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2024-2025 学年高三数学上学期一轮复习专题：双曲线
一、单选题
1．已知双曲线C：
的焦点为
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，则
的最小值
为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
3．双曲线
的离心率为
，则双曲线上任意一点
到两焦点
的距
离之差的绝对值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
4．已知函数
图象恒过的定点在双曲线
的一
条渐近线上，双曲线离心率为e，则
等于（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．5
5．已知
为双曲线
的两个焦点，
为双曲线右支上的动点（非
顶点），则
的内切圆恒过定点（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．已知点A 为双曲线
的左顶点，点B 和点C 在双曲线的左支上，若
是等
腰直角三角形，则
的面积是（ ）
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A．4
B．
C．
D．
7．已知双曲线
的左焦点为
，过点
且斜率为
的直线与
的
两条渐近线分别交于点
，且
分别位于第二、三象限，若
，则
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，圆
上
的点到C 的一条渐近线的距离的最大值为
，A 是双曲线C 右支上一点，线段
与双
曲线C 的左支交于点B，若
的重心与内心重合，则直线AB 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知双曲线
，O 为坐标原点，过
的右焦点
作
的一条渐
近线的平行线交
于点
，交
的另一条渐近线于点
，则（ ）
A．向量
在
上的投影向量为
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B．若
为直角三角形，则
为等轴双曲线
C．若
，则
的离心率为
D．若
，则
的渐近线方程为
10．已知双曲线
的右焦点为
，虚轴上端点为
，线段
与
及
的一条渐近线分别交于点
，
.若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的离心率为3
B．
的渐近线的倾斜角为
C．
D．
11．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
的直线与双曲线
的右支
交于
两点，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．若
是双曲线
上的动点，则满足
的点
共有两个
C．
D．
内切圆的半径为
三、填空题
12．已知双曲线
的离心率
，圆
与双曲线
E 的渐近线相切，则
．
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13．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过右焦点
作其中一条渐近线的
垂线，垂足为
，且直线与另一条渐近线交于点
，设
为坐标原点，则
的面积
为 .
14．双曲线
的两条渐近线分别为
，经过
的右焦点
的直线
分别交
于
两点，已知
为坐标原点，
反向，若
的最小值为
9a，则
的离心率为 .
四、解答题
15．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，右焦点F 到渐近
线的距离为
．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：
的面积S 是定值．
16．已知双曲线
的左顶点是
，一条渐近线的方程为
．
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)设直线
与双曲线E 交于点P，Q，求线段PQ 的长．
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17．已知双曲线
中，焦距为
，且双曲线过点
．斜率不
为零的直线与双曲线交于
两点，且以
为直径的圆过点
．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在直线
，使得点
到直线
的距离最大？若存在，求出直线
的方程；若
不存在，请说明理由．
18．已知双曲线G 的中心为坐标原点，离心率为
，左、右顶点分别为A (−4,0)，B (4,0).
(1)求
的方程；
(2)过右焦点
的直线l 与G 的右支交于M，N 两点，若直线
与
交于点
．
（i）证明：点
在定直线上：
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（ii）若直线
与
交于点
，求证：P F2⊥Q F2．
19．已知双曲线
的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为
，离心率为
，
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)记双曲线
的左、右顶点分别为
，点
为双曲线
的右支上异于点
的动点，直线
与直线
相交于点
，直线
与双曲线
的另一个交点为
，直线
垂直
于
点
，问是否存在点
，使得
为定值？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请
说明理由，
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参考答案：
1．D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C 的焦点为
在纵轴上，所以
，
且双曲线C 方程
满足
，
故
，则C 的方程为
．
故选：D．
2．D
【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，依题意可得
，利用乘“1”法及基
本不等式计算可得.
【详解】椭圆
的焦点为
，
依题意可得
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
故
的最小值为.
故选：D
3．A
【分析】根据题意，求得
，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】由双曲线
的离心率为
，可得
，
解得
，所以
，
又由双曲线的定义，可得双曲线上一点
到两焦点
的距离之差的绝对值为
.
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故选：A.
4．C
【分析】先利用对数函数的性质，求得函数
的图象恒过定点
，代入双曲线的渐
近线方程，求得
，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由函数
，
令
，可得
，且
，所以函数
的图象恒过定点
，
又由双曲线
的一条渐近线方程为
，
将点
代入渐近线方程，可得
，解得
，
所以双曲线的离心率为
，所以
.
