常用逻辑用语
课前学习任务
一、课标解读
1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确对全称量词命题与存在量词命题进行否定.
二、必备知识
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
[教材知识深化]
1.若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q成立时相应变量的取值集合分别为A,B,那么有以
下结论:
集合关系 结论
A⫋B p是q的充分不必要条件
A⊆B p是q的充分条件
A⫌B p是q的必要不充分条件
A⊇B p是q的必要条件
A=B p是q的充要条件
2.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性:“p⇒q”⇔“q⇐p”.
学科网（北京）股份有限公司(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即
“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)全称量词与存在量词
①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号“∀”表示.
②短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号“∃”
表示.
(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定
命题
全称量词命题 存在量词命题
类型
形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x)
否定
全称量词命题的否定是 存在量词命题的否定是
结论
命题 命题
[教材知识深化]
1.含有一个量词的命题与它的否定真假性相反.
2.在对“含有一个量词的命题”进行否定时,首先要改变量词符号,其次要将结论否定,二者缺
一不可.
三、自主诊断
一、基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果p的充分条件是q,那么q的必要条件是p. ( )
(2)命题“∃α∈R,使sin 2α=2sin α”是假命题. ( )
(3)对全称量词命题进行否定时,全称量词可以不改为存在量词. ( )
(4)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则r是p的必要不充分条件.( )
2.(人教A版必修第一册习题1.4第2题改编)已知p:a∈(P∩Q),q:a∈P,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(人教B版必修第一册习题1-2B第5题)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必
要条件,求实数a的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司4.(人教A版必修第一册1.5.2节例5)写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)任意两个等边三角形都相似;
(2)∃x∈R,x2-x+1=0.
二、连线高考
5.(2024·全国甲,理9)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+❑√3是a∥b的充分条件
6.(2024·新高考Ⅱ,2)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则( )
A.p和q都是真命题
B.p和q都是真命题
C.p和q都是真命题
D.p和q都是真命题
学科网（北京）股份有限公司课堂核心考点
考点一 充分条件、必要条件的判断与探求
考向1 充分条件、必要条件的判断
1.(1)(2024·北京,5)已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2024·江西南昌二模)已知集合A={x|ln x≤0},B={x|2x≤2},则“x∈A”是“x∈B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[对点训练1](1)(2024·天津,2)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选题)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要
条件,下列说法正确的是( )
A.r是q的充要条件
B.p是q的充分不必要条件
C.r是q的必要不充分条件
D.r是s的充分不必要条件
考向2 充分条件、必要条件的探求
2.(1)(多选题)已知p:x2-4x<0,则p成立的一个充分不必要条件是( )
A.-2<x<0 B.0<x<2
C.0<x<4 D.1<x<3
(2)(多选题)(2024·广东梅州一模)已知直线m,n和平面α,β,若n⊂α,则下列条件中,p是q的充分
不必要条件的是( )
A.p:m∥α,q:m∥n B.p:m⊥α,q:m⊥n
C.p:α∥β,q:n∥β D.p:n⊥β,q:α⊥β
[对点训练2](1)(多选题)(2024·湖南长沙模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个充分
不必要条件是( )
学科网（北京）股份有限公司1
A.m> B.m<2 C.m=1 D.m≥2
4
(2)(2024·辽宁沈阳检测)设x∈R,则lg x>ln x的充要条件是( )
A.x>0 B.x>1 C.x>10 D.0<x<1
考点二 充分条件、必要条件的应用
3.(2024·山东青岛检测)已知集合A是函数f(x)=❑√x-1+2❑√5-x的定义域,非空集合B={x|1-
m≤x≤1+2m},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数m的取值集合是 .
变式探究1
本例中,其他条件不变,若改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则实数m的取值范围为
.
变式探究2
本例中,其他条件不变,试探究是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件?
