解】由
可得
，又
，
故数列
是以12 为首项，8 为公差的等差数列，则
，
，
，
，
，
，
故当
时，
，则
时，
，
又
适合上式，故
，则
，
则
，
所以
，
又
，所以
.
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故选：B.
6．D
【分析】由题意得到
是等比数列，进而得到
，利用错位相减法求出
，构造函数
，并利用导数判断函数
的单调性，即
可求出符合条件的
的最小值.
【详解】
是
，
的等差中项，
，故
，
而
，
，
故数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，则
，
，
记
，则
，
，
两式相减可得，
，
即
，令
，即
，
设
，则
，
，
，
在
单调递减，
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是递减数列，
当
时，
，
当
时，
，
使得
成立的最小的
的值为11.
故选：D.
7．A
【分析】根据题意列式即可得解.
【详解】依题意，
，
.
故选：A.
8．B
【分析】根据递推公式可得
，进而取对数求解通项公式即可得
，再列不等式求解即可.
【详解】配方得：
．
取对数：
，设
，则
，
又
，所以
，
，
．
由放小麦的规则可得小麦总粒数为
，
.
故选：B
9．ABC
【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.
【详解】当
时，则有：
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①当
，则
为非零常数列，故
，
符合题意，A 正确；
②当
，则
为单调数列，故
恒不成立，即
且
不合题意；
当
时，可得
，则有：
①当
，若
为偶数时，则
；
若
为奇数时，则
；
故
符合题意，B 正确；
②当
，若
为偶数时，则
，且
，即
；
若
为奇数时，则
，且
，即
；
故
符合题意，C 正确；
③当
，若
，可得
，
∵
，则
，可得
，则
，这与等比数列相矛盾，
故
和
均不合题意，D 错误.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】选项ACD 通过递推关系
分析即可．
选项B 通过奇数偶数特性分析可得出是奇数偶数是周期出现的．
【详解】由已知，数列
满足递推关系
．
选项
：
；
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故
正确；
选项
：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，
，
恰好能被3 整除，且
为偶数，所以
也为偶数，故
正确；
选项
：若选项C 正确，又
，则
，
同理
，
，依次类推，
可得
，显然错误，故
错误；
选项
：
，
又
，故
正确；
故选：
．
11．ACD
【分析】当
时，
,当
时，
,联立可得
，利用累加法可得
，从而可求得
，在逐
项判断即可.
【详解】令
且
，
当
时，
①；
当
时，
②，
由①②联立得
.
所以
，
累加可得
.
答案第7页，共2页
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令
(
且为奇数)，得
.
当
时
满足上式，
所以当
为奇数时，
.
当
为奇数时，
，
所以
，其中
为偶数.
所以
，故C 正确.
所以
，故A 正确.
当
为偶数时，
，故B 错误.
因为
，
所以
的前2n 项和
，
令
，
因为数列
是递增数列，所以
的最小项为
，
故数列
的前2n 项和的最小值为2，故D 正确.
故选:ACD.
答案第8页，共2页
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
12．
【分析】根据题意，结合
和
，即可求得数列的通项公式.
【详解】
数列
的前
项和为
，
当
时，
，
当
时，
，
，不满足上式，
所以数列
的通项公式为
故答案为：
13．2022
【分析】根据等差数列的性质可得
，结合等比中项可得
，结合等差数列的定义
分析求解.
【详解】因为数列
为等差数列，则
，可得
，
设等差数列
的公差为
，
因为
，
，
成等比数列，则
，
即
，解得
或
（舍去），
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所以
.
故答案为：2022.
14．
【分析】将已知化简为
，由前n 项和与通项关系可求
得
，进而可得
，结合等差数列前n 项和取最大值时的性质即可求
得结果.
【详解】因为
，即
，
当
时，
，
两式相减得
，
所以
，（
），
又
满足
，
所以
，（
），
令
，
，显然数列
是等差数列，
若
的最大值为
，则
，解得
，
所以实数
的最大值是
.
