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2024-2025 学年高三数学上学期一轮复习专题：椭圆
一、单选题
1．已知椭圆
与双曲线
有且仅有两个交点，若椭圆
的离心率为
，则椭圆
的短轴长为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
2．已知点
在椭圆
上，
的左、右焦点分别为
，则满足
的点
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知椭圆
的离心率为
是
上一点，且点
到焦点的最大距
离为
．过焦点
作直线
轴，交椭圆
于
两点，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
4．已知定点
与椭圆
上的两个动点
，
，若
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．13
C．
D．
5．已知椭圆
和抛物线
相交于
、
两点，直线
过
抛物线的焦点
，且
，椭圆的离心率为
．则抛物线和椭圆的标准方程分别为
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（ ）．
A．
；
B．
；
C．
；
D．
；
6．椭圆
的右焦点为F，过F 的直线交椭圆于A，B 两点，点C 是A 点
关于原点O 的对称点，若
且
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
为
的左焦点，
是
的上顶点，
是
的右顶点，
是
的下顶点.记直线
与直线
的交点为
，则
的余弦值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反
射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C 的方程为
，其左、右焦点分别是
，
，直线l 与椭圆C 切于点P，且
，过点P
且与直线l 垂直的直线
与椭圆长轴交于点M，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知曲线
为焦点在x 轴上的椭圆，则（ ）
A．
B．
的离心率为
C．m 的值越小，C 的焦距越大
D．
的短轴长的取值范围是
10．已知
分别为椭圆
的左､右焦点，过
的直线与
交于
两点，若
，则（ ）
A．
B．
C．椭圆
的离心率为
D．直线
的斜率的绝对值为
11．已知椭圆
的离心率为
，
，
分别是
的左右焦点，过
､
的直线与
交于
，
两点，过
的直线与
交于
，
两点，当
时，
，则（ ）
A．椭圆
的标准方程为
B．椭圆
的短轴长为2
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C．若
，则直线
的斜率的平方大于2
D．当
时，
三、填空题
12．已知椭圆
，
四个点中恰有三
个点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程是 ．
13．已知
为椭圆
上任意一点，
为左、右焦点，
为
的内心，记
的面积分别为
，则
的值为 ．
14．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆
上一个动点，则
的最大值为 ．
四、解答题
15．已知椭圆
左､右顶点分别为
，短轴长为
，离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若第一象限内一点
在椭圆上，且点
与
外接圆的圆心
的连线交
轴于点
，
设
，求实数
的值.
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16．已知椭圆
，椭圆
与椭圆
具有相同的离心率，且经过点
．
(1)求
的标准方程；
(2)若
的焦点在x 轴上，
为
上一点，A、B 两点在
上，且线段PA、PB 的中
点都在
上．
（i）当点P 运动时，
的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说理由；
（ii）记
，求
的取值范围．
17．已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线与椭圆
交于
两点，当过坐标原点
时，
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)线段
上是否存在定点
，使得直线
与直线
的斜率之积为定值. 若存在， 求出
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点
的坐标；若不存在，请说明理由.
18．设
分别为椭圆
的左右焦点，椭圆的短轴长为
是直线
上除
外的任意一点，且直线
的斜率与直线
的斜率之比为3.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过右焦点
的直线交椭圆于
两点，设直线
的斜率分别为
，判
断
是否成等差数列？并说明理由.
19．已知椭圆
的左右焦点为
，
，P 是椭圆C 上的动点，
的最大值为8，当
时，
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
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(2)点
，若点M，N 在椭圆C 上，且直线
，
的斜率乘积为
，线段
的
中点G，当直线
与y 轴的截距为负数时，求
的余弦值．
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参考答案：
1．D
【分析】根据椭圆与双曲线有且只有两个交点可得
，结合离心率可求短轴长.
【详解】因为椭圆与双曲线有且只有两个交点，椭圆的左右顶点与双曲线的顶点重合，
而双曲线的顶点为
，故
，
设椭圆的半焦距为，则
，故
，故短轴长为
，
故选：D.
2．B
【分析】设
，由题设可得坐标的方程组，求出其解后可判断
的个数.
【详解】由椭圆
可得半焦距
，故
.
设
，则
,
所以
即
，而
，
故
，故满足条件的
的个数为2，
故选：B.
3．B
【分析】根据离心率及椭圆上点到焦点的距离列方程求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程
即可得解.
【详解】由题知，
，解得
，
，
故椭圆
，
令
，代入
，得
，
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.
故选：B．
4．C
【分析】设出点
的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小
值.
【详解】设椭圆
上的点
，而
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：C
5．B
【详解】由椭圆与抛物线的对称性知，
轴，且
，故
根据抛物线的定义可知
，
所以抛物线的标准方程为
．
所以椭圆过点
，又因为椭圆离心率为
，
因此
，解得
，
则椭圆的标准方程为
．
故选：B．
6．C
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【分析】先设
，根据椭圆的定义和性质，用
表示出
（F
'为椭圆的另一焦
点）的各边长，结合
的周长为
和勾股定理，求出
（用
表示），再在
中，
表示各边长，结合勾股定理，可求椭圆的离心率.