故选：C.
5．B
【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得
的内切圆与
的切点
为
定点.
【详解】双曲线
，
，则长轴长为
，焦距为
，
为双曲线右支上的动点（非顶点），
为双曲线的两个焦点，
设
的内切圆与
分别切于
，如图所示，
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则根据双曲线的定义及圆的性质可知：
，
又
，得
，故
为双曲线的右顶点.
同上分析，当双曲线方程为
时，
为双曲线的两个焦点，
为双曲线右支上的动点（非顶点），
设
的内切圆与
分别切于
，
可知
为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为
，右顶点坐标
.
所以此时
的内切圆恒过定点
.
故选：B.
6．C
【分析】双曲线
的左顶点A (−2,0)，设
，根据图形特征求出点
坐标，从而可求
的面积.
【详解】由题意得A (−2,0)，点B 和点C 在双曲线的左支上，
若
是等腰直角三角形，由双曲线的对称性可得A 为直角顶点，
设
，由对称性有
，
则有
，代入双曲线方程，解得
，
，
则有等腰直角三角形
的斜边
，三角形的高
，
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所以
.
故选：C.
7．B
【分析】由
，得
，令
，
中，由正弦定理解得
，可求双曲线离心率.
【详解】设O 为坐标原点，由
，得
，又两渐近线关于
轴对称，所以
直线
斜率为
，则
，
令
，则
，
中，由正弦定理得
，
即
，解得
，故
，
所以
的离心率
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故选：B
8．B
【分析】首先得到圆的圆心和半径，判断渐近线与圆的位置关系，得到圆心到渐近线的距
离，进而利用点到直线的距离公式求得
，得到
，然后根据
的重心与内
心重合得到
，
，即可利用双曲线的定义、余弦定理及同角三
角函数的基本关系得到直线
的斜率，从而得到直线
的方程．
【详解】圆
的圆心为(0,2)，半径
，
原点
在圆的内部，则
的渐近线与圆相交，
依题意可得圆心到渐近线的距离为
，则
， 得
，
设双曲线的焦距为
，则
，
．由题不妨设
在
轴上方，
若
的重心与内心重合，则
为等边三角形，
则
，
．
由双曲线的定义得
，又
，
所以
，又
，所以
，
则
，
，故直线
的斜率为
．
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由对称性可知当
在
轴下方时，直线
的斜率为
．
综上，直线
的方程为
．
故选：B．
9．ABD
【分析】由题意可得△OQF 是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的
倾斜角为
，可判断B，设
，解得
，可得
，可判断C，设
,可得
，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D.
【详解】对于A，由题意可得△OQF 是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,
Q 在OF 上的投影为OF 的中点，
在
上的投影向量为
，故A 正确；
对于B，若△OQF 为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为
，
，
，
为等轴双曲线，故B 正确；
对于C，若
，设
，则
解得
或
(舍去)，设渐近线
的倾斜角为
，可得
，
，
，
，
，
，
，故C 错误；
对于D，设直线
的方程为
，与渐近线
的交点坐标为
，
若
，则
，设
，
，
，
在双曲线上，
，
，
，
的渐近线方程为
，即
，故D 正确.
故选：ABD
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10．BC
【分析】通过
求出
，利用点
在渐近线上得到a，c 关系，从而求出离心
率及渐近线的斜率，判断A、B 选项，设
，则
，将点
的坐标代入
求解，进一步得
，判断C、D 选项.
【详解】由题意得
，
．因为
，所以
，
由点
在
的一条渐近线
上，得
，得
，
所以
的离心率
，故A 错误；
由
，得
，所以
的渐近线方程为
，
由题意可知
的一条渐近线的方程为
，其倾斜角为
，故B 正确；
设
，则
，将点
的坐标代入
，得
，
所以
，故C 正确；
又
，
，所以
，故D 错误.
故选：BC.
11．ACD
【分析】求出双曲线的渐近线方程判断A；按点P 在左支、右支确定
的点P 个数
判断B；利用双曲线定义结合勾股定理计算判断C；利用双曲线定义结合直角三角形内切
答案第8页，共2页
圆半径公式计算判断D 作答.
