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一轮复习夯实练59 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基础练
1.已知点M(0,❑√3),点N(1,2❑√3),则直线MN 的倾斜角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.135°
2.(2024·江苏苏州高二期末)在平面直角坐标系xOy 中,直线x
2 - y
6
=1 在y 轴上的截距为( )
A.-6
B.6
C.-1
6
D.1
6
3.经过点P(-1,0)且倾斜角为60°的直线的方程是( )
A.❑√3x-y-1=0
B.❑√3x-y+❑√3=0
C.❑√3x-y-❑√3=0
D.x-❑√3y+1=0
4.直线❑√3x+y+2=0 的倾斜角及在y 轴上的截距分别是( )
A.60°,2
B.60°,-2
C.120°,-2
D.120°,2
5.已知直线l 过点(2,-1),且在x 轴上的截距为3,则直线l 的方程为( )
A.x-y-3=0
B.x-2y+6=0
C.2x+y+3=0
D.2x+y-3=0
6.如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1<k3<k2
B.k3<k1<k2
C.k1<k2<k3
D.k3<k2<k1
7.已知M(1,2),N(4,3),直线l 过点P(2,-1)且与线段MN 相交,那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )
A.(-∞,-3]∪[2,+∞)
B.[-1
3 , 1
2
]
C.[-3,2]
D.(-∞,-1
3
]∪[1
2
,+∞)
8.直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距小1,且过定点A(-3,8),则直线l 的方程为
.
9.若直线l:y=-(a+1)x+a-2 不经过第二象限,则实数a 的取值范围为 .
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10.已知直线l 过点M(1,1),且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A,B 两点,O 为坐标原点,当|MA|2+|MB|2
取得最小值时,则直线l 的方程为 .
提升练
11.已知两点A(-3,2),B(2,1),过点P(0,-1)的直线与线段AB 有交点,则直线l 的倾斜角的取值范围为(
)
A.[π
4 , 3 π
4
]
B.[0,π
4
]∪[π
2 , 3 π
4
]
C.[0,π
4
]
D.[π
4 , π
2
]∪(π
2 , 3 π
4
]
12.(多选题)如果AB>0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0 经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
13.(多选题)(2024·广东广州培正中学校考)下列说法正确的是( )
A.若直线斜率为
❑√3
3
,则它的倾斜角为30°
B.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB 的倾斜角为90°
C.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4)
D.若直线的斜率为3
4
,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点
14.已知直线kx-y+4-k=0 在两坐标轴上的截距都是正值,当截距之和最小时,直线的方程为
.
创新练
15.已知点P(2cos 10°,2sin 10°),Q(2cos 130°,2sin 130°),则直线PQ 的倾斜角为 .
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参考答案
1.B 解析 设直线MN 的斜率为k,则k=2❑√3- ❑√3
1-0
= ❑√3.令倾斜角为θ,则tan θ=❑√3
,∵0°≤θ<180°,∴θ=60°.
2.A 解析 x
2 - y
6
=1 中令x=0,得y=-6,故直线x
2 - y
6
=1 在y 轴上的截距为-6.
3.B 解析 由倾斜角为60°知,直线的斜率k=❑√3,因此,其直线方程为y-0=❑√3(x+1),即❑√3x-y+❑√3
=0.
4.C 解析 直线❑√3x+y+2=0 化成斜截式y=-❑√3x-2,可知直线的斜率k=-❑√3,故倾斜角为120°,直
线在y 轴上的截距为-2.
5.A 解析 由题意,直线l 过点(3,0)和点(2,-1),∴其斜率为k=-1-0
2-3
=1,直线方程为y=x-3,即x-
y-3=0.
6.A 解析 设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图知0°<α3<α2<90°<α1<180°,所以tan
α1<0,tan α2>tan α3>0,即k1<0,k2>k3>0.
7.A 解析如图所示,设直线PM 的斜率是kPM,直线PN 的斜率是kPN.
由题意得,直线l 的斜率k 满足k≥kPN或k≤kPM,即k≥3+1
4 -2
=2,或k≤2+1
1-2
=-3,∴k≥2 或k≤-3,所以直
线l 的斜率k 的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).
