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专题一 数与式——2025届中考数学突破热点训练营
1.全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国
土绿化任务超800万公顷，其中造林3998000公顷.将3998000用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2.数学张老师采用一种新的计分方法如下：以全班同学的平均分70分为标准，李强考了75分
记为 分，赵刚考试成绩记为 分，那么他这次测验的实际分数为( )
A.65分 B.67分 C.73分 D.75分
3.随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可
支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，为
中国北斗导航产业发展提供有力支持.目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）.数
据0.000000022用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各15张，小明要用这些纸片中的若干
张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为 和 的长方形.下列判断正确的
是( )
A.甲种纸片剩余7张 B.丙种纸片剩余10张
C.乙种纸片缺少2张 D.甲种和乙种纸片都不够用
5.小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ， ，3，
， ， 分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将 因式分解，
结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱数学 B.爱祖国 C.祖国数学 D.我爱祖国
6.照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，其中f表示照相机镜头的
焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知f，v，则 ( )
A. B. C. D.
7.射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式 进行计算，其中a为子弹的加速度，s为
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枪筒的长.如果 ， ，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表
示）为( )
A. B. C. D.
8.已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积.
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究.
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
.②
若一个三角形的三边长依次为 ， ， ，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为(
)
A. B. C. D.
9.阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），
■ 表示破损的部分. 则破损部分的式子可能是( )
A. B. C. D.
10.玲玲在完成计算题 时，发现“□”处的符号模糊不清，同桌洋洋告诉她，
答案为有理数，则“□”的符号为( )
A.＋或× B.＋或÷ C.－或× D.－或÷
11.甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的
购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，两次购买的饲料单价分
别为m元/千克和n元/千克，而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算( )
A.甲 B.乙 C.一样 D.不能确定
12.简单的规则可以涌现出丰富的代数结构.对单项式 进行如下操作：规定 ，计
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算 ，称为第一次操作：计算
，称为第二次操作；以此类
推：① ；② ；③当 时， ；④对任意正整数 ，等式
总成立.以上说法正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.我们把形如 （ 为有理数， 为最简二次根式）的数叫做 型无理数，如
是 型无理数、则 是_____型无理数.
14.“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门
洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为1米，则
该门洞的通过面积为_______平方米.
15.对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下： ，例如：
.若 ，则 的值为_______.
16.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，
通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文
数字表示，如十一烷、十二烷……）.甲烷的化学式为 ，乙烷的化学式为 ，丙烷的
化学式为 ，…，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为_______.
17.如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了.若该题化简的结果为中
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，则被墨水污染的部分是_________.
18.小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的
下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环
往复，最终到只留下一张纸牌为止.例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉
第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌.将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终
留下的是第______张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸
牌，则 ______（用含n的代数式表示，其中n为自然数）.
19.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄
水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 米的正方形，两块试验田的
小麦都收获了m千克，则高的单位面积产量比低的单位面积产量多_________千克.
20.若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是
“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是
“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是______；若
、 分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2， 、 各数位上的数
字之和分别记为 和 ，若 能被10整除.则当 取得最小值时
的值是______.
21.给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，
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记为 .如： ， ，所以数对 ， 都是“相伴有理数
对”.
(1)数对 ， 是不是“相伴有理数对”，请说明理由；
(2)若 是“相伴有理数对”，求出 的值.
(3)若 是“相伴有理数对”，求 的值.
22.数学 的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，
绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，
三根弦长度之比是 ，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和
的乐声do，mi，so.研究15，12，10这三个数的倒数发现 ，我们称15，12，
10这三个正整数为一组“调和数”.
（1）已知三个数x，5， 是一组“调和数”，则x的值为.
（2）若a，b，c是一组调和数，其中 ，证明： .
23.植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验.其中长方
形花坛每排种植 株，种植了 排，正方形花坛每排种植a株，种植了a排
.
（1）长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？
（2）当 ， 时，这两块花坛一共种植了多少株？
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答案以及解析
1.答案：B
解析：
故选：B.
2.答案：B
解析： 分，
即他这次测验的实际分数为67分.
故选：B
3.答案：B
解析： .故选B.
