第八章 平面解析几何
第二节 两条直线的位置关系
知识点90 两条直线的位置关系与距离问题
回归教材
两条直线的位置关系（斜截式方程 l :y=k x+b ，l :y=k x+b ）：
1 1 1 2 2 2
平行条件：k =k 且 b ≠b 。
1 2 1 2
垂直条件：k k =−1。
1 2
距离公式：
距离类型 公式
点 P 1 (x 1 ,y 1 ) 与 P 2 (x 2 ,y 2 ) 之间的距离 ❑√(x 1 −x 2 ) 2+(y 1 −y 2 ) 2
点 P (x ,y ) 到直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 的 |C −C |
0 0 0 d= 1 2
距离 ❑√A2+B2
两条平行直线 Ax+By+C =0 与 |Ax +B y +C|
1 d= 0 0
Ax+By+C
2
=0(A2+B2≠0) 间的距离 ❑√A2+B2
特别提醒：使用点到直线距离公式时，需先将直线方程化为一般式 Ax+By+C=0
。
计算平行直线间距离时，需确保两直线方程中 x,y 的系数对应相等。
教材素材变式
1. [解答题][人B选必一P97练习B第5题变式]
已知直线 l :2x−y+3=0 和 l :x+ky−1=0 相交于点 P。
1 2
(1) 若 l ⊥l ，求 k 的值及点 P 的坐标；
1 2
(2) 若 l ∥l ，求 k 的值及两平行线间的距离。
1 2
2. [多选题][人B选必一P94例2、P96例4变式]
关于直线 l:(m+1)x+(2m−1)y−3m+2=0，下列选项正确的是（ ）
1
A. 当 m= 时，l 的倾斜角为 90°
2
B. 点 (1,−1) 到 l 的最大距离为 2
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C. 若 l 与 x+ y=0 平行，则 m=0
D. 过定点 (1,1)
3. [多选题][苏教选必一P32习题1.4第6题变式]
已知直线 l :(a−1)x+2y+1=0 和 l :x+ay−3=0，则（ ）
1 2
A. 若 l ⊥l ，则 a=2
1 2
B. 若 l ∥l ，则 a=−1
1 2
1
C. 当 a=1 时，l 与 l 的交点为 (2,− )
1 2 2
4❑√5
D. 两平行线间距离为 时，a=3
5
4. [选择题][人A选必一P102复习参考题2第10题变式]
点 P(2,3) 到直线 l:(1+λ)x+(2−λ)y−5=0 的距离的最大值为（ ）
A. ❑√2 B. 2❑√2 C. 3 D. ❑√5
5. [填空题][苏教选必一P42习题1.5第14题变式]
两平行直线 l :3x+4 y−10=0 和 l :3x+4 y+c=0 截线段 AB=4，则 c= ___，直线
1 2
倾斜角为 ___。
知识点91 对称问题
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对称类
型 公式/方法
点关于 若点 M(x ,y ) 关于点 P(a,b) 的对称点为 N(x,y)，则：
1 1
点对称 {x=2a−x
)
1
y=2b−y
1
直线关 方法： 1. 在已知直线上取两点，分别求其关于已知点的对称点，再连
于点对 接两点确定对称直线； 2. 先求一个对称点，再利用对称直线与原直线
称 平行确定对称直线。
点关于 若两点 P (x ,y ) 和 P (x ,y ) 关于直线 l:Ax+By+C=0 对称，则满
1 1 1 2 2 2
直 称 线对 { A⋅ x 1 +x 2+B⋅ y 1 + y 2+C=0 )
足： 2 2 （通过解方程组求对称点坐标）
A(y −y )=B(x −x )
1 2 1 2
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对称类
型 公式/方法
直线关 转化为点关于直线的对称问题求解。
于直线
对称
教材素材变式
1. [单选][人B选必一P102习题2-2C第3题变式]
点 P(2,3) 关于直线 l:x−y+1=0 的对称点 Q 的坐标为（ ）
A. (4,1) B. (2,−1) C. (−2,3) D. (1,4)
2. [单选][苏教选必一P42习题1.5第18题变式]
直线 l:2x−y+3=0 关于点 M(1,2) 对称的直线方程为（ ）
A. 2x−y−1=0
B. 2x−y+5=0
C. x+2y−7=0
D. x−2y+3=0
3. [解答题][人A选必一P102复习参考题2第1(3)题变式]
已知直线 l :x+ y−2=0 和 l :x−y=0，求 l 关于 l 对称的直线 l 的方程。
1 2 1 2 3
4. [解答题][苏教选必一P42习题1.5第15题变式]
光线从点 A(−2,3) 射到直线 l:x−y+1=0 后反射，反射光线经过点 B(1,4)，求反
射光线所在直线的方程。
5. [解答题][苏教选必一P48复习题第18题变式]
已知角的两边所在直线为 l :x−y=0 和 l :7x−y=0，求角平分线方程。
1 2
6. [解答题][人A选必一P103复习参考题2第12题变式]
已知点 A(1,2)、B(3,4) 和直线 l:x−y+1=0。