【详解】如图
取椭圆的另一焦点F
'，连接
，
，
.
因为
、
关于原点对称，则四边形
是平行四边形.
又
，所以四边形
是矩形.
设
，在
中：
，
，
，所以
.
由椭圆定义：
，
所以
.
在
中，
，
，
，
，
由勾股定理：
.
所以
，故
.
故选：C
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7．A
【分析】由椭圆的离心率和已知条件表示出直线
的斜率，即可求出
，再由同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式即可得
出答案.
【详解】由离心率为
，可得
，又因为
，
所以
，所以
，
所以直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
所以
，又因为
，
设椭圆的左端点为
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
.
故选：A.
8．D
【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得
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【详解】由已知得
，
，
由椭圆定义可得
，
根据光的反射定理可得
为
的角平分线，
由正弦定理
，
所以
，
，又
所以
即
.
故选：D.
9．AC
【分析】由曲线
为焦点在x 轴上的椭圆，得出
和
，根据
即可判断A；根
据椭圆离心率
即可判断B；表示出椭圆
的焦距，由函数的单调性即可判
断C；由
的范围即可得出
的短轴长的取值范围，从而判断D．
【详解】对于A：根据题意知椭圆
的标准方程为
，
因为C 的焦点在x 轴上，
所以
，即
，故A 正确；
对于B：由A 可得
，
，
所以椭圆
的离心率
，故B 错误；
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对于C：椭圆
的焦距
，
因为函数
，
在
上都是单调递减的，
所以m 的值越小，
的焦距越大，故C 正确；
对于D：椭圆
的短轴长
，
因为当
时，
，
所以
，
所以
，故D 错误，
故选：AC．
10．ABD
【分析】A 选项，由线段比例求出面积比；B 选项，由椭圆的定义得到
，
，
，由勾股定理逆定理得到
，进而求出正切值；C 选项，
根据
为直角三角形，由勾股定理列出方程，求出离心率；D 选项，作辅助线，由线
段比例结合离心率得到
，求出答案.
【详解】A 选项，由题意得：
，A 正确；
B 选项，设
，则
，
由椭圆定义可知：
，
，所以
，
，
因为
，所以
，解得
，
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故
，
，
，
因为
，所以
，
故
，B 正确；
C 选项，在
中，
，
由勾股定理得
，解得
，
椭圆
的离心率为
，C 错误；
D 选项，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
则
，
其中
，故
，
由勾股定理得
，
则
故直线
的斜率的绝对值为
.
故选：ABD
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11．BCD
【分析】根据椭圆的定义以及椭圆的有关性质，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】选项A：由题意可知，
，当
时，直线
与直线
平
行或直线
与直线
关于
轴对称，由对称性可知，
，
则
，根据椭圆的定义可知，
，所以
，所以
，所以
，因此椭圆
的标准方程为
，故A 错误；
选项B：由A 知，椭圆
的短轴长为
，故B 正确；
选项C：由
知，直线
的斜率存在且不为0，
设
，
，直线
的方程为
，
由
，得
，所以
，
由
可知，
，
则
，即
，
将其代入
，得
，
，
则
，得
，
所以直线
的斜率的平方大于2，故C 正确；
选项D：由对称性不妨令
，
，
则
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，
当
时，
，所以
，故D 正确.
故选：BCD
12．
．
【分析】由椭圆的对称性判断出椭圆过A，C，D 三点，代入椭圆方程即可求出.
【详解】
由题意根据椭圆的对称性可得，椭圆过A，C，D 三点，
所以
，解得
，
所以椭圆的方程为：
.
故答案为：
．
13．
/
【分析】不妨设
，且
的内切圆半径为，由
，取得
，再结合椭圆的定义即可求解．
【详解】由椭圆
，可得
，则
，所以
,
如图所示，不妨设
，且
的内切圆半径为，
可得
，
又由
，
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可得
，即
，
又由
，
所以
．
故答案为：
14．12
【分析】
由椭圆方程求出
坐标，结合椭圆定义将
转化为
，即只需求
的最大值，即求
的最大值，结合图形求得其最大值，即可求得答
案.
【详解】由椭圆
可知
，
，
椭圆
在圆
内，而圆
的圆心为
，半径为
，
易知
，所以椭圆
与圆
相离，
而
，故
，
要求
的最大值，只需求
的最大值，
而Q 在圆
上，
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只需求
的最大值，当
共线时（如图），
最大，
此时
，即为
的最大值，
则
的最大值为
，
则
的最大值为
，
故答案为：12
15．(1)
(2)
【分析】（1）用椭圆的基本量的数量关系，就可求得椭圆方程；
（2）关键要用坐标法来研究，设圆心M 坐标和点P 坐标，然后来求出点Q 坐标，再利用
圆心M 坐标和点P 坐标满足的相等关系，就可解出点
的横坐标为
，从而用向量的坐标
关系就可求出结果.