故答案为：
.
15．(1)
，
；
(2)
.
答案第10页，共2页
【分析】（1）根据给定的递推公式，由等差数列的前n 项和公式求得公差，即得通项公式；
由作差法得数列
为等比数列，由等比数列的通项公式求解.
（2）由（1）求出
，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到所求和．
【详解】（1）由
，得
，即
，解得
，则
，
设等差数列
的公差为
，由
，得
，解得
，
所以数列
的通项公式为
；
由
，得当
时，
，两式相减得
，即
，
因此数列
是首项为1，公比为
的等比数列，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）及
，得
，
令数列
的前n 项和为
，
则
，
于是
，
两式相减得
，
所以
.
16．(1)
，（
）
(2)
，证明见解析
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【分析】（1）结合前
项和与通项公式的关系分
和
两种情况求解即可；
（2）先验证
，再讨论
时，
，进而根据裂项求和
法得
.
【详解】（1）
①，
（
）②，
①－②得
（
），
∴
（
），
当
时，
，不满足上式，
∴
，（
）
（2）当
时，
，
，
当
时，
答案第12页，共2页
，
∵
，∴
综上所述，
．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合
，求得
，进而求得数列{an)的通项公式；
（2）由
，得到
，进而得到当
时，
，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等比数列{an)的公比为
，
因为
，可得
，所以
，
又由
，所以
，
所以数列{an)的通项公式为
.
（2）解：因为
，所以
，
将上面各式相乘，可得
，
所以，当
时，
答案第13页，共2页
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.
18．(1)
.
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；
（2）若
为等差数列，且
是递减数列，得到
，结合
，证得充分性
成立；再由
是递减数列，得到
，结合互不相等，得到
，得到必要性成立，即可得证；
（3）根据题意，得到
，得出
，得到
，不妨设
，则
，推得
为奇数，
矛盾，进而得证.
【详解】（1）解：由题意，数列
，
可得
，
所以集合
，所以
.
（2）证明：充分性：若
为等差数列，且
是递减数列，则
的公差为
，
当
时，
，所以
，
则
，故充分性成立.
必要性:若
是递减数列，
，则
为等差数列，
答案第14页，共2页
因为
是递减数列，所以
，
所以
，且互不相等，
所以
，
又因为
，
所以
且互不相等，
所以
，
所以
，
所以
为等差数列，必要性成立.
所以若
是递减数列，“
”的充要条件是“
为等差数列”.
（3）证明：由题意集合
中的元素个数最多为
个，
即
，
对于数列
，此时
，
若存在
，则
，其中
，
故
，
若
，不妨设
，则
，而
，
故
为偶数，
为奇数，矛盾，
故
，故
，故由
得到的
彼此相异，所以
.
19．(1)
，
；
(2)（I）证明见解析；（II）证明见解析
答案第15页，共2页
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【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线
方程求出切点的坐标，进而可得出数列
、
的通项公式；
（2）（I）求出直线
的方程，利用点到直线距离公式求出
，再利用等比数列前
和公
式求解即得；
（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解.
【详解】（1）曲线
上点
处的切线
的斜率为
，
故得到的方程为
，
联立方程
，消去y 得：
，
化简得：
，所以：
或
，
由
得到点
的坐标
，
由
就得到点
的坐标
，
所以：
，
故数列
是首项为1，公比为
的等比数列，
所以：
，
；
（2）（I）由（1）知：
，
，
所以直线
的方程为：
，
化简得：
，
答案第16页，共2页
因为
，
所以
，
；
（II）
，
与（I）中相同，当
时，此时最小值为
．
【点睛】思路点睛：利用导数求函数y = f (x)在其上一点
处的切线方程的基本步骤
如下：
（1）对函数求导得f
′ (x)；
（2）计算切线的斜率
；
（3）利用点斜式写出切线方程.