【详解】双曲线
中，实半轴长
，虚半轴长
，半焦距
，焦点
，
对于A，双曲线
的渐近线方程为
，A 正确；
对于B，设点
，则
，
，解得
或
，
当
时，
，当
时，
有两个值，即符合条件的点P 有3 个，B 错误；
对于C，由双曲线定义知
，而
，且
，
则
，即有
，
因此
，C 正确；
对于D，由双曲线定义知
，因为
，所以
内切圆的半径：
，D 正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得
，根据离心率公式求
得
，
等量关系，即可求解．
【详解】解：由题可知双曲线其中一条渐近线方程
，即
，
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因为其与圆
相切，
故可得：
①，
又
，所以
，
因为
，所以
②，
②代入①得
，
则
．
故答案为：
．
13．
【分析】求出渐近线方程，写出直线的方程，联立渐近线求出
和
，求出三角形面积.
【详解】由题意，得双曲线
的渐近线方程为
.
不妨设直线为过右焦点
且与渐近线
垂直的直线，
则直线的方程为
，联立
，
答案第10页，共2页
解得
，即
.
同理，联立
，解得
，即
，
所以
.
故答案为：
.
14．
【分析】联立渐近线与直线的方程，可得
坐标，继而根据点点距离公式可得
，即可利用基本不等式求解最值得
求解.
【详解】设渐近线
的方程分别为
，
，
设直线
的方程为
，
联立
与
可得
，
，故
，
同理联立
与
可得
，
由于
反向，所以
位于一四象限，故
，
故
，
，
答案第11页，共2页
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当且仅当
,即
时等号成立，
故最小值为
，因此
，故
，
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
的值，根据离心率的定义求解离心率
的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程结合点到直线的距离公式可求双曲线方程；
（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联
立，根据
，找到参数之间的关系，线段
的长，利用点到直线的距离公式求出三角
形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）由已知得渐近线方程为
，右焦点F (c ,0)，
，
，
，解得
．
答案第12页，共2页
，
，
，
双曲线C 的标准方程为
；
（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线
的斜率不存在，此时直线方程为
，
此时易得
，点
到直线
的距离为，所以此时
；
②当直线
的斜率存在时，设直线
为
，
由
得
，
因为直线于双曲线相切，所以
且
，
整理得
且
，即
，
由
得
，则
，
同理得到
，
所以
点
到直线
的距离
所以
，
所以
的面积为定值
.
答案第13页，共2页
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【点睛】方法点睛：利用
，找到参数之间的关系，再利用公式求得|AB)，利用点到
直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得
即可得到离心率；
（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.
【详解】（1）由题意知
，且
，
，
所以双曲线的离心率
．
（2）由（1）知双曲线方程为
，
将
即
代入
，得
，
不妨设
，
所以
．
17．(1)
(2)存在，
答案第14页，共2页
【分析】（1）待定系数法求解双曲线方程；
（2）方法一：设直线
，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据
得到
，即
或
，分两种情况讨论，
得到直线
过定点
，要想
到直线
的距离最大，则
⊥
，从
而求出直线
的方程；
方法二：齐次化求解，平移双曲线得
，设平移后的直线
方程为
，变形得到
，根据斜率之积为-1 得到则直
线
过定点
，从而原直线
过定点
，要想
到直线
的距离
最大，则
⊥
，从而求出直线
的方程；
【详解】（1）由题意得
，且
，
又
，解得
，
故双曲线方程为
；
（2）设直线
，
联立
得
，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，
则
，
由题意得
，
即
答案第15页，共2页
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，
将
代入上式，
，
即
，
化简得
，
变形为
，
故
或
，
当
时，直线
，经过定点
，与
重合，不合要求，
当
时，直线
，经过定点
，
要想
到直线
的距离最大，则
⊥
，其中
故直线
的斜率
，故直线
的方程为
，
即
.
经检验，
满足要求.
方法二：平移双曲线得
，即
，
设平移后的直线
方程为
，
则有
，
即
，
答案第16页，共2页
两边同除以
得
，
由题意得
，
设
，则
，
则直线
过定点
，
将
向左平移3 个单位，向上平移1 个单位，则原直线
过定点
，
要想
到直线
的距离最大，则
⊥
，其中
故直线
的斜率
，故直线
的方程为
，
即
，经检验，
满足要求.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为
），
（2）利用条件找到
与过定点的曲线
的联系，得到有关
与
的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点
，使得无论
的值如何变化，等式恒成立，
此时要将关于
与
的等式进行变形，直至找到
，
①若等式的形式为整式，则考虑将含
的式子归为一组，变形为“
”的形式，让括号
中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，
答案第17页，共2页
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可消去
变为常数.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由点
，
的坐标可知
，结合离心率可得，即可得
，即可得双曲线方
程；
（2）设出M (x1, y1)，N (x2, y2)，可表示出直线
与
的方程，借助联立直线l 与G
所得韦达定理计算即可得证点
在定直线上；由双曲线的对称性可得点
亦在该直线上，
借助韦达定理，通过计算⃗F2 P⋅⃗F2Q的值从而得证.
