一、幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数
二、幂函数的图像
三、幂函数的性质
当
时，幂函数
在
上是
，
当 时，函数图像是向下凸的；
当 时，图像是向上凸的，
恒过点 ；
当
时，幂函数
在
上是
.
恒过点 .
解析式
y = x
y = x
2
y = x
3
y = x
-1
y = x
-2
y = x
1
2
图像
类型一：幂函数的定义
1. 函数
为幂函数（
为常数），且在
上是减函数，则
______
2. 幂函数
的图像经过点
，则满足
的
的值是______.
类型二：幂函数的性质
3. (1)（多选）设
，则使函数
为奇函数且定义域为
的所有
的值为（ ）
A.-1
B.1 C.0.5 D.3
(2)（多选）若幂函数f ( x)=(m
2+m-11)x
m-1在(0,+∞)上单调递增，则( )
A. m=3
B. f (-1)=1
C. m=- 4
D. f (-1)=-1
4. 设
，则
的大小关系是____ __
5. 已知函数
，给出下列命题：其中，所有正确命题的序号是_______.
①若
；
②若
，则
；
③若
，则
；
④若
，则
6. 已知函数
，且
，则
的取值范围是_______.
7. 下列命题中正确的是（ ）
A．当
0
时，函数y
x
的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数的y
x
图象不可能在第四象限内
D．若幂函数y
x
为奇函数，则在定义域内是增函数
补充练习：
一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，定义域与值域均为R的是 ( )
A. y = ln x
B. y =e
x
C. y = x
3
D. y = 1
x
2.已知幂函数f (x)的图象过点(2,
√2)，则f (8)=( )
A. 2
B. 2
√2
C. 2
√3
D. 4
3.已知幂函数f (x)的图象过点(2,
√2
2 )
，则函数y = f ( x
2+2 x)的单调递增区间为( )
A. (-∞,-2)
B. (-∞,-1)
C. (0,+∞)
D. (1,+∞)
4.设a= log2 1
3，b=( 1
2 )
1
3，c =( 1
3 )
1
2，则( )
A. c<b<a
B. b<a<c
C. a<b<c
D. a<c<b
5.已知函数f 1( x)=a
x，f 2( x)= x
a，f 3( x)= loga x(其中a>0且a≠1)，在同一坐标系中画出其中两个函数在
第一象限内的大致图像，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
6.已知点A( x1, y1),B( x2, y2)(0< x1< x2)，若幂函数f (x)的图象经过点(9,3)，则( )
A. x1+ f (x1)< x2+ f (x2)
B. x1- f (x1)< x2- f (x2)
C. x1f (x1)< x2f (x2)
D. x2f (x1)< x1f (x2)
7.下列有关命题的说法正确的是( )
A. “菱形都是轴对称图形”是全称量词命题
B. 命题“任意一个幂函数的图象都经过原点”是真命题
C. 命题“∃x∈R , x
2- 4 x +3<0”是 真命题
D. 若p是q 的 充分不必要条件，q是r的充要条件，则r是p的必要不充分条件
8.已知幂函数f (x)的图象经过点(2,4)，则( )
A. 函数f (x)为增函数
B. 当x ≥4时，f (x)≥64
C. 函数f (x)为偶函数
D. ∀x1≠x2，f (x1)+ f (x2)
2
>f(
x1+ x2
2 )
三、填空题：
9.写出一个幂函数f ( x)的解析式，使之同时具有以下三个性质：①f ( x)定义域为{x| x≠0};②f ( x)是偶
函数;③当x>1时，0<f ( x)<1.则函数f ( x)的解析式为 ．
10.幂函数f ( x)满足下列性质：(1)对定义域中任意的x，有f ( x)= f (- x);(2)对(0,+∞)中任意的x1，
x2( x1≠x2)，都有( x2- x1)(f ( x2)- f ( x1))<0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式f ( x)= ．
四、解答题：本题共2 小题，共24 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.已知幂函数f (x)=(m
