第八章 平面解析几何
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第六节 抛物线
知识点102 抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
回归教材
1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的
点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2.抛物线标准方程的四种形式
教材素材变式
1. [选择题][苏教选必一P113 练习第6 题变式]
题目：动点 P 到定点 F(1,0) 的距离等于到直线 x =−1 的距离，则 P 的轨迹方程是
（ ）
A. y
2= 4 x B. y
2=2 x C. x
2= 4 y D. x
2=2 y
2. [解答题][人B 选必一P164 例2 变式]
题目：已知抛物线 C : y
2=8 x，点 A(2,0)。
(1) 求抛物线上点 P 到 A 的最小距离；
(2) 若 P 在 C 上移动，求 ∣PA ∣ 的最小值。
3. [选择题][人A 选必一P138 练习第3 题变式]
题目：抛物线 y
2=2 px 上点 P 到焦点 F 的距离为 5，到 y 轴的距离为 3，则 p=（
）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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4. [选择题][人A 选必一P138 习题3.3 第5 题变式]
题目：抛物线 y
2=8 x 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，且 ∠PFO =60
∘，则 ∣PF ∣=
（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. [选择题][人A 选必一P145 复习参考题3 第6 题变式]
题目：抛物线 y
2= 4 x 的焦点 F 与顶点 O 构成等边三角形 OFP，则 ∣FP∣=（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. [选择题][人B 选必一P167 习题2-7B 第1 题变式]
题目：抛物线 y
2=2 px 的焦点 F，准线为 l，点 P 在抛物线上且 ⃗P =2⃗F，则 Q 到 l
的距离为（ ）
A. p
2 B. p C. 3 p
2 D. 2 p
7. [选择题][人B 选必一P167 习题2-7C 第1 题变式]
题目：点 A(3,2)，抛物线 y
2=8 x 的焦点 F，点 P 在抛物线上，则 ∣PA ∣+∣PF ∣
的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. [填空题][人A 选必一P139 习题3.3 第8 题变式]
题目：抛物线形拱桥的跨度为 16 米，拱高为 4 米。若水面上升 1 米，则水面宽度
减少______米。
9. [解答题][人B 选必一P164 例3 变式]
题目：动点 P 满足 ⃗O =⃗O+t⃗O，其中 A(1,0)，B(0,1)，且 PA ⊥PB，求 P 的轨迹方
程。
10. [解答题][苏教选必一P117 习题3.3(2)第5 题变式]
题目：抛物线 C 过点 (2,4)，且焦点到准线的距离为 2。
(1) 求 C 的标准方程；
(2) 若 P 在 C 上移动，M 为 OP 的中点，求 M 的轨迹方程。
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知识点103 直线与抛物线的位置关系
回归教材
设直线l: y =kx +m(k ≠0)交抛物线y
2=2 px( p>0)于A( x1, y1),B( x2, y2)两点，线段
AB的中点为M ( x0, y0)，则弦长| AB|=
❑√1+k
2| x1−x2|= ❑√
1+ 1
k
2 | y1−y2|，斜率
k = y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
= p
y0。
设抛物线x
2=2 py( p>0)的弦为AB，弦AB的中点为M ( x0, y0)，则k AB= x0
p 。
教材素材变式
1. [多选题][人A 选必一P139 习题3.3 第12 题变式]
题目：已知抛物线 C : y
2= 4 x，直线 l: y =kx +1 与 C 相交于 A ,B 两点，则下列说法
正确的是（ ）
A. 若 k =1，则 ∣AB∣=8
B. 若 l 与 C 相切，则 k = 1
2
C. 存在 k 使得 AB 为直径的圆经过原点
D. 若 k =−1，则 AB 的中点到准线的距离为 3
2. [填空题][人A 选必一P136 练习第4 题变式]
题目：直线 y =2 x +m 与抛物线 y
2=8 x 相交的弦长为 6 ❑√5，则 m= ______。
3. [选择题][人B 选必一P173 习题2-8B 第2 题变式]
题目：抛物线 y
2= 4 x 的弦 AB 的中点为 M (2,1)，则直线 AB 的斜率为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. [选择题][人A 选必一P146 复习参考题3 第12 题变式]
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题目：抛物线 y