4.答案：C
解析： ，
要拼接一个长、宽分别为 和 的长方形，需要甲种纸片15张，乙种纸片17
张，丙种纸片4张，
乙种纸片缺少2张.
故选：C.
5.答案：D
解析： ，
而3对应的是我， 对应的是国， 对应的是祖， 对应的是爱，
结果呈现的密码信息可能是我爱祖国，
故选：D.
6.答案：C
解析： ，则 ，整理，得 ，故 .
7.答案：D
解析： ，故选D.
8.答案：B
解析：∵ ， ， 不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
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∵ ，
∴ ；
故选：B.
9.答案：A
解析：依题意： ，
，
，
故选择：A.
10.答案：A
解析：当“□”的符号为“＋”时， ，结果为有理数；
当“□”的符号为“－”时， ，结果不是有理数；
当“□”的符号为“×”时， ，结果为有理数；
当“□”的符号为“÷”时， ，结果不是有理数；
故选：A.
11.答案：B
解析： 两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且 ），
甲两次购买饲料的平均单价为 （元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为 （元/千克）；
甲、乙两种饲料的平均单价的差是：
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m、n是正数，
时， 也是正数，
乙的购货方式更合算.
故选：B.
12.答案：B
解析：① ， ，故①是错误的；
② 是 ， ， ， ，
∴四个为一个循环出现，
∴ ，
∴ ， ，故②是正确的；
③当 时， 是 ， ， ， ，四个为一个循环出现，
，
，故③是错误的；
④∵
，
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，
∴ ，故④是正确的，
故选：B.
13.答案：
解析：
所以， 是 型无理。
故答案为∶ .
14.答案：
解析：该门洞的通过面积为 ，
故答案为： .
15.答案：1012
解析： ，
，（x，y不为0）
，
，
故答案为：1012.
16.答案：
解析：甲烷的化学式为 ，
乙烷的化学式为 ，
丙烷的化学式为 ……，
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碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十一烷的化学式为 ，
故答案为： .
17.答案：
解析：设被墨水污染的部分是A，由题意，得 ， ，
， .
18.答案：1；
解析：8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，
5，6，7，8，
前四轮去掉了2，4，6，8，
还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7，
再经过2轮去掉3，7，
还利2张纸牌、从上至下为1，5，
再经过1轮，去掉5，
最终剩下的是原来的第1张纸牌；
由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌，
将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，
；
故答案为：1； .
19.答案：
解析：由题意得，“丰收1号”的单位面积产量为 千克，“丰收2号”的单位面积产量
为 千克.因为
，所以高的单位面积产量比低的单位面积产量多
千克.
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20.答案：2040；
解析：根据题意，最小的“谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位
数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040；
设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为： ， ，4，2；
“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为： ， ，6，2，
则 ，
；
，
；
则 ，
，
，
，
能被10整除，
为整数，
即 是 的因数，
由题意可知 ， ，（千位上最大的数字是9），
当 取得最小值时，也就是说 最小，
，
当 时， ；
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当 时， ；
即当 时， 有 ， 时，最小值为
；
当 时， 有 ， 时，最小值为 ；
故当 ， 时， 有最小值，此时 的值为： .
故答案为： .
21.答案：(1) 不是“相伴有理数对”， 是“相伴有理数对”
(2)
(3)
解析：（1）由题意可得：
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是“相伴有理数对”，
当 ， 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是“相伴有理数对”
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故答案为： ；
（2）∵ 是“相伴有理数对”，
∴ ，
解得： .
（3）∵
，
是“相伴有理数对”，
∴
∴原式
.
22.答案：（1）15
（2）见解析
解析：（1）根据题意，得： ，
解得： ，
经检验： 为原方程的解，
故答案为：15.
（2）证明： a，b，c是一组调和数，其中 ，
，
，
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，
，
，
，
，
，
.
23.答案：（1）长方形花坛比正方形花坛多种植 株
（2）这两块花坛一共种植了76株
解析：（1）由题意得： .
答：长方形花坛比正方形花坛多种植 株.
（2）由题意得： ，
当 ， 时，原式 （株）.
答：这两块花坛一共种植了76株.
14
