文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题二 方程与不等式——2025届中考数学突破热点训练营
1.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱
三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；
行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设
醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为( )
A. B. C. D.
2.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，
每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，
如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的运费恰好等于一株椽的价钱.根据题
意可列方程 ，其中x表示( )
A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量 C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱
3.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直
粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷
子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是
甲、乙两种解答方案，则( )
甲：设换了清酒x斗，列方程为 ，…；
乙：设用x斗谷子换清酒，列方程为 ，…
A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
4.在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平
均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下
学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降
率为x，则可列方程为( )
A. B. C. D.
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5.把1-9这9个数填入 方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，
这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻
方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为：( )
A.1 B.3 C.4 D.6
6.甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速
提高了 ，时间比原来缩短了30分钟.设原来的平均车速为x千米/小时，则根据题意可列
方程为( )
A. B.
C. D.
7.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.
问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人
出7钱，还差4钱.问人数、物价分别是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确
的是( )
8(x3)7(x4) 8x37x4
A. B. C. D.
8.电影《刘三姐》中有这样一个对歌的场景.
罗秀才：三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？
刘三姐的姐妹们：九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主.
该歌词表达的是一道数学题，其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇
数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？设狗
数量多的三个群均为x条，则正确的是( )
A.依题意狗数量少的群是 条 B.依题意
C.x有最小值，但无最大值 D. 是正确解，但不是唯一解
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
60cm
9.塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见.如图，若4个塑料凳子叠放在一起的高度为 ，
70cm
6个塑料凳子叠放在一起的高度为 ，则11个塑料発子叠放在一起的高度是( )
97cm
A. B. C. D.
10.对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是通常的实数
运算.例如： ，则方程 的解是( )
A. B. C. D.
11.定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为
“凤凰”方程.已知 ）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列
结论正确的是( )
A. B. C. D.
12.某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元.若以同样
的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_______.
13.某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人
数分别为a和 .若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一
个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 _______， _______.
购票人数 80以上
门票价格 20元/人 16元/人 13元/人
14.在一次综合实践活动中，某小组用Ⅰ号、Ⅱ号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号
分别为A，B，C，D，E，每个成品的总零件个数及所需的Ⅰ号、Ⅱ号零件个数如下：
成品编号 Ⅰ号零件个数 Ⅱ号零件个数 总零件个数
A 3 4 7
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
B 5 4 9
C 4 6 10
D 4 3 7
E 6 2 8
选用两种零件总数不超过25个，每款成品最多组装一个.
（1）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，写出一种满足条件的组装方案
________（写出要组装成品的编号）；
（2）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，同时所需的Ⅱ号零件最多，写出满足
条件的组装方案________（写出要组装成品的编号）.
15.图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方.其背面有方框四行十六
格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相
加之和均为34）.小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数
a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有 .如图2，已知此幻方中的一些数，
则x的值为___________.
16.淄博烧烤风靡全国.某烧烤店今年5月份盈利20万元，预计7月份盈利28.8万元，设每月
盈利增长的百分率相同，则6月份盈利___________万元.
17.新春佳节，小明和小颖去看望李老师，李老师用一种特殊的方式给他们分糖，李老师先给
小明1块，然后把糖盒里所剩糖的 给小明，再拿给小颖2块，又把糖盒里所剩糖的 给小
颖.这样两人所得的糖块数相同.则李老师的糖盒中原来有_________块糖.
18.杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”正要组成都分，是中华民族衡重的基本量具.杆秤
依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做
“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此.
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
下图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当
于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的
位置送出货物的质量如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲
的质量是 ；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质
量是 .根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克.
19.为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）
其中
供水 户年用水量
阶梯 水价
类型 （立方米）
水费 水资源费 污水处理费
第一阶梯 0—180（含） 5
自来水 第二阶梯 181—260（含） 7
第三阶梯 260以上 9
某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量.
20.燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七
张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它
们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富
多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和
“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为 平方尺，则长桌的长为
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
多少尺？
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
答案以及解析
1.答案：A
解析：设醇酒为x斗，行酒为y斗，由题意，则有
，
故选A.
2.答案：B
解析： 每株掾的运费是3文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的运费恰好等于一株掾的价钱，
表示少拿一株掾后的运费， 表示一株掾的价钱，
x表示这批掾的数量.
