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备战2025 年高考数学小专题特训：集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．（2024·茂名模拟）已知集合
，
，
，则集合
的子集个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
2．（2024 高三下·邯郸模拟）已知
，
是两个平面，m，n 是两条直线，且
，
.则
“
”是"
”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024 高三下·邯郸模拟）已知集合
，
.则
( )
A．
B．
C．
D．
4．（2024·雅安模拟）已知集合
，则图中的阴影部分表示的集合为
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
5．（2024 高三下·社旗模拟）已知集合
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
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C．
D．
6．（2024·温州月考）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2024·雄安模拟）设全集为
，定义集合
与
的运算：
且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·重启模拟）已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题
9．（2024 高三下·湖北模拟） 已知集合
，
，集合
满足
，则（
）
A．
，
B．集合
可以为
C．集合
的个数为7
D．集合
的个数为8
10．（2024·宜昌模拟）设函数
，则使
成立的充分不必要条件可以是(
)
A．
B．
C．
D．
11．（2024 高三下·揭阳模拟）若表示集合
和
关系的Venn 图如图所示，则
，
可能是
（ ）
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
三、填空题
12．（2024·金华模拟）设集合
，若
，则实数
的取
值范围为 .
13．（2024 高三下·吉安月考）设集合
，则集合
的子集个数为
..
14．（2024 高三下·贵州模拟） 已知命题
，命题
：函数
有极小值点2，则
是
的 条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”
之一）.
四、解答题
15．（2022·信阳模拟）已知
，设
：
，
成立；
：
，
成立，如果“
”为真，“
”为假，求实数
的取值
范围.
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16．（2022·大荔模拟）已知集合
，
.
（1）当
时，求
；
（2）当
时，若“
”是“
”的充分条件，求实数a 的取值范围.
17．（2022·陈仓二模）设
均为正数，且
，证明：
（Ⅰ）若
，则
；
（Ⅱ）
是
的充要条件．
18．（2022·虹口模拟）已知集合
，
.
中的所
有元素按从小到大的顺序排列构成数列
，
为数列
的前
项的和.
（1）求
；
（2）如果
，
，求
和的值；
（3）如果
，求
（用
来表示）.
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19．（2024·湖南模拟）已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1、x2 R
∈，恒有2f
≤f(x1)＋
f(x2)成立，不等式f(x)＜0 的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．
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答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,C
10．【答案】A,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】4
14．【答案】充要
15．【答案】解：若
为真，则对
，
恒成立，设
，
配方得
，
∴
在
上的最小值为-3，∴
，解得
，∴
为真时，
.
若
为真，则
，
成立，即
成立.
设
，则
在
上是增函数，∴
的最大值为
，
∴
，∴
为真时，
.
∵“
”为真，“
”为假，∴
与
一真一假.
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当
真
假时，
，∴
.
当
假
真时，∴
，∴
.
综上所述，
.
16．【答案】（1）解：当
时，由不等式
，得
，
故
，又
所以
.
（2）解：若“
”是“
”的充分条件，等价于
，
因为
，由不等式
，得
，
又
要使
，则
或
，又因为
综上可得实数a 的取值范围为
.
17．【答案】解：（Ⅰ）因为
，
，由题设
，
，得
．因此
．
（Ⅱ）（ⅰ）若
，则
．即
．因
为
，所以
，由（Ⅰ）得
．
（ⅱ）若
，则
，即
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．因为
，所以
，于是
．因此
，综上，
是
的充要条件．
18．【答案】（1）由题设，集合A 中元素为
，集合B 中元素为
，且
A、B 没有重复元素，
∴
的前10 项为
，故
.
（2）由
，故
中含集合
的4 个元素；
由
且
，可得
，故
中含集合A 的40 个元素；
∴
；
由
，若
，则
中含集合
的7 个元素；
此时，由
且
，可得
，故
中含集合A 的1093 个元素；
∴
中
.
由
，若
，则
中含集合
的8 个元素；
此时，由
且
，可得
，故
中含集合A 的3280 个元素；
∴
中
.
综上，由
，即
，
∴
中含集合
的7 个元素，含集合A 的2015 个元素，
∴
.
（3）由题设，若
中含m 个集合B 的元素，在第
个和第
个集合B 的元素之间存在
个
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集合A 的元素，
∴若最后一项属于集合
且
共有个集合B 的元素，
，
∴
共有
个元素，
由题设，
，故
含
个集合
的元素，含
个集合A 的元素，
∴
，
∴
，
.
19．【答案】（1）解：对任意x1，x2 R
∈，
有f(x1)＋f(x2)－2f(
)＝
a(x1－x2)2≥0，
要使上式恒成立，∴a≥0.
由f(x)＝ax2＋x 是二次函数知a≠0，A>0.
由f(x)＝ax2＋x＝ax(x＋
)<0，
∴不等式f(x)<0 的解集为A＝(－
，0)
（2）解：解得B＝(－a－4，a－4)，
∵B A
⊆，
∴
解得0<a≤－2＋
.
∴a 的取值范围为(0，－2＋
]．