[对点训练3](2024·山东烟台二模)已知p:1<2x<4,q:x2-ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则
实数a的取值范围是( )
3 3
A. ,+∞ B. 0,
2 2
C.(2,+∞) D.(0,2]
考点三 全称量词与存在量词(多考向探究预测)
考向1 含有一个量词的命题的否定
4.(1)(2024·湖北武汉模拟)命题“有些三角形是直角三角形”的否定为( )
A.所有三角形都是直角三角形
B.所有三角形都不是直角三角形
C.有些三角形不是直角三角形
D.有些三角形不是锐角三角形
(2)(2024·河北邯郸模拟)命题“∀x∈(1,+∞),x3-2x+1>0”的否定是( )
A.∀x∈(-∞,1],x3-2x+1>0
B.∀x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0
C.∃x∈(-∞,1],x3-2x+1>0
D.∃x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0
[对点训练4](2024·山东青岛模拟)17世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于
x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”,经历三百多年,1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证
明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为( )
A.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn都没有正整数解
学科网（北京）股份有限公司B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
考向2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
5.(多选题)(2024·河北沧州检测)下列命题是真命题的是( )
A.∀x∈R,sin 2x=2sin x
B.∃x∈{x|x=7k,k∈Z},使得x+1为质数
C.∀x∈R,2x+21-x≥2❑√2
D.存在奇函数f(x),使得f(-2)=f(2)
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题类型 真假 判断方法一 判断方法二
真 所有对象都使结论为真 否定为假
全称量词
命题
假 存在一个对象使结论为假 否定为真
真 存在一个对象使结论为真 否定为假
存在量词
命题
假 所有对象都使结论为假 否定为真
[对点训练5](多选题)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)下列命题中,是真命题的有( )
A.∀x∈R,都有x2-3x>x-4
B.∃α,β∈R,使得sin(α+β)=sin α+sin β
b a
C.对任意非零实数a,b,都有 + ≥2
a b
D.存在复数z,使得z2<0
考向3 根据命题真假求参数的取值范围
6.(2024·陕西西安模拟)设函数f(x)=ax2-2ax,命题“∃x∈[2,6],f(x)≤-2a+3”是假命题,则实数a
的取值范围是( )
3
A. ,+∞ B.(3,+∞)
2
3
C.(2,+∞) D. -∞,
2
[对点训练6](2024·四川攀枝花模拟)已知p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,q:∃x∈R,x2 +2ax+2-a=0,若p和
0 0 0
q都是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,1]
学科网（北京）股份有限公司C.(-∞,-2]∪{1} D.(-2,1)∪(1,+∞)
学科网（北京）股份有限公司答案解析
[知识梳理]
2.(1)①全称量词 ②存在量词 (2)∃x∈M,p(x) ∀x∈M,p(x) 存在量词 全称量词
[自主诊断] 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.A 解析 由a∈(P∩Q)得a∈P且a∈Q;当a∈P时,a∈Q不一定成立.故p是q的充分不必要条
件.
3.解 依题意集合A是集合B的真子集,所以a<3,即实数a的取值范围为(-∞,3).
4.解 (1)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.
因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个等边三角形都相似.
因此这是一个假命题.
(2)该命题的否定:∀x∈R,x2-x+1≠0.
1 3
因为对任意x∈R,x2-x+1= x- 2+ >0,所以这是一个真命题.
2 4
5.C 解析 若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+❑√3或
x=1-❑√3.故选C.
6.B 解析 当x=0时,p不成立,当x=1时,q成立,故p假q真,故选B.
研考点·精准突破
考点一
例1 (1)A (2)A 解析 (1)若“a=b或a=-b”,则a+b=0或a-b=0,故“(a+b)·(a-b)=0”,必要性
成立,反之不一定成立.故选A.
(2)解不等式ln x≤0,得0<x≤1,则A=(0,1];解不等式2x≤2,得x≤1,则B=(-∞,1].
因为(0,1]⫋(-∞,1],所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.
对点训练1 (1)C (2)AB 解析 (1)由题意,知a3=b3⇔a=b,3a=3b⇔a=b,则a3=b3⇔3a=3b,即二
者互为充要条件.故选C.
(2)依题意p是r的充分不必要条件,则p⇒r,r p,q是r的充分条件,则q⇒r,s是r的必要条
件,r⇒s,q是s的必要条件,则s⇒q,即r⇔q⇔s,p⇒r,r p.
所以r是q的充要条件,A正确;
p是q的充分不必要条件,B正确;
r是q的充要条件,C错误;
r是s的充要条件,D错误.故选AB.
例2 (1)BD (2)BCD 解析 (1)由x2-4x<0,解得0<x<4,所以“0<x<2”和“1<x<3”都是
“0<x<4”的充分不必要条件.故选BD.
(2)若m∥α,n⊂α,则直线m,n可能平行或异面,所以p不能推出q,故A错误;若m⊥α,则直线m垂
直于平面α内的每一条直线,又n⊂α,所以m⊥n成立,但若m⊥n,根据直线与平面垂直的判定定
理,还需在平面α内找一条与n相交的直线,让此直线与m垂直,故q不能推出p,故B正确;若
α∥β,且n⊂α,则n∥β;反之,当n∥β时,不能推出α∥β,故C正确;若n⊥β,且n⊂α,由平面与平面垂直
学科网（北京）股份有限公司的判定定理可知α⊥β;反之,若α⊥β,且n⊂α,则直线n与平面β可能成任意角度,故D正确.故选
BCD.