2+m-1) x
m+1(m∈Z)的图象关于y轴对称．
(1)求m的值及函数f (x)的解析式；
(2)设函数g(x)= f (x)- 4 x +5，求g(x)在区间[1,4]上的值域．
12.已知函数f ( x)= 1
3 (a-2)x
2+(b-8)x +c -1( x∈R)．
(1)如果函数f ( x)为幂函数，试求实数a、b、c的值；
(2)如果a>0、b>0，且函数f ( x)在区间[
1
2 ,3]
上单调递减，试求ab的最大值．
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补充练习答案
1.【答案】C
【解答】
解：A .函数y = ln x的定义域为(0,+ ∞)，值域为R；
B. 函数y =e
x的定义域为R，值域为(0,+ ∞)；
C. 函数y = x
3的定义域为R，值域为R；
D. 函数y = 1
x 的定义域为{x| x≠0}，值域为{y | y ≠0}，
故选：C．
2.【答案】B
【解答】
解：设幂函数f ( x)= x
α，
由于函数f (x)的图象过点(2,
√2)，
所以 √2=2
α，则α = 1
2，所以f (x)= x
1
2，
则f (8)=8
1
2 =2
√2．
故选：B．
3.【答案】A
【解答】
解：由题可设f ( x)= x
α，因为f ( x)的图象过点(2,
√2
2 )，
所以2
α =
√2
2 ，解得α =- 1
2，即f ( x)= x
- 1
2，
故f (x)在(0,+∞)上单调递减，
则函数y = f ( x
2+2 x)=( x
2+2 x)
- 1
2 =
1
√x
2+2 x
，
由x
2+2 x>0，解得x<-2或x>0，
则函数y = x
2+2 x在(-∞,-2)上单调递减，在(0,+ ∞)上单调递增，
所以函数y = f (x
2+2 x)的单调递增区间为(-∞,-2)．
故选：A．
4.【答案】D
【解答】
解：∵y = log2 x是增函数，
∴a= log2 1
3 <log21=0，
∵y =(
1
2)
x
是减函数，y = x
1
2在(0,+∞)上是增函数，
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b=(
1
2)
1
3 >( 1
2 )
1
2 >( 1
3 )
1
2 =c>0
∴a<c<b
故选：D．
5.【答案】C
【解答】解：对于A，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而幂函数的指数应小于0，故A 不对；
对于B，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而对数函数图象递减，其底数小于1，故B 不对；
对于C，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，幂函数的指数大于1，而对数函数的底数也大于1，故C 对；
对于D，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，指数函数的图象递减，故幂函数的指数应大于1，而指数函数的底
数小于1，矛盾，故D 不对．
故选C．
6.【答案】AC
【解答】
解：A选项，设f (x)= x
α，将点(9,3)代入可得9
α =3，
解得α = 1
2，则f ( x)= x
1
2，
因为f (x)和函数y = x在(0,+∞)上都单调递增，
所以函数y = x + x
1
2在(0,+ ∞)上单调递增，x1+ f (x1)< x2+ f (x2)，故A 正确；
B选项，函数y = x -
√x =(
√x - 1
2)
2
- 1
4 在(0, 1
4)上单调递减，在( 1
4 ,+∞)上单调递增，
故x1- f (x1)与x2- f (x2)的大小不确定，故B 错误；
C选项，因为函数y = xf ( x)= x
3
2在(0,+ ∞)上单调递增，
所以x1f (x1)< x2f (x2)，故C 正确；
D选项，因为函数y = f ( x)
x
= x
- 1
2在(0,+∞)上单调递减，
所以
f ( x1)
x1
> f ( x2)
x2
，则x2f ( x1)> x1f ( x2)，故D 错误．
故选：AC
7.【答案】ACD
【解答】
解：对于A中，“菱形都是轴对称图形”即“所有菱形都是轴对称图形”，含全称量词“所有”，则“菱形都是轴对