2= 4 x 上点 P(1,2) 处的切线为 l，过焦点 F(1,0) 的直线与 l 及抛物
线交于 A ,B，则 △PAB 的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. [选择题][人B 选必一P170 例4 变式]
题目：抛物线 y
2= 4 x 的准线为 l，点 P(−1,2) 在 l 上，过 P 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A ,B，则 △PAB 的最小面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. [填空题][人A 选必一P146 复习参考题3 第10 题变式]
题目：抛物线 C 的焦点为 F(1,0)，点 P(2,2) 在 C 上，且 PF ⊥l（l 为准线），则
C 的方程为 ______，直线 l 的斜率为 ______。
7. [解答题][人A 选必一P139 习题3.3 第12 题变式]
题目：抛物线 C : y
2=2 px 的焦点为 F，点 A(1,2) 在 C 上。
(1) 求 C 的方程；
(2) 过 F 的直线 l 与 C 交于 P ,Q 两点，若 △OPQ 的面积为 4，求 l 的方程；
(3) 证明：PQ 的垂直平分线恒过定点。
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知识点102 抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
1. 选择题
答案：A
解析：由抛物线定义，焦点F(1,0)，准线x =−1，得p=2，方程为y
2= 4 x。
2. 解：
(1) 设P( x , y)，| PA |=
❑√( x−2)
2+ y
2=
❑√x
2+ 4 x + 4 =
❑√( x +2)
2，当x =0时，| PA |=2；
(2) 抛物线顶点为(0,0)，此时| PA |=2为最小值。
3. 选择题
答案：B
解析：点P到准线距离为5，准线方程x =−p
2 ，则3+ p
2 =5，解得p= 4。
4. 选择题
答案：C
解析：焦点F(2,0)，设P( x , y)，由tan60
∘=
y
x−2 = ❑√3，y
2=8 x，解得x =6，
| PF |=6+2=8。
5. 选择题
答案：A
解析：焦点F(1,0)，顶点O(0,0)，等边三角形边长为1，故| FP|=1。
6. 选择题
答案：B
解析：设P( x , y)，Q为PF中点，Q到准线距离为x + p
2
2
+ p
2 = x + p
2
+ p
2 = x +2 p
2
，由
x ≥0，最小值为p。
7. 选择题
答案：A
解析：准线x =−2，| PA |+| PF |最小值为A到准线距离3−(−2)=5。
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8. 填空题
答案：16−8 ❑√3
解析：设抛物线方程x
2=−2 py，过(8,−4)得p=8，方程x
2=−16 y。水面上升1
米，y =−3时，x =± 4 ❑√3，宽度减少16−8 ❑√3。
9. 解答题
答案：y =0或y =1
解析：由⃗OP =⃗OA +t⃗OB得P(1,t )，PA ⊥PB即(1−1)(1−0)+(t −0)(t −1)=0，解得
t =0或1，轨迹为y =0或y =1。
10. 解答题
答案：(1)y
2=8 x；(2)y
2= 4 x
解析：
(1) 焦点到准线距离p=2，抛物线过(2,4)，方程为y
2=8 x；
(2) 设M ( x , y)，则P(2 x ,2 y)，代入y
2=8 x得(2 y)
2=8(2 x)，即y
2= 4 x。
知识点103 直线与抛物线的位置关系
1. 多选题
答案：A、C
解析：
A. k =1时，联立y = x +1与y
2= 4 x，弦长| AB|=8，正确；
C. 设A( x1, y1)，B( x2, y2)，OA ⊥OB即x1 x2+ y1 y2=0，解得k =−1，存在，正确。
2. 填空题
答案：−1
解析：联立y =2 x +m与y
2=8 x，得4 x
2+(4 m−8)x +m
2=0，弦长
❑√5⋅
❑√64−32m
4
=6 ❑√5，解得m=−1。
3. 选择题
答案：B
解析：由点差法，斜率k =
2 p
y1+ y2
= 4
2 =2。
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4. 选择题
答案：C
解析：切线l：y = x +1，过F(1,0)的直线设为x =1，与l交于(1,2)，与抛物线交于
(1,±2)，面积为1
2 ×4×4 =8。
5. 选择题
答案：B
解析：设切线方程y =k( x +1)+2，与y
2= 4 x相切得k
2+2k −1=0，两切点距离为
4 ❑√2，高为2❑√2，面积最小值为4。
6. 填空题
答案：y
2= 4 x；−1
解析：焦点F(1,0)，p=2，方程y
2= 4 x；PF斜率为2，故准线斜率为−1。
7. 解：(1) 代入A(1,2)得2 p= 4，方程y
2= 4 x；
(2) 设l：y =k( x−1)，联立得y
2−4
k y −4 =0，面积1
2 ×1×| y1−y2|= 4，解得k =±1
；
(3) 设PQ中点( x0, y0)，斜率k = 2
y0，垂直平分线方程y −y0=−y0
2 ( x−x0)，化简得
x =3，恒过(3,0)。