【详解】（1）由点
，
的坐标可知
，
离心率为e = c
a = 5
4 ，故
，所以b=c
2−a
2=3，
所以双曲线
方程为
；
（2）（ⅰ）设直线为：x =my +5，联立双曲线
得{
x =my −5
x
2
16 −y
2
9 =1)
，
消去
得：(9m
2−16) y
2+90my +81=0，
根据题意得：9m
2−16≠0，Δ=8100m
2−4×81(9m
2−16)=64×81(1+m
2)>0
设M (x1, y1)，N (x2, y2)，则y1+ y2= −90m
9m
2−16，y1 y2=
81
9m
2−16，
x1+ x2=
−160
9m
2−16
>0，x1 x2=−400+144 m
2
9m
2−16
>0，故m
2< 16
9 ，
直线
：y =
y1
x1+ 4
(x + 4)，因为
在
上，所以x1❑
2−16
16
= y1❑
2
9
，
答案第18页，共2页
直线
：y = 9(x1−4)
16 y1
(x + 4)，直线
：y =
y2
x2−4
(x−4)，
令
9(x1−4)
16 y1
(x + 4)=
y2
x2−4
(x−4)，
可得9(x−4)
16(x−4) =
y1 y2
(x1−4)(x2−4)
=
y1 y2
x1 x2−4(x1+ x2)+16
=
81
9m
2−16
−400+144 m
2
9m
2−16
+ 4×
160
9m
2−16
+16
=−81
16 ，
解得
，故点
在直线
上；
（ⅱ）由双曲线对称性可知，点
也在直线
上，
设P(
16
5 , y3)，Q(
16
5 , y4)，点
在直线
上，所以y3= 36
5 ×
y1
x1+ 4 ，
点
在直线AN( y =
y2
x2+ 4
(x + 4))上，所以y4= 36
5 ×
y2
x2+ 4 ，⃗
F2 P⋅⃗F2Q =(−9
5 , y3)⋅(−9
5 , y4)= 81
25 + y3 y4= 81
25 + 1296
25 ×
y2
x2+ 4 ×
y1
x1+ 4
= 81
25 + 1296
25 ×
y1 y2
x1 x2+ 4(x1+ x2)+16 = 81
25 + 1296
25 ×
81
9m
2−16
−400+144 m
2
9m
2−16
−4×
160
9m
2−16
+16
= 81
25 + 1296
25 ×(
−81
1296)=0，所以P F2⊥Q F2.
答案第19页，共2页
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【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．(1)
(2)存在点
使
为定值3，
的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法，结合点线距离公式与双曲线的离心率得到关于
的方
程组，解之即可得解；
（2）联立直线
与双曲线方程，得到
，再由
三点共线与
三点共
线得关于
的方程，分析得
，从而得到直线
过定点，进而求得点
，由此得解.
【详解】（1）设双曲线
的右焦点为F (c ,0)，
双曲线
的标准方程为
，则其渐近线为
，
由已知可得
，结合
，可得
，
所以双曲线
的标准方程为
，
（2）由已知，直线
不垂直于
轴，设直线
的方程为
，
答案第20页，共2页
由
消去
并整理得
，①
则
，且由这个方程的判别式
可得
，
设
，则
，
由已知可得
，设
，
由
三点共线可得
，
由
三点共线可得
，
消去并整理得
，
又
，所以上式可化为
，
即
，
整理可得
，
若
，则
，代入①式可得
，
因为点
不与点
重合，所以
，即
，
所以
，
答案第21页，共2页
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所以
，即
，所以直线
过定点
，
因为直线
垂直于直线
，垂足为点
，所以点
在以
为直径的圆上，
所以存在点
使|MN )为定值3，此时点
的坐标为(1,0)，
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