称图形”是全称量词命题，故A 正确；
对于B中，由幂函数 y = 1
x 的图象不经过原点，所以B 错误；
对于C中，当 x =2 时，可得 x
2- 4 x +3=-1<0 ，所以C 正确；
对于D中，由 p 是 q 的充分不必要条件，即 p⇒q ，q⇏p，
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又由 q 是 r 的充要条件，即 q⇔r ，
所以 r 是 p 的必要不充分条件，所以D 正确．
故选：ACD．
8.【答案】CD
【解答】
解：设幂函数的解析式为f ( x)= x
α(α ∈R) ，
因为幂函数 f ( x) 的图象过点 (2,4) ，可得 2
α = 4 ，
解得 α =2 ，
即 f ( x)= x
2 ，
所以函数 f ( x) 的定义域为R ，关于原点对称，
且f (- x)=(- x)
2= x
2= f (x)，
所以函数 f ( x) 为偶函数，故C 正确；
f ( x)在[0,+ ∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减，所以A 错误；
当 x⩾4时，
可得x
2⩾4
2=16，所以B 错误；
当 ∀x1≠x2 时，
f ( x1)+ f ( x2)
2
- f ( x1+ x2
2
)
= x1
2+ x2
2
2
-(
x1+ x2
2 )
2
= x1
2+ x2
2-2 x1 x2
4
= (x1- x2)
2
4
>0 ，
所以 f ( x1)+ f ( x2)
2
>f ( x1+ x2
2
) ，所以D 正确．
故选：CD．
9.【答案】f ( x)= x
-2(答案不唯一)
【解答】
解：取函数f ( x)= x
-2，定义域为{x| x≠0}，
且f (- x)= x
-2= f ( x)，故f ( x)是偶函数，
当x>1时，满足0<f ( x)<1，
故f ( x)= x
-2满足条件，
故函数f ( x)的解析式可以为f ( x)= x
-2
10.【答案】x
-2(答案不唯一)
【解答】
解：对于幂函数f ( x)= x
α，
因为对定义域中任意的x，有f ( x)= f (- x)，
故f ( x)是偶函数，故α可取偶数；
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又对(0,+ ∞)中任意的x1，x2( x1≠x2)，都有( x2- x1)(f ( x2)- f ( x1))<0，
则f ( x)在(0,+∞)递减，故α <0，
综上，可取α =-2，即f ( x)= x
-2
11.【答案】解：(1)因为f (x)=(m
2+m-1) x
m+1(m∈Z)为幂函数，
所以m
2+m-1=1，
解得m=1或m=-2，
当m=1时，f (x)= x
2，
函数图象关于y轴对称，符合题意；
当m=-2时，f (x)= x
-1，
函数图象关于原点对称，不符合题意；
综上可得m=1，f (x)= x
2；
(2)因为g(x)= f (x)- 4 x +5，x∈[1,4]，
所以g(x)= x
2- 4 x +5=(x -2)
2+1，
所以g(x)在[1,2]上单调递减，
在[2,4]上单调递增，
又g(2)=1，g(1)=2，g(4)=5，
所以g(x)∈[1,5]，
即g(x)在区间[1,4]上的值域为[1,5]．
12.【答案】解：(1)由f ( x)为幂函数知：
{
1
3 (a-2)=1
b-8=0
c -1=0
或{
1
3 (a-2)=0
b-8=1
c -1=0
．
解得：a=5，b=8，c =1，或a=2，b=9，c =1．
(2)①当a=2时，f ( x)=(b-8)x +c -1( x∈R)
由题意知，0<b<8，所以ab<16．
②当a>2时，函数f ( x)图象的对称轴为x = 3(8-b)
2(a-2)，
以题意得：3(8-b)
2(a-2) ≥3，即2a+b≤12
所以12≥2a+b≥2
√2ab，ab≤18．
当且仅当a=3，b=6时取等号．
③当0<a<2时，
以题意得：3(8-b)
2(a-2) ≤1
2，即a+3b≤26，即0<b≤1
3 (26-a)
又因为0<a<2，
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所以0<ab≤1
3 a(26-a)=- 1
3 (a-13)
2+ 169
3 <- 1
3 (2-13)
2+ 169
3 =16
综上可得，ab的最大值为18．