对点训练2 (1)CD (2)D 解析 (1)∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,∴(-1)2-4m<0,解得m>
1 1 1
,这是其充要条件,由于{m|m=1}⫋ m m> ,{m|m≥2}⫋ m m> ,∴其充分不必要条件
4 4 4
可以是m=1或m≥2,故选CD.
lgx 1 1
(2)由lg x>ln x,得lg x- >0,即lg x 1- >0,可判断1- <0,∴lg x<0,∴0<x<1.
lg e lg e lg e
考点二
例3 {0} 解析 依题意,A={x|1≤x≤5},由于集合B={x|1-m≤x≤1+2m}非空,所以1-m≤1+2m,即
{1-m≥1,
m≥0.因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B是A的真子集,则有m≥0且 (两个
1+2m≤5
等号不同时取到),解得m=0,故实数m的取值范围是{0}.
变式探究1 [2,+∞) 解析 因为x∈A是x∈B的充分而不必要条件,所以A是B的真子集,所
{1-m≤1,
以m≥0,且 (两个等号不同时取到),解得m≥2,即实数m的取值范围是[2,+∞).
1+2m≥5
{1-m=1,
变式探究2 解 不存在.若x∈A是x∈B的充要条件,则有m≥0且A=B,即 此方程
1+2m=5,
组无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件.
对点训练3 A 解析 解不等式1<2x<4,得0<x<2,即p:0<x<2.
因为p是q的充分不必要条件,且显然当x=0时满足q:x2-ax-1<0,所以当0<x<2时,x2-ax-1<0
1 1 3 3
恒成立,即当0<x<2时a>x- 恒成立,又函数f(x)=x- 在(0,2)内单调递增,且f(2)= ,所以a≥
x x 2 2
3
,即实数a的取值范围是 ,+∞ ,故选A.
2
考点三
例4 (1)B (2)D 解析 (1)由命题否定的概念可知,命题“有些三角形是直角三角形”的否
定为“所有三角形都不是直角三角形”.
(2)因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“∀x∈(1,+∞),x3-2x+1>0”的否定是
“∃x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0”.
对点训练4 D 解析 “对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”的否
定为存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解.
例5 BCD 解析 因为对∀x∈R,sin 2x=2sin xcos x,所以A是假命题;因为28∈{x|
x=7k,k∈Z},且29为质数,所以B为真命题;因为2x+21-x≥2❑√2x·21-x=2❑√2,当且仅当2x=21-x,
1 {x-2,x>0,
即x= 时,等号成立,所以C为真命题;对于分段函数f(x)= 它是奇函数,且满足
2 x+2,x<0,
f(-2)=f(2)=0,即D为真命题,故选BCD.
学科网（北京）股份有限公司对点训练5 BD 解析 因为x2-3x-(x-4)=(x-2)2≥0,即x2-3x≥x-4,所以当x=2时命题不成立,故
b a
A选项错误;当α=0,β=π时,sin(α+β)=sin α+sin β成立,故B选项正确;当a<0<b时, + <0,
a b
故C选项错误;当复数z为纯虚数时,例如z=2i,则z2=(2i)2=-4<0,故D选项正确,故选BD.
例6 A 解析 因为命题“∃x∈[2,6],f(x)≤-2a+3”是假命题,所以∀x∈[2,6],f(x)>-2a+3恒成
立,则ax2-2ax+2a-3>0,对∀x∈[2,6]恒成立.
令h(x)=ax2-2ax+2a-3,显然a≠0,则二次函数h(x)的图象的对称轴为直线x=1.
{ℎ (2)=2a-3>0, 3
要使得∀x∈[2,6],h(x)>0恒成立,则 解得a> ,
ℎ (6)=26a-3>0, 2
3
所以实数a的取值范围是 ,+∞ .
2
对点训练6 C 解析 若p真,则不等式x2-a≥0在[1,2]上恒成立,即a≤x2,因此得a≤1;若q真,
则方程x2+2ax+2-a=0有实数根,所以Δ=4a2-8+4a≥0,解得a≤-2或a≥1.
又因为p和q都是真命题,所以a≤-2或a=1,故选C.
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