故选：B.
3.答案：A
解析：甲：设换了清酒x斗，则醑酒 斗，
列方程为 ；
乙：设用x斗谷子换清酒，则用 斗谷子换醑酒，
列方程为 ；
甲正确、乙错误，
故选：A.
4.答案：D
解析：设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据题意得：
.
故选：D.
5.答案：A
解析：如图，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
依题意可得 ，
解得 ，
，
解得 .
故选：A.
6.答案：A
解析： 新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了 ，且原来的
平均车速为x千米/小时，
新修的高速公路开通后的平均速度为 千米/小时.
根据题意得： ，即 .
故选：A.
7.答案：D
解析：根据“每人出8钱，多出3钱”可知 ， ，根据“每人出7钱，还差4
y3 y4
钱”可知 ， ，故 ， 8 7 .
8.答案：D
解析：设狗数量多的三个群均为x条，
∵一个群，狗的数量少，三个群，狗的数量多且数量相同，狗的总数为300条，
∴狗的数量多的三个群的的总数为 ，狗数量少的群是 条，故A选项错误，
∴ ，故B选项错误，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为奇数且为整数，
∴ 有最小值 ，最大值为 ，
∴ 有最小值也有最大值， 是正确解，但不是唯一解，故C选项错误，D选项正确，
故选：D.
9.答案：A
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解析：设1个塑料凳子的高度为 ，每叠放1个塑料凳子高度增加 .根据题意，得
解得 ， 个塑料凳子叠放在一起的
高度为 .
10.答案：B
解析：根据题中的新定义化简得： ，
去分母得： ，解得： ，
经检验 是分式方程的解.
故选：B.
11.答案：A
解析：∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故先：A.
12.答案：396元
解析：设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，由题意，得
，
化简得： ，
则 ，
所以，收入应该是396元，
故答案为：396元.
13.答案：60；30
解析： 1170不能整除16，
两个部门的人数 ，
又1560不能整除16，
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
每个部门的人数不可能同时在 之间，
由于 ，所以，当 ，则有：
，
解得， ，
故答案为：60；30.
14.答案： （答案不唯一）；
解析：（1）设Ⅰ号零件个数为x，Ⅱ号零件的个数为y，
Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，
，
由表得满足Ⅰ号零件的组法为：
组 用Ⅰ号零件12个，组 用Ⅰ号零件12个，组 用Ⅰ号零件11个，组 用
Ⅰ号零件13个，组 用Ⅰ号零件13个，组 用Ⅰ号零件13个，
以上六种方案中使用Ⅱ号零件个数为：
组 用Ⅱ号零件14个，组 用Ⅱ号零件11个，组 用Ⅱ号零件13个，组 用
Ⅱ号零件13个，组 用Ⅱ号零件12个，组 用Ⅱ号零件9个，
两种零件总数不超过25个，
，
满足题意的方案为组 ， ， ， ，
一种满足条件的组装方案可以是 ，
故答案为： ；
（2）由（1）得，组 用的零件最多，为25个，
故答案为： .
15.答案：1
解析：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是 ，
在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，如图所示，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在第四列中，四个数分别是x， ， ，15，
，
；
故答案为1.
16.答案：24
解析：设每月盈利增长的百分率为x，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
月份盈利 万元.
17.答案：25
解析：设李老师的糖盒中原有x块糖，由题意得，
，
.
答：李老师的糖盒中原有25块糖.
故答案为：25.
18.答案：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克
解析：设A处未挂物体时重a克，秤砣重b克，
根据题意得： ，
解得： ，
设这把杆秤的秤星E对应的刻度是x克，
，
解得： ，
这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克.
19.答案：这户居民2023年的用水量为200立方米
解析：设这户居民2023年的用水量为x立方米.
， ，
，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
.
根据题意列方程，得
.
解这个方程，得 .
答：这户居民2023年的用水量为200立方米.
20.答案：7
解析：设每张桌面的宽为x尺，
根据图形可得：小桌的长为 尺，中桌的长为 尺，长桌的长为 尺，
故可得 ，
解得： ， （舍去），
，
答：长桌的长为7尺.
12