8.4x+3y-12=0 或2x+y-2=0 解析 设直线l 的方程的截距式为x
a +
y
a+1
=1.则-3
a +
8
a+1
=1,解得
a=3 或a=1,
则直线l 的方程是x
3 +
y
3+1
=1 或x
1 +
y
1+1
=1,即4x+3y-12=0 或2x+y-2=0.
9.(-∞,-1] 解析 因为直线不过第二象限,所以{
-(a+1)≥0,
a-2≤0,
解得a≤-1,所以实数a 的取值范围为
(-∞,-1].
10.x+y-2=0 解析 设直线l 的方程为x
a + y
b
=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),且1
a + 1
b
=1,则a+b=ab,
所以|MA|2+|MB|2=(a-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(b-1)2=4+a2+b2-2(a+b)=4+a2+b2-2ab=4+(a-b)2≥4,当且仅
当a=b=2 时取等号,此时直线l 的方程为x+y-2=0.
11.A 解析 如下图所示,设直线PA 的斜率是kPA,直线PB 的斜率是kPB.直线l 的斜率是k.
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所以kPA= 2+1
-3-0
=-1,kPB=1+1
2-0
=1,则k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
设直线l 的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).
由k=tan θ,得tan θ≥1 或tan θ≤-1,所以θ∈[π
4 , π
2
)∪(π
2 , 3 π
4
],又当θ=π
2
时也满足题意,所以θ∈[
π
4 , 3 π
4
].
12.BCD 解析 由题意知A,B,C 均不为0,直线方程可化为斜截式,得y=- A
B
x-C
B .因为AB>0,知直
线的斜率- A
B
<0.因为BC>0,知直线在y 轴上的截距-C
B
<0.可知直线经过第二、三、四象限.
13.ABC 解析 对于A,设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则由题意得tan α=
❑√3
3
,所以α=30°,故A
正确;
对于B,因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB 与x 轴垂直,其倾斜角为90°,故B 正确;
对于C,因为直线过点(1,2),且斜率为tan 45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1,
即直线过点(3,4),故C 正确;
对于D,不妨取y=3
4
x,满足直线的斜率为3
4
,但显然直线y=3
4
x 不过(1,1)与(5,4)两点,故D 错误.故
选ABC.
14.2x+y-6=0 解析 直线kx-y+4-k=0 可变形为k(x-1)-y+4=0,所以直线过定点P(1,4),令
x=0,y=4-k,所以直线与y 轴的交点为A(0,4-k),令y=0,x=1-4
k
,所以直线与x 轴的交点为B(1-4
k
,0),
由{
4 -k >0,
1- 4
k >0,
得k<0.所以4-k+1-4
k
=5+(-k)+(-4
k
)≥5+2❑√(-k )·(- 4
k )=5+4=9,当且仅当-k=-4
k
,
即k=-2 时取等号,所以此时直线的方程为2x+y-6=0.
15.160° 解析 (方法一)设直线PQ 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),
则tan θ= 2sin130°-2sin10°
2cos130°-2cos10°
= sin(120°+10°)-sin10°
cos(120°+10°)-cos10°
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=
❑√3
2 cos10°- 3
2 sin10°
- 3
2 cos10°-
❑√3
2 sin10°
=
3
2 sin10°-
❑√3
2 cos10°
❑√3
2 sin10°+ 3
2 cos10°
=
❑√3sin(10°-30°)
❑√3sin(10°+60°)
=-sin 20°
sin70°
=- sin 20°
cos20°
=-tan 20°=tan 160°.
∴直线PQ 的倾斜角为160°.
(方法二)由三角函数的定义可知:点P,Q 在圆x2+y2=4 上,如图所示,
设M 为直线PQ 与x 轴的交点,则∠POM=10°,∠QOM=130°,
∴∠POQ=120°,又|OP|=|OQ|,
∴∠OQM=30°,
∴∠QMx=∠QOM+∠OQM=160°,∴直线PQ 的倾斜角为160°.
