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专题四 图形的认识——2025届中考数学突破热点训练营
1.如图，琪琪家位于点O北偏西70°方向，则点A，B，C，D中可能表示琪琪家的是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
2.随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强.为了增进世界
各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化.同
时，各国学校之间的交流活动也逐年增加.在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个
正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、
信、孝”六个字.如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是( ).
A.仁 B.义 C.智 D.信
3.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗
户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角 的
大小为( )
A. B. C. D.
4.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧 ，点O是这段弧所在圆
的圆心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路 的长度为( )
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A. B. C. D.
5.如图，烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行，光线 从液体中射向空气时发生折射，
光线变成 ，点G在射线 上.已知 ， ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
6.清初安徽数学家梅文鼎创造性的设计直角三角形，证明了： 是锐角 的高，则
.如图，已知 中， ， ， ，点D在边 上，
以 为折痕将 折叠，使得点C落在 上的点E，则 ( )
A.3 B.4 C. D.5
7.有一块半径为8米，圆心角为45°的扇形空地需要美化，某同学的设计图如图所示，在扇形
空地上修建一个正方形水池，正方形的一条边 在边 上，点 在边 上，其他部分种
上花圃，已知花圃的面积为16平方米，设 的长为 米，可列方程为( )
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A. B. C. D.
8.某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图1）可抽象为如图2所示的模型.已知AB垂直于
水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B逆时针转动，使CD段一直
保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中， 始终等于( )
A. B. C. D.
9.《数书九章》是宋代数学家秦九韶编写的一部实用数学大全.数学课上同学们对“遥度圆
城”问题进行了改编如下：如图，一座圆形城池有正东、正南、正西和正北四个门，北门外
正北方向有一棵大树，假设某人从南门向东走9里恰好可以看到这棵大树，此时转身向树的
方向继续走15里到达树下，则该城池的外围直径为( )
A. 里 B.6里 C.9里 D.10里
10.2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热
+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成.该项目建成后，年发电量将达
17亿千瓦时.该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜
（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为 ，则该正五边形的边长大约是( )（结
果保留一位小数，参考数据： ， ， ， ）
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A.5.2m B.4.8m C.3.7m D.2.6m
11.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行
车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 ， ，
， 均是边长为 的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程
中，记 的最大值为x，最小值为y，则 的值为( )
A. B. C. D.
12.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图， ， 分
别与 相切于点C，D，延长 ， 交于点P.若 ， 的半径为 ，则瞬间
与空竹接触的细绳的长为( )
A. B. C. D.
13.如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可
以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形.如图的五边形 是迄今为止人类发现
的第15种完美五边形.若 度，则 ______度.
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14.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”.所谓“割圆术”，
是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率 的方法，刘徽指出“割
之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.例如， 的半
径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计 的面积，
，所以 的面积近似为 ，由此可得 的估计值为 ，
若用圆内接正十二边形估计 的面积，可得 的估计值为_______.
15.小张同学准备用矩形纸片做一个圆锥形帽子.如图，在矩形纸片 中， 取
的中点O，以O为圆心， 长为半径作弧，分别交 于点E， 于点F，得到扇形
纸片 （阴影部分），发现点E、F分别是边 、 的中点，则此扇形纸片围成圆锥形
帽子的底面圆的周长为_____ （结果含 ）.
16.如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图.如图2，根据
割圆八线图，在扇形 中， ， 和 都是 的切线，点A和点B是切点，
交 于点E， 交 于点D， .若 ，则 的长为______.
17.如图①是小明制作的一副弓箭，A，D分别是弓臂 与弓弦 的中点，弓弦 ，
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沿 方向拉弓的过程中，假设弓臂 始终保持圆弧形，弓弦长度不变.如图②，当弓箭从
自然状态的点D拉到点 时，有 ， .
（1）图②中，弓臂两端 ， 之间的距离是________m；
（2）如图③，将弓箭继续拉到点 ，使弓臂 为半圆，则 的值为________.
18.已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形
的边长及等腰三角形 、 的腰长都是定值且相等.如图2，载物台 到水平底座
的距离 为 ，此时 ；如图3，当 时，载物台 到水平底座
的距离 为_______ （结果精确到 ，参考数据： ， ）.
19.综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是 和 ，
.现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺
设管道的总长度最短.
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
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（1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为 ，且 （其中 ），
_________ （用含x的式子表示）.
（2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为 ，且 （其中点 与点B关于l
对称， 与l交于点P），为了计算 的长，过点A作 的垂线，垂足是D，如图3所示，
计算得 _________ （用含x的式子表示）.
（3）归纳推理：
①当 时，比较大小： _________ （填“>”、“=”或“<”）；
②当 时，比较大小： _________ （填“>”、“=”或“<”）
（4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长
度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导当不易直接比较两个正数的大小时，可以对它们的平方进行比较.
要比较 ， 的大小，比较 ， 的大小即可.
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
20.请阅读下面材料，并完成相应的任务；
阿基米德折弦定理
阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之
一，他与牛顿.高斯并称为三大数学王子.
阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964
年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理.
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），
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，M是 的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即
.
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明 的部分证明过程.
证明：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC.
M是 的中点，
.
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于 ，D为 上一点， ，CE BD于
点E， ，连接AD，则 的周长是______.
21.阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务.
关于同一种正多边形的平面密铺
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、
不重叠地把平面的一部分完全覆盖.一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或
类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖.