【详解】（1）因为短轴长为
，所以
，
又椭圆
的离心率为
，则有
，解得
，
所以
的方程为
.
（2）
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因为
外接圆经过椭圆的左右顶点，所以圆心
､
在
轴上，
设圆心
，则圆
的半径为
，所以
，
所以
又点
在椭圆上，所以
，两方程消去
得：
再由直线
的斜率为
，
可设直线
的方程为
，
令
，所以点
的横坐标为
又
，所以
，解得
【点睛】方法点睛：设坐标
，解得假设的变量之间的关系
，再
利用直线方程求出相关点
的横坐标为
，即可以用向量关系求解结果了.
16．(1)
或
(2)（i）是，定值
；（ii）
【分析】（1）由离心率的定义，椭圆的性质，点在椭圆上组成方程组解出
，再分焦点在
轴上与在
轴上上分别求出即可；
（2）（i）设
，由中点坐标公式结合题意代入椭圆方程化简可得直线
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的方程为
，再联立直线
和椭圆
的方程，用韦达定理表示出|AB)
和点到直线的距离公式表示
到直线
的距离，最后由三角形面积公式求出面积即可；
（ii）用（i）的韦达定理表示出
和
，再由向量数量积的坐标表
示
，然后结合
的范围和三角形的面积公式求出即可；
【详解】（1）由题意，椭圆
的离心率为
，
①当
的焦点在
轴上时，设方程为
，则有
，
解得
，
的方程为
；
②当
的焦点在
轴上时，设方程为
，同理可得
，
的方程为
；
综上，
的标准方程为
或
.
（2）
（i）因
的焦点在
轴上，故
的标准方程为
设
，线段
的中点
在椭圆
上，
答案第14页，共2页
故有
，
整理得：
，
将
代入整理得：
，
同理可得：
，
所以点A(x1, y1),B(x2, y2)满足方程
，故直线
的方程为
．
联立直线
和椭圆
的方程，消去
得：
，
代入
，得：
，
，
，
当
时，
，
点
到直线
的距离
，
的面积
，
当
时，不妨
，
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则
．
综上，
的面积为定值
.
（ii）由
得：
，
由
得
，
于是
，
因
，所以
，
又
，
所以
.
【点睛】方法点睛：本题第二问第一小问在求三角形面积是否为定值时，可采用直曲联立，
用韦达定理表示出三角形|AB)边长，再由点到直线的距离公式求出三角形的高，最后用三
角形面积公式结合题意化简即可.
17．(1)
(2)存在，定点
答案第16页，共2页
【分析】（1）根据椭圆的离心率求出
的关系，再根据当过坐标原点
时，直线的方
程为
，联立方程，结合
求出
即可得解；
（2）设直线
，A(x1, y1),B(x2, y2)，
，联立方程，利
用韦达定理求出
，再根据斜率公式计算分析即可得出结论.
【详解】（1）
，即
，
过坐标原点
直线的方程为
，
由
，消去
得:
，
，
，
，
故椭圆
的方程为
；
（2）假设存在定点，
，由题意，直线斜率存在，
设直线
，即
，
由
，消去
得
，
其中
，
，
，
答案第17页，共2页
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，
当
，即
时，
恒成立，
存在定点
，使得直线
与直线
的斜率之积为定值
.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18．(1)
(2)
成等差数列，理由见解析
【分析】（1）由椭圆的短轴长为
,求出
，再由
是直线
上除(2,0)外的任意一点，
答案第18页，共2页
且
,求出，进而得到椭圆标准方程；
（2）①当直线
的斜率为
时，不妨设
，表达斜率，推出结
论；②当直线
的斜率不为
时，设
的方程：
.
联立方程，求出
，表达出来斜率，得到结论.
【详解】（1）由已知得
.
设
，则
，
,
所以椭圆
的方程为
.
（2）①当直线
的斜率为
时，
的方程：
，
不妨设
，
，
所以
②当直线
的斜率不为0 时，如图，设
的方程：
.
由
，得
.
则
答案第19页，共2页
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又
，所以
.
综上，
.所以
成等差数列.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式求出
的最大值，结合已知即可求出
，再根据通径
即可求出
，即可得解；
（2）设
，直线
的方程为
，联立方程求出点
的坐标，同理可求得
的坐标，进而可求出
的斜率，再利用点差法可求得
的斜
率，再结合
的斜率即可得解.
【详解】（1）因为P 是椭圆C 上的动点，所以
，
又因为
（当且仅当
时取等号），
令
，则
，
答案第20页，共2页
故当
时，
，
所以
，解得
，
所以椭圆C 的标准方程为
；
（2）设
，直线
的方程为
，
因为
，所以点
在椭圆上，
联立
，消
得
，
则
，故
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
同理可得
，
所以
，
设
，则
答案第21页，共2页
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将
代入椭圆
两式相减得：
，
即
，所以
，所以
，
设
与
轴的负半轴得夹角为
，则
，故
，
设
与
轴的正半轴的夹角为
，
因为
，所以
，
则
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
