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课时规范练2
基础巩固组
1.命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为( )
A.∀n∈Z,n∉Q
B.∀n∈Q,n∈Z
C.∃n∈Z,n∈Q
D.∃n∈Z,n∉Q
2.“x 为整数”是“2x+1 为整数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2023·河南新乡模拟)已知命题p:∃x∈R,sin x=3
2
;命题q:∀x∈R,2cos x≥1
2
.则下列关于命题真假的
说法正确的是( )
A.p 真q 假
B.p 假q 真
C.p,q 均假
D.p,q 均真
4.已知a,b∈R,则“3a>3b”是“a2>b2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
5.(2023·湖北八市联考)设α,β 为两个不同的平面,则α∥β 的一个充要条件可以是( )
A.α 内有无数条直线与β 平行
B.α,β 垂直于同一个平面
C.α,β 平行于同一条直线
D.α,β 垂直于同一条直线
6.(2023·广东茂名模拟)若不等式|x-1|<a 的一个充分条件为0<x<1,则实数a 的取值范围是( )
A.(0,+∞)
B.[0,+∞)
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C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
7.(多选)(2023·河北石家庄模拟)命题“∀x∈R,2kx2+kx-3
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<0”为真命题的一个充分不必要条件是
( )
A.k∈(-3,0)
B.k∈(-3,0]
C.k∈(-3,-1)
D.k∈(-3,+∞)
综合提升组
8.(2023·江苏南京模拟)若命题“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,则实数m 的取值范围是( )
A.[16,+∞)
B.[1,+∞)
C.(16,+∞)
D.(-∞,1)
9.十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn没有正整数
解”,经历三百多年,数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否
定为( )
A.对任意正整数n,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn都没有正整数解
B.对任意正整数n>2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n>2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
10.若命题“∃x∈[π
6 , π
3
],tan x>m”是假命题,则实数m 的取值范围是 .
创新应用组
11.写出一个使命题“∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件 (用m 的值或范围
作答).
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答案及解析
课时规范练2
基础巩固组
1.命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为( )
A.∀n∈Z,n∉Q
B.∀n∈Q,n∈Z
C.∃n∈Z,n∈Q
D.∃n∈Z,n∉Q
答案:D
解析:改变量词,否定结论,得命题的否定为“∃n∈Z,n∉Q”.
2.“x 为整数”是“2x+1 为整数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由题意,若x 为整数,则2x+1 为整数,故充分性成立;
当x=1
2
时,2x+1 为整数,但x 不为整数,故必要性不成立.
所以“x 为整数”是“2x+1 为整数”的充分不必要条件.
3.(2023·河南新乡模拟)已知命题p:∃x∈R,sin x=3
2
;命题q:∀x∈R,2cos x≥1
2
.则下列关于命题真假的
说法正确的是( )
A.p 真q 假
B.p 假q 真
C.p,q 均假
D.p,q 均真
答案:B
解析:因为-1≤sin x≤1,所以命题p 为假命题;
又因为cos x≥-1,所以2cos x≥1
2
,所以命题q 为真命题.
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4.已知a,b∈R,则“3a>3b”是“a2>b2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
答案:C
解析:当a=1,b=-2 时,满足3a>3b,而a2=1<b2=4,所以3a>3b成立时,a2>b2不一定成立.当a=-2,b=1
时,满足a2>b2,而3a=1
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<3b=3,所以a2>b2成立时,3a>3b不一定成立.所以“3a>3b”是“a2>b2”的既
不充分也不必要条件.
5.(2023·湖北八市联考)设α,β 为两个不同的平面,则α∥β 的一个充要条件可以是( )
A.α 内有无数条直线与β 平行
B.α,β 垂直于同一个平面
C.α,β 平行于同一条直线
D.α,β 垂直于同一条直线
答案:D
解析:对于A,α 内有无数条直线与β 平行不能得出α∥β,α 内的所有直线与β 平行才能得出α∥β,
故A 错误;对于B,C,α,β 垂直于同一平面或α,β 平行于同一条直线,不能确定α,β 的位置关系,故
B,C 错;对于D,α,β 垂直于同一条直线可以得出α∥β,反之,当α∥β 时,若α 垂直于某条直线,则β
也垂直于该条直线,故D 正确.
6.(2023·广东茂名模拟)若不等式|x-1|<a 的一个充分条件为0<x<1,则实数a 的取值范围是( )
A.(0,+∞)
B.[0,+∞)
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
答案:D
解析:由不等式|x-1|<a,可得-a+1<x<a+1,当a<0 时,不合题意.要使0<x<1 是-a+1<x<a+1 的一个
充分条件,
则需{
-a+1≤0,
a+1≥1,
解得a≥1.
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7.(多选)(2023·河北石家庄模拟)命题“∀x∈R,2kx2+kx-3
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<0”为真命题的一个充分不必要条件是
( )
A.k∈(-3,0)
B.k∈(-3,0]
C.k∈(-3,-1)
D.k∈(-3,+∞)
答案:AC
解析:因为∀x∈R,2kx2+kx-3
8
<0 为真命题,所以k=0,或{
k <0,
k
2+3k <0,
所以-3<k≤0,即k∈(-3,0].要求
使“k∈(-3,0]”为真命题的充分不必要条件,即寻找(-3,0]的真子集,显然A,C 正确.
综合提升组
8.(2023·江苏南京模拟)若命题“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,则实数m 的取值范围是( )
A.[16,+∞)
B.[1,+∞)
C.(16,+∞)
D.(-∞,1)
答案:B
解析:因为“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,所以其否定“∃x∈[1,4],x2≤m”为真命题,则当x∈[1,4]
时,m≥(x2)min,而当x=1 时,x2取得最小值1,所以m≥1.
9.十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn没有正整数
解”,经历三百多年,数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否
定为( )
A.对任意正整数n,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn都没有正整数解
B.对任意正整数n>2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n>2,关于x,y,z 的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
答案:D
解析:命题的否定要先改变量词,再否定结论,故只有D 满足题意.
10.若命题“∃x∈[π
6 , π
3
],tan x>m”是假命题,则实数m 的取值范围是 .
答案:[❑√3,+∞)
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解析:由题意得“∀x∈[π
6 , π
3
],tan x≤m”为真命题,故m≥(tan x)max=tanπ
3 = ❑√3.
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11.写出一个使命题“∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件 (用m 的值或范围
作答).
答案:m=1(答案不唯一)
解析:当x∈(2,3)时,易知x2-x=(x-1
2
)2-1
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∈(2,6),因为∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0,所以∃x∈(2,3),m>
3
x
2- x
.令f(x)=
3
x
2- x
,则f(x)在(2,3)上单调递减,所以1
2
<f(x)<3
2
,所以m>1
2
.
显然m=1⇒m>1
2
,m>1
2
m=1,故“m=1”是使命题“∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条
件.