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成 个三角形，得到其内角
和是 ，则一个内角的度数就是 ，若一个内角度数能整除 ，
那么这样的正n边形就可以进行平面密铺.图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的
两组密铺图案.如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺.
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对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺.图4就是利用全等
的四边形设计出的平面密铺图案.
对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形.德国数学家莱因哈
特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五
边形密铺方式.2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺
的五边形.图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案.
学习任务：
（1）填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分
成 个三角形，得到其内角和是 ”，其中体现的数学思想主要是______.
（填出字母代号即可）
A.数形结合思想；B.转化思想；C.方程思想
（2）图3中角1的度数是______.
（3）除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______.
（4）图6是图5中的一个基本图形，其中 ， ，并且
.求证 .
22.如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、
（1）在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知拱门高 （优弧 中点到 的距离）， ， ， ，
，求拱门的圆弧半径.
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答案以及解析
1.答案：A
解析：观察发现，点A位于点O北偏西 方向.
故选A.
2.答案：A
解析：正方体展开有六个面，“礼”与“智，信，义，孝”相邻，分别是都相邻的面，而与
“仁”是相对.故答案选A.
3.答案：B
解析： 正八边形的外角和为 ，
每一个外角为 ，
故选：B.
4.答案：C
解析：因为半径 ，圆心角 ，所以这段弯路 的长度为
.
5.答案：B
解析：由题意知， ，
，
，
故选：B.
6.答案：B
解析：由折叠性质可设： ，
，
，
，解得： ，
，
故选：B.
7.答案：A
解析：∵圆心角为45°的扇形，且四边形 是正方形
∴
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∵半径为8米, 设 的长为 米
∴
∴
化简得
故选：A
8.答案：D
解析：如图，过点B作 ，则 .
， ， ，
，
即 .
， ，
.
9.答案：C
解析：如图，由题意可得， 里， 里， 与圆O相切，切点为D，
，
， 里，
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，
设 里，则 里，
， ，
，
，
即 ，
解得 ，
9
29
该城池的外围直径为2 里，
故选：C.
10.答案：A
解析：如图：设正五边形的中心为 ，连接 ， ，过点O作 ，垂足为F，
， 的面积 正五边形的面积 ，
， ，
， ，
设 ，
在 中， ，
，
，
，
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解得： ，
，
该正五边形的边长大约是 ，
故选：A.
11.答案：D
解析：连接 交 于O，交 于M，延长 交 于点N，
， ， 均是边长为1的等边三角形.
， ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
点P为后轮上的一点，
当P与M重合时 取最小值，当P与N重合时 取最大值，
在骑该自行车的过程中，记 的最大值为x，最小值为y，圆D（后轮）的半径均为 ，
， ，
，
故选：D.
12.答案：C
解析：如图所示，连接 、 ，
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， 分别与 相切于点C，D，
，
， ，
，
的长 ，
瞬间与空竹接触的细绳的长为 ，
故选：C.
13.答案：285
解析：由题意，得： ，
度，
；
故答案为：285.
14.答案：3
解析：如图， 是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，设 的半径为1，
过A作 于M，
在正十二边形中，
，
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正十二边形的面积为 ，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3.
15.答案：
解析：由题意得： ， ，
在 中， ，
，
，
的长为： ，
用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的底面圆的周长为 ，
故答案为： .
16.答案：
解析： 和 是 的切线，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
又 ，
是等边三角形，
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， ，
， ， ，
，
故答案为： .
17.答案： ；
解析：连接 ，交 于点Q，
，
点A是弓臂 的中点，点 是 所在圆的圆心，
， ， ，
在 中， ，
.
（2）连接 交 于点P，
由（1）可得： ，
设 所在圆的半径为r，
，解得： ，
，
，
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，
在 中，根据勾股定理可得： ，
，
18.答案：
解析：如图2，连接OP并延长，交AB、EF于点M、N，连接CD，与MN交于点Q，
∵四边形 是菱形，等腰三角形 、 的腰长都是定值且相等，
∴ ， ，
∵载物台 到水平底座 的距离 为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图3，连接OP并延长，交AB、EF于点G、H，
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同理可得 ，
∵ ，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为85.
19.答案：（1）
（2）
（3）<；>
（4）当 时，选方案二；
当 时，选方案一或方案二；
当 时，选方案一
解析：（1）由题意得， ，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
故答案为： ；
（3）当 时， ， ，
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，
当 时， ， ，
，
故答案为：<；>；
（4） ，
当 ，即 时， ，
，
当 ，即 时， ，
，
，
当 即 时， ，
.
20.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1） M是 的中点，
，
，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
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， ，
与 中，
，
，
；
（2）如图3，连接CD，
等边三角形ABC中， ，
，
，
由阿基米德折弦定理得， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： .
21.答案：（1）B
（2）
（3）正六边形
（4）见解析
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解析：（1）根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成
个三角形，得到其内角和是 ，可得体现的数学思想主要是转化思想，
故选：B.
（2） ，
故答案为： .
（3 正六边形的每个内角为 ， ，依题意，一种可以进行密
铺的正多边形：正六边形，
故答案为：正六边形.
（4）如图所示，连接 ，分别过点C，D作 ， 垂足分别为N，M，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
22.答案：（1）见解析
（2）
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解析：（1）如图，点O即为所求，
（2）连接 ，如图所示：
， ，
，
，
，
又 ，
四边形 是矩形，
过点O作 于G，交优弧 于点E，交 于F，则
， ， ，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
，
，
解得 ，
拱门的圆弧半径为 .
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23