(1) 在 l 上求点 P，使 ∣PA∣+∣PB∣ 最小；
(2) 在 l 上求点 Q，使 ∣∣QA∣−∣QB∣∣ 最大。
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知识点90 两条直线的位置关系与距离问题
{2x−y+3=0)
1. 解：(1)由两直线垂直条件，2×1+(−1)×k=0，解得k=2。联立 ，
x+2y−1=0
解得x=−1，y=1，即P(−1,1)。
所以k=2，点P的坐标为(−1,1)
2 −1 3 1 1
(2)由平行条件， = ≠ ，解得k=− 。直线l 为x− y−1=0，即2x−y−2=0
1 k −1 2 2 2
|3−(−2)| 5
，距离d= = =❑√5。
❑√22+(−1) 2 ❑√5
1
所以k=− ，两平行线间的距离为❑√5
2
2. 答案：A、B、D
解析：
1
A. 当 m= ，斜率 k=−1，倾斜角 135∘，正确。
2
B. 直线恒过 (1,1)，点 (1,−1) 到 (1,1) 的距离为 2≤❑√5，错误（修正：最大距离为
❑√5 正确）。
m+1 2m−1
C. 平行时 = ，解得 m=−2，错误。
1 1
D. 代入 (1,1) 恒成立，正确。
3. 答案：B、C
解析：
1
A. 垂直时，(a−1)×1+2×a=0，解得a= ，A错误。
3
a−1 2 1
B. 平行时， = ≠ ，解得a=−1（a=2时重合舍去），B正确。
1 a −3
1
C. 当a=1，l ：2y+1=0，l ：x+ y−3=0，联立得交点(2,− )，C正确。
1 2 2
D. 当a=−1，两直线为−2x+2y+1=0和x−y−3=0，即2x−2y−1=0和
|−1−(−6)| 5 5❑√2
2x−2y−6=0，距离d= = =
，D错误。
❑√22+(−2) 2 2❑√2 4
4. 答案：A
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{x+2y−5=0)
解析：直线变形为(x+2y−5)+λ(x−y)=0，联立 ，得定点Q(1,2)。
x−y=0
点P(2,3)到直线的最大距离为|PQ|=❑√(2−1) 2+(3−2) 2=❑√2。A正确。
3
5. 答案：c=10或c=−30，倾斜角为π−arctan
4
|c+10|
解析：两平行线间距离d= ，由题意，d=❑√42−02=4（线段AB与平行线垂
5
|c+10| 3
直时），即 =4，解得c=10或c=−30。直线斜率k=− ，倾斜角为
5 4
3
π−arctan 。
4
知识点91 对称问题
1. 答案：A
2+a 3+b
解析：设对称点Q(a,b)，中点( , )在直线x−y+1=0上，得
2 2
2+a 3+b b−3
− +1=0，即a−b+1=0；PQ斜率为 =−1，即a+b−5=0。联立解得
2 2 a−2
a=4，b=1，故Q(4,1)。
2.答案：A
解析：取直线l上点P(0,3)，其关于点M(1,2)的对称点为P′ (2,1)。对称直线与原
直线平行，设方程为2x−y+C=0，代入P′得C=−1，即2x−y−1=0。
3. 解：联立l 和l 得交点(1,1)。取l 上点P(2,0)，设其关于l 的对称点为Q(a,b)，
1 2 1 2
2+a 0+b 2+a b b
中点( , )在l 上，得 − =0，即a−b+2=0；PQ斜率为 =−1，即
2 2 2 2 2 a−2
a+b−2=0。联立解得Q(0,2)。过点(1,1)和(0,2)的直线方程为y=−x+2。
−2+a 3+b
4. 解：设点A(−2,3)关于直线l的对称点为A′ (a,b)，中点( , )在l上，得
2 2
−2+a 3+b b−3
− +1=0，即a−b−3=0；A A′斜率为 =−1，即a+b+1=0。联立解
2 2 a+2
4−(−1)
得A′ (2,−1)。反射光线过A′和B(1,4)，斜率k= =−5，方程为
1−2
y−4=−5(x−1)，即5x+ y−9=0。
|x−y| |7x−y|
5. 解：设角平分线上点P(x,y)，由角平分线性质， = ，即
❑√2 5❑√2
5|x−y|=|7x−y|。分情况：
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5(x−y)=7x−y，得2x+4 y=0，即x+2y=0（舍去，不在两直线夹角内）；
5(x−y)=−(7x−y)，得12x−6 y=0，即2x−y=0。
6. 解：(1)求点A(1,2)关于直线l的对称点A′ (3,0)，连接A′B，与直线l的交点即为P
{y=−2x+6)
。A′B的方程为y=−2x+6，联立 ，解得x=2，y=3，即P(2,3)，
x−y+1=0
|PA|+|PB|=|A′B|=❑√(3−3) 2+(0−4) 2=4。
所以点P(2,3)，最小值为4
(2)由||QA|−|QB||≤|AB|，当Q在直线AB与直线l的交点时取最大值。直线AB
{ y=x+1 )
的方程为y=x+1，联立 ，解得x=0，y=1，即Q(0,1)，
x−y+1=0
|AB|=❑√(3−1) 2+(4−2) 2=2❑√2。
所以点Q(0,1)，最大值为2❑√2
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